線性代數(shù)期終考試卷

線性代數(shù)期終考試卷

試卷一

1)填空題(每小題4分，共20分)

111

⑴設(shè)A=022,KiJATA=--------------------------------

003

(2)在分塊矩陣A=中，已知Bi、CT存在，則4一1=

CO

123

(3)設(shè)A=240B為三階非零矩陣，滿足AB=O,則r(B)=-------------

369

254-6

(4)若,則*=

1321

1111

I248

(5)三次代數(shù)方程=0的根是

1-24—8

1xx2X3

(A)APF2=B(B)AP2Pl=B

(C)P,P2A=B(D)P2PIA=B

(2)設(shè)A是三階矩陣，A*是其轉(zhuǎn)置伴隨矩陣，又k為常數(shù)kH0,±l,則(kA)*=()

231

(A)kA*(B)k2A*(C)k3A*(D)-A*

3

⑶若r(A)=r<n,則n元線性代數(shù)方程Ax=b()

(A)又無窮多個解(B)有唯一解(C)無解(D)不一定有解

⑷下列說法中正確的是()

(A)對向量組〃”,若有全不為零的數(shù)5…使+…+4〃=0,則

〃線性無關(guān)

（B）若有全不為零的數(shù)j,…,q使+…+WO,則優(yōu)，…,a”線性無關(guān)

（C）若向量組a；…,a”線性相關(guān)，即其中每個向量皆可由其余向量線性表示

（D）任何n+2個n維向量必線性相關(guān)

001

(5)矩陣A=010的特征值是)

100

(A)l,1,01,1(C)l,1,1(D)1,-1,-1

3)(每小題6分,共12分）

僅可唯一地表示成a：a2,a3,勿*的線性組合，小分），并寫出此表示式（4分）。

001

5）（共10分）給定矩陣A=x1y,試求出A的特征值（4分），問x,y滿足什么條件時矩

100

陣A可對角化（4分），為什么？（2分）

X|+a[x2+a*=a：

2_3

6）（共14分）對線性代數(shù)方程組玉+出尤2+%J=a2

X1+〃3%2=a3

23

X}+a4X2+Q4X3=〃4

（1）若外,〃2,。3,。4兩兩不等，問方程組是否有解（4分），為什么？（4分）

（2）若為=。3=8，/（bWO）,且已知方程的兩個解

試給出方程組的通解。（6分）

7）供12分）已知二次型q=2xJ+3x22+3x/+2ax2X3（a>0）通過正交變化成標(biāo)準(zhǔn)型

q=y|2+2y22+5yj2。

試求：（1）參數(shù)a的值。（4分）

（2）所用的正交變化矩陣Q。（4分）

（3）問q是否為正定二次型？為什么？（4分）

8）（共7分）已知n階矩陣A對任意n維向量x=[xl,x27，丫=[月，為，?“，》,」均有

xnAy=Oo試證A=O。

IS；卷一?

1）填空題（每小題4分，共20分）

(1)設(shè)A,B,C皆為〃階矩陣，已知det(1—A)H0。若B=/+AB,C=4+C4,則

B-C=_____________

■2-1-T

(2)設(shè)4為三階非零矩陣，B=3-1-2

-11a

月.(AB)，=0,則a=

⑶設(shè)三階方陣A=[a,%,其中a,6,外,力均為三維列向量，且已知

detA=3,detB=4,則det(5A-2B)=。

(4)已知齊次線性方程組

2

bx1+(2+b-a)x2+{ab-2a)x3=0

<—X]+(a-3)X2+abx3=0

x,+x2+ax3=0

的解空間是二維的，則a=,b=

1111

、2345

⑸設(shè)A=ccc，則+A42+A43+4第=

-L/LJ

_5437_

2)選擇題(每小題3分，共15分)

(1)設(shè)A為〃階矩陣，x為〃維向量，則以下命題成立的是()。

A)若Ax=0有解時，A，Ax=0也有解，則A必可逆

B)若A，Ax=0有解時，Ax=0也有解，則4必可逆

0474*=0的解必是4?:=0的解

D)4?41=0的解與41=0的解無任何聯(lián)系

(2)若A是/”x(/“+s)矩陣，8是(〃z+s)X/”矩陣，下列命題不成立的是()。

A)若A6=C,則C的第，列(j=l,2...m)是以8第，列的元素為系數(shù)作A的列向

量的線性組合。

B)若48=61，則C的第i行(i=l,2,是以A第i行的元素為系數(shù)作8的行向

量的線性組合。

046=0,且r(5)=機(jī)，則A的行向量組線性無關(guān)

D)46=。,且〃(4)=〃2,則8的任意s+1個行向量必線性相關(guān)

(3)設(shè)…是4x=0的基礎(chǔ)解系，則在下列向量組中也是基礎(chǔ)解系的是()。

A)%3,…，

B)7,7+%，7H，…，％+72+??,+*

O7+%,7—小，7+3小，/，/，…，〃…

D)與7,%，…，么一等價的向量組%,%，??，a?

(4)已知二次型f=X；+x；+5xj+2txtx2-2X,X3+4X2X3是正定的，則t的取值范圍是

()。

44

(A)f〉0(B)/<0(C)——<Z<0(D)0<Z<-

55

(5)若〃階矩陣A、B、。滿足A8=CB,則必有()o

(A)A=C(B)B=0

(C)r(AB)=r(C)(D)若A、B、C皆可逆，則甲同

3)(9分)設(shè)線性方程組

ax+y+z=4

<x+by+z=3

x+2by+z=4

問a、匕取何值時，下列方程組無解、有唯一解，有無限多組解，試寫出無限多組解的通解

表達(dá)式。

4)(9分)給定兩組向量，%,。2，。3；夕I，夕2,43其中

1

a,-0

-1

--f

A=0

0

(1)試證a,,a2,a3及1，區(qū),A分別線性無關(guān);

(2)設(shè)A=B=若有

A=BC

問C是否可逆？若可逆，求出。一|.

5)(9分)給出四個〃維向量組

(A)(B)al,a2,a3,cx4；

(C)ai,a2,ai,a5；(D)ai,a2,ai,a5-a4.

設(shè)已知組（A）與（B）的秩均為3,而組（C）的秩為4,試問向量組（D）的秩等于多少？為

什么？

6）（9分）設(shè)二次曲面的方程

axy+2xz+2hyz=1（a>0）

經(jīng)正交變換

一J飛一

y=QH

_z\匕

化成

片+"-242=1

求。、。的值及正交矩陣。。

7）（9分）設(shè)A是一已知的”階矩陣，滿足=A,試證2/-A可逆,并求出（21-4尸。

8）（6+6=12分）計算行列式

Xy0???00

1-11x-1

0Xy-■■00

1—1x+1-1

⑴=;(2)Dn=

1尤一11-1

000一Xy

X+1-11-1

y0o???0X

9）（8分）已知A是任一〃階方陣，試證：若有〃維向量尤*使

A"x*=0（切\(zhòng)*

則向量組

x*,Ax*,A2x*A"“x*

必線性無關(guān)。

三、試卷三

1）判定下列命題是否正確，若正確在括號內(nèi)填上“/'；若不正確，在括號內(nèi)填上“x”（每

題3分，共12分）

（1）設(shè)A為三階實(shí)對稱陣，其特征值為1,2,3,則A為正定。（）

（2）設(shè)/=[2,1,-2]r,a2=[3,2,-2]r,a3=[2,2,，貝ij{ala?,",}

為R3的一個基。（）

（3）設(shè)A為機(jī)x〃階矩陣，2,…，3為Ax=0的左個線性無關(guān)的解向量，則

片,片,…是=。的一個基礎(chǔ)解系。（）

（4）若線性相關(guān)，a?,a、"*線性無關(guān)，則a4一定不能由",a?,1'線性表出。

（）

2）填空題（每空3分，共15分）

'010'

⑴設(shè)A=002，則|2川=，，|=:（A*為A

300

的轉(zhuǎn)置伴隨陣），AT=。

（2）設(shè)a,/?是兩個正交的〃維（非零）列向量，4=明「則?屋）二_____（k>2\

ab

（3）設(shè)4=是正交陣，則ac+/?d=o

3）（10分）設(shè)。，。為實(shí)數(shù)，計算下列〃階行列式

aa???ab

aaha

ah???aa

haaa

4）（15分）討論下列方程組

3x}-3X2+4X3=3

<2xl-x2+AX3=6

-X]+2X2+3X3=B

在4、8取何值時，無解，有唯一解，有無窮多解；并求出當(dāng)方程有無窮多解時的通解。

5）（8分）若已知A與8相似，且

-i%r'00o-

A=x1y,B二012

Jyi.002

試求A中的元素x與y之值。

6）（10分）

32「221'

設(shè)4=432,B=322,試求矩陣X,使得等式AX=BX+A+B成立。

543432

7)(10分)

已知[1,-1,o]'是二次型g（X],X2，*3）=CX：+x；+2X1%2+2X/3+2公2*3的矩陣A

之特征向量，試求出化該二次型成標(biāo)準(zhǔn)型的正交變換。

8）（12分）已知"階矩陣A、B滿足A+B=A8。

（1）試證A-/為可逆陣，其中/為〃階單位陣；

（2）試證必有AB=BA；

-1-30'

(3)若B210,試求出A。

002

9）（8分）設(shè)4、B是兩個〃階矩陣，A8=BA且A有〃個兩兩不相等的特征值，試證:

（1）A的每個特征向量必是6的特征向量，（2）8一定可對角化。

四、試卷四

1）（8分）已知向量g是4一1的特征向量，試求左的值，其中

丁-2ir

S=k,A=121

1112

2）（6分X3=18分）計算題

（1）求出9階行列式。的值:

199…9

929…9

993…9

9999

101

(2)設(shè)矩陣A=026滿足AX+/=A2+x,求矩陣X。

161

(3)已知向量

試求與ala?,]'都正交的全部向量。

3)(3分X5=15分)填空題

12-2

(1)已知矩陣4=4t3的列向量線性相關(guān)，貝

3-11

(2)已知A、8均是三階的非零陣，r(A)=2,AB=O,WJr(5)=

aa100

\\\2。13

(3)尢iA—。21a22a23,=010,則尸AP=o

_〃31a32033_101

(4)加=H是R3的一組基，則向量=]，在這組基下

的坐標(biāo)是

(5)已知A是三階方陣，detA=3,則A*的行列式值為?

4)(3分X5=15分)選擇題

(1)〃階矩陣A有〃個不同的特征值是4與對角陣相似的()。

(A)充分必要條件(B)充分但不是必要的條件

(C)必要但不是充分的條件(D)既非充分也不必要的條件

(2)〃階矩陣A、B,下列各式中必成立的是()o

(A)(A+B)2=A2+AB+BA+B2

(B)(A+B)(A-B)=A2+B2

(C)(A-B)2=A2-2AB+B2

(D)(A+8)2=A2+2AB+B2

(3)設(shè)已知z/,〃2是mx〃線性方程組Ax=Ag。0)的兩個解，貝ij()

(A)r/'+〃2是Ax=0的解(B)"是4x=Z?的解

(C)7；1+〃2是4》=6的解(D)〃|-〃2是4*=0的解

⑷若n階矩陣A.B均可逆，AXB=CWJ()

(A)X=A''B-'C(B)X^A-'CB-'

(C)X^CB-'A-1(D)X=B-'CA-'

⑸設(shè)4,4是n階矩陣A的兩個特征值,其對應(yīng)的特征向量分別是ala?,且已知

%=h0,則()

(A)篦+a2是A的特征向量(B)力一是人的特征向量

(C)#是A2的特征向量(D)〃不是A?的特征向量

5)(12分)試對下列方程組討論參數(shù)取何值時無解，取何值時有解并在有解的情況下求

出其解。

2.+(4—k)x?——7

<(2—左)X]+2x2=—3

2.+5X2=k-6

6)(10分)試求三階正交矩陣。，使正交變換能將二次型

/(%)X2X3)=+2%]13

化成標(biāo)準(zhǔn)型。

1a-3

7）（10分）已知矩陣A=-14-3的特征方程有重根，試求出a的一切可能值，并

1-25

分別說明a取各可能值時A能否對角化的理由。

8）（4分+8分=12分）證明題：

（1）已知A是n階寨零陣，既存在正整數(shù)k,使Ag。，試證/-A是可逆陣，其中/

是n階單位陣。

（2）設(shè)4,5分別是“X〃及"X"?矩陣（〃W機(jī)），已知45=5以及r（5）=n,試證A=/。

五、試卷五

1）選擇題

AA

（1）設(shè)人=1112為分塊矩陣，則AT=（）（3分）

_4]

⑵已知向量組四,。2，%，火線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是。（3分）

(A)a,+a2,a2+a3,a3+aA,aA+at

(B)of1-%,a,—-<Z)

(C)a,+a2,a2+a3,a,-a4,a4-a,

(D)a{+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a.

（3）設(shè)A是機(jī)X〃階矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下

列結(jié)論正確的是（）（3分）

（A）若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解

（B）若4*=。有非零解，則Ax%有無窮多解

（C）若4A■斗有無窮多解，則Ax=0僅有零解

（D）若4**有無窮多解，貝ijAx=。有非零解

（4）4，4都是n階矩陣A的特征值，4。幾2,且為,》2分別是對應(yīng)于4，42的特征向量，

當(dāng)()時，x-k,xt+k2x2必是A的特征向量。(3分)

(A)&=0且&2=0

(B)匕，0且火2Ho

(C)kxk2—0

(D)K，七中有且只有一個為零

(5)二次型f(尤1，%2"3)=2后一3君-4占無2+10X/3—12/％3的秩是()(3分)

(A)1(B)2(C)3(D)4

2)填空題

(1)已知四階行列式D中第三列元素依次為-1,2,0,1,它們的余子式分別為5,3,-7,

4,則D的值為。(3分)

-12'

(2)4=_]則與A可交換的所有二階方陣是---------(3分)

(3)設(shè)4x4矩陣A=[a,/2,/3,/4],BnS%，%，%]其中a/,%①，為均為四維列向

量，且已知行列式|A|=4,忸|=1,則k+B|=()(3分)

(4)當(dāng)4值取時,二次型/3,》2，》3)=5x；+x；+公；+4X]了2—2x/3—2》2犬3

是正定的。

(5)已知一個二次多項(xiàng)式/(x),使得〃1)=-1"(-1)=9,八2)=-3,則：

f(x)=(3分)

3)計算題

2+x222

22—x22

(1)計算行列式D=.（6分）

222+)，2

2222-y

1%0■-?00

-11—a2???00

0-11-。2-■■00

（2）求人=.(6分)

000■■-1-%T%

000-,—11一冊

（3）已知三階矩陣A可對角化且特征值為1,-1,2,設(shè)矩陣BUT-SA?,（10分）

試求：①矩陣力的特征值；②行列式忸|及|人一5/|（/為三階單位陣）.

F1"

（4）已知6,3,3是三階實(shí)對稱矩陣4的三個特征值，向量0,-2是屬于特征值3的

1J[1

兩個特征向量。

①求/的屬于特征值6的特征向量；②求矩陣4（10分）

⑸求出向量組9=[1,1,1,41%=[2,1,3,51。3=[1，-1，3，-2],0=[3,1,5,6]的極大線性無關(guān)

組，并把其余向量用極大線性無關(guān)組表出。（8分）

（6）已知n階矩陣Z滿足矩陣方程4-必-2/=0,其中4給定，而7"是單位陣，證明4可逆

且求不。（8分）

（7）①已知二次型/=-X；+3xl+3xj+ax2x^a>0）通過正交變換成標(biāo)準(zhǔn)形

ky；+2y；+4y；,試確定其中k及。的值;

②對①中二次型/,問b在什末范圍取值，使得4=/+公匹2+君+君）成為正定二次

型。（10分）

4）證明題

(1)設(shè)A為〃x〃矩陣且A2=A,證明r(A)+r(A—/)=〃。

（2）已知A是n階實(shí)對稱陣,滿足A?=0,試證4=。。

試卷答案及提示

一、試卷一答案及提示

-1111「「r'

C-l2-23

1)(1)155；(2),；(3)1；(4)；(5)1,2,-2

B-'08

2)(1)C；(2)B；(3)D；(4)D；(5)B

1

(1)22；(2)=5

3)xyq'-2

1

4)aw—l時，夕可唯一表示成勿,a2,加以4的線性組合，這時

2。+22

aI+------a-+—a3+0a4

a+1a+1〃+1

5)x+y=0o提示：4.2=1，要使A可對角化必須/（4一/）=1，求得x+y=0。

6)(1)無解。

14a\

1aa2a,3

因?yàn)?22=(a2-a,)(a-a,)(a-a)(a-a1)(a-a)(a-%)H0，故

2,33324424

1a3a3

,3

1?4a4

r(A:b)*r(A)。

(2)r(A)=2,〃=3,dimN(A)=1,故通解

7)(1)a=2。提示：|A|=444,即

o1

。o

-fl

o

后

（3）q為正定二次型，因?yàn)樘卣髦等笥诹恪?/p>

8）提示：取x==e.,由無,Ay=0可求得囪=0（/=1,2,…，幾，尸12…，〃）。

二、試卷二答案及提示

1)(1)7；(2)0；(3)63；(4)a=2,b=-1；(5)0

2)(1)C;(2)C;(3)B;(4)C;(5)D

3)aHl且時，方程組有唯一解；8=0時，方程組無解；。=1且〃時，方程組無

2

解；a=1且6=，時，方程組有無窮多解,

teR)。

2

4)(1)提示：證|四,&2，。3

011

(2)C-'=A''B=-1-3-2

I22

5)r(P)=4.提示：由r(A)=r(8)=3可知,可由必。2,巴唯一線性表出，即

a』=4/+4a2+4&3，而r(C)=4,且

100-4

o10-彳2

\a,a,a,a-4]=[4乃烏,巴

x235o0I

0001

100-4

010_“2

由于I/O,故r(O)="C)=4。

001

0001

11

-l

正f

V6

1Z1

力

o1。

--正f

6)f-1-V26正交陣。

一

。V66

提示：由，|4一/|=0,|4+2/|=0求”力。

A+I

7)(2/-A)-'.提示：(2/-A)(/+A)=2/+A-A22/。

2

8)(1)x4；(2)x"+(—l)"My"。

9)提示：用定義設(shè)4x*+4Ax*+…+43"-、*=0,兩邊左乘A"T,可得4A"--*=0,

則4=o，兩邊左乘人修，可得4A"'=o,則4=o,以此類推可得

4=0,(i=l,2「,〃)，故x*,Ax*,…,A"-'*線性無關(guān)。

三、試卷三答案及提示

1)(1)V;(2)X(3)X(4)V

00-

3

2)(1)48,36,100;(2)0;(3)0

0-0

2

n(w-l)

3)(—1)丁(b-ay-\b+(n-l)a].提示：全加到第一行。

4)AH7時方程組有唯一解；A=7且BW3,方程組無解；A=7且3=3時，方程組

5

有無窮多組解，解為x=t+4,(teR).

0

5)x=y=0提示：|A|=0JA—/|=0,|A—2/|=0.

542

6)212

221

7)c=0,d=1.4=—1,4=1+71%=1一行對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量分別為:

31

V2V2--1一

匹22

22

-111

-V2-

右-Tl

%=1,%=,。3=，Q=2

T2V2

0i1

[0痣—⑸—

8)(1)提示：(A-1)(B=A-IY1=B-I

(2)提示：(A-Z)(B-7)=;,(?-/)(A-/)=7

(3)A=——10提示：A=(B-iy'+1.

3

002

9)提示：設(shè)A。=貓j(i=1,2,…,〃)，且AB=BA知ABm=BA4=4B4,這時

B奴M0)也是屬于4的A的特征向量，由4。=互不相同知與$對應(yīng)成比

例。設(shè)比例系數(shù)為%,則即。也是8的特征向量。8。=0也成立。

(2)提示：4(?=1,2「-,〃)互不相同，則配…線性無關(guān)。

%

w2

8區(qū)名，…,。』=七苫2,…&』■,

?|

U-,

令P=歸,虞「，?！箍赡妫?

%」

四、試卷四答案及提示

1)k=［或一2

2)(1)9!o提示：最后一行乘(-1)加到前面幾行。

-2or

(2)X=036。

162

(加)0=0

-33

(3)x=L+%工出6k提示：v(a2)Tx=0，求解。

011212

(a3)rx=0

ijLuJ、

Q】1+"13”12卬3

a

3)(1)-3；(2)1;(3)。21+〃2322a23(4)(1,3,2);(5)9

_〃31+1+〃33+《3a32a\2133+a\3_

4)(1)B(2)A(3)D(4)B(5)C

5)k=-l時，方程組有唯一解，解為：；

x2]111_15_

k=\時，方程組有唯一解，解為：*-5

x21

k=12時，方程組有唯一解，解為：-1

2|_2

女。-1,1,12時，方程組為矛盾方程組，無解。

'oor

6)A=010,4.2=l，4=T，對應(yīng)的特征向量分別為

100

o_L

_L拒

VO2

Q1。

=正交陣，x=Qy,/=y；+y；_y.

oJ_-_1

V2V2

7)提示：|人一力|=(2-；1)(矛-8/l+10+a)

(1)若2是重根時，得a=2,可算得r(A—2/)=1,于是A對應(yīng)于二重特征值2的線

性無關(guān)的特征向量的個數(shù)應(yīng)該為3-r(A-2/)=2,故A可對角化。

(2)若2不是重根時，得a=6,得二重特征值為4,由r(A-4/)=2知"-r(A-4/)=1,

故A不可對角化。

8)⑴提示：A*=。知A的特征值全為零，則/一A的全部特征值為1,故=

所以/一A可逆。也可以用(/一A)(/+A+…+Ai)=/證明。

(2)由=8知(A-/)B=。，由r(B)=〃以及r(A—/)+r(B)〈〃知r(A-1)WO,

即4一/=0,即4=/。

五、試卷五答案及提示

1)(1)(B);⑵(D);(3)(D);⑷(D);⑸(C)

2)(1)-15；(2)a~2(：；(3)40；(4)2>2；(5)/(x)=x2-5x+3

cQ+2C

22

3)⑴xy;(2)1;(3)0)-4,-6,-12>②冏=-288,|A-5/|=-72;

(5)極大無關(guān)組四,a2，［3=2a2-3a?,a4=2a2-a,；

A

(6)4(A-3/)=21,A-'=;

(7)①a=2,k=-l;②。>l時，q為正定二次型。

4)(1)提示〃=r(/)<r(A)+r(I-A)=r(A)+r(A-/)《〃；

(2)提示：42=。，則4的特征值全為零，由人丁二人，則A可正交對角化，即

Q「AQ=A=。，由此可知A=QAQ「=0。

自我檢查題一

1)空題。

a]

⑴、：以1也，…也]=------------。

an

5200

2100

(2)、設(shè)A=,則內(nèi)=

001-2

0001

0?l00

00a2…0

⑶、設(shè)為H0,i=1,2,…，〃且A=

000an-\

%00…0

則I=_________

423

(4)、設(shè)人=110,且AB=A+2B,則B=

-123

-12-1

(5)、設(shè)X一X,則X=

-12--1

101

(6)、設(shè)A=020,長22為正整數(shù)，則4*-241=

101

101

⑺、若4=020則Q4+3/)T(A2-9/)=

001

(8)、已知A為n階矩陣，A可逆，則+A)(/+A)T](/+4)=

(9)、若對任意的nXl矩陣x均有Ax=0,則4=。

2)選擇題。

(1)設(shè)A、B均為n階方陣，則下面結(jié)論正確的是()。

(A)、若A或B可逆，則AB必可逆

(B)、若A或B不可逆，則AB必不可逆

(C)、若A、B均可逆，則A+B必可逆

(D)、若A、B均不可逆，若A+B必不可逆

(2)、設(shè)A、B均為n階方陣，若AB=O,且8。。，則必有()。

(A)B為不可逆陣(B)A為不可逆陣

(C)(A+5)2=A2+B2(D)A=O

(3)、設(shè)n階方陣A、B、C滿足46C=/,則必有()。

(A)ABC=1(B)CBA=I

(C)BAC=I(D)BCA=1

(4)、若n階矩陣A、B都可逆，且A3=R4,則下列()結(jié)論錯誤。

(A)^'B=BAT'(B)AB-'=B''A

(C)=B-'A''(D)BA-'=AB-'

“12at3〃23O10

63

(5)、設(shè)4=%[a22“23，，6=1O0

a

_°3132°33_。33—。23_001

設(shè)有=則巴=()。

-10-f-10f-10o-100

(A)010(B)010(C)010(D)010

001001-101101

(6)、設(shè)A為n階可逆矩陣，則()。

(A)若AB=CB,則A=C

(B)A總可以經(jīng)過初等變換化為/

(C)對矩陣(AJ)施行若干次初等變換，當(dāng)A變?yōu)?時，相應(yīng)的/變?yōu)锳T

(D)對矩陣施行若干次初等變換，當(dāng)A變?yōu)?時，相應(yīng)的/變?yōu)锳T

(7)、設(shè)A、8為同階可逆矩陣，貝IJ()。

(A)AB=BA

(B)存在可逆矩陣P,使尸一)尸=8

(C)存在可逆矩陣。，使C，AC=6

(D)存在可逆矩陣尸和Q,使尸4。=8

(8)、設(shè)A、8、A+B,AT+^T均為n階可逆矩陣，MO(7l-1+5-1)-1=()。

(A)A-'+B-'(B)A+B

(C)A(A+B)-'B(D)(A+B)-'

(9)、A、8都是n階可逆矩陣，且滿足(A6)2=/,則下列不成立的是()。

(A)A=B''(B)ABA=B~'

(C)BAB=/I-1(D)(BA)2=I

3)計算證明題

(1)、4個食品店均要進(jìn)同樣的兩種貨物，這兩種貨物的單價分別為伉，b2,已知各食品店

進(jìn)貨的批量，試用矩陣計算出各種進(jìn)貨的總價是多少？

-2

4,求A'd，；A2-B\

-1

23'

46,求(1)x7%；(2)A'(n為正整

69

數(shù))。

00

(4)、設(shè)人=140,求A"。

01A

(5)、設(shè)A為n階矩陣，⑸，…，片為A的列向量，試用月，/2,…，瓦表示AZ。

(6)、設(shè)A、8為n階可逆矩陣，且滿足

X+[82^BY'=X[A\BTAY'BTT'(A+B'')

求X。

(7)、設(shè)4、8是n階方陣，C=B\A+AI)B,B豐。.

(1)證明當(dāng)A為對稱矩陣時，。也為對稱矩陣；

(2)若A為反對稱矩陣，則4取何值時，C也為反對稱矩陣。

(8)、已知n階方陣A滿足川=4/,證明A-/,A—2/均可逆.

(9)、設(shè)A、8均為n階方陣，且8=8，A=I+B,證明A可逆，并求其逆。

100

(10)、已知=42A—6-AB=/，試證A-8可逆，若A=03-1，求矩陣8。

06-2

(11)、設(shè)/(x)=ao/+aj"i+…+飆_/+飆，又A為n階矩陣，如果?！笆?,且

/(A)=。，證明A可逆，并求A-二

(12)、已知n階方陣A可逆，a,力均為n維列向量，且1證明A+功"可

,十口r>T-1_4-1AA?

逆，且(A+a￡)=A