人教版高中數(shù)學知識點總結(jié)新

高中數(shù)學必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)

集.

（3）集合與元素間的關系

對象。與集合M的關系是QEM,或者awM,兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xlx具有的性質(zhì)｝,其中工為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的

集合叫做空集（0）.

[1.1.2]集合間的基本關系

（6）子集、其子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(DACA

AqB

A中的任一元素都屬(2)0^A

子集(或

于B(3)若AqB且87C,則AqC

或

8")

(4)若且則A=8

ACBA^B,且B中至(1)0UA(A為非空子集)

真子集

(或BZ>A)少有一元素不屬于A(2)若AuB且3uC,則4uC

工

A中的任一元素都屬

集合(l)ACB

A=B于B,B中的任一元

相等(2)BqA0

素都屬于A

(7)已知集合4有個元素，則它有2”個子集，它有2”—1個真子集，它有2”一1個非空子

集，它有2”一2非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運算

<8)交集、并集、補集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(i)AC\A=A

AM4,且

交集(2)Ap|0=0

xeB}GD

(3)AQB^A

(1)A\JA=A

A\JBA,或(2)A[J0=A

并集

xeB](3)AU82A

{x\xeU,Sjc^A]?An@A)=。

疫(An8)=(“A)U(78)U03@

補集七，4

^AU8：，=(〃A)n(%B)2AU&A)=U

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x|-a<xva}

Ix|>a(a>0)v-a或x>。}

把以+b看成一個整體，化成|x|va,

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|＞。（。＞0）型不等式來求解

（2）一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-44c

二次函數(shù)-4Lru

y=ar2+bx+c(a>0)

0X=?2

的圖象

一元二次方程

-b±\lb2-4ac

M,一b

ax2+bx+c=0（a>0）2aXy=Xj=~~~無實根

2a

(其中百<々)

的根

ax2+bx+c>0(a>0)

,,b、

{x|x<玉或x>/}R

2a

的解集

ax2+Z?x4-c<0(a>0)

{x\x{<x<x2}00

的解集

Ki.22函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設A、8是兩個非空的數(shù)集，加入按照某種對應法則對于集合A中任何一個數(shù)x,在

集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么這樣的對應（包括集合4,8以及A到3

的對應法則/）叫做集合4到B的一個函數(shù)，記作了:4—8.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則.

③只有定義域一樣，且對應法則也一樣的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設是兩個實數(shù)，且。<從滿足。</工人的實數(shù)X的集合叫做閉區(qū)間，記做［〃,勿；

滿足a<x<b的實數(shù)工的集合叫做開區(qū)間，記做（4,6）：滿足或的

實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做［a,b）,（a,切：滿足

實數(shù)工的集合分別記做［a,+a））,（a,+oo）,（-oo,b］,（-oo,b）.

注意：對于集合｛x|avxv?與區(qū)間伍,打，前者。可以大于或等于/?,而后者必須

a<b.

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①/（X）是整式時，定義域是全體實數(shù).

②/（X）是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③/（X）是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，k7r+^（kGZ）.

⑥零（負）指數(shù)箱的底數(shù)不能為零.

⑦若f（x）是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初

等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f（x）的定義域為［a,b］,其復合函數(shù)

/［gW］的定義域應由不等式a《g（x）4b解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是一樣的.事實上.加入在函數(shù)的值域中

存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)

是一樣的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得.到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函

數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關于1的二次方程

a(y)x2+Z;(y)x+c(y)=O,則在。(丫)。0時，由于為實數(shù)，故必須有

^=b2(y)-4a(y)^c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量

之間的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

(6)映射的概念

①設A、8是兩個集合，加入按照某種對應法則f,對于集合A中任何一個元素，在集合

3中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,8以及A到B的對應法則f)

叫做集合A到8的映射，記作7:A98.

②給定一個集合4到集合8的映射，旦.加入元素〃和元素b對應，那么我們把

元素b叫做元素。的象，元素。叫做元素〃的原象.

R1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

加入對于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義

個區(qū)間上的任意兩個自變(2)利用已知函數(shù)

量的值XI、X2,當卜時，

y\尸“f（x）/XJ的單調(diào)性

函數(shù)的

都有fZ)<f(x2),那么就(3)利用函數(shù)圖象

眄）1-

單調(diào)性

說f(x)在這個區(qū)間上是°X|x,X(在某個區(qū)間圖

增單孰象上升為增)

(4)利用復合函數(shù)

(1)利用定義

加入對于屬于定義域I內(nèi)某

(2)利用已知函數(shù)

個區(qū)間上的任意兩個自變

yy=f(x)的單調(diào)性

量的值X1、X2,當金

f(xj

(3)利用函數(shù)圖象

時，都有f(X1)>f(y?),

0X：X(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)間

象下降為減)

上是該再藜.

(4)利用復合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個

減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復合函數(shù)y=/[g(x)],令〃=g(x),若y=/(〃)為增，〃=g(x)為增.則

y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為減.u=g(x)為減,則y=f[g(x)]為增；若

(2)存在xoe7,使得.f(x())=M.那么，我們稱M是函數(shù)/(X)的最大值,

記作￡nax(x)=M.

②一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,加入存在實數(shù)加滿足：(D對于任意的xel,

都有了（X）之〃2;（2）存在不€/,使得.那么，我們稱m是函數(shù)/（幻的最

小值，記作篇x（x）=W.

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

加入對于函數(shù)f（x）定義域（1）利用定義（要先

內(nèi)任意一個X,都有！!一上.y判斷定義域是否關于

(a.f(a))

XT_

-f（x）.那么函數(shù)f（x）叫-a原占對稱）

oax

做奇邑數(shù)(-a.f(-a))<2）利用圖象（圖象

函數(shù)的關于原點對稱）

奇偶性加入對于函數(shù)f（x）定義域（1）利用定義（要先

內(nèi)任意一個X,都有f（yx）y判斷定義域是否關于

(-a.f(-a))-(a.f(a))

=f（x）,那么函數(shù)f（x）叫做原點對稱）

-aoax

倜國卻（2）利用圖象（圖象

關于y軸對稱）

②若函數(shù)/（幻為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f（0）=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性一樣，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個

偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函

數(shù).

工補充知識》函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)：④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、吊函數(shù)、三角函數(shù)等各

種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

〃左移。個單位

>0,>y=/(x+A)

y=/W人<0,右移I川個單位

,上移個單位

A>0A>>=/(%)+攵

y=fMA<0,下移|川個單位

②伸縮變換

。=/(幻與景祟->)'=/(血)

y=fM=

③對稱變換

y=f(x)^^y=-f(x)y=fM^^y=f(-x)

y=/&)原點>y=_/(T)

、、—去掉y軸左邊圖象

y~J保留y軸右邊圖象，并作其關于.、，軸對稱圖象>y=f(\x\)

_f(\_____保留x軸上方圖象、_if(\I

yv~JVv)將x軸下方圖象翻折上去>vytj⑴r?

(2)識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)

的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題

途徑，獲得.問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.12指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)霖的運算

（1）根式的概念

①加入尢"=4?！攴瞂￡尺〃>1,且〃wN+，那么X叫做。的〃次方根.當〃是奇數(shù)

時，。的〃次方根用符號布表示；當〃是偶數(shù)時，正數(shù)。的正的〃次方根用符號標表示,

負的〃次方根用符號一折表示：0的〃次方根是0；負數(shù)。沒有〃次方根.

②式子布叫做根式，這里也叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當〃為奇數(shù)時，。為任意實

數(shù)：當〃為偶數(shù)時，a>0.

③根式的性質(zhì)：（標）"=a：當〃為奇數(shù)時，值=a：當〃為偶數(shù)時，

(?>0)

=|41=?

(4<0)

（2）分數(shù)指數(shù)察的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)輒的意義是：=標募（〃>0,m,〃￡汽+，且〃>1）.o的正分數(shù)

指數(shù)吊等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)%的意義是：a(-)w=(。>0,6,〃eN+,且

/?>1）.。的負分數(shù)指數(shù)森沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

（3）分數(shù)指數(shù)箱的運算性質(zhì)

①。'?"=""(a>0,r,sGR)②(a)=ars(a>0,r,seR)

③(ab)‘=arbr(a>0,Z?>0,r€7?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=ax（a>0且aw1）叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<\

fxx

yty=o/\y=a'1y

J=I(0,1)

J(03)

0X0X

圖象

定義域R

值域(0,+oo)

過定點圖象過定點（0,1）,即當x=0時，y=\.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=l(x=0)ax=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>\(x<0)

〃變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高：在第二象限內(nèi)，Q越大圖象越低.

12.21對數(shù)函數(shù)

［2.2.1］對數(shù)與對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且〃/1),則x叫做以。為底N的對數(shù)，記作Jv=log“N,其中。叫

做底數(shù)，N叫做其數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“N=ax=N(a>0,。。1,N>0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

b

log.1=0,logfla=1,logaa=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即loggN；自然對數(shù)：InN,即log,N(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)加入〃>0,。工1,/>0,N>0,那么

M

①加法：logM+log.N=log(MN)②減法：log”M-logN=log—

N

③數(shù)乘：wlogMM=logHM"(neR)④

⑤log/AT=21og“MSH0,〃￡H)⑥換底公式：108“％=^^3>0,且人聲1)

"blogha

L2.2.2］對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log”x（a>0且aw1）叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<a<l

x=\

,廠1J=logX

aky=1嗚x

K

(1,0)

1/;(1,0)X1

圖象11r

定義域(0,-KXJ)

值域R

過定點圖象過定點（1,0）,即當x=l時,y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

k)g〃x>0(x>l)logflx<0(x>1)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)log(/x=0(x=l)

變化情況

logaA<0(0<X<1)log”x>0(0<x<l)

〃變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)：〃越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，4越大圖象越貂高.

(6)反函數(shù)的概念

設函數(shù)y=f(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=f(x)中解出x,得?式子

x=Q(y)?加入對于y在C中的任何一個值，通過式子x=0(y),x在4中都有唯?確定的

值和它對應，那么式子x=0(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=°(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反

函數(shù)，記作x=/T(y),習慣上改寫成y=/7(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/7(y)：

③將x=7"(y)改寫成)，=7""),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(x)與反函數(shù)y=(x)的圖象關于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別為其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若尸(。,㈤在原函數(shù)＞=/(%)的圖象上，則P'(b,〃)在反函數(shù)y=/T(x)的圖象

上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.31嘉函數(shù)

(1)耗函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x0叫做幕函數(shù)，其中X為自變量，。是常數(shù).

（3）吊函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：箱函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.吊函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布

在第一、二象限（圖象關于y軸對稱）：是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關于原點對稱）：

是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在笫一象限.

②過定點：所有的事函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③單調(diào)性：加入a>0,則塞函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數(shù).加入a<0,則箱

函數(shù)的圖象在（0,+8）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近工軸與y軸.

④奇偶性：當a為奇數(shù)時，轅函數(shù)為奇函數(shù),當a為偶數(shù)時，轅函數(shù)為偶函數(shù).當。=：（其中

￡

p,q互質(zhì),p和qeZ）,若p為奇數(shù)夕為奇數(shù)時，則丁二工'是奇函數(shù)，若〃為奇數(shù)夕為

偶數(shù)時，則y=xP是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則丁=%〃是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：凝函數(shù)丫=V\工￡（0,+8）,當a〉l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方,

若工>1,其圖象在直線y=x上方，當avl時，若0<xvl,其圖象在直線y=x上方,

若x>l,其圖象在直線y=x下方.

R補充知識》二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：f（x）=ax2+bx+c（a豐0）②頂點式：f（x）=a（x-h）2+%（〃工0）③兩根式：

f（x）=a［x-x^x-x^a0）：2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/（X）更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

對稱軸方程為x=-2,頂點坐

①二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0）圖象是一條拋物線,

2a

b4ac-b2

標是X-"Z-)

2a4a

②當。>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在［-2,將）上遞增，當

2a2a

Acic—b2b

x=時,

fminM=---------；當。<°時，拋物線開口向下，函數(shù)在（-00,——］上遞增,

2a4a2a

??A1^2

在［一五上遞減‘當A一五時’人⑴=苫1

③二次函數(shù)/（幻=辦2+法+以。=0）當八=/?2—4。（?>0時，圖象與K軸有兩個交點

MgO）M（孫0）,1MMIHXF|=---

㈤

（4）一元二次方程依2+辰+6=03。0）根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，

但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）

的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設一元二次方程雙2+灰+。=（）（〃。0）的兩實根為xpx2,且不4吃.令

f（x}=ax1+bx+c,從以下匹個方面來分析此類問題：①開口方向：。②對稱軸位置：

x=-—③判別式：△④端點的數(shù)值符號.

2a

①&VxWx2<=>

③為VRVX2。af(k)<0

④左VgW即V&2O

⑤有且僅有一個根為（或臬）滿足LVM（或臬）V他<=>/U：/優(yōu)）<0,并同時考慮

/優(yōu)）=0或/出）=0這兩種情況是否也符合

@/：i<X\<k>^：pi<x2<i>：<=>

此結(jié)論可直接山⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=公2+bx+c(〃wO)在閉區(qū)間［p,g］上的最值

設f(x)在區(qū)間［p,g］上的最大值為M,最小值為加，令人)=g(p+q).

(I)當。＞0時(開口向上)

③若一2>q,則

①若一--<p,則m=/(〃)②若---則加=/(一--)

2a2a2a2a

m=f(q)

③若一二＞夕，則

2a

第三章函數(shù)的應用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)丫=f(x)(xeD),把使/(x)=0成立的實數(shù)x叫做函

數(shù)y=f(x)(x￡￡>)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=O實數(shù)根，亦即函數(shù)

y=/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程f(x)=0有實數(shù)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點o函數(shù)y=/(x)有零

點.

3、函數(shù)零點的求法:

求函數(shù)y=f(x)的零點：

①(代數(shù)法)求方程f(x)=O的實數(shù)根：

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來,

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0).

1)A>o,方程ar?+法+。=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,

二次函數(shù)有兩個零點.

2)△=(),方程a?+"+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有

一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)A<o,方程依2+版+。=0無實根，二次函數(shù)的圖象與X粕無交點，二次函數(shù)

無零點.

高中數(shù)學必修2知識點

第一章空間幾何體

L1柱、錐、臺、球的結(jié)構特征

L2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3立觀圖：斜二測畫法

4斜：測畫法的步驟:

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸:

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,Z軸的線長度不變;

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（-）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積S=2加+2獷23圓錐的表面積S=/zr/+9*2

4圓臺的表面積S="/+*2+成/+成25球的表面積S=4成2

（-）空間幾何體的體積

2錐體的體積V=gs底

1柱體的體積V=S底X/7

V=；（S上+及W；+S下）x/z

3臺體的體積4球體的體積V=-7tRy

3

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2

倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四

邊形的四個頂點或者相正確的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

（1）公理1:加入一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此邛?面內(nèi)

符號表示為

C/L/

BeLJ=>LaL---------------'

AGa

Bea

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。?/

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,

使A￡a、Bea.Q。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3:加入兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直

符號表示為：peaA3=>an(3=L,且PEL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系:

{W交直線：同一平面內(nèi),

共面直線有且只有一個公共點:

平行直線：同一平面內(nèi),沒有公共點;

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點。

2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設a、b、c是三條直線

a〃b}->a〃c

c〃b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中加入兩個角的兩邊分別對應平行，