新定義型幾何圖形問題（解析版） -2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

備戰(zhàn)2021年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題09新定義型幾何圖形問題

【專題訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2020?河南信陽市?八年級(jí)期末)如圖1,我們把對(duì)?角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是.

(2)性質(zhì)探究：如圖2,已知四邊形A6CD是垂美四邊形，試探究其兩組對(duì)邊A&CD與BC,之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出

證明過程.

(3)問題解決：如圖3,分別以mAACS的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形ACFG和正方形A8DE,連接CE,BG,

GE,CE交A6于點(diǎn)M,已知AC=4,AB=5,求GE的長.

【答案】

(I)菱形，正方形.

(2)AD^B^A^+CI^.

證明：連接AC,BD,設(shè)其交點(diǎn)為E.

圖2

???四邊形48co是垂美四邊形,

：.AC±BD,

即N4￡D=ZAEB=￡BECMCED=90\

由勾股定理，得Af^+BGM^+D^+B^+CE2,AB'CgAE+BP+CR+DE2,

」.ADMCJA￥+CD2.

(3)連接CG,BE.

圖3

???ZC1G=ZBAE=90°,

ZCAG+zBAC=Z.BAE+Z.BAC,

即NGAB=ZCAE.

於△

在^GABfllACAE中，AG=AC,ZGAB=，CAE,AB=AEt△GACAE.

ZABG=CAEC.

又??.NAEC+ZAME=90°,

ZABG+NAME=90°.

又?「ZBMC=ZAME,

zABG+Z.8MC=90°.

CE1BG,

四邊形CG￡8是垂美四邊形.

由（2）,得CG'BE^CBlGEL

VAC=4,AB=5,

由勾股定理，得CB2=9,C&=32,8守=50,

G^CCr+B^-CB2^.

GE=T73.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2020.洪澤外國語中學(xué)八年級(jí)月考)如果三角形的兩個(gè)內(nèi)知這與萬滿足a-*=90。，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三

角形

(1)若AABC是“準(zhǔn)互余三角形"，ZA>90%N8=20。，求NC的度數(shù)：

(2)如圖①，在^AA8c中，zB4C=90\AB=4,BC=5,點(diǎn)。是SC延長線上一點(diǎn).若△48。是“準(zhǔn)互余三角形”，求

8的長；

(3)如圖②，在四邊形A5CD中，AC,3D是對(duì)角線，AC=4,CD=5,ZBAC=90°,1ACD=2z.ABC,且△ACD是“準(zhǔn)

互余三角形”，求80的長.

【答案】

解：（1）;△4BC是“準(zhǔn)互余三角形“，ZA>90°,Z5=20%

若NAW8=90。，則NA=110。，

/.zC=180°-110o-20o=50%

若NA-NC=90°,

.ZA+NB+ZC=180°,

zC=35。：

故zC=50?；?5?；

(2).N助。=90。，48=4,BC=5,AC=7BC2-AB2V25-16=3>

「△ABO是“準(zhǔn)互余三角形”，N84D-N8=90。，或N840-NADZ?=90。，

當(dāng)NBAD-zADB=90a,/.ZBAC+ZCAD-Z,08=90°,zCAD=ZADB,

?.AC=CO=3;

當(dāng)N加O-N6=90°,..NBAC+NCAD-NBngO。，

CDADAC

ZAZ)C=NBDA,：.△ADC-△BDA,

CDAD345

——=-----------=—,CD=一；

ADCD+547

(3)如圖，符AAEC沿BC翻折得到AE8C,

CE=AC=4,zBCA=￡BCE,ZCBA=Z.CUE,zE=ZBAC=90°,

：.zABE+z.ACE=180°,/Z4c￡>=2/ABC=ZABE,

.,.NACD+NACE=180。，.?.點(diǎn)O,點(diǎn)C,點(diǎn)E三點(diǎn)共線，

.Z5CD=ZACD+ZACB=2AA8C+NAC6=90°+NABC,

..ZBCD-ZC8￡>=90。，BCD是"準(zhǔn)互余三角形"，,ZBCD-ZCDB=9C,

900+ZABC-ZCDB=90°,/.ZCDB=NABC=Z.EBC,

CEBE4BE

又N￡=/E,△CEB-△BED,；.~BE~~ED即——=——BE=6,

BE9

BD=JBE?+DE?=736+81=3舊

【點(diǎn)睛】

本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，理解"準(zhǔn)互余三角形”的定義并能運(yùn)

用是本題的關(guān)鍵.

3.（2020?湖南懷化市?中考真題）定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

（1）下面四邊形是垂等四邊形的是（填序號(hào)）

①平行四i力形：②矩形：③菱形：④正方形

（2）圖形判定：如圖1,在四邊形ABCZ）中，ADIIBC，ACIBD^過點(diǎn)。作BO垂線交sc的延長線于點(diǎn)七，且

/DBC=45。，證明：四邊形A3CO是垂等四邊形.

（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形

A3CD內(nèi)接于€）0中，ZBCD=60°.求。。的半徑.

【答案】

（1）①平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不垂直和相等，故不是：②矩形對(duì)角線相等但不垂直：③菱形的對(duì)角線互相垂直但

不相等：④正方形的對(duì)角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

⑵AC1BD.ED1.BD

ACWDE,

又ADHBC.

四邊形AOEC是平行四邊形，

AC=DE,

又NDBC=45。，

△以犯是等腰直角三角形，

BD=DE,

BD=AC,

一?四邊形A8CD是垂等四邊形.

(3)如圖，過點(diǎn)。作OE_L3O,

-------

圖2

---四邊形ABC。是垂等四邊形，

AC=BD.

又?一垂等四邊形的面積是24,,根據(jù)垂等四邊形的面積計(jì)算方法得:

AC=BD=46,

又ZBCD=60°

ZDOE=60°.

設(shè)半徑為「，根據(jù)垂徑定理可得:

在△ODE中，OD=r,DE=?6，

DE2囪，

r=_______——4

sin600由,

~2

口。的半徑為4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了四邊形性質(zhì)與圓的垂徑定理應(yīng)用，準(zhǔn)確理解新定義的垂等四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?內(nèi)蒙古通遼市?九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

⑴概念理解：如圖2,在四邊形ABC。中，A8=AD,C8=CZ>,問四邊形A5CZ）是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由;

⑵性質(zhì)探究：如圖1,四邊形48co的對(duì)角線4C,3。交于點(diǎn)0，ACVBD.

試證明：AB1+CD1=AD2+BC2^

⑶解快問題：如圖3,分別以RtNiACB的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形，CFG和正方形A8OE，連結(jié)

CE,8G,GE.已知NC4B=30°,CB=1,求GE的長.

圖1圖2圖3

【答案】

解：（1）是

理由：?.?4）=4?，

A在8。的乖H平分線上.

CD=CB

.-.。在80的垂直平分線上.

AC垂直平分80.

四邊形ABCD為垂美四邊形.

(2)如圖2,連接4。和6￡),

vACABD,

AH2=AO2+BO2?

DC2=CO2^CO2^

AD2=AO2+DO2

BC2=BO2+CO2

AB2+DC2=AO2+BO2+CO2+DO2

BC2+AD2=BO2+CO2+AO2+DO2

AB2+DC2=BC2+AD2

(3)連接CG、BE,

?/ZCAG=ZB4￡=90%

ZC4G+Z84C=N84E+NBAC,即NGAB=4CAE,

在4648和4CAE1中,

AG=AC

，NGAB=乙CAE.

AB=AE

：.△GAB^△CAE(SAS),

：.ZABG=NAEC,又NAEC+ZAME=90°,

zA8G+NAME=90°,即CELBG,

四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得，CG+BE=CB0G*

.ZCAB=30°,CB=l,

??.AC=7J,48=2,CG=娓,BE=2y/2'

GE^CC^+BR-CBjg,

GE=V13.

圖3

【點(diǎn)晴】

本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活

運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)犍.

5.（2019?河南九年級(jí)其他模擬）若4ABC繞點(diǎn)、A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a后，與^ADE構(gòu)成位似圖形，則我們稱4AB*AAQE互為"旋

轉(zhuǎn)位似圖形

D

圖①圖②

(1)知識(shí)理解：

如圖1,△A8C與AAOE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.

①若Q=25。，N0=100。，ZC=28%MzBAE=；

②若4D=6,DE=7,AB=4,則8C=

(2)知識(shí)運(yùn)用:

如圖2,在四邊形A8co中，NAOC=90。，AE_L8。于點(diǎn)￡z.DAC=￡DBC,求證：△4C。與△A8E互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.

(3)拓展提高：

如圖3,AABG為等邊三角形，點(diǎn)C為4G的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是A8邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為C尸延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段C尸

DE

上，且△A8O與AACE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.若A8=6,AD=4,求——的值.

CE

【答案】

(I)?V△ABC和^ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，

△ABC^△ADE,

/.ZD=Z8=100。，

又a=25°,N￡=28"?

zBAE=m0-100°-25°-28°=27°：

②:&ABC-△ADE,

BCAB

~DE~^D

.40=6,DE=1,48=4,

BC_4

??,

76

故答案為：27。：一；

3

(2)-.1ZD0A=ZCOB,ZDAC=ZDBC,

△DOAsACOB,

AODOAOBO

-----,即Qi-------=------

~B0CODOCO

又.../￡)"=/408,

△AOBs△DOC,

：.ZDC4=ZEBA,

又「NAOC=90°,AELBD,

?.NAOC=NAEB=90。，

△ABE^&ACD,

/.zDAC=ZEAB,

1?.△AEB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)NDAE的度數(shù)后與△ADC構(gòu)成位似圖形,

△AC。和互為"旋轉(zhuǎn)位似圖形”：

11

(3)AC=——AG=—AB=3,

22

ECACAE_1

由題意得

:~BD~~AB~~AD~2

---40=4,

AE=2,

,：zDAE=z.FAC=60°,

1

cos乙DAE=cos601t=—,

2

ZDEA=90°,

??由勾股定理可得CE=y]AC2-AE2=正4=逐，

DE=AE?tanZ.DAE=2yf^,

DE_2y[32y[i5

~CE~l/5~~r~

【點(diǎn)睛】

本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用.在解

答時(shí)添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對(duì)應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵.

6.（2020?常州市第二十四中學(xué)九年級(jí)期中）若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個(gè)三角形為“弱等腰三

角形”，這條角平分線叫做這個(gè)三角形的“弱線"，如圖①，AO是△A8C的角平分線，當(dāng)4O=A8時(shí)，則△A8c是“弱等腰三

角形”，線段A。是AABC的“弱線”.

（1）如圖②，在△48C中.ZB=60°,ZC=450.求證：△ABC是“弱等腰三角形”:

（2）如圖③，在矩形A8CD中，A8=3,BC=4.以8為圓心在矩形內(nèi)部作AE,交6c于點(diǎn)E,點(diǎn)F是AE上一點(diǎn)，連

結(jié)CF.且C尸與AE有另?個(gè)交點(diǎn)G?連結(jié)6G.當(dāng)BG是△6CT的“弱線”時(shí)，求CG的長.

(3)已知△ABC是“弱等腰三角形"，40是"弱線"，且A6=38。，求AC：6C的值.

【答案】

(1)證明：如圖②作A4BC的角平分線B。，交AC于。

1

?.乙DBC—NA6c=30°,

2

ZABC=60°,ZC=45\

?.NA=180°-ZABC-ZC=180°-60°-45*=75%

.ZADB=NOBC+NC=30.+45?=750,

NADB=AA,

：.BA=BD,

△A8C是“弱等腰三角形”：

(2)如圖③，連接EG,

8G是ASCF"的"弱線"，

BG平分NFBC,

NFBG=NGBE,

；BF=BE,BG=BG,

&BGF^&BGE(SAS),

ZBGF=NBGE,

.BG=BE,

ZBGE=￡BEG=—(180°-ZGBE),

2

二.N/GE=180°-NG8E,

.ZCGE=1800-NFGE,

NCGE=乙CBG,

■：ZGCE=ZBCG,

」.△GCE-△BCG,

CG_BC

~CE~~CG

?.CE=4-3=1,

CG2=CE?BC=M=4,

CG=2；

(3)①如圖④，當(dāng)48=4。時(shí)，在AC上取一點(diǎn)E,使得連接DE,

???AD是“弱線"，

.?人。是ZkABC的角平分線，

二NBAD=乙CADt

---AD=AD,

△ABD^△AED(SAS),

DE=BD,ZB=NAED,

■：AD=AB,

：.ZB=ZADB,

..ZAED=Z.ADB,

：.ZCED=1800-ZAED,Z4DC=1800-ZADB,

NCED=￡ADCt

NC=NC,

△ADC^△DEC,

CEDCDEBDJ_

~DC~~AC~~AD~~AB3

11

CE=-CD,CD=-AC,

33

1

CE=-AC,

9

139

/.CE=-AE=-BD,CD=3CE=-BD,

888

27

AC=9CE=—BD,

8

917

BC=BD+—BD=—BD,

88

..AC：8c=27：17；

②當(dāng)4C=A。時(shí)，如圖⑤，在45上取一點(diǎn)E,使4E=AC,連接。E,

DEBD1CD1]7

同理可得，------=-------=-，即-------=—，由上面計(jì)算可得，BC=-----CD,

ADAB3AC38

.AC=3CD,

..AC：6c=24：17.

【點(diǎn)睛】

考查了圓的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，解題關(guān)鍵

是正確的理解題意，并靈活運(yùn)用其性質(zhì)和判定.

7.（2020?江西撫州市?金溪一中九年級(jí)一模）定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5,那么稱這個(gè)三角

形為"準(zhǔn)黃金"三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底

（概念感知）

（1）如圖1,在口人〃。中，AC=12，BC=10.NACB=30。，試判斷是否是"準(zhǔn)黃金"三角形，請(qǐng)說明

理由.

（問題探究）

（2）如圖2,口4/C是"準(zhǔn)黃金"三角形，是"金底"，把LJA6C沿BC翻折得到△D8C，連4B接AD交的延長

AB

線于點(diǎn)上，若點(diǎn)c恰好走△ABD的重心，求一的值.

BC

（拓展提升）

（3）如圖3,“〃2，且直線/,與/2之間的距離為3,"準(zhǔn)黃金”□ABC的"金底"8C在直線/2上，點(diǎn)4在直線4上.空=巫

BC5

若NABC是鈍角，將NA5C繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。（0°〈二＜90。）得到丫4"。，線段AC交《于點(diǎn)D

①當(dāng)a=30。時(shí)，則8=；

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)8落在直線4上時(shí)，求——的值.

CD

【答案】

解：(1)□ABC也"準(zhǔn)黃金"三角形.

理由：如圖，過點(diǎn)A作AZ)_L8C于點(diǎn)。，

AC=12，ZACB=30°.

AD=-AC=6.

2

AD:BC=6:\0=3:5.

UA8c是"準(zhǔn)黃金"三角形.

(2)V點(diǎn)A,。關(guān)于8c對(duì)稱，

BELAD，AE=ED

.口ABC是"準(zhǔn)黃金"三角形，8c是“金底”,

AE:BC=3:5

不防設(shè)AE=3左，BC=5k，

.?點(diǎn)C為AAB。的重心，

BC:CE=2:\.

?5k"15k

CE=——.BE=----.

22

AR丫“、23則L

AB=.vl--2--J+(3k)=---2----k-

AB3回，-3曬

——=-------k:5k=-------

BC210

(3)①作AE_LAC于E,O『_LAC于兄如圖:

由題意得AE=3,

AE3

~BC=5

BC=5,

ABVio

=19

BC5

在&AABE中，由勾股定理得:

BE=7(V10)2-32=b

EC=l+5=6,

4。=打+62=36

.ZAEC=ZDM=90%ZACE=NDAF,

△ACE^△DAF,

DF_AE_3_}

~AF~~EC~~6~2,

設(shè)DF=x，則AF=2x,

NACD=30。，

CF=6X，

AC=(2+y/3)x=3>/5,

解得：DF=x=6小-3小

CD=2DF=12后-6岳

②如圖，過點(diǎn)4作AEJ_3c于點(diǎn)匕則AE=3.

..UABC是"準(zhǔn)黃金"三角形，8。是“金底〃，

AE:BC=3:5

BC=5.

,ABM

---=-,

BC5

AB=yf\O

BE=y/AB2-AE2=1-

CE=BE+BC=6AC=y/CE2+AE2=>/36+9=3x/5

分別過點(diǎn)3'，。作?G_L3C,DF1AC垂足分別為點(diǎn)G,F.

ZffGC=ZDFC=90°.B'G=3,CB'=CB==5,則CG=4.

NGCB'=NFCD=a，

AAFC^ADM.

DF:FC:CD=B'G:GC:CB'=3:4:5.

.?設(shè)Ob=3Z，F(xiàn)C=4k‘CD=5k

-?"〃2，

ZACE=ZC4D.且ZA￡C=Z/VD=90。.

AAEC^ADM.

DFAF

~AE~~EC

T=3后f解得人也

3610

.CD=5k=^~，AD=ylAF2+DF2

AD_2_3_3>/5

CO-3b一有一5

【點(diǎn)暗】

本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股

定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答.

8.(2020?江蘇南通市?八年級(jí)月考)定義：有一組對(duì)邊相等目這一組對(duì)邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做"等垂四邊形”.

(1)如圖①，四邊形A3C0與四邊形AEEG都是正方形，135°vNAEB<180。，求證：四邊形5EGO是"等垂

四邊形”；

(2)如圖②，四邊形A3CD是"等垂四邊形"，AOw/C，連接30,點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是A。，BC,8Q的中點(diǎn)，

連接EG,FG,EF.試判定口占巾的形狀，并證明；

(3)如圖③，四邊形ABC。是"等垂四邊形"，A￡>=4，BC=6,試求邊AB長的最小值.

【答案】

(1)如圖，延長BE,DG交于點(diǎn)”，

HG

B

.?四邊形ABCD叮四邊形AEFG都為正方形

AB=ADAE=AG>ZBAD=ZEAG=90°

ZBAE=ZDAG

△ABEgaADG(SAS).

BE=DGZABE=ZADG

ZABD+ADB=90°

ZABE-^ZEBD+ZADB=ZDBE+ZADB+ZADG=90°

即NEBD+NBDG=90。，ZBHD=90°.

BE±DG

又BE=DG,

四邊形5EGO是等垂四邊形.

<2)[lEFG是等腰直角三角形.

理由如下：如圖，延長5A,CO交于點(diǎn)〃，

H

四邊形A3CZ)是等垂四邊形，AD^BC

AB±CD^AB=CD

ZHBC+ZHCB=90°

??,點(diǎn)EtF,G分別是AD,BC,BD的中點(diǎn)

EG=-AB.GF=-CD.EG!/ABGF//DC

22

ZBFG=ZC-ZEGD=ZHBDEG=GF

?EGF?EGD?FGD?ABD?DBC?GFB=?ABD?DBC?C?HBC?HCB9（T

???□石FG是等腰直角三角形：

（3）如圖，延長84,8交于點(diǎn)”分別取4。,8。的中點(diǎn)上,/,連接HE,EF,HF,

22

由（2）可知［ZEFG也等腰直角：角形，

GE=GF=-AB

2

.-.EF=yjGE2+GF2=微A，蹲嚕1=與AB

AB=V2EF..A/2.

48最小值為J5?

【點(diǎn)睛】

本題是新定義類探究題，主要考查了等腰直角三用形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理，顰決本題需利用新定義，逐一討論,

解題中利用條件，構(gòu)造直角三角形是解題的美犍.

9.（2020?江西九年級(jí)?模）定義：兩條長度相等，且它們所在的直線互相垂宜的線段，我們稱其互為"等垂線段

知識(shí)應(yīng)用：在AABC和AAOE中，AC=BC,AE=DE,且AE<AC,NACB=NAED=90。,連接8D,點(diǎn)P是線段6。的中點(diǎn),

連接尸U.PF..

(1)如圖1,當(dāng)4E在線段AC上時(shí)，線段PC與線段PE是否互為“等垂線段”？請(qǐng)說明理由.

(2)如圖2,將圖1中的繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。落在邊上，請(qǐng)說明線段PC與線段PE互為“等垂線段”.

拓展延伸：(3)將圖1中的A4OE繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。，若BC=3,DE=1,求PC的值.

【答案】

解：⑴線段PC與線段PE互為“等垂線段

理由：如圖1，延長EP交BC于點(diǎn)尸.

.ZACB=ZAED=9O°,

DE//BC,

zFDP=zFHP

???點(diǎn)P是線段6。的中點(diǎn),

PB=PD.

ZPBF=4PDE

在UFBP和中，＜P8=PO

/BPF=4DPE

：^FBP^：EDP(ASA)

1

:.PF=PE=—EF,BF=DE.

2

JAC=BC,心O￡

AC-AE=BC-BF,即EC=FC.

又?「NAC8=90°,

△EFC是等腰直角三角形.

???EP=FP,

:,PC=PE,PC工PE,

」?線段PC與線段PE互為"等垂線段"：

(2)如圖2,作BF//DE,交EP的延長線于點(diǎn)F,連接CE,CF,

圖2

.DE/{BF,

：.ZEDP=Z.FBP.

???點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)、,

PB=PD.

NPBF=NPDE

布和AEDP中，?PB=PD

NBPF=NDPE

:MBPWEDP(ASA)

BF=DE,PE=PF=—EF.

2

「DE=AE,

：.BF=AE.

ZCAE=90°,Z4ED=90°,

ED]!AC.

???ED〃FB，

FB/lAC,

NCBF=ZACB=900,

：.ZCBF=CCAE.

BF=AE

在IFBC和DEAC中，{/C8F=NC4￡

BC=AC

：QFBC^：EAC(SAS)

CF=CE,zFCfi=ZECA.

.N4cB=90°,

/.ZFCE=90°,

△/CE是等腰直角三角形.

,JPE=PF,

：.PC±PE,PC=PE,

：.線段PC與線段PE互為“等垂線段”;

(3)如圖3

作BFI：DE,交"的延長線于點(diǎn)F，連接CE,CF,過點(diǎn)E作E〃_LAC交CA的延長線于點(diǎn)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為150。時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE=150%與8C所夾的銳角為30。，

ZFBC=NEAC=l50°.

■：DE/!BF,

：.ZEDP=NFBP.

.?.點(diǎn)戶是線段8。的中點(diǎn)，

PB=PD.

4PBF=/PDE

在DEB尸和△瓦用中，PB=PD

NBPF=/DPE

:1FBPWEDP(ASA)

1

BF=DE,PE=PF=—EF.

2

DE=AE,

：.BF=AE.

BF=AE

在口用。和DEAC中，NC5b=NC4E

BC=AC

:nFBC^EAC(SAS)

CF=CE,ZFCfi=ZECA.

?N476=90°,

ZFCE=90e,

二.A/CE是等腰直角三角形.

.PE=PF,

?.PC工PE,PC=PE=—EC.

2

在對(duì)UAHE中，ZE4”=30°,AE=DE=1,

..HE=-,AH=—.

22

又..4C=8C=3,

/.CH=AC+AH=3+—.

2

在放UCE”中，

由勾股定理得EC=JC〃2+E〃2=J(3+等y+(；)2=Jio+3j5.

PC=—EC=—xV10+3>/3=^2Q+6^--

222

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值是

基礎(chǔ)，能夠作出輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵.

10.(2020?沈陽市第一二六中學(xué)九年級(jí)月考)如圖1,平面內(nèi)有一點(diǎn)尸到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為小、PB、PC,若有

PA^PB^PC2則稱點(diǎn)P為匕ABC關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn).

(1)如圖2,在4x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的長均為1,點(diǎn)力、戾。、。、E、F、G均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)。是△ABC

關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)：在點(diǎn)E、F、G三點(diǎn)中只有點(diǎn)是AABC關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn).

(2)如圖3,E是矩形488內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。是AA8E關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)，

①求證：CE=CD；

②若ZM=OE,Z4EC=120%求NAOE的度數(shù).

(3)矩形A3CO中，48=5,8c=6,E是矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)C是△A8E關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)，若是等腰三角形，

直接寫出AE的長.

【答案】

(1),.DA2=l2+22=5,DB2=12+32=IO,DC2=DA1=5

DB^DC^+DA2

點(diǎn)D是4ABC關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn)

?「￡42=42+42=32,EB2=22+52=29,EG=4

.?.點(diǎn)E不是△ABC的勾股點(diǎn)

M2=32+42=25,FB2=22+42=20,FC2=l2+22=5

FA^FB^FC2

點(diǎn)”是△ABC關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)

G42=42+22=20,GB』22+3』13,6(^=22+22=8

.?.點(diǎn)G不是△ABC的勾股點(diǎn)

故答案：B；F.

(2)①證明：如圖3中，?.?點(diǎn)C是AABE關(guān)于點(diǎn)4的勾股點(diǎn)

CA2=CB2+CE?

四邊形ABC。是矩形

AB=CD,AD=BC,ZADC=90°

CA2=AD2+Cb2=CB2+CI>2

CB2+C￡2=CB2+CD2

/.CE=CD

②如圖3中，設(shè)/CM=a,WOzCDE=zCED=a

ZADE=z.ADC-ZCDE=90°-a

.ZAEC=120*

/.ZAED=Z.AEC-ZCED=120。-a

,JDA=DE

ZDA￡=zDEA=\20°-a

1.1ZDAE+ZDE4+ZADE=180°

.--2(120°-a)+(90°-a)=180。

解得：a=50°

Z4DE=900-500=40°

(3),矩形ABCD中，AB=5,?C=6

AD=BC=6,CD=AB=5

?.?點(diǎn)。是4ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)

CE=CD=5

i)如圖1,若DE=DA,PIODE=6

過點(diǎn)E作MALL4B于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)N

zAME=NMND=90°

???四邊形AMNO是矩形

MN=AD=6,AM=DN

設(shè)AM=DN=x,貝ljCN=CD-DN=5-x

；RsDEN中,E/V2+DN2=DE2；RsCEN中,E^W=CE?

DE2-D^2=CE2-CM

62-.?=52-(5-x)2

解得：x=—

5

—ME中，AE=>JAM2+ME2

2如圖2,若4E=OE,則E在AO的垂直平分線上

過點(diǎn)E作P01M。于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q

AP=DP=—AD=3,ZAPQ=APQC=9O0

2

四邊形CDPQ是矩形

..PQ=CD=5,CQ=PD=3

??.RsCQE中,EQ=ylcE2-CQ2=\l52-32=4

PE=PQ-EQ=\

■■■RmAPE中，AE=ylA^+PE2=V32+l2=Vio

iii）如圖3,若AE=AO=6,則4爐+口^=⑷^+5二^^

AZ4fC=90°

取AC中點(diǎn)O,則點(diǎn)A、8、Cs。在以O(shè)為圓心、。4為半徑的。O上

.,.點(diǎn)E也在OO上

?1?點(diǎn)E不在矩形4BCO內(nèi)部，不符合題意

綜上所述，若△ADE是等腰三角形，4E的長為或癡.

【點(diǎn)睛】

木題考查了對(duì)新概念的理解，首先根據(jù)題干理解勾股點(diǎn)的定義，本題還用到了矩形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，是

綜合性很強(qiáng)的一道題.

11.(2320?浙江寧波市?九年級(jí)零模)當(dāng)一個(gè)角冏定不變，而某種圖形在該角的內(nèi)部變化，則我們稱這個(gè)角為墻角.

(1)如圖1,墻角NO=30。，如果48=3,長度不變，在角內(nèi)滑動(dòng)，當(dāng)。4=6時(shí)，則求出此時(shí)08的長度.

(2)如圖2,墻角NO=30°,如果在AN的右邊作等邊△A5C，48=3,長度不變，滑動(dòng)過程中，請(qǐng)求出點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大

距離.

3

(3)如圖3,墻角sinO=g時(shí)，如果點(diǎn)E是NO-?條邊上的一個(gè)點(diǎn),NDEF=90°,其兩條邊與NO另?xiàng)l邊交于點(diǎn)尸

與點(diǎn)求”的最大值.

OD

圖2圖3

圖1

【答案】

(1)如圖1,過A點(diǎn)作AE_LO8,

圖1

Z0=30°,0A=6

/.AE=—OA=3

2

又人8=3,AE±OB

???8點(diǎn)與E點(diǎn)重合

OB=S#-AB?=3坦

(2)如圖2,在C點(diǎn)的另一側(cè)作等邊三角形A8。'，連接00',連接O'C交A8于點(diǎn)，則N4O'8=60。，以O(shè)'為圓心，

以3為半徑作圓，則A、8點(diǎn)在圓上，又因?yàn)?4。5=30。=l/4。'B,故。點(diǎn)在圓上，當(dāng)。、。'、C三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)。與

2

點(diǎn)c的距離最大.

圖2

「△ABC、AABO,為等邊三角形

二?四邊形AO'8C為菱形

13

O'C與A3互相垂直平分，AD=-AB=~.ZCAD=60°

22

-CD=ADtanZCAD=—

2

O'C=2CD=3+

當(dāng)。、。、c三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)c的最大距離為當(dāng)+0c=3+3j§

（3）如圖：過點(diǎn)尸做FG_LOE。點(diǎn)G,過點(diǎn)。做OH_LOE。點(diǎn)H,

ZDHE=NFGE=90°

3

sinO=-?設(shè)FG=3a，DH=3b,則OG=4a，OH=4b,GH=4b-4a(b>a)

NDEF=90。

ZDEH+NFEG=90%ZFEG+ZEFG=900

ZDEH=/EFG=

SFGEsAEHD

FG二GE

~EH~~DH

FG*DH=GE?EH

即9ab=GE(4b—4a—GE)

GE1-4(b-a)GE+9ab=0

△>0

\6(b-a)2-36ab>0

化簡后得到：(b-4a)(4b-a)>0

b>a-

4Z?-a>0.

b-4a>0

b>4a

■：FG//DH,

OFOG4aa1

----=----=—<----=—

ODOH4b4a4

【點(diǎn)睛】

本題考查的是新定義問題，綜合利用三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判斷、圓的性質(zhì)等解答，難度較大，正確的添加輔助線，

根據(jù)圓或相似三角形是解答的關(guān)鍵.

12.(2019?江西南昌市?八年級(jí)期中)如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做對(duì)垂四邊形.

觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,對(duì)垂四邊形A6C。四邊存在數(shù)量為：AD2+firi=A52+CZ)2.

應(yīng)用發(fā)現(xiàn)：如圖2,若AE,60是AABC的中線，AE±BD,垂足為。AC=4,BC=6,求A8=

應(yīng)用知識(shí)：如圖3,分別以股△ACB的直角邊47和斜邊48為邊向外作正方形ACFG和正方形A8OE,連接CE,BG,GE,

已知AC=0,A8=G求GE長.

拓展應(yīng)用：如圖4,在平行四邊形48CQ中，點(diǎn)E、F、G分別是A。，BC,8的中點(diǎn)，BE上EG,AD=4,AB=3,求Af?的長

圖1圖2圖3圖4

【答案】

應(yīng)用發(fā)現(xiàn)：

連接。E,如圖所示:

AE,8。是ZkABC的中線，AC=4,BC=6,

1-

?,AD-2,BE-3,DE--AB

2

1?,AE1BD,垂足為0,

???四邊形八BE。是對(duì)垂四邊形,

AB^D^AD^+BE1,

1

：.AB2+(-AB)9^22+32,

.A」后

5

應(yīng)用知識(shí)：

連接CG、BE,如圖所示:

D

AE

G

.ZCAG=ZB4E=90°,

/CAG+/RA「=/RAE"RAC.即/GAR=/CAE,

在乙GA8；fllACAE中，

AG=AC

<NGAB=NCAE,

AB=AE

△GA於△CAE,

zABG=NAEC,又NAEC+ZAME=90°,

ZA6G+NAME=90°,即CE工BG,

???四邊形CGEB是對(duì)垂四邊形，

/.CG+BRnC/+GR,

：AC=應(yīng)，AB=6

BC=，CG=d(yp^)2+(>/^)2=2,醛=)2+(6丫='

..22+(K)2=i2+GE2,

GE=3；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖，連接4C,EF交于H,4c與BE交于點(diǎn)。，設(shè)BE與A尸的交點(diǎn)為P,連接P訊

???點(diǎn)E、G分別是4Z8的中點(diǎn)

EGIIAC,

BEA.EG9

/.REIAC,

二?四邊形是對(duì)垂四邊形，

?二四邊形48co是平行四邊形，

ADWBC,AD=BC=4,

zEAH=ZFCH,

,?1E,尸分別是4。，8c的中點(diǎn)，

11

AE=—AD,BF=—BC,

22

cnJ

:.AE=BF—AD=2,

2

又「AEWBF,

???四邊形A6在是平行四邊形，

/.EF=AB=3,AP=PF,

???EP分別是△4所的中線，

在和^CFH中,

ZEAH=ZFCH

?ZAHE=ZFHC,

AE=CF

：.△AEHW△CFH(AAS),

EH=FH,

：.AH分別是A4FE的中線，

1113

.PH=-AE=\,EH=-EF=-AB=-,

2222

???四邊形AP”E是對(duì)垂四邊形，

Pff+AE'EFfi+AP?,

又.夕分別是AAFE的中線,

AF=1AP=y/\\.

【點(diǎn)睛】

考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾般定理的應(yīng)用，解題關(guān)植是正確理解對(duì)垂四邊形的定義和

靈活運(yùn)用勾股定理.

13.（2019?浙江杭州市?九年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊長的?半，則稱該三角形為“半高"三角形,

這條高稱為“半高

（1）如圖1,A4BC中，NACB=9O。，BC=2AC，點(diǎn)P在A8上，PO_L4C于點(diǎn)O，PE工BC千點(diǎn)E，

連接80，求證：ABDE是"半高”三角形;

（2）如圖2,AA3C是“半高”三角形，且8c邊上的高是"半高"，點(diǎn)尸在A8上，PQMBC交AC干點(diǎn)、Q，PM工BC

于點(diǎn)M，QN人BC于HN.

①請(qǐng)?zhí)骄?W，PM，CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；

②若AA3c的面積等于16,求MQ的最小值.

【答案】

解：（1）證明：由題意可證得APBE：］AA3C，

PEACI

BE=2PE，

由題意可證得四邊形CEPD為矩形，DC=PE

BE=2DC

△BDE是"半高"三角形.

（2）①BM+CN=2PM.理由如下：

如圖，過4作他_13。于E，交PQ于D

,?AABC是"半3"：角形，且邊上的高是"半高”，

BC=2AE

PQ//BC.

AAPQUAABC,

PQ=2AD,

BC-PQ=2（AE-AD）,

由題意可證得四邊形MNQP是矩形，石PQ=/WN.PM=DE=QN.

BC-MN=2PM，

即8W+CN=2PM.

②Swc=gBCxAE=：BC2=16,故8c=8，

設(shè)尸M=x，由①得PQ=8—2x,

MQ=(8-=^5x2-32x4-64=^5(x-y)2+y.

二.當(dāng)工=”時(shí)，MQ取得最小值白叵.

55

【點(diǎn)睛】

本題是三角形的綜合題，考查的是新定義：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形面積、勾股定理及新定

義的理解和運(yùn)用等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線解決問題.

14.(2020?江蘇揚(yáng)州市?八年級(jí)期中)閱讀下列材料：如圖(1),