數(shù)學(xué)分析試題與答案

《數(shù)學(xué)分析2》A試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分判斷題（每小題3分，共21分）(正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)矗駝t打叉)在連續(xù)，則在上的不定積分可表為（）.為連續(xù)函數(shù)，則（）.3.若絕對(duì)收斂，條件收斂，則必然條件收斂（）.4.若收斂，則必有級(jí)數(shù)收斂（）5.若與均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則也在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂（）.6.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂，則一定可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散于正無(wú)窮大（）.7.任何冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導(dǎo)數(shù)，并且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的新冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域與原冪級(jí)數(shù)相同（）.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）在上可積，則下限函數(shù)在上（）B.2.若在上可積，而在上僅有有限個(gè)點(diǎn)處與不相等，則（）A.在上一定不可積；B.在上一定可積,但是；C.在上一定可積，并且；D.在上的可積性不能確定.A.發(fā)散B.絕對(duì)收斂C.條件收斂D.不確定為任一項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則級(jí)數(shù)一定收斂；B.若，則級(jí)數(shù)一定收斂；C.若，則級(jí)數(shù)一定收斂；D.若，則級(jí)數(shù)一定發(fā)散；5.關(guān)于冪級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.在收斂區(qū)間上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的；B.在收斂域上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的；C.的和函數(shù)在收斂域上各點(diǎn)存在各階導(dǎo)數(shù)；D.在收斂域上是絕對(duì)并且一致收斂的；（每小題5分，共10分）1.2.四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）1.2.3.五.判別在數(shù)集D上的一致收斂性（每小題5分，共10分）1.2.六．已知一圓柱體的的半徑為R，經(jīng)過(guò)圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分）七.將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表面距離為10米，已知三角形底邊長(zhǎng)為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受的靜壓力。(本題滿分10分)八.證明：函數(shù)在上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).（本題滿分9分）2014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)分析2》B卷答案學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）三.求值與計(jì)算題（每小題5分，共10分）1.解：由于-------------------------3分而---------------------------------4分故由數(shù)列極限的迫斂性得：-------------------------------------5分2.設(shè)，求解：令得=----------------2分==-----------------------------------4分==---------------5分（每小題5分，共10分）1.解：-------3分且，由柯西判別法知，瑕積分收斂-------------------------5分2.解：有-----------------------------2分從而當(dāng)-------------------------------4分由比較判別法收斂----------------------------5分五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分）1.解：極限函數(shù)為-----------------------2分又--------3分從而故知該函數(shù)列在D上一致收斂.-------------------------5分2.解：因當(dāng)時(shí)，--------------2分而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，-----------------------------4分3.解：易知，級(jí)數(shù)的部分和序列一致有界，---2分而對(duì)是單調(diào)的，又由于，------------------4分所以在D上一致收斂于0，從而由狄利克雷判別法可知，該級(jí)數(shù)在D上一致收斂。------5分六.設(shè)平面區(qū)域D是由圓，拋物線及x軸所圍第一象限部分，求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分）解：解方程組得圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，---------------------------------------3分則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為：-------------------------------7分=------------------=------------------------------------------------------10分七.現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計(jì)），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分）解：以圓柱上頂面圓圓心為原點(diǎn)，豎直向下方向?yàn)閤軸正向建立直角坐標(biāo)系則分析可知做功微元為：--------------------------------5分故所求為：-------------------------------------8分=1250=12250（千焦）-----------------------------------10分八．設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與都絕對(duì)收斂，則在上絕對(duì)且一致收斂.（本題滿分9分）證明：是上的單調(diào)函數(shù)，所以有------------------------------4分又由與都絕對(duì)收斂，所以收斂，--------------------------------------7分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知：在2013---2014學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)分析2》A試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分判斷題（每小題2分，共16分）(正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉)在[a,b]上可導(dǎo)，則在[a,b]上可積.()在[a,b]上有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)，則在[a,b]上必不可積。（）均收斂，則一定條件收斂。（）在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則在區(qū)間I處處收斂（）為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（），且當(dāng)時(shí)有：，則級(jí)數(shù)必發(fā)散。（）以為周期，且在上可積，則的傅里葉系數(shù)為：（），則（）8.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內(nèi)閉一致收斂。（）單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.下列廣義積分中，收斂的積分是（）ABCD收斂是部分和有界的（）A必要條件B充分條件C充分必要條件D無(wú)關(guān)條件收斂的充要條件是（）A.單調(diào)有界C.部分和數(shù)列有上界D.則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=（）A.B.C.D.5.下列命題正確的是（）A在絕對(duì)收斂必一致收斂B在一致收斂必絕對(duì)收斂C若，則在必絕對(duì)收斂D在條件收斂必收斂6..若冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?則冪級(jí)數(shù)在上三.求值或計(jì)算（每題4分，共16分）；2.3．.在[0,1]上連續(xù)，求四.（16分）判別下列反常積分和級(jí)數(shù)的斂散性.1.；2.3.；4.五、判別函數(shù)序列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分，共10分）1.2.；六.應(yīng)用題型（14分）1.一容器的內(nèi)表面為由繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn)有水（），若再加水7（），問(wèn)水位升高了多少米？2.把由，x軸，y軸和直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積，并求滿足條件的.七．證明題型（10分）已知與均在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]上恒有，但不恒等于，證明：2013---2014學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)分析2》B試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分判斷題（每小題2分，共18分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)矗駝t打叉）而言，成立。（）在上連續(xù)，則必為在上的原函數(shù)。（）收斂，必有。（），則級(jí)數(shù)發(fā)散.在處收斂，則其在[-2,2]上一致收斂.（）在以a,b為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可積，則必有.（）在上有定義，則與級(jí)數(shù)同斂散.（）在任子區(qū)間可積，b為的暇點(diǎn)，則與同斂散.（）在上一致收斂，且存在，則.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.函數(shù)在上可積的必要條件是（）A連續(xù)B有界C無(wú)間斷點(diǎn)D有原函數(shù)2.下列說(shuō)法正確的是（）A.和收斂，也收斂B.和發(fā)散，發(fā)散C.收斂和發(fā)散，發(fā)散D.收斂和發(fā)散，發(fā)散3.在收斂于，且可導(dǎo)，則（）A.B.可導(dǎo)C.D.一致收斂，則必連續(xù)A.發(fā)散B.絕對(duì)收斂C.條件收斂D.不確定的收斂域?yàn)椋篈.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.D.三.求值與計(jì)算題（每小題4分，共16分）1.2.3.4.（每小題4分，共16分）1.；2.3..4.五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分）1.2.六.應(yīng)用題型（16分）及曲線所平面圖形的面積.表達(dá)為級(jí)數(shù)形式，并確定前多少項(xiàng)的和作為其近似，可使之誤差不超過(guò)十萬(wàn)分之一.（9分）證明：若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足：（ⅰ）；（ⅱ）在D上一致收斂.014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)分析2》A卷答案判斷題（每小題3分，共21分）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）B,C,C,D,A（每小題5分，共10分）1.解：原式==---------------------------2分=-------------------------3分==---------------------------5分2.原式=-------------------------------2分=--------------------4分=---------------------------5分四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）1.----------------------------2分且---------------------------------3分由柯西判別法知，收斂。---------5分-----4分故該級(jí)數(shù)收斂.-------------------------------5分3.解：由萊布尼茲判別法知，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂-----------2分又知其單調(diào)且有界，---------4分故由阿貝爾判別法知，級(jí)數(shù)收斂.--------------------------------5分五.1.解：極限函數(shù)為---------------------2分又---------------------------------4分故知該函數(shù)列在D上一致收斂.-----------5分2.解：因當(dāng)時(shí)，----------------------3分而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，-----------------------------4分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.---------------5分六．已知一圓柱體的的半徑為R，由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本題滿分10分）解:在底圓面上以所截直徑線為x軸，底圓的圓心為原點(diǎn)示坐標(biāo)系，過(guò)x處用垂直x軸的平面取截該立體，所得直角三角形的面積為：--------------------------------5分故所求立體的體積為：------------7分=-------10分七.解：建立圖示坐標(biāo)系(豎直方向?yàn)閤軸)則第一象限等腰邊的方程為------------------------------------3分壓力微元為：故所求為----------------------------------------7分------10分八.證明：每一項(xiàng)在上連續(xù)，又而收斂所以在上一致收斂，-------------------------------3分故由定理結(jié)論知在上連續(xù)，------------------------------5分再者而收斂所以在上一致收斂，結(jié)合在上的連續(xù)性可知在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).----------------9分2014---2015學(xué)年度第二學(xué)期《數(shù)學(xué)分析2》B試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）為偶函數(shù)，則必為奇函數(shù)（）.2.為符號(hào)函數(shù)，則上限函數(shù)y=在上連續(xù)（）.收斂，必有（）.在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則在區(qū)間I上處處收斂（）.在上內(nèi)閉一致收斂，則在上一致收斂（）.絕對(duì)收