2007考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析

一、選擇題：(本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是(A).(B).(C).(D).[B]【分析】利用已知無窮小量的等價(jià)代換公式，盡量將四個(gè)選項(xiàng)先轉(zhuǎn)化為其等價(jià)無窮小量，再進(jìn)行比較分析找出正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，有；；利用排除法知應(yīng)選(B).(2)曲線，漸近線的條數(shù)為(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[D]【分析】先找出無定義點(diǎn)，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線?！驹斀狻恳?yàn)?，所以為垂直漸近線；又，所以y=0為水平漸近線；進(jìn)一步，=，==，于是有斜漸近線：y=x.故應(yīng)選(D).(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[?3，?2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[?2，0]，[0，2]的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論正確的是(A).(B).(C).(D).[C]【分析】本題考查定積分的幾何意義，應(yīng)注意f(x)在不同區(qū)間段上的符號，從而搞清楚相應(yīng)積分與面積的關(guān)系?！驹斀狻扛鶕?jù)定積分的幾何意義，知F(2)為半徑是1的半圓面積：，F(xiàn)(3)是兩個(gè)半圓面積之差：=，因此應(yīng)選(C).(4)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(A)若存在，則f(0)=0.(B)若存在，則f(0)=0.(C)若存在，則存在.(D)若存在，則存在[D]【分析】本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運(yùn)算等進(jìn)行分析討論。【詳解】(A),(B)兩項(xiàng)中分母的極限為0，因此分子的極限也必須為0，均可推導(dǎo)出f(0)=0.若存在，則，可見(C)也正確，故應(yīng)選(D).事實(shí)上，可舉反例：在x=0處連續(xù)，且=存在，但在x=0處不可導(dǎo)。(5)設(shè)函數(shù)f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且令,則下列結(jié)論正確的是(A)若，則必收斂.(B)若，則必發(fā)散.(C)若，則必收斂.(D)若，則必發(fā)散.[D]【分析】可直接證明或利用反例通過排除法進(jìn)行討論。【詳解】設(shè)f(x)=,則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(C);設(shè)f(x)=,則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但收斂，排除(B);又若設(shè)，則f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(A).故應(yīng)選(D).(6)設(shè)曲線具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過第=2\*ROMANII象限內(nèi)的點(diǎn)M和第=4\*ROMANIV象限內(nèi)的點(diǎn)N，T為L上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列小于零的是(A).(B).(C).(D).[B]【分析】直接計(jì)算出四個(gè)積分的值，從而可確定正確選項(xiàng)?！驹斀狻吭O(shè)M、N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.先將曲線方程代入積分表達(dá)式，再計(jì)算有：;;;.故正確選項(xiàng)為(B).(7)設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(A).(B).(C).(D).[A]【詳解】用定義進(jìn)行判定:令，得.因線性無關(guān)，所以又，故上述齊次線性方程組有非零解,即線性相關(guān).類似可得(B),(C),(D)中的向量組都是線性無關(guān)的.(8)設(shè)矩陣,,則A與B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.[B]【詳解】由得A的特征值為0,3,3,而B的特征值為0,1,1,從而A與B不相似.又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正慣性指數(shù),因此A與B合同.故選(B).(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A)．(B).(C)．(D)．[C]【詳解】“第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標(biāo),前3次射擊中有1次命中目標(biāo),由獨(dú)立重復(fù)性知所求概率為：.故選(C).(10)設(shè)隨機(jī)變量(Ｘ,Ｙ)服從二維正態(tài)分布，且Ｘ與Ｙ不相關(guān)，分別表示Ｘ，Ｙ的概率密度，則在Ｙ＝y(tǒng)的條件下，Ｘ的條件概率密度為(A)．(B)．(C).(D)．[A]【詳解】因(Ｘ,Ｙ)服從二維正態(tài)分布，且Ｘ與Ｙ不相關(guān)，故Ｘ與Ｙ相互獨(dú)立，于是=.因此選(A).二、填空題：(11－16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上)(11)=【分析】先作變量代換，再分部積分。【詳解】=(12)設(shè)f(u,v)為二元可微函數(shù)，，則=【詳解】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式，有=(13)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù).【詳解】特征方程為，解得可見對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為設(shè)非齊次線性微分方程的特解為，代入非齊次方程可得k=?2.故通解為(14)設(shè)曲面，則=【詳解】由于曲面關(guān)于平面x=0對稱，因此=0.又曲面具有輪換對稱性，于是======(15)設(shè)矩陣,則的秩為1.【詳解】依矩陣乘法直接計(jì)算得,故r()=1.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為．【詳解】這是一個(gè)幾何概型,設(shè)x,y為所取的兩個(gè)數(shù),則樣本空間,記.故，其中分別表示A與的面積.三、解答題：(17－24小題，共86分.)(17)(本題滿分11分)求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值?！痉治觥坑捎贒為閉區(qū)域，在開區(qū)域內(nèi)按無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可?！驹斀狻恳?yàn)?，，解方程：得開區(qū)域內(nèi)的可能極值點(diǎn)為.其對應(yīng)函數(shù)值為又當(dāng)y=0時(shí)，在上的最大值為4，最小值為0.當(dāng)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得可能極值點(diǎn)：，其對應(yīng)函數(shù)值為比較函數(shù)值，知f(x,y)在區(qū)域D上的最大值為8，最小值為0.(18)(本題滿分10分)計(jì)算曲面積分其中為曲面的上側(cè)?！痉治觥勘绢}曲面不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【詳解】補(bǔ)充曲面：，取下側(cè).則=其中為與所圍成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域.由于區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，因此.又=其中.(19)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),證明：存在，使得【分析】需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理。事實(shí)上，若令，則問題轉(zhuǎn)化為證明,只需對用羅爾定理，關(guān)鍵是找到的端點(diǎn)函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn))，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一點(diǎn)，使得，則在區(qū)間上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點(diǎn)，再對用羅爾定理即可?！咀C明】構(gòu)造輔助函數(shù)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)具有相等的最大值,不妨設(shè)存在,使得，若，令,則若，因，從而存在，使在區(qū)間上分別利用羅爾定理知，存在，使得.再對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知存在，有，即(20)(本題滿分10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足(=1\*ROMANI)證明：(=2\*ROMANII)求y(x)的表達(dá)式.【分析】先將和函數(shù)求一階、二階導(dǎo)，再代入微分方程，引出系數(shù)之間的遞推關(guān)系。【詳解】(=1\*ROMANI)記y(x)=,則代入微分方程有即故有即(=2\*ROMANII)由初始條件知，于是根據(jù)遞推關(guān)系式有故y(x)===(21)(本題滿分11分)設(shè)線性方程組=1\*GB3①與方程=2\*GB3②有公共解，求a的值及所有公共解．【分析】兩個(gè)方程有公共解就是=1\*GB3①與=2\*GB3②聯(lián)立起來的非齊次線性方程組有解.【詳解】將=1\*GB3①與=2\*GB3②聯(lián)立得非齊次線性方程組:=3\*GB3③若此非齊次線性方程組有解,則=1\*GB3①與=2\*GB3②有公共解,且=3\*GB3③的解即為所求全部公共解.對=3\*GB3③的增廣矩陣作初等行變換得:.于是1°當(dāng)a=1時(shí)，有=2<3，方程組=3\*GB3③有解,即=1\*GB3①與=2\*GB3②有公共解,其全部公共解即為=3\*GB3③的通解，此時(shí)，此時(shí)方程組=3\*GB3③為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為:,所以=1\*GB3①與=2\*GB3②的全部公共解為，k為任意常數(shù).2°當(dāng)a=2時(shí)，有=3，方程組=3\*GB3③有唯一解,此時(shí)，故方程組=3\*GB3③的解為:,即=1\*GB3①與=2\*GB3②有唯一公共解:為.(22)(本題滿分11分)設(shè)3階對稱矩陣Ａ的特征值是Ａ的屬于的一個(gè)特征向量,記其中為3階單位矩陣.(=1\*ROMANI)驗(yàn)證是矩陣Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量．(=2\*ROMANII)求矩陣Ｂ．【分析】根據(jù)特征值的性質(zhì)可立即得B的特征值,然后由B也是對稱矩陣可求出其另外兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.【詳解】(=1\*ROMANI)由得,進(jìn)一步,，故，從而是矩陣Ｂ的屬于特征值?2的特征向量.因,及Ａ的3個(gè)特征值得B的3個(gè)特征值為.設(shè)為B的屬于的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,又Ａ為對稱矩陣，得B也是對稱矩陣,因此與正交,即所以可取為下列齊次線性方程組兩個(gè)線性無關(guān)的解：,其基礎(chǔ)解系為:,,故可取=,=.即B的全部特征值的特征向量為:,,其中,是不為零的任意常數(shù),是不同時(shí)為零的任意常數(shù).(=2\*ROMANII)令=,則，得==.(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度.【詳解】(=1\*ROMANI).(=2\*ROMANII)先求Z的分布函數(shù):當(dāng)Z<0時(shí),