高考數(shù)學一輪復習高頻考點精講精練(新高考專用)第02講同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式(高頻精講)(原卷版+解析)

第02講同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：①②③三劍客 4高頻考點二：商數(shù)關系（與分式或多項式求值） 7角度1：弦切互化 7角度2：正余弦齊次式問題 11高頻考點三：誘導公式的應用 13高頻考點四：同角關系式和誘導公式的綜合應用 18第四部分：數(shù)學文化題 23第五部分：高考新題型（劣夠性試題） 25溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：．(2)商數(shù)關系：2、三角函數(shù)的誘導公式誘導公式一誘導公式二誘導公式三誘導公式四誘導公式五誘導公式六誘導公式七誘導公式八3、常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關系式的常用變形（2）誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·全國（甲卷文，理）·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2020·全國（新課標Ⅰ理）·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：①②③三劍客典型例題例題1．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·湖北黃岡·高一浠水縣第一中學?？茧A段練習）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·北京·高一北京市第三十五中學?？茧A段練習）已知，求.例題4．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知，，則_____________．例題5．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學?？茧A段練習）已知是關于的一元二次方程的兩根，則__________，＝________.練透核心考點1．（2023春·廣東惠州·高一校考階段練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．不存在2．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰O，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023春·江蘇常州·高一?？茧A段練習）已知，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·山東濰坊·高一?？茧A段練習）已知，則的值等于__________.5．（2023春·四川廣安·高一廣安二中?？茧A段練習）已知，且，則______．高頻考點二：商數(shù)關系（與分式或多項式求值）角度1：弦切互化典型例題例題1．（2023春·安徽滁州·高一校考階段練習）若，為第二象限角，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學校考階段練習）己知，則________．例題3．（2023·全國·模擬預測）已知，，則______．例題4．（2023春·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學?？茧A段練習）已知，.(1)求；(2)求值.練透核心考點1．（2023秋·海南·高一海南華僑中學?？计谀┮阎?，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京·高一北師大二附中?？茧A段練習）已知是第三象限角，則的值為__________.3．（2023春·廣東湛江·高一?？茧A段練習）（1）已知，，求的值；（2）若，求的值.4．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知，(1)求，；(2)求的值.角度2：正余弦齊次式問題典型例題例題1．（2023春·四川眉山·高一仁壽一中?？茧A段練習）已知，則（

）A． B．0 C． D．例題2．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┤簦瑒t_____________．例題3．（2023春·上海浦東新·高一?？茧A段練習）已知．求值：(1)；(2)．例題4．（2023春·北京·高一北京育才學校?？茧A段練習）已知角終邊上一點坐標為.則______；______．練透核心考點1．（2023春·湖北黃岡·高一?？茧A段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京·高一北京二十中?？茧A段練習）若，則的值為____________.3．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學校考階段練習）已知，計算下列各式的值：(1)；(2)．4．（2023秋·江蘇徐州·高一沛縣湖西中學?？计谀┮阎?，求(1)求的值；(2)求的值；高頻考點三：誘導公式的應用典型例題例題1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中學校考階段練習）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且.(1)求的值；(2)求的值例題2．（2023春·北京·高一北理工附中?？茧A段練習）已知．(1)化簡；(2)若是第三象限角，且，求的值；(3)求．例題3．（2023春·上海浦東新·高一上海市建平中學?？茧A段練習）已知是第二象限角，則；(1)化簡；(2)若，求的值．例題4．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，求下列各式的值.(1)；(2).練透核心考點1．（2023春·北京·高一首都師范大學附屬中學校考階段練習）化簡求值.(1)計算：(2)化簡：2．（2023春·北京·高一北京二十中?？茧A段練習）計算下列各式.(1)(2)若，則求的值.3．（2023春·山東威?！じ咭恍？茧A段練習）化簡(1).(2).4．（2023春·重慶銅梁·高一銅梁中學校?？茧A段練習）已知角的終邊上一點，且(1)求的值(2)化簡高頻考點四：同角關系式和誘導公式的綜合應用典型例題例題1．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考開學考試）已知為角終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·四川成都·高一?？计谀?）已知，化簡并求值.（2）已知關于的方程的兩根為和，.求實數(shù)以及的值.例題3．（2023春·北京·高一北京市第二十二中學?？茧A段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點(1)求的值；(2)求的值.例題4．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，求的值；（2）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.已知為第四象限的角，__________.求的值.練透核心考點1．（2023春·湖北黃岡·高一?？茧A段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）（1）已知，，求此函數(shù)的最大值．（2）求函數(shù)的值域．（提示：）3．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？奸_學考試）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值；(2)若已知，求的值.4．（2023秋·廣西防城港·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，都是銳角，且，，求的值；（2）若，求的值.第四部分：數(shù)學文化題1．（2023·全國·高三專題練習）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，則（

）A．－4 B．－2 C．2 D．42．（2023·全國·高三專題練習）人們把最能引起美感的比例稱為黃金分割．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為稱為黃金分割比．人們稱底與腰之比為黃金分割比的三角形為最美三角形，它是一個頂角為的等腰三角形，由此我們可得（

）A． B． C． D．3．（2023湖南衡陽·高三衡陽市一中?？迹┦耸兰o早期，英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式，（其中，，，），現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項中與該值最接近的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·廣西欽州·高一浦北中學?？茧A段練習）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若圖中所示的角為，且小正方形與大正方形面積之比為，則__________．第五部分：高考新題型（劣夠性試題）1．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學?？茧A段練習）已知，且α是第象限角.

從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：(1)求，的值；(2)化簡求值．2．（2023春·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習）已知，且α是第________象限角．從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：(1)求的值；(2)化簡求值：.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．第02講同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：①②③三劍客 4高頻考點二：商數(shù)關系（與分式或多項式求值） 7角度1：弦切互化 7角度2：正余弦齊次式問題 11高頻考點三：誘導公式的應用 13高頻考點四：同角關系式和誘導公式的綜合應用 18第四部分：數(shù)學文化題 23第五部分：高考新題型（劣夠性試題） 25溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：．(2)商數(shù)關系：2、三角函數(shù)的誘導公式誘導公式一誘導公式二誘導公式三誘導公式四誘導公式五誘導公式六誘導公式七誘導公式八3、常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關系式的常用變形（2）誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.2．（2021·全國（甲卷文，理）·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，解得，，.故選：A.3．（2020·全國（新課標Ⅰ理）·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：①②③三劍客典型例題例題1．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，

，；故選：C.例題2．（2023春·湖北黃岡·高一浠水縣第一中學?？茧A段練習）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，則，，又，∴，∴，故選：B．例題3．（2023春·北京·高一北京市第三十五中學?？茧A段練習）已知，求.【答案】【詳解】因為，且，平方可得，且，結(jié)合，可得，，所以.例題4．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知，，則_____________．【答案】##【詳解】，，即，又，.故答案為：.例題5．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學?？茧A段練習）已知是關于的一元二次方程的兩根，則__________，＝________.【答案】

##

##【詳解】因為是關于x的一元二次方程的兩根，則，即，顯然，又，即，于是，解得，而當時，方程的兩根為，滿足，符合題意，所以，.故答案為：；練透核心考點1．（2023春·廣東惠州·高一校考階段練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【詳解】，由，則，解得，由三角函數(shù)的值域可知，不成立，故.故選：B2．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，.故選：C.3．（多選）（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習）已知，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】因為，則.對于A選項，，可得，A對；對于B選項，由A選項可知，，則，所以，，則，B對；對于C選項，，可得，則，C錯；對于D選項，，D對.故選：ABD.4．（2023春·山東濰坊·高一校考階段練習）已知，則的值等于__________.【答案】##【詳解】由于，所以，故，所以.故答案為：5．（2023春·四川廣安·高一廣安二中?？茧A段練習）已知，且，則______．【答案】【詳解】因為，則，即，而，即有，因此，所以.故答案為：高頻考點二：商數(shù)關系（與分式或多項式求值）角度1：弦切互化典型例題例題1．（2023春·安徽滁州·高一?？茧A段練習）若，為第二象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以．又為第二象限角，所以，所以．故選:A.例題2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學?？茧A段練習）己知，則________．【答案】##【詳解】,為第四象限角，由，解得故答案為：.例題3．（2023·全國·模擬預測）已知，，則______．【答案】【詳解】解法一：由，得，兩邊同時平方得，解得或，因為，所以，代入，得，所以．解法二：將兩邊同時平方，得，得，又，所以，所以兩邊同時除以可得．故答案為：例題4．（2023春·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學?？茧A段練習）已知，.(1)求；(2)求值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，因此；（2）.練透核心考點1．（2023秋·海南·高一海南華僑中學?？计谀┮阎?，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，且，所以，.所以，.故選：A.2．（2023春·北京·高一北師大二附中?？茧A段練習）已知是第三象限角，則的值為__________.【答案】【詳解】由可知，由在第三象限，可知，則，代入解得，則.故答案為：3．（2023春·廣東湛江·高一?？茧A段練習）（1）已知，，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）∵，，∴∴

（2）∵，∴4．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知，(1)求，；(2)求的值.【答案】(1)，.(2)【詳解】（1），∵，∴，∴，∴.（2）原式.角度2：正余弦齊次式問題典型例題例題1．（2023春·四川眉山·高一仁壽一中?？茧A段練習）已知，則（

）A． B．0 C． D．【答案】B【詳解】，.故選：B例題2．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┤?，則_____________．【答案】##【詳解】原式.故答案為：.例題3．（2023春·上海浦東新·高一校考階段練習）已知．求值：(1)；(2)．【答案】(1)3；(2)【詳解】（1）∵，∴；（2）.例題4．（2023春·北京·高一北京育才學校?？茧A段練習）已知角終邊上一點坐標為.則______；______．【答案】

【詳解】角終邊上一點坐標為.則；.故答案為：；練透核心考點1．（2023春·湖北黃岡·高一校考階段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，又，所以原式.故選：A.2．（2023春·北京·高一北京二十中校考階段練習）若，則的值為____________.【答案】【詳解】由題意，則，則，故答案為：3．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學?？茧A段練習）已知，計算下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為，顯然，于是，解得，所以.（2）由（1）知，所以.4．（2023秋·江蘇徐州·高一沛縣湖西中學?？计谀┮阎?1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，故.（2）.高頻考點三：誘導公式的應用典型例題例題1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中學校考階段練習）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且.(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)(2)【詳解】（1），，又，解得：.（2）由（1）得：，.例題2．（2023春·北京·高一北理工附中?？茧A段練習）已知．(1)化簡；(2)若是第三象限角，且，求的值；(3)求．【答案】(1)；(2)(3)【詳解】（1）；（2）x為第三象限角，，；（3）；綜上，（1）；（2）；（3）.例題3．（2023春·上海浦東新·高一上海市建平中學校考階段練習）已知是第二象限角，則；(1)化簡；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）因為，所以，因為是第二象限角，所以,所以.例題4．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為角的終邊與單位圓交于點，所以.；（2）.練透核心考點1．（2023春·北京·高一首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）化簡求值.(1)計算：(2)化簡：【答案】(1)(2)【詳解】（1）2．（2023春·北京·高一北京二十中?？茧A段練習）計算下列各式.(1)(2)若，則求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式.（2）由，又.3．（2023春·山東威?！じ咭恍？茧A段練習）化簡(1).(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）原式.因為，所以.所以原式.4．（2023春·重慶銅梁·高一銅梁中學校校考階段練習）已知角的終邊上一點，且(1)求的值(2)化簡【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意角的終邊上一點，且，則，解得,故.（2）.高頻考點四：同角關系式和誘導公式的綜合應用典型例題例題1．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考開學考試）已知為角終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，，所以，所以，所以.故選：B例題2．（2023秋·四川成都·高一?？计谀?）已知，化簡并求值.（2）已知關于的方程的兩根為和，.求實數(shù)以及的值.【答案】（1）；（2），.【詳解】（1）根據(jù)誘導公式可化簡而，所以，故；（2）因為關于的方程的兩根為和，所以，，所以，所以，因為，所以，且，所以，.例題3．（2023春·北京·高一北京市第二十二中學?？茧A段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點，則，則；（2）由（1）得，則，則例題4．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，求的值；（2）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.已知為第四象限的角，__________.求的值.【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，得，（2）選擇①：，即，為第四象限的角，，又，，.選擇②：，，，為第四象限的角，，，.練透核心考點1．（2023春·湖北黃岡·高一校考階段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，又，所以原式.故選：A.2．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）（1）已知，，求此函數(shù)的最大值．（2）求函數(shù)的值域．（提示：）【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由，又，所以，則，由，則，故當時.（2）令，而，則，所以等價于，則在上遞增，在上遞減，，，，綜上，函數(shù)值域為.3．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？奸_學考試）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值；(2)若已知，求的值.【答案】(1)(2)1【詳解】（1）（2）由（1）知，則，4．（2023秋·廣西防城港·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，都是銳角，且，，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2；（2）3【詳解】解：（1）∵、是銳角∴∴∴∴（2）∵∴第四部分：數(shù)學文化題1．（2023·全國·高三專題練習）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，則（