高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(高頻精講)(原卷版+解析)

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型 2高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型） 5高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型） 8高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題 11第三部分：數(shù)學(xué)文化題 15溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(為常數(shù)，)反比例函數(shù)模型(為常數(shù)且)二次函數(shù)模型（均為常數(shù)，）指數(shù)函數(shù)模型（均為常數(shù)，，，）對數(shù)函數(shù)模型（為常數(shù)，）冪函數(shù)模型（為常數(shù)，）分段函數(shù)2、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長平緩介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個，當(dāng)時，有第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型典型例題例題1．（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┤鐖D是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國7歲以下兒童生長發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國7歲以下女童身高（長）的中位數(shù)散點圖，下列可近似刻畫身高隨年齡變化規(guī)律的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：12現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學(xué)中計量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：行星編號1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）離太陽的距離(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并根據(jù)散點圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；①；②；③．(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）(3)請用你求得的模型，計算谷神星離太陽的距離．練透核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．2．（2023·高一課時練習(xí)）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間（單位：時）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時開始細(xì)菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．3．（2023·高一課時練習(xí)）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

） B． C． D．高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型）典型例題例題1．（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費方法如下：每戶每月用水量水價不超過的部分2.5元超過但不超過的部分5元超過的部分7.5元若某戶居民本月交納的水費為65元，則此戶居民本月用水量為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，點在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，設(shè)點是邊的中點，點沿運動，設(shè)點經(jīng)過的路程為，的面積為，則函數(shù)的解析式為______．例題3．（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷，特別是美國對我國華為的限制，盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而，這并沒有讓華為卻步．華為在2018年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強(qiáng)勁．今年，華為為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)．通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬元，每生產(chǎn)x（千部）手機(jī)，需另投入成本萬元，且．由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價0.8萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完．(1)求出2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；(2)2023年產(chǎn)量為多少千部時，企業(yè)所獲利潤最大?最大利潤是多少?練透核心考點1．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知，且，設(shè)，綠地面積為．(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出的定義域；(2)當(dāng)為何值時，綠地面積最大？并求出最大值．2．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時，，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤=銷售總價-固定成本-生產(chǎn)成本）(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是多少（萬元）？3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象．高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型）典型例題例題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）通過實驗數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度（單位：升/小時）與液體所處環(huán)境的溫度（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）.若該液體在的蒸發(fā)速度是0.2升/小時，在的蒸發(fā)速度是0.4升/小時，則該液體在的蒸發(fā)速度為（

）A．0.5升/小時 B．0.6升/小時 C．0.7升/小時 D．0.8升/小時例題2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售人員的銷售利潤不低于10萬元時，按其銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售人員的銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過其銷售利潤的．現(xiàn)有三個獎勵模型：，請分別判斷這三個模型是否符合公司的要求？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，當(dāng)時，恒成立）例題4．（2023秋·江蘇連云港·高一校考期末）某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：，）.練透核心考點1．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）車?yán)遄邮且环N富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛．根據(jù)車?yán)遄拥墓麖酱笮?，可將其從小到大依次分?個等級，其等級與其對應(yīng)等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．若花同樣的錢買到的1級果比5級果多3倍，且3級果的市場銷售單價為55元/千克，則6級果的市場銷售單價約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克2．（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收.”源于《增廣賢文》，《增廣賢文》是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的，每天進(jìn)步一點點，前進(jìn)不止一小點.我們可以把式子中的看作是每天的“進(jìn)步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的值是．照此計算，大約經(jīng)過多少天“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍？（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．100天 B．108天 C．115天 D．124天3．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）科學(xué)家通過生物標(biāo)本中某種放射性元素的存量來估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經(jīng)過1620年，該元素的存量為原來的一半），某生物標(biāo)本中該元素的初始存量為，經(jīng)檢測生物中該元素現(xiàn)在的存量為，（參考數(shù)據(jù)：）請推算該生物距今大約___________年．4．（2023秋·山東濟(jì)南·高一統(tǒng)考期末）La'eeb是2022年卡塔爾世界杯足球賽吉祥物，該吉祥物具有非常鮮明的民族特征，阿拉伯語意為“高超的球員”，某中國企業(yè)可以生產(chǎn)世界杯吉祥物L(fēng)a'eeb，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，投資成本x（千萬）與利潤y（千萬）的關(guān)系如下表x（千萬）…2…4…12…y（千萬）…0.4…0.8…12.8…當(dāng)投資成本x不高于12（千萬）時，利潤y（千萬）與投資成本x（千萬）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.(1)當(dāng)投資成本x不高于12（千萬）時，選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)投資成本x高于12（千萬）時，利潤y（千萬）與投資成本工（千萬）滿足關(guān)系，結(jié)合第（1）問的結(jié)果，要想獲得不少于一個億的利潤，投資成本x（千萬）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：）高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題典型例題例題1．（多選）（2023秋·甘肅慶陽·高一統(tǒng)考期末）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60℃.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃，65℃，給出兩個茶溫T（單位：℃）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間（單位：分鐘，）的函數(shù)模型：①；②.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．選擇函數(shù)模型①B．選擇函數(shù)模型②C．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2分鐘D．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2.5分鐘例題2．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)擬購買一批智能機(jī)器人生產(chǎn)型電子元件，以提高生產(chǎn)效率，降低生產(chǎn)成本.已知購買臺機(jī)器人的總成本（萬元）.(1)要使所購買的機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)購買多少臺機(jī)器人？(2)現(xiàn)將按（1）所求得的數(shù)量購買的機(jī)器人全部投入生產(chǎn)，并安排名工人操作這些機(jī)器人（每名工人可以同時操作多臺機(jī)器人）.已知每名工人操作水平無差異，但每臺機(jī)器人每日生產(chǎn)型電子元件的個數(shù)與操作工人人數(shù)有關(guān)，且滿足關(guān)系式：.問在引進(jìn)機(jī)器人后，需要操作工人的人數(shù)為何值時，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，并求這個最大值.例題3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：，，．（參考數(shù)據(jù)：）(1)試判斷哪個函數(shù)模型能符合公司要求，并說明理由．(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，當(dāng)利潤為多少時，獎金與利潤之比最大，并求出最大值．例題4．（2023秋·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）北京冬奧會已于月日開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫，與冬奧會相關(guān)的周邊產(chǎn)品也銷量上漲.因可愛而聞名的冰墩墩更是成為世界頂流，在國內(nèi)外深受大家追捧.對某商戶所售的冰墩墩在過去的一個月內(nèi)（以天計）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的日銷售單價（元/套）與時間（被調(diào)查的一個月內(nèi)的第天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（常數(shù)），冰墩墩的日銷量（套）與時間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（套）已知第天該商品日銷售收入為元，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③(1)選出你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來描述銷售量與時間的關(guān)系，并說明理由；(2)根據(jù)你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入（，）在哪天達(dá)到最低．練透核心考點1．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）2022年11月20日，備受全球球迷關(guān)注的第22屆世界杯足球賽如期開幕，全球32支參賽隊伍，將在64場比賽中爭奪世界足球的最高榮譽(yù)大力神杯！某體育用品商店借此良機(jī)展開促銷活動，據(jù)統(tǒng)計，該店每天的銷售收入不低于2萬元時，其純利潤y（單位：萬元）隨銷售收入x（單位：萬元）的變化情況如下表所示：x（萬元）235y（萬元）(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別用模型（且）與建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)已知當(dāng)時，，你認(rèn)為（1）中哪個函數(shù)模型更合理？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）2．（2023秋·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）近年來，中國自主研發(fā)的長征系列運載火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著中國在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.設(shè)火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為M（單位：t），去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為m（單位：t），火箭的飛行速度為v（單位：），初始速度為（單位：），已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動機(jī)噴流相對火箭的速度.假設(shè)，.（參考數(shù)據(jù)：，）.(1)若，當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時，求相應(yīng)的M；（精確到小數(shù)點后一位）(2)如果希望火箭飛行速度達(dá)到16.7，但火箭起飛質(zhì)量的最大值為2000t，請問的最小值為多少？（精確到小數(shù)點后一位）3．（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┪覀冎?，聲音由物體的振動產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進(jìn)行傳播．在物理學(xué)中，聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強(qiáng)．但在實際生活中，常用聲音的聲強(qiáng)級D（分貝）來度量．為了描述聲強(qiáng)級與聲強(qiáng)之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過多次測定，得到如下數(shù)據(jù)：組別1234567聲強(qiáng)①聲強(qiáng)級1013.0114.7716.022040②現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．(1)試根據(jù)第1—5組的數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①、②數(shù)據(jù)的值；4．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)校考期末）某生物病毒研究機(jī)構(gòu)用打點滴的方式治療“新冠”，國際上常用普姆克實驗系數(shù)（單位：pmk）表示治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好．元旦時在實驗用小白鼠體內(nèi)注射一些實驗藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，二月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為24pmk，三月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為36pmk，治愈效果的普姆克系數(shù)y（單位：pmk）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）第三部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為22，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為22時，學(xué)習(xí)率衰減為0.45，則學(xué)習(xí)率衰減到0.05以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．11 B．22 C．227 D．4812．（2022秋·黑龍江雙鴨山·高一?？茧A段練習(xí)）岡珀茨模型是由岡珀茨（Gompertz）提出的，可作為動物種群數(shù)量變化的模型，也可用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種年后的種群數(shù)量近似滿足岡珀茨模型（，當(dāng)時表示2022年初的種群數(shù)量），經(jīng)過年后，當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2022年初種群數(shù)量的時，即將有瀕臨滅絕的危險，則的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．10 B．11 C．12 D．133．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）建筑學(xué)中必須要對組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計．組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為，，…，（單位：m2），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，，…，，則組合墻的實際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值確定：，于是組合墻的實際隔聲量（單位：dB）為．已知某墻的透射系數(shù)為，面積為20m2，在墻上有一門，其透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量約為_______dB．（注：）4．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)?帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力.我市“運河五號”的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間x（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，日銷售量（單位：件）與時間x（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x10152025305055605550(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，函?模型適合描述日銷售量與時間的變化關(guān)系，求出該函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.5．（2022秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如桑麻.”這是清代文學(xué)家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫(yī)學(xué)家華佗的故鄉(xiāng)，由于一代名醫(yī)的影響，帶動了毫州醫(yī)藥的發(fā)展，到明?清時期毫州就是全國四大藥都之一，現(xiàn)已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規(guī)模最大?設(shè)施最好?檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在假期社會實踐活動中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該中藥材在2021年的價格浮動最大的一個月內(nèi)（以30天計）日平均銷售單價（單位：元/千克）與第天（）的函數(shù)關(guān)系滿足（為正常數(shù)）.該中藥材的日銷售量（單位：千克）與的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：4102030149155165155已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價日銷售量）(1)求的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①，②，③，④，請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述該中藥材的日銷售量與的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式和日銷售收入（單位：元）的最小值.第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型 2高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型） 7高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型） 13高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題 18第三部分：數(shù)學(xué)文化題 25溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(為常數(shù)，)反比例函數(shù)模型(為常數(shù)且)二次函數(shù)模型（均為常數(shù)，）指數(shù)函數(shù)模型（均為常數(shù)，，，）對數(shù)函數(shù)模型（為常數(shù)，）冪函數(shù)模型（為常數(shù)，）分段函數(shù)2、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長平緩介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個，當(dāng)時，有第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型典型例題例題1．（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┤鐖D是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國7歲以下兒童生長發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國7歲以下女童身高（長）的中位數(shù)散點圖，下列可近似刻畫身高隨年齡變化規(guī)律的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】A選項，由散點圖知身高y隨時間x變化不是線性增長，故A錯誤；C選項，指數(shù)函數(shù)模型中y隨x增長越來越快，與圖象不符合；D選項，對數(shù)函數(shù)模型在時沒有意義；B選項符合散點圖中y隨x增長越來越慢，且在時有意義，故選：B．例題2．（2023秋·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：12現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】從表中的數(shù)據(jù)的變化趨勢看，函數(shù)遞增的速度不斷加快,對應(yīng)四個選項，A選項的對數(shù)型函數(shù)，其遞增速度不斷變慢，不符合，選項B，隨著t的增大，速度變小，不符合,選項D是以一個恒定的幅度變化，其圖象是條直線，不符合本題的變化規(guī)律,選項C，函數(shù)的二次型，對比數(shù)據(jù)，其最接近實驗數(shù)據(jù)的變化趨勢，符合題意.故選：C例題3．（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學(xué)中計量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：行星編號1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）離太陽的距離(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并根據(jù)散點圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；①；②；③．(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）(3)請用你求得的模型，計算谷神星離太陽的距離．【答案】(1)散點圖見解析，模型②符合題意(2)，模型與數(shù)據(jù)吻合(3)【詳解】（1）散點圖如圖所示：根據(jù)散點圖可知，模型②符合題意；（2）將，，分別代入，得，解得，，所以當(dāng)時，，誤差，吻合，當(dāng)時，，誤差，吻合，所以，模型與數(shù)據(jù)吻合；（3）當(dāng)時，，即谷神星距太陽的距離為.練透核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)描點如圖所示．∵對應(yīng)數(shù)據(jù)顯示該函數(shù)是增函數(shù)，且增幅越來越快，∴A不成立；∵C是偶函數(shù)，∴的函數(shù)值應(yīng)該相等，∴C不成立；∵時，無意義，∴D不成立；對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)驗證它與各數(shù)據(jù)比較接近.故選：B.2．（2023·高一課時練習(xí)）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間（單位：時）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時開始細(xì)菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)條件畫出散點圖，依題意，所選函數(shù)必須滿足三個條件：①定義域包含；②是增函數(shù)；③隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變?。驗楹瘮?shù)的定義域為，當(dāng)時無意義，故排除B；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，故排除C；在上隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，故排除D．函數(shù)可以同時符合上述條件.故選：A．3．（2023·高一課時練習(xí)）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點圖，如圖所示，根據(jù)散點圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長速度越來越快，結(jié)合選項：函數(shù)增長速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長速度越來越快，符合題意；函數(shù)，增長速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，此時與真實數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個函數(shù)是.故選：B.高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型）典型例題例題1．（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費方法如下：每戶每月用水量水價不超過的部分2.5元超過但不超過的部分5元超過的部分7.5元若某戶居民本月交納的水費為65元，則此戶居民本月用水量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)用戶的用水量為，繳納的水費為元，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.令，解得.則此戶居民本月用水量為.故選：A.例題2．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，點在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，設(shè)點是邊的中點，點沿運動，設(shè)點經(jīng)過的路程為，的面積為，則函數(shù)的解析式為______．【答案】【詳解】當(dāng)在上時，即，，.當(dāng)在上時，即，，，.所以.當(dāng)在上時，即，.，即..故答案為：例題3．（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷，特別是美國對我國華為的限制，盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而，這并沒有讓華為卻步．華為在2018年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強(qiáng)勁．今年，華為為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)．通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬元，每生產(chǎn)x（千部）手機(jī)，需另投入成本萬元，且．由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價0.8萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完．(1)求出2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；(2)2023年產(chǎn)量為多少千部時，企業(yè)所獲利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)當(dāng)2023年年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤為9000萬元【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)2023年年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤為9000萬元．練透核心考點1．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知，且，設(shè)，綠地面積為．(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出的定義域；(2)當(dāng)為何值時，綠地面積最大？并求出最大值．【答案】(1)，定義域為；(2)答案見解析.【詳解】（1）因為，，所以，，，，所以，由題意，解得，所以的定義域為；（2）因為的對稱軸為，若，則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；若，則在單調(diào)遞增，所以；綜上，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.2．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時，，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤=銷售總價-固定成本-生產(chǎn)成本）(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是多少（萬元）？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為1300萬元.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，y取得最大值，最大值為850萬元；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，y取得最大值，最大值為1300萬元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為1300萬元.3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象．【答案】(1)(2)作圖見解析【詳解】（1）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以（2）解：由（1）可得函數(shù)圖象如下所示：高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型）典型例題例題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）通過實驗數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度（單位：升/小時）與液體所處環(huán)境的溫度（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）.若該液體在的蒸發(fā)速度是0.2升/小時，在的蒸發(fā)速度是0.4升/小時，則該液體在的蒸發(fā)速度為（

）A．0.5升/小時 B．0.6升/小時 C．0.7升/小時 D．0.8升/小時【答案】D【詳解】由題意得，兩式相除得，所以，當(dāng)時，，所以該液體在的蒸發(fā)速度為0.8升/小時.故選：D.例題2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得：，即，，，由得：，即，解得：，若使物體的溫度為，需要冷卻.故選：C.例題3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售人員的銷售利潤不低于10萬元時，按其銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售人員的銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過其銷售利潤的．現(xiàn)有三個獎勵模型：，請分別判斷這三個模型是否符合公司的要求？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，當(dāng)時，恒成立）【答案】獎勵模型符合公司的要求，理由見解析【詳解】由題意，符合公司要求的模型需同時滿足：當(dāng)時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③．對于，易知滿足①，但當(dāng)時，，不符合公司的要求；對于，易知滿足①，但當(dāng)時，，不符合公司的要求；對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而且函數(shù)的最大值，因而滿足①②，因為當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，，滿足③，故符合公司的要求．綜上，獎勵模型符合公司的要求．例題4．（2023秋·江蘇連云港·高一?？计谀┠成镅芯空哂谠┰诤蟹湃胍恍P眼蓮（其覆蓋面積為），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】(1)選擇模型符合要求，解析式為(2)【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來越快，而函數(shù)的值增加的越來越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，因此選擇模型符合要求.根據(jù)題意可知時，時，，，解得.故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時，，元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，由，得，，，即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份.練透核心考點1．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）車?yán)遄邮且环N富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛．根據(jù)車?yán)遄拥墓麖酱笮?，可將其從小到大依次分?個等級，其等級與其對應(yīng)等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．若花同樣的錢買到的1級果比5級果多3倍，且3級果的市場銷售單價為55元/千克，則6級果的市場銷售單價約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克【答案】A【詳解】由題意可知，解得，由，可得．故選：A.2．（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收.”源于《增廣賢文》，《增廣賢文》是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的，每天進(jìn)步一點點，前進(jìn)不止一小點.我們可以把式子中的看作是每天的“進(jìn)步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的值是．照此計算，大約經(jīng)過多少天“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍？（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．100天 B．108天 C．115天 D．124天【答案】C【詳解】假設(shè)經(jīng)過天，“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，則可得，所以，所以，即經(jīng)過天，“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，故選:C3．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）科學(xué)家通過生物標(biāo)本中某種放射性元素的存量來估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經(jīng)過1620年，該元素的存量為原來的一半），某生物標(biāo)本中該元素的初始存量為，經(jīng)檢測生物中該元素現(xiàn)在的存量為，（參考數(shù)據(jù)：）請推算該生物距今大約___________年．【答案】3780【詳解】設(shè)放射性元素的存量模型為，由已知，所以，，，設(shè)題中所求時間為，則，，，，∴，．故答案為：3780.4．（2023秋·山東濟(jì)南·高一統(tǒng)考期末）La'eeb是2022年卡塔爾世界杯足球賽吉祥物，該吉祥物具有非常鮮明的民族特征，阿拉伯語意為“高超的球員”，某中國企業(yè)可以生產(chǎn)世界杯吉祥物L(fēng)a'eeb，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，投資成本x（千萬）與利潤y（千萬）的關(guān)系如下表x（千萬）…2…4…12…y（千萬）…0.4…0.8…12.8…當(dāng)投資成本x不高于12（千萬）時，利潤y（千萬）與投資成本x（千萬）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.(1)當(dāng)投資成本x不高于12（千萬）時，選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)投資成本x高于12（千萬）時，利潤y（千萬）與投資成本工（千萬）滿足關(guān)系，結(jié)合第（1）問的結(jié)果，要想獲得不少于一個億的利潤，投資成本x（千萬）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)最符合實際的函數(shù)模型為(2)【詳解】（1）最符合實際的函數(shù)模型是.若選函數(shù)模型，將點與代入得，解得，所以，當(dāng)時，.若選函數(shù)模型，將點與代入得，解得，所以，當(dāng)時，，綜上可得，最符合實際的函數(shù)模型為.（2）由題意可知：利潤y與投資成本x滿足關(guān)系,要獲得不少于一個億的利潤，即,當(dāng)時，，即，即因為，所以.又因為，所以.當(dāng)時，，解得，又因為，所以，綜上可得，,故要想獲得不少于一個億的利潤，投資成本x（千萬）的范圍是.高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題典型例題例題1．（多選）（2023秋·甘肅慶陽·高一統(tǒng)考期末）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60℃.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃，65℃，給出兩個茶溫T（單位：℃）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間（單位：分鐘，）的函數(shù)模型：①；②.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．選擇函數(shù)模型①B．選擇函數(shù)模型②C．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2分鐘D．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2.5分鐘【答案】AD【詳解】將代入，得；將代入，得.故選擇函數(shù)模型①.由，可得，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2.5分.故選:AD.例題2．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)擬購買一批智能機(jī)器人生產(chǎn)型電子元件，以提高生產(chǎn)效率，降低生產(chǎn)成本.已知購買臺機(jī)器人的總成本（萬元）.(1)要使所購買的機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)購買多少臺機(jī)器人？(2)現(xiàn)將按（1）所求得的數(shù)量購買的機(jī)器人全部投入生產(chǎn)，并安排名工人操作這些機(jī)器人（每名工人可以同時操作多臺機(jī)器人）.已知每名工人操作水平無差異，但每臺機(jī)器人每日生產(chǎn)型電子元件的個數(shù)與操作工人人數(shù)有關(guān)，且滿足關(guān)系式：.問在引進(jìn)機(jī)器人后，需要操作工人的人數(shù)為何值時，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，并求這個最大值.【答案】(1)購買120臺機(jī)器人；(2)當(dāng)大于等于20時，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，且最大值為19200個.【詳解】（1）由總成本，可得每臺機(jī)器人的平均成本.因為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以要使所購機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)購買120臺機(jī)器人.（2）當(dāng)時，120臺機(jī)器人的日平均生產(chǎn)量為，所以當(dāng)時，120臺機(jī)器人日平均生產(chǎn)量最大值為19200.當(dāng)時，120臺機(jī)器人日平均生產(chǎn)量為.所以120臺機(jī)器人的日平均產(chǎn)量的最大值為19200個.所以當(dāng)大于等于20時，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，且最大值為19200個.例題3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：，，．（參考數(shù)據(jù)：）(1)試判斷哪個函數(shù)模型能符合公司要求，并說明理由．(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，當(dāng)利潤為多少時，獎金與利潤之比最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)，時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③對于，易知滿足①；但當(dāng)時，，不滿足公司的要求,對于，易知滿足①，當(dāng)時，，不滿足公司的要求,對于，易知滿足①，當(dāng)，時，，滿足②又，時，由此可知滿足③綜上所述，只有獎勵模型：能完全符合公司的要求.（2）由（1）知：符合要求的函數(shù)為，故，當(dāng)，時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值為，例題4．（2023秋·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）北京冬奧會已于月日開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫，與冬奧會相關(guān)的周邊產(chǎn)品也銷量上漲.因可愛而聞名的冰墩墩更是成為世界頂流，在國內(nèi)外深受大家追捧.對某商戶所售的冰墩墩在過去的一個月內(nèi)（以天計）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的日銷售單價（元/套）與時間（被調(diào)查的一個月內(nèi)的第天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（常數(shù)），冰墩墩的日銷量（套）與時間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（套）已知第天該商品日銷售收入為元，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③(1)選出你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來描述銷售量與時間的關(guān)系，并說明理由；(2)根據(jù)你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入（，）在哪天達(dá)到最低．【答案】(1)模型③最合適，理由見解析；(2)第天達(dá)到最低.【詳解】（1）模型③最合適，理由如下：對于模型①，為指數(shù)型函數(shù)模型，表格中對應(yīng)的數(shù)據(jù)遞增的速度較慢，故模型①不合適；對于模型②，為二次函數(shù)模型，其圖象關(guān)于直線對稱，有，與表中數(shù)據(jù)不符，故模型②不合適；對于模型③，冪函數(shù)型增長模型滿足表格中對應(yīng)數(shù)據(jù)較慢的遞增速度，將表中數(shù)據(jù)，代入模型③，有，解得，∴，經(jīng)驗證，均滿足表中數(shù)據(jù)，因此，使用模型③來描述銷售量與時間的關(guān)系最合適.（2）∵第天冰墩墩的日銷售單價（元/套），∴第天的日銷售收入為（元），∴，∴，由（1）所選模型③，當(dāng)且時，（元）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴在第天時，該商品的日銷售收入達(dá)到最低元.練透核心考點1．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）2022年11月20日，備受全球球迷關(guān)注的第22屆世界杯足球賽如期開幕，全球32支參賽隊伍，將在64場比賽中爭奪世界足球的最高榮譽(yù)大力神杯！某體育用品商店借此良機(jī)展開促銷活動，據(jù)統(tǒng)計，該店每天的銷售收入不低于2萬元時，其純利潤y（單位：萬元）隨銷售收入x（單位：萬元）的變化情況如下表所示：x（萬元）235y（萬元）(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別用模型（且）與建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)已知當(dāng)時，，你認(rèn)為（1）中哪個函數(shù)模型更合理？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，(2)選用模型更合理，理由見解析【詳解】（1）若選用，則依題意可得，解得，，，則．若選用，則依題意可得，解得，，，則．（2）對于函數(shù)，當(dāng)時，（萬元）；對于函數(shù)，當(dāng)時，（萬元）；因，所以選用模型更合理．2．（2023秋·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）近年來，中國自主研發(fā)的長征系列運載火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著中國在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.設(shè)火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為M（單位：t），去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為m（單位：t），火箭的飛行速度為v（單位：），初始速度為（單位：），已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動機(jī)噴流相對火箭的速度.假設(shè)，.（參考數(shù)據(jù)：，）.(1)若，當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時，求相應(yīng)的M；（精確到小數(shù)點后一位）(2)如果希望火箭飛行速度達(dá)到16.7，但火箭起飛質(zhì)量的最大值為2000t，請問的最小值為多少？（精確到小數(shù)點后一位）【答案】(1)t(2)【詳解】（1）由題意可得：，令，則（t），故當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時，相應(yīng)的為t.（2）由題意可得：，令，則，∴，故的最小值為.3．（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┪覀冎?，聲音由物體的振動產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進(jìn)行傳播．在物理學(xué)中，聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強(qiáng)．但在實際生活中，常用聲音的聲強(qiáng)級D（分貝）來度量．為了描述聲強(qiáng)級與聲強(qiáng)之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過多次測定，得到如下數(shù)據(jù)：組別1234567聲強(qiáng)①聲強(qiáng)級1013.0114.7716.022040②現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．(1)試根據(jù)第1—5組的數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①、②數(shù)據(jù)的值；【答案】(1)(2)①：；②：【詳解】（1）由于的量級為量級，而的量級為量級，所以與的關(guān)系更接近于對數(shù)函數(shù)，從而符合實際的函數(shù)模型，根據(jù)可得；根據(jù)可得，聯(lián)立解得，，故解析式為：（2）令，有，從而，所以①處的數(shù)據(jù)的值為；當(dāng)時，所以②處的數(shù)據(jù)的值為.4．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)?？计谀┠成锊《狙芯繖C(jī)構(gòu)用打點滴的方式治療“新冠”，國際上常用普姆克實驗系數(shù)（單位：pmk）表示治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好．元旦時在實驗用小白鼠體內(nèi)注射一些實驗藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，二月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為24pmk，三月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為36pmk，治愈效果的普姆克系數(shù)y（單位：pmk）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)選擇模型符合要求；該函數(shù)模型的解析式為，，；(2)六月份.【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來越快，而函數(shù)的值增加的越來越慢，由于這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，因此選擇模型符合要求．根據(jù)題意可知時，；時，，∴，解得．故該函數(shù)模型的解析式為，，；（2）當(dāng)時，，元旦治愈效果的普姆克系數(shù)是，由，得，∴，∵，∴