高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問(wèn)題(四大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問(wèn)題目錄技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點(diǎn)，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點(diǎn)，滿足,則的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點(diǎn)，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標(biāo)法妙解題型一：數(shù)量積隱圓例1．（2023·上海松江·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則給出下面四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正的邊長(zhǎng)為4，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例3．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最小值是A． B． C． D．變式2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______.題型二：平方和隱圓例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．例5．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.例6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．變式5．（2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.題型三：定冪方和隱圓例7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中校考期末）已知點(diǎn)，，直線：上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄浚膴A角為60°，向量滿足，若對(duì)任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．變式7．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．變式9．（2023·四川達(dá)州·高二四川省大竹中學(xué)校考期中）已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.變式11．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓例10．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值是__________．例11．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．例12．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知線段是圓的一條動(dòng)弦，且，若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為__________.變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，B在直線上，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則的最小值為__________.變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.變式15．（2023·新疆·高三新疆兵團(tuán)第二師華山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，則的最大值為________．變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為單位向量，則的最大值是________

重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問(wèn)題目錄技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點(diǎn)，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點(diǎn)，滿足,則的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點(diǎn)，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標(biāo)法妙解題型一：數(shù)量積隱圓例1．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則給出下面四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以設(shè)，則，，所以，所以，即（為任意角），所以（其中），所以的最大值為，最小值為，所以①③錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以（其中）因?yàn)椋?，所以，所以的最小值為，最大值?4，所以②正確，④錯(cuò)誤，故選：A例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正的邊長(zhǎng)為4，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，由題意設(shè)，則，，，，，可得.故選：D例3．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，以直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

令角的始邊為射線，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由，得，而，于是，因此，其中銳角由確定，顯然，則，所以的取值范圍是.故選：D變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最小值是A． B． C． D．【答案】A【解析】作出圖像如下圖所示，取的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)椋瑒tP在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，則.又為圓O上的點(diǎn)P到D的距離，則，∴的最小值為.故選：A.變式2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.【答案】【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______.【答案】/【解析】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設(shè)，則由①可得，整理得：，從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，因?yàn)椋?；解?：如圖，因?yàn)?所以，故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，所以，從而，故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以.故答案為：.題型二：平方和隱圓例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】依題意，可為與x軸、y軸同向的單位向量，設(shè)化簡(jiǎn)得：運(yùn)用輔助角公式得：，即得：，故；故答案為：例5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.【答案】【解析】因?yàn)榍?，所以；又因?yàn)?，所以；由，所以；根?jù)可知：，左端取等號(hào)時(shí)：三點(diǎn)共線且在線段外且靠近點(diǎn)；右端取等號(hào)時(shí)，三點(diǎn)共線且在線段外且靠近點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.例6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓D,再根據(jù)圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓D,由題得圓C和圓D相交或相切，所以，所以.故選：B變式4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，∵直線與點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)滿足，∴，整理,得①，∵直線上存在點(diǎn)M,滿足，∴方程①有解，∴，解得：，故選D.變式5．（2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，即．點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點(diǎn)Q使得，則PQ為圓的切線時(shí)最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．變式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.【答案】【解析】解析：設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，則圓C：與圓：有公共點(diǎn)，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為代入可得，故答案為：.題型三：定冪方和隱圓例7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？计谀┮阎c(diǎn)，，直線：上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得：直線，因此直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，；，化簡(jiǎn)得：，因此點(diǎn)為與直線的交點(diǎn)．所以應(yīng)當(dāng)滿足圓心到直線的距離小于等于半徑解得：故答案為例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，作，，，取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，，，，所以，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，所以，的底邊上的高為，，，所以，，所以，，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且為線段上的點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，的底邊上的高取最大值，即，則，因此，的最大值為.故選：B.例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對(duì)任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由推出，所以，如圖，終點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓，設(shè)，，，，所以表示的距離，顯然當(dāng)時(shí)最小，M的最大值為圓心到的距離加半徑，即，故選：A變式7．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算得，設(shè)，則，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O周上運(yùn)動(dòng)，由圖知：當(dāng)DC⊥AB時(shí)，|DC|≥|DC′|，設(shè)，利用三角函數(shù)求的最值．由得：，即，設(shè)，則，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，由圖知：當(dāng)DC⊥AB時(shí)，|DC|≥|DC′|，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，|DC|取最大值，故選：C．變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．【答案】【解析】因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，即，作，，，，則，，則，固定點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示：，設(shè)，則，因?yàn)?，，故，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為.故答案為：.變式9．（2023·四川達(dá)州·高二四川省大竹中學(xué)校考期中）已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．【答案】【解析】由得，，故，或或，設(shè)，，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，令，則，，由，或或，得B點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，又非零向量與的夾角為，則設(shè)的起點(diǎn)為原點(diǎn)，則終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線，上，則的幾何意義等價(jià)于圓上的點(diǎn)到射線上的點(diǎn)的距離，則其最小值為圓心到直線的距離減去半徑，不妨以為例，則的最小值為故答案為：變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，可得，設(shè)，，則，則，設(shè)，則，因?yàn)?，，則或，因?yàn)?，則或，令，則或，根據(jù)對(duì)稱性，可只考慮，由，記點(diǎn)、、，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.變式11．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.【答案】/【解析】設(shè)，則由得，可得，由得，因此，表示圓上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離；故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故答案為：題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓例10．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值是__________．【答案】【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，，，，的幾何意義表示的是點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的2倍，點(diǎn)在單位圓內(nèi)，點(diǎn)在單位圓外，則點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的最小值即為和兩點(diǎn)間距離，所求最小值為.故答案為：.例11．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．【答案】【解析】作圖，，則，，因?yàn)?，所以起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以B為圓心，1為半徑的圓上；同理，，所以起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以C為圓心，1為半徑的圓上，所以的最小值則為，因?yàn)?，，?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故答案為：.例12．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.【答案】/【解析】如圖，設(shè)，，，，，則點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，，所以點(diǎn)在射線上，所以，作點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱的點(diǎn)，則，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）所以的最小值為，故答案為：.變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知線段是圓的一條動(dòng)弦，且，若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】如圖，為直線上的任意一點(diǎn)，過(guò)圓心作，連接，由，可得，由，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，又是的中點(diǎn)，所以，所以.則此時(shí)，的最小值為.故答案為：變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，B在直線上，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則的最小值為__________.【答案】/【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，整理得，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，，當(dāng)時(shí)，可得，即圓心在在直線上，過(guò)做的垂線，當(dāng)垂足為圓心點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)度最小，的長(zhǎng)度也最小，且長(zhǎng)度最小值為，此時(shí)的最小值為.故答案為：.變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】/【解析】法一由，得.如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以,作，則,所以點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O，C，P三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在點(diǎn)P1處時(shí)，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：變式15．（2023·新疆·高三新疆兵團(tuán)