人教A版（2019）必修第二冊(cè)8.5空間直線、平面的平行(精講)(原卷版+解析)

8.5空間直線、平面的平行（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一線線平行【例1-1】（2022廣西）若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB與不平行 D．OB與不一定平行【例1-2】（2022云南）如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【一隅三反】1．（2022山東）如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào)).2（2022黑龍江）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：,,,四點(diǎn)共面.3．（2022甘肅）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．考點(diǎn)二等角性質(zhì)【例2-1】（2022北京）已知，，，則（

）A． B．或C． D．或【例2-2】（2022廣東省連平縣）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【一隅三反】1．（2022湖南）下列結(jié)論，其中正確的是________(填序號(hào)).①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.②如果兩個(gè)角的兩邊都平行于一個(gè)平面，那么這兩角相等或互補(bǔ).③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.2．（2022浙江）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn).求證：.3．（2022江蘇）長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：.考點(diǎn)三線面平行【例3-1】（2022四川）如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線與交于點(diǎn)O，底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)若三棱錐的體積為，求的長(zhǎng)．【例3-2】（2022河北）如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分別為棱AD、、AB的中點(diǎn)．證明：直線平面．【例3-3】（2022山東?。┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.【一隅三反】1．（2022吉林）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面2．（2022上海）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A．B．C．D．3.（2022山東省）如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長(zhǎng)均為13，M為PA上的點(diǎn)，且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).4．（2022山東?。┤鐖D，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時(shí)，平面.考點(diǎn)四面面平行【例4-1】（2022陜西?。┤鐖D，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【例4-2】．（2022海南）（多選）在正方體中，下列四組面中彼此平行的有（

）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面【一隅三反】1．（2022北京）如圖，在長(zhǎng)方體中，寫出滿足條件的一個(gè)平面：（1）與平面平行的平面為______；（2）與平面平行的平面為______；（3）與平面平行的平面為______．2．（2022山東?。┤鐖D：在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.3（2022山東?。┯伤睦庵厝ト忮F后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．考點(diǎn)五判斷定理與性質(zhì)定理辨析【例5-1】（2022廣東）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．C．直線，且 D．內(nèi)任何直線都與平行【例5-2】（2022山東?。┮阎獮槿龡l不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【一隅三反】1．（2022陜西?。┫铝袟l件中能推出平面平面的是（

）A．存在一條直線，，B．存在一條直線，，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，2．（2022湖北?。┮阎猘，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤3．（2022天津）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面．給出下列四個(gè)命題：①；

②③；

④．其中真命題是．A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④考點(diǎn)六距離相關(guān)問(wèn)題【例6】（2022山西）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023安徽）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是平面的中心，點(diǎn)是平面的對(duì)角線上一點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2（2022甘肅）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若平面AMN，則PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．3（2023黑龍江）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（

）A． B． C． D．8.5空間直線、平面的平行（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一線線平行【例1-1】（2022廣西）若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB與不平行 D．OB與不一定平行【答案】D【解析】如圖，；當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1時(shí)，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1是不一定平行．故選：D．【例1-2】（2022云南）如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【答案】B【解析】由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，因?yàn)榕c棱B1C1平行的棱還有3條：AD,BC，A1D1，所以共有4條.故選：B.【一隅三反】1．（2022山東）如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào)).【答案】①②【解析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得①②中RS與PQ均是平行直線，④中RS和PQ是相交直線，③中RS和PQ是是異面直線.故答案為：①②.2（2022黑龍江）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：,,,四點(diǎn)共面.【答案】證明見解析【解析】證明：∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是A1B1C1的中位線，∴GHB1C1，又∵B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.3．（2022甘肅）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】由于分別是長(zhǎng)方體的中點(diǎn)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知且，所以四邊形是平行四邊形.考點(diǎn)二等角性質(zhì)【例2-1】（2022北京）已知，，，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】的兩邊與的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知或.故選：B.【例2-2】（2022廣東省連平縣）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)∵為正方體．∴，且，又，分別為棱，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形．(2)法一：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．∵和方向相同，∴．法二：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．又∵，∴，∴．【一隅三反】1．（2022湖南）下列結(jié)論，其中正確的是________(填序號(hào)).①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.②如果兩個(gè)角的兩邊都平行于一個(gè)平面，那么這兩角相等或互補(bǔ).③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.【答案】④【解析】根據(jù)等角定理可知：對(duì)于①：這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，①錯(cuò)誤；對(duì)于②、③：無(wú)法判定這兩個(gè)角的兩邊分別平行，所以無(wú)法確定這兩角的大小關(guān)系，②、③錯(cuò)誤；對(duì)于④：根據(jù)平行線的傳遞性，④正確；故答案為：④．2．（2022浙江）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn).求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，又與方向相同，所以.3．（2022江蘇）長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.在矩形中，易得，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所?在矩形中，易得，.所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.（2）因?yàn)?，，又與的對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以.考點(diǎn)三線面平行【例3-1】（2022四川）如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線與交于點(diǎn)O，底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)若三棱錐的體積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：連接．∵點(diǎn)O，E分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中點(diǎn)F，連接．∵E為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，且．由菱形的性質(zhì)知，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．又平面，∴平面，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴．【例3-2】（2022河北）如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分別為棱AD、、AB的中點(diǎn)．證明：直線平面．【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以平面，因此，平面即為平面．連接，，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，因此，又，所以，而平面，平面，故平面．【?-3】（2022山東?。┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則在中，分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點(diǎn).在點(diǎn)位置時(shí)滿足平面.即點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時(shí)符合題意.【一隅三反】1．（2022吉林）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【解析】如圖所示，連接和相交于點(diǎn)O，則O為，的中點(diǎn).對(duì)于A，連接，則,因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故A正確；對(duì)于B，易知,因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?所以與平面相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知,因?yàn)槠矫?平面，所以平面，故D正確.故選:C.2．（2022上海）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，B選項(xiàng)不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖2，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因?yàn)槠矫妫矫?，所以AB平面MNQ，C選項(xiàng)不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖3，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因?yàn)槠矫妫矫?，所以AB平面MNQ，可知D不滿足題意；如圖4，取BC的中點(diǎn)D，連接QD，因?yàn)镼是AC的中點(diǎn)，所以QDAB，由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，A正確.故選：A3.（2022山東?。┤鐖D所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長(zhǎng)均為13，M為PA上的點(diǎn)，且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).【答案】(1)存在，(2)7【解析】（1）存在，；理由如下：連接并延長(zhǎng)，交于，連接.因?yàn)檎叫沃校?，所?又因?yàn)椋?；平面，平面，所以平?（2）由（1）得，所以；中，，所以；因?yàn)?，所以所?4．（2022山東省）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時(shí)，平面.【答案】答案表述不唯一)【解析】連接交于O，連接OE，平面平面，平面平面，.又底面為平行四邊形，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，故為的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，故當(dāng)滿足條件:時(shí)，面.故答案為:答案表述不唯一)考點(diǎn)四面面平行【例4-1】（2022陜西?。┤鐖D，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，平面平面，平面．（2）平面，平面，平面．分別為的中點(diǎn)，，，且．四邊形是平行四邊形．．又平面平面，平面．又平面，平面平面．【例4-2】．（2022海南）（多選）在正方體中，下列四組面中彼此平行的有（

）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則平面且平面，設(shè)，則平面且平面，所以平面平面，故兩個(gè)平面相交，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【一隅三反】1．（2022北京）如圖，在長(zhǎng)方體中，寫出滿足條件的一個(gè)平面：（1）與平面平行的平面為______；（2）與平面平行的平面為______；（3）與平面平行的平面為______．【答案】（1）平面

（2）平面

（3）平面【解析】因?yàn)闉殚L(zhǎng)方體，所以平面∥平面，平面∥平面，同時(shí)∥，∥，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥面，∥平面，因?yàn)椋云矫妗纹矫?故答案為：①平面；②平面；③平面.2．（2022山東?。┤鐖D：在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）證明：設(shè)，接，在正方體中，四邊形是正方形，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面平面；（2）證明：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面平面，由（1）知平面平面平面，平面平面.3（2022山東?。┯伤睦庵厝ト忮F后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．【答案】證明見解析【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，∵是四棱柱，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．考點(diǎn)五判斷定理與性質(zhì)定理辨析【例5-1】（2022廣東）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．C．直線，且 D．內(nèi)任何直線都與平行【答案】D【解析】對(duì)于A，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線，且，則與相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若內(nèi)任何直線都與平行，則與平行，故D正確.故選：D.【例5-2】（2022山東省）已知為三條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【解析】對(duì)①，，則，可以平行、相交或異面，故①不正確；對(duì)②，根據(jù)平行線的傳遞性，可知②正確；對(duì)③，，則或，故③不正確；對(duì)④，根據(jù)線面平行的判定定理，可知④正確．故選：C【一隅三反】1．（2022陜西?。┫铝袟l件中能推出平面平面的是（

）A．存在一條直線，，B．存在一條直線，，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，【答案】D【解析】A.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；C.如圖所示：，存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，在平面內(nèi)過(guò)b上一點(diǎn)作，則，又，且，所以，故正確；故選：D2．（2022湖北省）已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】①，，由平行公理4得，正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯(cuò)誤；③，則或，故錯(cuò)誤；④，；則或，故錯(cuò)誤；⑤，，，由線面平行的判定定理可得．故選：A.3．（2022天津）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)