新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第六章概率 知識點考點重點難點解題規(guī)律歸納總結(jié)

第六章概率

1隨機事件的條件概率...................................................-1-

1.1條件概率的概念.................................................-1-

1.2乘法公式與事件的獨立性........................................-5-

1.3全概率公式.....................................................-5-

2離散型隨機變量及其分布列............................................-9-

2.1隨機變量.......................................................-9-

2.2離散型隨機變量的分布列.......................................-12-

3離散型隨機變量的均值與方差.........................................-16-

3.1離散型隨機變量的均值..........................................-16-

3.2離散型隨機變量的方差.........................................-21-

4二項分布與超幾何分布...............................................-24-

4.1二項分布......................................................-24-

4.2超幾何分布....................................................-27-

5正態(tài)分布...........................................................-30-

1隨機事件的條件概率

1.1條件概率的概念

1.條件概率

(1)條件概率的定義

在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)

生的條件概率，記作尸(BIA).

(2)條件概率公式

當(dāng)P(A)>0時，有P(陰A)=!票).

1.如何從集合角度看條件概率公式？

[提示]若事件A已發(fā)生，則為使事件8也發(fā)生，試驗結(jié)果必須是既在A中

又在B中的樣本點，即此點必屬于A3.由于已知A已經(jīng)發(fā)生，故A成為計算條件

概率P(B|A)新的樣本空間，因此，有烏黑.

2.條件概率的性質(zhì)

(l)P(BL4)e[0,1].

(2)如果B與C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B\A)+P(C\A).

思考k2.尸(3H)與P(B)有何大小關(guān)系？

f提示］P(B|A)>P(8).

疑難問題

□類型1利用定義求條件概率

【例1】一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事

件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為艮

(1)分別求事件A,B,A8發(fā)生的概率；

(2)求P(B|A).

［思路點撥］可先求尸(A),P(B),P(AB),再用公式尸已⑷:曦或2求概率.

［解］由古典概型的概率公式可知

Q2

⑴P(A)=|,P(B)=2X1+3X22X11

==5

5X4205尸(A8)=5X4lo-

(2)/W)=

廠.......?o反思領(lǐng)悟?...........................

用定義法求條件概率P(BH)的步驟是：

(1)分析題意，弄清概率模型；

(2)計算尸(A),P(AB)；

(3)代入公式求P(B|A)=U禁.

類型2利用基本事件個數(shù)求條件概率

【例2】現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目,

如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：

(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.

［思路點撥］第(1)、(2)問屬古典概型問題，可利用古典概型的概率計算公式

求解；第⑶問為條件概率，可以利用定義P(8|A)="^求解，也可以利用公式

〃(岫

P(B\A)=求解.

”(A)

［解］設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件8,則第

1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.

⑴從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為〃(Q)=AW=30,

209

根據(jù)分步計數(shù)原理〃(A)=AjAg=20,于是2(4)=花=而=1.

八c“Aa=十R〃AB122

(2)因為n(AB)=A412,于TC.P(A3)=f。=訶\J=彳J，

(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)

目的概率為

2

P(AB)53

P(B|A尸P(A)=2=5-

3

法二：因為〃(AB)=12,〃(A)=20,所以「但⑷=笠彳=而=之.

1.......思領(lǐng)悟................................

如果隨機試驗屬于古典概型，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來計算，P(B\A)

=@黑，其中〃(A8)表示事件包含的基本事件個數(shù)，〃(㈤表示事件A包含的基本事

件個數(shù).

□類型3條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用

［探究問題］

1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有多少個基本事件？它們之間有什么關(guān)系？隨機

事件出現(xiàn)“大于4的點”包含哪些基本事件？

［提示］擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的基本事件有“1點”“2點”“3

點”“4點”“5點”“6點”，共6個，它們彼此互斥.“大于4的點”包含“5

點”“6點”兩個基本事件.

2在“先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子”試驗中，已知第一枚出現(xiàn)4點，則第二

枚出現(xiàn)“大于4”的事件，包含哪些基本事件？

［提示】“第一枚4點，第二枚5點”“第一枚4點，第二枚6點”.

3.先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，已知第一枚出現(xiàn)4點，如何利用條件概率

的性質(zhì)求第二枚出現(xiàn)“大于4點”的概率？

［提示】設(shè)第一枚出現(xiàn)4點為事件A,第二枚出現(xiàn)5點為事件8,第二枚出現(xiàn)

6點為事件C則所求事件為BUCIA.

/.P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)=|+|=|.

【例3】有外形相同的球分裝三個盒子，每盒10個.其中，第一個盒子中

有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母&第二個盒子中有紅球和白球各5個；第

三個盒子中則有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中

任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次

取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，

則稱試驗為成功.求試驗成功的概率.

［思路點撥］先設(shè)出基本事件，求出基本事件的概率，再求試驗成功的概率.

［解］設(shè)4=｛從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球｝,

8=｛從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球｝,

C=｛第二次取出的球是紅球｝,

D=｛第二次取出的球是白球｝,

則容易求得尸(A)=焉,尸⑻=焉P(C|A)=1,P(D|A)=1,P(C|B)=1,P(D\B)

=5-

事件“試驗成功”表示為CAUCB,又事件CA與事件CB互斥，故由概率的加

1743

法公式，得P(CAUCB)=P(CA)+P(CB)=P(C［A)P(A)+P(C\B)-P(B)=^x—+-x^

=0.59.

］.......思領(lǐng)悟...........................

1.應(yīng)用概率加法公式的前提是事件互斥.

2.為了求復(fù)雜事件的概率，往往可以先把該事件分解成兩個或多個互斥事件

的和，求出簡單事件概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率.

歸納總結(jié)

1.由條件概率的定義可知，尸(BH)與P(A|B)是不同的.另外，在事件A發(fā)生

的前提下，事件8發(fā)生的概率不一定是P(B),即P(B|A)與P(8)不一定相等.

2.在條件概率的定義中，要強調(diào)P(A)>0.當(dāng)P(A)=O時，P(B|A)=O.

P(AB)

3.P(B|A)=可變形為P(A3)=P(磯4>P(A),即只要知道其中的兩個值就

P(A)

可以求得第三值.

1.2乘法公式與事件的獨立性

1.3全概率公式

1.概率的乘法公式

當(dāng)P(A)>0時，P(AB)=P(B\A)P(AY

2.相互獨立事件的概率

(1)一般地，事件A,B相互獨立㈡P(A3)=P(A)P(3).

(2)如果事件4,A2,…，4相互獨立，那么RAM…A”)=P(AI)P(A2)…P(4).

3.相互獨立事件的性質(zhì)

若A與6是相互獨立事件，則A與萬，B與彳，彳與下也相互獨立.

思考上若A,B相互獨立，則A與石也相互獨立，為什么？

［提示］VA,B相互獨立，

.?.P(A8)=P(A)?尸(B)=P(A)(1-P(?))=P(A)-P(4)P(。),

JP(A)P(石)=P(A)—P(AB)=P(A)—P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(~B),

與石相互獨立.

3.全概率公式

⑴全概率公式

設(shè)Bi，B2，…,以為樣本空間Q的一個劃分，若P(3)>0(i=l,2,…，〃),

則對任意一個事件A有

P(A)=￡P(guān)(B)P(A匹).

*(2)貝葉斯公式

設(shè)Bi，歷，…，反為樣本空間。的一個劃分，若P(A)>0,P(3)>0(i=l,2,…,

辦則f⑸尸0㈣.

石P(砌尸(川勘

疑難問題

□類型1互斥事件與相互獨立事件的判斷

【例1】判斷下列各對事件是互斥事件，還是相互獨立事件.

(1)運動員甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；

(2)甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；

(3)甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射

中目標(biāo)”；

(4)甲、乙兩運動員各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，

但乙沒有射中目標(biāo)”.

［思路點撥］利用獨立事件、互斥事件的意義判斷.

［解］(1)甲射擊1次，''射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個事件不可能同時發(fā)生，

二者是互斥事件；

(2)甲、乙各射擊1次，“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否，對“乙射中9環(huán)”的概率

沒有影響，二者是相互獨立事件；

(3)甲、乙各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”

不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件；

(4)甲、乙各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有

射中目標(biāo)”可能同時發(fā)生，二者構(gòu)不成互斥事件，也不可能是相互獨立事件.

廠.....七反思領(lǐng)悟.............................

判斷兩事件相互獨立的方法

(1)若則事件A和8相互獨立.

(2)由事件本身的性質(zhì)直接判定是否相互影響，從而得出事件是否相互獨立.

類型2相互獨立事件同時發(fā)生的概率

【例2】某項選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進

入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問

4321

題的概率分別為5,亍5,且各輪問題能否正確回答互不影響.

(1)求該選手進入第四輪才被淘汰的概率；

(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率.

［思路點撥］(1)先找出第四輪被淘汰的事件，再看它是獨立事件還是互斥事

件；(2)至多進入第三輪含有第一輪被淘汰、第二輪被淘汰、第三輪被淘汰三個互

斥事件，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式求解.

［解］(1)記”該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為4a=1,2,3,4),

4321

則P(Ai)=§,尸(A2)=M，P(A3)=§,P(A4)=g.”該選手進入第四輪才被淘汰”記

,——432496

XXX=

為B,尸(3)=尸(A1A2A3A4)=P(AI)P(A2)P(A3)P(A4)=5555625-

(2)法一：“該選手至多進入第三輪考核”記為C,

P(O=P(7T+4石+A1A2AT)=P(7T)+P(4)P(T)+P(A?P(A2)P(T)

法二：“該選手進入第四輪沒有被淘汰”記為。，

432124

則^)=5X5X5X5=625-

而C與為對立事件，8與。為互斥事件，

：.P(Q=1-P(BUD)=1~P(B)~P(D)=1-怒一急=畏

廠.......'c反思領(lǐng)悟.............................

1.求尸(A3)時，要注意事件A,8是否相互獨立，求尸(A+8)時，應(yīng)注意事件

A,B是否互斥.對于“至多”“至少”型問題的解法有兩種思路：①分類討論；

②轉(zhuǎn)化為求對立事件的概率，利用P(X)=1—P(A)來計算.

2.復(fù)雜問題可考慮分解為等價的幾個事件的概率問題，同時結(jié)合對立事件的

概率求法進行求解.

類型3全概率公式的應(yīng)用

【例31設(shè)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為

0.15,第二車間的次品率為0.12,兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設(shè)第

一二車間生產(chǎn)的成品比例為2：3,今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產(chǎn)品，求

該產(chǎn)品合格的該概率.

［解］設(shè)8=｛從倉庫中隨機提一臺是合格品｝,4=｛提出的一臺是第i車間生

產(chǎn)的｝,i=l,2,

則有

由題意則P(A1)=O.4,尸(42)=0.6,P(B|A1)=O.85,P(B|A2)=0.88,

由全概率公式得，

P(B)=P(Ai)P(B\A!)+P(A2)P(B\A2)=0.4X0.85+0.6X0.88=0.868.

1.......七反思領(lǐng)悟.............................

1.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一復(fù)雜事件A的概率求解問題

轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.

2.從以上典型例題的分析可以看出，應(yīng)用全概率公式解決問題時，準(zhǔn)確、迅

速尋找完備事件組是解決此類問題的關(guān)鍵，其應(yīng)用的一般方法和步驟歸納如下：

(1)認真分析題目中的條件，找出完備事件組4,A2,…，A”；

(2)求出4發(fā)生的條件下8發(fā)生的條件概率P(B\Ai),這樣就可以直接利用全概

率公式解決此類問題了.

歸納總結(jié)

1.兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有

影響；兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立的兩個事件可以

同時發(fā)生.

2.如果事件A”A2,…，4相互獨立，那么這"個事件同時發(fā)生的概率等于

每個事件發(fā)生的概率的積.

3.利用全概率公式可以將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率的求和問

題，尋找完備事件組是求解的關(guān)鍵.

2離散型隨機變量及其分布列

2.1隨機變量

1.隨機變量

(1)定義：在隨機試驗中，確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得樣本空間的每一個樣本

點都用一個確定的數(shù)值表示.在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)值隨著試驗結(jié)果的變化而變

化.像這種取值隨著試驗結(jié)果變化而變化的量稱為隨機變量.

(2)表示：隨機變量常用字母X,K用"等表示.

2.離散型隨機變量

所有取值可以一一列舉出來的隨機變量,稱為離散型隨機變量.

里造工(1)任何隨機試驗的結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？

(2)離散型隨機變量的取值一定是有限個嗎？

［提示］(1)可以.實際上我們可以建立一個隨機試驗的所有結(jié)果同實數(shù)間的對

應(yīng)關(guān)系，根據(jù)問題的需要選擇相應(yīng)數(shù)字.

(2)不一■定.可以是無限個，如1,2,3,…，n,….

疑難問題

□類型1隨機變量的概念

【例1】判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理

由.

(1)北京國際機場候機廳中2022年5月1日的旅客數(shù)量；

(2)2022年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；

(3)2022年6月1日上海到北京的某次動車到北京站的時間；

(4)體積為1000cm3的球的半徑長.

［思路點撥］判斷所給的量是否隨試驗結(jié)果的變化而變化，發(fā)生變化的是隨機

變量.

［解］(1)旅客人數(shù)可能是0,1,2,…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨

機變量.

(2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨

機變量.

(3)動車到達的時間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機的，因此是隨機變量.

(4)球的體積為1000cn?時，球的半徑為定值，不是隨機變量.

廠......?(/S?思領(lǐng)悟.........................

1.解答本題主要是運用隨機變量的定義，透徹理解定義是解此類題的關(guān)鍵.

2.隨機變量X滿足三個特征：(1)可以用數(shù)來表示；(2)試驗之前可以判斷其

可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗之前不能確定取何值.

類型2離散型隨機變量的判定

【例2】指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由.

(1)某超市5月份每天的銷售額；

(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差。

(3)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29］這一范圍內(nèi)變化，該水位監(jiān)

測站所測水位自

［解］(1)某超市5月份每天的銷售額可以一一列出，故為離散型隨機變量.

(2)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法——列出，不是離散型隨機變量.

(3)不是離散型隨機變量，水位在(0,29］這一范圍內(nèi)變化，不能按次序——列

舉.

廠.......?慶思領(lǐng)悟............................

判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法：

(1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果；

(2)將隨機試驗的試驗結(jié)果數(shù)量化；

(3)確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，

則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是.

類型3用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果

【例3】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值和所表示

的隨機試驗的結(jié)果.

(1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，直到取

出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)；

(2)從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和.

［思路點撥］分析題意一寫出X可能取的值一分別寫出取值所表示的結(jié)果

［解］(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X=l,2,3,4,…，10,11,

X=i表示前i—l次取到紅球，第，次取到白球，這里i=l,2,…，11.

(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字和為X,則X=3,4,5,…，11.

X=3,表示取出標(biāo)有1,2的兩張卡片；

X=4,表示取出標(biāo)有1,3的兩張卡片；

X=5,表示取出標(biāo)有2,3或標(biāo)有1,4的兩張卡片；

X=ll,表示取出標(biāo)有5,6的兩張卡片.

］......?我思領(lǐng)悟.............................

1.解答此類問題，關(guān)鍵是要弄清題意，第(1)問中，X=l,2,…，11所表示

的結(jié)果不需要分別列出來，引入變量i,可寫成X=i.

2.在寫出隨機變量的取值表示的試驗結(jié)果時，要特別注意隨機變量的一個值

表示多個試驗結(jié)果的情況，不能遺漏某些試驗結(jié)果.

歸納總結(jié)

1.隨機變量可將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化.

2.隨機變量與函數(shù)的異同點：

隨機變量函數(shù)

都是一種映射，試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的

相同點

取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域

把試驗結(jié)果映射為實數(shù)，即隨機變把實數(shù)映射為實數(shù)，即函數(shù)的

不同點

量的自變量是試驗結(jié)果自變量是實數(shù)

2.2離散型隨機變量的分布列

1.離散型隨機變量

取值能夠一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量.

2.離散型隨機變量X的分布列

(1)定義：若離散型隨機變量X的取值為X],X2，…，隨機變量X取

方的概率為pM=l,2,…，〃，…)，記作：P(X=Xi)=pi(i=1,2,,,,,n,…)，①,

把①式列成如下表格：

X=xiX\X2???Xn???

P(X=x?piP2???Pn???

上述表格或①式稱為離散型隨機變量X的分布列.

如果隨機變量X的分布列為上述表格或①式，我們稱隨機變量X服從這一分

X|X2…Xn…

布列，并記作X?.

_p\P2…Pn

(2丁性質(zhì)：

在離散型隨機變量X的分布列中，

?/?,>0(z=1,2,…，n,…)；

②pi+p2H-----Fp"-|—=1.

3.伯努利試驗

若在某個試驗中，每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果,可以分別稱為“成功”

和“失敗”，每次“成功”的概率均為艮,每次“失敗”的概率均為上二衛(wèi)，則稱

這樣的試驗為伯努利試驗.

4.兩點分布

如果隨機變量X的分布列如表

X10

ppq

其中0<p<l,q=l—p,那么稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布(又

稱0—1分布或伯努利分布).

兩點分布不僅是最簡單的，也是最重要的概率分布模型，在實際生活中有著

廣泛的應(yīng)用.

gh在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為什么為1?

［提示］因為離散型隨機變量所有取值對應(yīng)的事件之和是必然事件，所以所有

概率之和為1.

疑難問題

類型1離散型隨機變量的分布列

【例1】一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)

從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼.

(1)求乂的分布列；

(2)求X的取值不小于4的概率.

［解］(1)隨機變量X的可能取值為3,4,5,6,

Cg1C|C*3ClCi3/C?

P(X=3)=^=而，P(X=4)=背=而，P(X=5)=K=75,P(X=6)=鉉

所以隨機變量X的分布列為

X~5~T

-

D~r"I~T

r2020lo2

33

(2)X的取值不小于4的概率為P(X24)=尸(X=4)+尸(X=5)+尸(X=6)=而+6

廠.....??七反思領(lǐng)悟.......

求離散型隨機變量分布列的一般步驟:

(1)確定X的所有可能取值劉(i=l,2,…)以及每個取值所表示的意義；

(2)利用概率的相關(guān)知識，求出每個取值相應(yīng)的概率尸(X=H)=p,(i=l,2,-);

(3)寫出分布列；

(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進行檢驗.

類型2離散型隨機變量分布列的性質(zhì)

【例2］設(shè)隨機變量X的分布列—ak(Jc—1,2,3,4,5).

⑴求常數(shù)a的值;

⑵求P(X2|)；

(3)求P(^<X<部

［思路點撥J(1)先求出X的分布列，再根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a.(2)、(3)中

的概率利用互斥事件的概率公式結(jié)合分布列求解即可.

［解］依題意,

⑴由a+2a+3a+4a+5a=1,得七

3454

十-

+-5

151515=

7123

(3)因為正<X<m，所以X=5,不g.

故p(京忌)=電=,+/=|)+電=04+合4=4

「匕反思領(lǐng)悟?????...................

1.隨機變量的取值不一定是整數(shù)，它的取值一般來源于實際問題，并有特定

的含義.

2.隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于在這一范圍內(nèi)取每個值的概率之

和.

類型3離散型隨機變量分布列的應(yīng)用

【例3】袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個

小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用X

表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：

(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)隨機變量X的分布列；

(3)計算介于20分到40分之間的概率.

［思路點撥］(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的關(guān)鍵在于確定X的所

有可能取值及取每個值的概率；(3)由題意知計算介于20分到40分之間的概率等

于X=3與X=4的概率之和，由(2)易得其概率.

［解］(1)法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則

Ocicici_2

P(A)=

Go=3,

法二：”一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,“一次取出

的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為8,則事件A和事件8是對立事件.

C必己1

因為P(B)=

-c^=3,

匕12

所以P(A)=1-P(B)=1一1=亍

(2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.

dcl+cic^_1

P(X=2)=

一瓦=30;

clcJ+cLG2

P(X=3)=15;

cQ+aca3

P(X=4)=10:

.......?。反思領(lǐng)悟......

離散型隨機變量分布列問題融合了排列、組合，古典概型、互斥事件、對立

事件的概率等知識，是較強的綜合應(yīng)用.

歸納總結(jié)

1.離散型隨機變量可能取的值為有限個或可列舉的無限個，或者說能將它的

可能取值按一定次序一一列出.

2.求離散型隨機變量的分布列時應(yīng)注意以下幾點

(1)確定離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是搞清X取每一個值對應(yīng)的隨機事

件，進一步利用排列、組合知識求出X取每一個值的概率.

(2)在求離散型隨機變量X的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣可以

減少運算量，也可利用分布列的性質(zhì)驗證分布列是否正確.

3離散型隨機變量的均值與方差

3.1離散型隨機變量的均值

離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望

(1)定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

???

XX\X2???Xi

???

PP'P2PiPn

則稱EX=xi〃i+x2〃2~l-----l~xfH-----為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡

稱期望).

(2)意義：離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機變量X取值

的平均水平.

(3)性質(zhì)：如果X為離散型隨機變量，則丫=。乂+僅其中。，人為常數(shù))也是隨機

變量，且EY=E(aX+O)=遐土

思考(1)隨機變量的均值和樣本的平均值是一個常數(shù)還是隨機變量？

(2)隨著樣本容量的增加，樣本的平均值與總體平均值有什么關(guān)系？

f提示］(1)隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽?。簶颖镜钠骄?/p>

值是一個隨機變量，它是隨著樣本的不同而變化的.

(2)隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體平均值.

疑難問題

□類型1求離散型隨機變量的均值

【例1】袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到

一個黑球記。分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用。表示得分

數(shù).

⑴求4的分布列；

(2)求。的均值.

［思路點撥］首先根據(jù)取到的兩個球的不同情況，確定。的取值為0,1,2,3,

4,再分別計算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解.

［解］(1)由題意知4的可能取值為0,1,2,3,4,

Cl1

當(dāng)時，即取到2個黑球，則尸(。=0)=d=不

C'l1

當(dāng)4=1時，即取至1個黑球和1個白球，則P(<=l)=-^p=3；

當(dāng)4=2時，即取到1個紅球和1個黑球或者取到2個白球，則P(c=2)=||+

Cl-C111

C9=36;

Cl。1

當(dāng)4=3時，即取至U1個紅球和1個白球，則尸(^=3)=-^=4;

C?1

當(dāng)r=4時，即取到2個紅球，則P?=4)=a=%.

所以4的分布列為

g01234

111111

p6336636

(2)均值E4=0X(+lxg+2x1|+3xt+4X親=￥.

廠.......七反思領(lǐng)悟..........................

求離散型隨機變量的均值的步驟

(1)確定取值：根據(jù)隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值.

(2)求概率：求X取每個值的概率.

(3)寫分布列：寫出X的分布列.

(4)求均值：由均值的定義求出破，

其中寫出隨機變量的分布列是求解此類問題的關(guān)鍵所在.

類型2離散型隨機變量均值的性質(zhì)

【例2]已知隨機變量X的分布列為：

X-2-1012

111

Pm

43520

⑴求EX；

(2)若y=2X—3,求EK

［解］⑴由隨機變量分布列的性質(zhì)，得I=1,解得m

IJJJLr\JU

所以EX=(—2)*J+(—I)xl+O><!+1XJ+2X；^=一叫.

45502U3。

(2)法一：由公式E(aX+b)=aEX+b,得

(⑺62

EY=EQX-3)=2EX-3=2x1-^jj-3=

法二：由于y=2x-3,所以y的分布列如下：

Y-7-5-3-11

P11111

435620

“1,1,1,1,162

所以后丫=(_7)乂工+(_5)義大+(_3)*1+(_1)*7+1*布=_次.

IJJV.ZIJ

［母題探究］

1.本例條件不變，若4=aX+3,且斯=—冷，求a的值.

1711

［解］Er=E(aX+3)=aE(X)+3=—%a+3=-E，所以a=15.

2.已知隨機變量4的分布列為

e01

\

pm

23

7

若〃=琥+3,Et]=y則。=()

A.1B.2C.3D.4

B[由分布列的性質(zhì)得g+；+/”=1,所以機=:,

所以￡1<;=-1X；+OX；+1X^=—

17

法一：E〃=E(a4+3)="E<f+3=—乃+3=§.

所以。=2.

法二：因為〃=琥+3,所以〃的分布列如下：

>1—a+33。+3

111

P

236

1117

￡〃=(—a+3)X]+3X]+(a+3)Xd=Q.

所以a=2.]

「.....思領(lǐng)悟????........................

求離散型隨機變量均值的解題思路

(1)若給出的隨機變量y與X的關(guān)系為y=aX+Ra,b為常數(shù).一般思路是

先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求EY.

(2)利用X的分布列得到丫的分布列，關(guān)鍵由X的取值計算丫的取值，對應(yīng)的

概率相等，再由定義法求得EK

類型3離散型隨機變量均值的應(yīng)用

【例3】一名博彩者，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規(guī)矩：凡

是愿意摸彩者，每人交1元作為手續(xù)費，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩

情況如下表：

摸5個球中彩發(fā)放獎品

有5個白球1頂帽子(價值20元)

恰有4個白球1張賀卡(價值2元)

恰有3個白球紀(jì)念品(價值0.5元)

其他同樂一次(無任何獎品)

試計算：(1)摸一次能獲得20元獎品的概率.

⑵按摸10000次統(tǒng)計，這個人能否賺錢？如果賺錢，則凈賺多少錢？

［思路點撥］在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一

個隨機變量，他能否賺錢，就要看該隨機變量的均值是否大于0.

［解］(1)摸一次能獲得20元獎品的概率是2=式=丘.

(2)如果把取到的白球作為隨機變量X,則P(X=5)=#=而，P(X=4)=權(quán)

15C2&50,66

P(X=3)=a=7^5,P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=Y^,

所以博彩者的收入這一隨機變量丫(可以為負數(shù))的分布列為：

Y-19-10.51

1155066

P132132132132

所以收入的隨機變量Y的均值為

1,15,50,66

Er=(-19)X-rrr+(-l)X-^r+0.5X—+IX—^0.4318.

故這個人可以賺錢，且摸10000次凈收入的均值為4318元.

廠.......反思領(lǐng)悟............................

(1)實際問題中的均值問題，均值在實際中有著廣泛的應(yīng)用，如在體育比賽的安

排和成績預(yù)測，消費預(yù)測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益等，

都可以通過隨機變量的均值來進行估計.

(2)概率模型的解答步驟

①審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公

式有哪些；

②確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值；

③對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論.

歸納總結(jié)

1.本節(jié)課的重點是離散型隨機變量的均值的求法，難點是均值的實際應(yīng)用.

2.要掌握離散型隨機變量均值的幾個常用結(jié)論

(1)E(0=C(C為常數(shù))；

(2)E(aXi+bX2)=aEXi+hEX2；

(3)如果X],X2相互獨立，則E(X-X2)=EXrEX2.

3.2離散型隨機變量的方差

1.方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義

設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

??????

XX\X2XiXn

??????

PpiP2PiPn

n

(1)方差DX=y(Xi-EX)2Pi.(2)標(biāo)準(zhǔn)差ax=y[DX.

2.方差的性質(zhì)

D(aX+b)=^DX.

思考()隨機變量的方差和樣本的方差是一個常數(shù)還是隨機變量？

(2)隨著樣本容量的增加，樣本的方差與總體方差有什么關(guān)系？

[提示](1)隨機變量的方差是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽??；樣本的方差

是一個隨機變量，它是隨著樣本的不同而變化的.

(2)隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體方差.

疑難問題

□類型1求離散型隨機變量的方差

【例1】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上〃號的

有〃個(〃=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，4表示所取球的標(biāo)號.求^的分布列、

均值和方差.

［解］由題意得，4的所有可能取值為0,1,2,3,4,

P(『)=射,「(1)=玄，

213

2(。=2)=而=而，P(。=3)=疝，

41

P《=4)=獷亍

故4的分布列為

01234

11131

P

220Io205

所以肉=0><4+1X白+2X^+3X2+4X!=1.5,

-22010205

1113

Df=(0—1.5)2X-+(1-1.5)2X—+(2-1.5)2X—+(3-1.5)2X+(4-

,1

1.5)2*5=2.75.

廠.......?慶思領(lǐng)悟......................

求離散型隨機變量的方差的步驟

(1)明確隨機變量的取值，以及取每個值的試驗結(jié)果.

(2)求出隨機變量取各個值的概率.

(3)列出分布列.

n

(4)利用公式EX=Z無網(wǎng)求出隨機變量的期望EX.

1=1

n

(5)代入公式DX=名(xi-EX^pi,求出方差。X.

/=1

口類型2方差的性質(zhì)

【例2］已知隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.2a0.20.1

求EX,DX,O(-2X—3).

［解］V0.2+0.24-4Z4-0.24-0.1=1,：.a=0.3.