2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5定積分的概念（教師用書）教案新人教A版選修2-2科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5定積分的概念（教師用書）教案新人教A版選修2-2教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容來自2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的1.5節(jié)“定積分的概念”，新人教A版選修2-2。內(nèi)容主要包括定積分的定義、性質(zhì)以及定積分與微積分基本定理的聯(lián)系。這部分知識與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中掌握了導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用，理解了瞬時(shí)變化率的思想，而定積分作為導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，將幫助學(xué)生從新的角度認(rèn)識函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間區(qū)域的面積問題。此外，定積分的概念也與初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何面積計(jì)算方法有關(guān)，有助于學(xué)生將新舊知識融合，形成完整的數(shù)學(xué)知識體系。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在通過定積分概念的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。學(xué)生將通過探索定積分的定義，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)概念的理解與抽象思維能力；通過分析定積分的性質(zhì)和運(yùn)用，加強(qiáng)邏輯推理和問題解決能力；結(jié)合實(shí)際情境，運(yùn)用定積分解決幾何、物理等領(lǐng)域的問題，提高數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論、合作探究，發(fā)展交流表達(dá)和團(tuán)隊(duì)合作的核心素養(yǎng)。這些目標(biāo)與新人教A版選修2-2教材內(nèi)容緊密結(jié)合，旨在全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法本節(jié)課的重點(diǎn)在于定積分的定義及其性質(zhì)的掌握，難點(diǎn)在于定積分概念的理解以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用。解決方法和突破策略如下：

1.重點(diǎn)：定積分的定義及性質(zhì)。通過直觀的幾何圖形和實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解定積分表示的是函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間區(qū)域的面積，強(qiáng)調(diào)“分割、近似、求和、取極限”的過程。結(jié)合教材中的例題和練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握定積分的性質(zhì)。

2.難點(diǎn)：定積分概念的理解與應(yīng)用。采用以下策略突破難點(diǎn)：

a.利用數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生通過觀察和分析圖像，建立直觀的定積分概念。

b.通過小組討論、合作探究，引導(dǎo)學(xué)生將定積分應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如幾何圖形面積、物理運(yùn)動(dòng)問題等，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

c.設(shè)計(jì)梯度性練習(xí)題，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定積分，逐步提升解題技巧和思維水平。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過講解定積分的定義、性質(zhì)和定理，為學(xué)生提供清晰的知識框架，確保基本概念的準(zhǔn)確理解。

2.討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同探討定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用，促進(jìn)知識的內(nèi)化和思維能力的提升。

3.探究法：引導(dǎo)學(xué)生自主探究定積分的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：利用PPT、動(dòng)畫等展示定積分的幾何意義和計(jì)算過程，增強(qiáng)直觀感受，提高理解效率。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行定積分的數(shù)值計(jì)算和圖像繪制，讓學(xué)生更直觀地感受定積分的計(jì)算過程。

3.實(shí)物模型：使用教具或自制模型，如面積模型，幫助學(xué)生形象地理解定積分的概念和應(yīng)用。教學(xué)過程第一環(huán)節(jié)：導(dǎo)入新課

1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入

同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用。我們知道，導(dǎo)數(shù)可以描述函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。那么，有沒有一種運(yùn)算可以反過來描述函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間區(qū)域的面積呢？今天我們將要學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念——定積分。

2.生活實(shí)例

在我們的日常生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一些與面積有關(guān)的問題，比如計(jì)算不規(guī)則圖形的面積、物體在運(yùn)動(dòng)過程中的路程等。通過學(xué)習(xí)定積分，我們可以更好地解決這些問題。

第二環(huán)節(jié)：新課講解

1.定積分的定義

（1）引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間區(qū)域的面積。

請同學(xué)們觀察這個(gè)函數(shù)圖像，我們?nèi)绾斡?jì)算它與x軸之間這個(gè)區(qū)域的面積呢？

（2）介紹定積分的“分割、近似、求和、取極限”過程。

我們可以將這個(gè)區(qū)域分割成無數(shù)個(gè)小的矩形，然后對每個(gè)小矩形進(jìn)行近似，將它們的面積相加。當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，這個(gè)和的值將越來越接近這個(gè)區(qū)域的實(shí)際面積。這就是定積分的定義。

2.定積分的性質(zhì)

（1）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定積分的性質(zhì)。

（2）講解定積分的性質(zhì)。

定積分具有線性性質(zhì)、保號性質(zhì)、可積性等。這些性質(zhì)將有助于我們更好地理解和計(jì)算定積分。

3.定積分的應(yīng)用

（1）引導(dǎo)學(xué)生思考定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

那么，定積分除了可以計(jì)算面積，還有哪些實(shí)際應(yīng)用呢？

（2）講解定積分在幾何、物理等領(lǐng)域的應(yīng)用。

定積分可以用來計(jì)算物體的體積、曲線的長度、物體在運(yùn)動(dòng)過程中的路程等。

第三環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)

1.讓學(xué)生獨(dú)立完成教材中的例題。

請同學(xué)們嘗試獨(dú)立完成教材中的例題，鞏固定積分的計(jì)算方法。

2.學(xué)生展示解題過程，老師點(diǎn)評。

請幾位同學(xué)展示他們的解題過程，并說明他們的思路。我會(huì)對他們的解答進(jìn)行點(diǎn)評，指出需要注意的地方。

第四環(huán)節(jié)：鞏固拓展

1.讓學(xué)生完成課后練習(xí)。

為了加深對定積分的理解，請同學(xué)們完成課后練習(xí)，鞏固所學(xué)知識。

2.小組討論：定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

請同學(xué)們分組討論，探討定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如幾何圖形面積、物理運(yùn)動(dòng)問題等。

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了定積分的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)，我們了解到定積分可以描述函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間區(qū)域的面積，以及它在幾何、物理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。希望同學(xué)們能夠掌握定積分的計(jì)算方法，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于實(shí)際問題。

第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置

1.完成課后練習(xí)。

2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。

3.思考定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用，下節(jié)課分享。知識點(diǎn)梳理1.定積分的定義

-“分割、近似、求和、取極限”的過程

-定積分表示函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間區(qū)域的面積

2.定積分的性質(zhì)

-線性性質(zhì)：對于常數(shù)a和b，定積分滿足(aF(x)+bG(x))dx=a∫F(x)dx+b∫G(x)dx

-保號性質(zhì)：若f(x)在區(qū)間[a,b]上恒大于等于0（或小于等于0），則∫f(x)dx在[a,b]上的值非負(fù)（或非正）

-可積性：若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

3.定積分的計(jì)算

-定積分的計(jì)算方法：牛頓-萊布尼茨公式

-定積分的換元積分法

-定積分的分部積分法

4.定積分的應(yīng)用

-計(jì)算平面區(qū)域的面積

-計(jì)算物體的體積

-計(jì)算曲線的長度

-計(jì)算物體在運(yùn)動(dòng)過程中的路程

-解決物理、幾何、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的相關(guān)問題

5.定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

-微積分基本定理：若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則∫f(x)dx的導(dǎo)數(shù)F(x)等于f(x)

-定積分的反導(dǎo)數(shù)：若F(x)是f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為常數(shù)

6.定積分的近似計(jì)算

-數(shù)值積分方法：梯形法則、辛普森法則等

-計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算：利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行定積分的數(shù)值計(jì)算板書設(shè)計(jì)①定積分的定義與性質(zhì)

-定積分：“分割、近似、求和、取極限”

-面積表示：∫f(x)dx

-性質(zhì)：

-線性性質(zhì)：a∫F(x)dx+b∫G(x)dx

-保號性質(zhì)：f(x)≥0→∫f(x)dx≥0

-可積性：連續(xù)→可積

②定積分的計(jì)算與應(yīng)用

-計(jì)算公式：牛頓-萊布尼茨公式

-換元積分法：換元、求導(dǎo)、積分

-分部積分法：部分、求導(dǎo)、積分

-應(yīng)用：

-面積、體積、曲線長度

-物理運(yùn)動(dòng)：路程、位移

③定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

-微積分基本定理：∫f(x)dx的導(dǎo)數(shù)=f(x)

-反導(dǎo)數(shù)：∫f(x)dx=F(x)+C

設(shè)計(jì)說明：

1.板書采用直觀的圖形與文字結(jié)合，如用圖形表示定積分的面積概念，增強(qiáng)視覺效果。

2.重點(diǎn)知識點(diǎn)用不同顏色的粉筆標(biāo)注，突出重點(diǎn)，便于學(xué)生記憶。

3.板書結(jié)構(gòu)條理清晰，從定義到性質(zhì)，再到計(jì)算與應(yīng)用，最后到與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，邏輯層次分明。

4.在適當(dāng)位置加入有趣的插圖或符號，如小箭頭表示換元積分的方向，增加板書的趣味性。

5.鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上積極參與，將他們的解題過程和答案展示在板上，提高學(xué)生的參與感和成就感。教學(xué)反思二、核心素養(yǎng)目標(biāo)

1.數(shù)學(xué)抽象：學(xué)生能夠從實(shí)際問題中抽象出定積分的數(shù)學(xué)模型，理解定積分在幾何和物理等領(lǐng)域的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)抽象能力。

2.邏輯推理：學(xué)生通過探討定積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，運(yùn)用邏輯推理解決問題，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維。

3.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生能夠運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題，如計(jì)算曲線圍成的面積、物體的位移等，提高數(shù)學(xué)建模能力。

4.數(shù)據(jù)分析：學(xué)生通過分析定積分的計(jì)算過程，學(xué)會(huì)從數(shù)據(jù)中提取有用信息，進(jìn)行推理和預(yù)測。

5.數(shù)學(xué)交流：在課堂討論和合作探究中，學(xué)生能夠清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，傾聽他人意見，提高數(shù)學(xué)交流能力。

6.跨學(xué)科整合：學(xué)生能夠?qū)⒍ǚe分知識與其他學(xué)科知識相結(jié)合，如物理學(xué)中的動(dòng)量、化學(xué)中的濃度等，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科知識整合。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.請同學(xué)們完成教材第1章的練習(xí)題5.1、5.2和5.3，這些題目涵蓋了定積分的定義、性質(zhì)以及計(jì)算方法，旨在鞏固課堂所學(xué)知識。

2.結(jié)合生活實(shí)際，設(shè)計(jì)一道應(yīng)用定積分解決的問題，并給出詳細(xì)的解題過程。例如，計(jì)算某個(gè)不規(guī)則圖形的面積，或分析物體在運(yùn)動(dòng)過程中的位移等。

3.預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容，了解定積分在微積分基本定理中的應(yīng)用。

作業(yè)反饋：

1.在批改作業(yè)過程中，關(guān)注學(xué)生對定積分定義的理解，以及他們在計(jì)算過程中的準(zhǔn)確性。

2.對于學(xué)生在作業(yè)中存在的問題，如計(jì)算錯(cuò)誤、概念混淆等，及時(shí)指出并提供針對性的改進(jìn)建議。

3.針對不同學(xué)生的作業(yè)情況，進(jìn)行個(gè)性化指導(dǎo)，提高他們的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.在課堂上對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評，分享優(yōu)秀作業(yè)案例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競爭意識。

5.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與作業(yè)討論，相互學(xué)習(xí)、相互促進(jìn)，提高作業(yè)質(zhì)量。典型例題講解例題1：計(jì)算定積分∫(3x^2-2x+1)dx，其中a=1，b=2。

解答：根據(jù)定積分的計(jì)算公式，有

∫(3x^2-2x+1)dx=[3/3x^3-2/2x^2+1x]|fromatob

=[3/3(2)^3-2/2(2)^2+1(2)]-[3/3(1)^3-2/2(1)^2+1(1)]

=[3/3(8)-2/2(4)+2]-[3/3(1)-2/2(1)+1]

=[8-4+2]-[1-1+1]

=6-1

=5

例題2：計(jì)算定積分∫(4-2x)dx，其中a=0，b=1。

解答：根據(jù)定積分的計(jì)算公式，有

∫(4-2x)dx=[4x-x^2/2]|fromatob

=[4(1)-(1)^2/2]-[4(0)-(0)^2/2]

=[4-1/2]-[0-0]

=3.5-0

=3.5

例題3：計(jì)算定積分∫(x^3)dx，其中a=0，b=1。

解答：根據(jù)定積分的計(jì)算公式，有

∫(x^3)dx=[x^4/4]|fromatob

=[(1)^4/4]-[(0)^4/4]

=[1/4]-[0]

=1/4