湖南省常德市2025屆高三3月聯(lián)合檢測試題（數(shù)學(xué)試題理）試題含解析

湖南省常德市2025屆高三3月聯(lián)合檢測試題（數(shù)學(xué)試題理）試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．2．用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個(gè)實(shí)數(shù)，且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù)，則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于的概率為（）A． B． C． D．3．點(diǎn)在曲線上，過作軸垂線，設(shè)與曲線交于點(diǎn)，，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0，則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．35．向量，，且，則（）A． B． C． D．6．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則不可能為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A． B． C． D．9．設(shè)復(fù)數(shù)，則=（）A．1 B． C． D．10．若集合，，則（）A． B． C． D．11．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于12．做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為（）A．13 B．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14．正項(xiàng)等比數(shù)列|滿足，且成等差數(shù)列，則取得最小值時(shí)的值為_____15．點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．16．如圖，從一個(gè)邊長為的正三角形紙片的三個(gè)角上，沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形，余下部分再以虛線為折痕折起，恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底，則所得正三棱柱的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（2）設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費(fèi)（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元，如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對此疾病所支付的費(fèi)用為元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？20．（12分）隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展，我國對于環(huán)境保護(hù)越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用預(yù)算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即同時(shí)啟動另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)的概率均為，且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.（1）當(dāng)時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用是否會超過預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)？并說明理由.21．（12分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計(jì)確診人數(shù)隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖.為了預(yù)測在未釆取強(qiáng)力措施下，后期的累計(jì)確診人數(shù)，建立了累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的兩個(gè)回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：時(shí)間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)19752744451559747111（?。┊?dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實(shí)數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認(rèn)為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實(shí)數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護(hù)措施有效，請判斷預(yù)防措施是否有效？附：對于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：其中，.5.53901938576403152515470010015022533850722．（10分）在三棱錐S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn)，SA=2(I)證明：SD⊥BC；(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.2．C【解析】

由幾何概型的概率計(jì)算，知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為，結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.【詳解】∵每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選：C.本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，是一道容易題.3．C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.4．D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個(gè)向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】故選：D本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.6．B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以當(dāng)時(shí)，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎(chǔ)題.7．D【解析】

依題意，設(shè)，由，得，再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，?jīng)驗(yàn)證不滿足，故選：D.本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據(jù)，求得②，由①②可得的最大值，檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件．【詳解】解：函數(shù)，，為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調(diào)，，②．由①②可得的最大值為1．當(dāng)時(shí)，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點(diǎn)，同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B．本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．9．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入化簡即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，則故選：A.本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A，由集合性質(zhì)表示形式即可求得，進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.11．D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．12．C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14．2【解析】

先由題意列出關(guān)于的方程，求得的通項(xiàng)公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設(shè)公比為，且，時(shí)，上式有最小值，故答案為：2.本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算，中檔題.15．【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.16．1【解析】

由題意得正三棱柱底面邊長6，高為，由此能求出所得正三棱柱的體積．【詳解】如圖，作，交于，，由題意得正三棱柱底面邊長，高為，所得正三棱柱的體積為：．故答案為：1．本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意翻折前后的不變量．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）令，求出的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論；（2）對分類討論，分別求出以及的最小值或范圍，與的最小值建立方程關(guān)系，求出的值，進(jìn)而求出的取值關(guān)系.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，∵∴，而是增函數(shù)，∴，∴函數(shù)的值域是.（2）當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，在上單調(diào)遞增，最小值為，而的最小值為，所以這種情況不可能.當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減且沒有最小值，在上單調(diào)遞增最小值為，所以的最小值為，解得（滿足題意），所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.18．（1）當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為；（2）見解析.【解析】

（1）將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大．（2）n＝1時(shí)，X的所有可能的取值為0，1，2，3，1．分別計(jì)算出每個(gè)變量對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可．【詳解】（1）對一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大，只需，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為.（2）由已知，的可能取值為0，1，2，3，1.，所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡單的計(jì)算，屬于中檔題．19．（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購買了此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識處理實(shí)際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語言，為容易題.20．（1）；（2）不會超過預(yù)算，理由見解析【解析】

（1）求出某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為，可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對其求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.（2）設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元，則的可能取值為900，1500.，令,則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減,的最大值為,實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為（萬元），，故不會超過預(yù)算.本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望，及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值，由根據(jù)期望值確定方案，此類題目解決的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量，屬于中檔題.21．（1）適宜（2）（3）（?。┗?/p>