數(shù)學分析反常積分

知識結(jié)構(gòu)我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間有限，并且積分區(qū)間是閉區(qū)間（閉區(qū)域）.下面研究積分區(qū)間無限,或積分區(qū)間不是閉區(qū)間的積分,我們稱這樣的積分為反常積分,所謂反常是指相對于黎曼積分的反常.對正常積分,我們主要研究它的計算問題,而對反常積分,主要研究它的收斂問題.一元函數(shù)的反常積分(1)一元函數(shù)反常積分的概念和定義我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間是有限閉區(qū)間或有限閉區(qū)域，如果將積分區(qū)間換成無限區(qū)間或非閉區(qū)間（是被積函數(shù)的瑕點）或，由此產(chǎn)生的積分我們稱為反常積分，反常積分是相對于黎曼積分所提出的，“反常”指將黎曼積分中的有限閉區(qū)間換成無限區(qū)間或非閉區(qū)間（是被積函數(shù)的瑕點,即函數(shù)在點處無界）.定義1函數(shù)在無限區(qū)間連續(xù)，則定義，如果極限存在，我們稱反常積分收斂.定義2函數(shù)在非閉區(qū)間連續(xù)，而在點右鄰域內(nèi)無界（是被積函數(shù)的瑕點）即函數(shù)在點無界，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.函數(shù)在點右鄰域內(nèi)無界的意思是：.注意:函數(shù)在點沒有定義,但函數(shù)在點右極限可以存在,這時不是被積函數(shù)的瑕點.例如,函數(shù)在點處沒有定義,但,所以不是積分的瑕點.不是反常積分.將積分看作推廣的黎曼積分.因為,如果被積函數(shù)在閉區(qū)間上僅有有限個第一類間斷點,則積分為推廣的黎曼積分,它也是收斂的.定義3函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，都是函數(shù)的瑕點，則定義,如果極限和均存在，我們稱反常積分收斂.定義4函數(shù)在無限區(qū)間連續(xù)，是函數(shù)的瑕點，則定義,如果極限和均存在，我們稱反常積分收斂.=2\*GB3②積分區(qū)域無限且被積函數(shù)有瑕點（了解）.2、一元函數(shù)反常積分的性質(zhì)與收斂判別請同學們切記如下例子中的結(jié)論.例討論積分和的斂散性.解顯然和均發(fā)散.在區(qū)間上,當時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像下方,這時收斂(請同學給出證明).當時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像上方,這時發(fā)散(請同學給出證明).在區(qū)間上,當時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像上方,這時發(fā)散(請同學給出證明).當時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像下方,這時收斂(請同學給出證明).結(jié)論:和(1)無窮積分的性質(zhì)與收斂性判別=1\*GB3①無窮積分的性質(zhì)(a)若與收斂,則也收斂,且.(b)若在任何有限閉區(qū)間上可積,,則與同斂態(tài)(同時收斂或同時發(fā)散),并且.(c)若在任何有限閉區(qū)間上可積,且有收斂，則收斂，且.當收斂時,稱絕對收斂.我們稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂.=2\*GB3②無窮積分的收斂判別(a)柯西收斂準則對無窮積分的斂散性用以下準則可以作出判斷.定理1(柯西收斂準則)無窮積分收斂的充要條件是:對,,,當時,有.無窮積分的柯西收斂準則可由函數(shù)極限的柯西收斂準則得到.(b)比較法則定理2(比較法則)設定義在上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足,,則當收斂時必收斂;當發(fā)散時必發(fā)散.考慮當收斂時必收斂是否正確?當發(fā)散時必發(fā)散是否正確?推論1設定義在上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,,且,則有=1\*GB3①當時,與同斂態(tài);=2\*GB3②當時,由收斂可推知也收斂;=3\*GB3③當時,由發(fā)散可推知也發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.推論2設是定義在()的函數(shù),且在任何有限區(qū)間上可積,則有:=1\*GB3①當,,且時,收斂;=2\*GB3②當,,且時,發(fā)散.利用結(jié)論可證上述結(jié)論.推論3設是定義在()的函數(shù),在任何有限區(qū)間上可積,且,則有:=1\*GB3①當時,收斂;=2\*GB3②當時,發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.(c)狄利克雷判別法定理3(狄利克雷判別法)若在上有界,在上當時單調(diào)趨于,則收斂(了解).(d)阿貝爾(Abel)判別法定理4(阿貝爾(Abel)判別法)若收斂，在上單調(diào)有界,則收斂(了解).(2)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別=1\*GB3①瑕積分的性質(zhì)(a)若與都以為瑕點，為常數(shù)，則當瑕積分與收斂時,瑕積分必定收斂,且.(b)設函數(shù)以為瑕點，為任一常數(shù)，則瑕積分與同斂態(tài)(同時收斂或同時發(fā)散),并且，其中為定積分.(c)設函數(shù)以為瑕點，若在的任一內(nèi)閉區(qū)間上可積,則當收斂時，也必收斂，且.當收斂時,稱絕對收斂.我們稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂.=2\*GB3②瑕積分的收斂判別(a)柯西收斂準則對瑕積分的斂散性用以下準則可以作出判斷.定理1(柯西收斂準則)瑕積分（瑕點為）收斂的充要條件是:對,,,當時,有.瑕積分的柯西收斂準則可由函數(shù)極限的柯西收斂準則得到.(b)比較法則定理2(比較法則)設定義在上的兩個函數(shù)和，瑕點同為，和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足,,則當收斂時必收斂;當發(fā)散時必發(fā)散.考慮當收斂時必收斂是否正確?當發(fā)散時必發(fā)散是否正確?推論1又若,且,則有=1\*GB3①當時,與同斂態(tài);=2\*GB3②當時,由收斂可推知也收斂;=3\*GB3③當時,由發(fā)散可推知也發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.推論2設是定義在的函數(shù),瑕點為，且在任何有限區(qū)間上可積，則有:=1\*GB3①當,且時,收斂;=2\*GB3②當,且時,發(fā)散.利用結(jié)論可證上述結(jié)論.推論3設是定義在的函數(shù),瑕點為，且在任何有限區(qū)間上可積，且,則有:=1\*GB3①當時,收斂;=2\*GB3②當時,發(fā)散.2、多元函數(shù)的反常積分(1)積分區(qū)域無限且被積函數(shù)沒有瑕點=1\*GB3①函數(shù)在無限區(qū)域上的反常積分定義5函數(shù)在無限區(qū)域連續(xù)，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.=2\*GB3②函數(shù)在無限區(qū)域上的反常積分定義6函數(shù)在無限區(qū)域連續(xù)，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.由于式中的積分上限中的與被積函數(shù)中的不同,所以經(jīng)常表示為.這種積分是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中常用求概率分布函數(shù)的積分,即,其中.=3\*GB3③函數(shù)在無限區(qū)域上的反常積分(請同學給出其定義).=4\*GB3④函數(shù)在無限區(qū)域上的反常積分(請同學給出其定義).=5\*GB3⑤函數(shù)在無限區(qū)域上的反常積分(請同學給出其定義).,函數(shù)是隨機變量的概率密度函數(shù),表示隨機變量的分布函數(shù),則概率,,,其中,分別稱為邊緣概率密度函數(shù),,分別稱為邊緣分布函數(shù).例如(考研2010年數(shù)學一)設二維隨機變量的概率密度函數(shù)為,,,求常數(shù)及條件概率密度.解:因為,所以作變量替換，，，即.則.所以,進而.注:由余元公式得:.還可以用以下方法計算.余元公式的證明過程很繁雜,在此證明略.先計算,其中區(qū)域:.因為,.則,即.令,.則.令,.則.所以.因為,,所以,進而.上面的積分給出了反常積分計算的一個重要方法:夾逼方法.同學們應切記這種方法.(2)多元函數(shù)反常積分性質(zhì)與收斂性判別3、含參量的反常積分（考數(shù)學專業(yè)的同學需要掌握）(1)含參量反常積分的概念和定義(2)含參量反常積分性質(zhì)與收斂性判別二、解證題方法1、反常積分的計算反常積分的計算題在考研中很少出現(xiàn),如果出現(xiàn),一般用變量替換法求解.例1(南京農(nóng)業(yè)大學2004年)求.解令,則.進而.例2(南京大學2000年)求.解令,則,所以.例3(南京農(nóng)業(yè)大學2004年)求.解作變量替換,則.例4(上海理工大學2003年)已知積分,計算.解.例5(蘭州大學2005年)求.解首先判斷積分反常性。因為在上有間斷點，并且，所以積分是反常積分。.(2)反常積分的收斂性判別例1(數(shù)學(一)2010年)設為正整數(shù)，則反常積分的收斂性A.僅與的取值有關；B.僅與的取值都有關；D.與的取值都無關.解選D.理由如下：反常積分可能有兩個瑕點.所以,其中.先討論積分的收斂性.因為，所以當時，不是的瑕點，進而收斂.當時，是的瑕點,由于,,由瑕積分比較判別法知,收斂.再討論的收斂性.作變量替換,則.因為，所以是積分的瑕點?？烧业綕M足的,使得,其中.由瑕積分的斂散性判定的比較法則知,收斂.綜上所述,反常積分的收斂性與的取值都無關.例2(汕頭大學2003年)判斷無窮積分的斂散性,并證明你的結(jié)論.解因為,所以,當時,收斂,當時,發(fā)散.例3(中山大學2007年)判斷積