第07講傾斜角與斜率兩條直線平行和垂直的判定

第07講：傾斜角與斜率、兩條直線平行和垂直的判定【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一、直線的傾斜角考點(diǎn)二、直線的斜率考點(diǎn)三、斜率與傾斜角的變化關(guān)系考點(diǎn)四、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍考點(diǎn)五、兩條直線平行的判定問題考點(diǎn)六、兩條直線垂直的判定問題考點(diǎn)七、垂直與平行的綜合應(yīng)用【知識梳理】知識點(diǎn)一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識點(diǎn)二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過兩點(diǎn)的直線的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).知識點(diǎn)三兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示知識點(diǎn)四兩條直線垂直的判定圖示對應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【例題詳解】題型一、直線的傾斜角1．（2324高二上·湖北襄陽）若向量是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的方向向量求出直線的斜率，再求出傾斜角即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個方向向量，則直線的斜率為，因?yàn)?，所?故選：A.2．（2324高二上·湖北武漢·期末）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義結(jié)合余弦、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，即，又，所以，故選：D3．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知直線l的傾斜角為，則與l關(guān)于x軸對稱的直線的傾斜角為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角的定義結(jié)合圖形可得答案.【詳解】根據(jù)傾斜角的定義，并結(jié)合圖形知，所求直線的傾斜角為.故選：C.題型二、直線的斜率4．（2324高二上·浙江寧波·期末）經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】利用斜率公式和傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以經(jīng)過該兩點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，故選：D5．（2324高二上·廣東梅州·期末）若過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】由題意得，解得，故選：D6．（2324高二上·江蘇無錫·期末）已知直線的傾斜角為，且直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，直線的斜率為，解得，故選：B．題型三、斜率與傾斜角的變化關(guān)系7．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可求得斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)樾甭?，且，其中時直線無斜率，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得；故選：C.8．（2324高二上·湖南衡陽·期末）已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得到斜率的取值范圍.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C9．（2324高二上·江蘇·單元測試）若直線的斜率的變化范圍是，則它的傾斜角的變化范圍是()A．B．C．D．或【答案】D【分析】作出正切函數(shù)在的圖象，根據(jù)斜率的范圍結(jié)合圖象確定出的范圍.【詳解】作出正切函數(shù)在的圖象如下圖，

如圖所示，當(dāng)，即，解得或，即或，故選：D.題型四、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍10．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知直線恒過定點(diǎn)，根據(jù)斜率公式結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，如圖.又因?yàn)?，，所以直線的斜率k的范圍為.故選：C.11．（2324高二上·廣東汕頭·期中）已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與線段相交，求直線的斜率的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．【答案】A【詳解】由題知直線過定點(diǎn)，進(jìn)而作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可得答案.【分析】解：直線方程為轉(zhuǎn)化為，所以直線過定點(diǎn)，且與線段相交，如圖所示，則直線的斜率是，直線的斜率是，則直線與線段相交時，它的斜率的取值范圍是或.故選：A．12．（2324高二上·福建廈門·期中）已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)傾斜角變化得到斜率的取值范圍.【詳解】如圖所示，

直線逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置才能保證過點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，從轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，此時斜率，所以此時；從旋轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負(fù)無窮開始變大，此時斜率，所以此時，綜上可得直線的斜率的取值范圍為.故選：A題型五、兩條直線平行的判定問題13．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行判斷即得.【詳解】當(dāng)時，直線，則，當(dāng)時，，解得，所以“”是“”的充要條件.故選：C14．（2324高二上·河南駐馬店·期末）已知兩條不重合的直線和．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【分析】根據(jù)平行可解得實(shí)數(shù)，驗(yàn)證可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故或，?dāng)時，的方程均為，它們重合，故舍去；當(dāng)時，，，它們平行，故選：B.15．（2324高二上·河北石家莊·期末）已知直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A．或1 B．1 C． D．6【答案】C【分析】利用直線平行與斜率的關(guān)系可構(gòu)造方程解得符合題意.【詳解】根據(jù)題意可知，兩直線斜率均存在，由兩直線平行可得，即，解得或；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，兩直線重合，不合題意，舍去；所以可得.故選：C題型六、兩條直線垂直的判定問題16．（2324高二上·江蘇淮安·開學(xué)考試）直線：，：，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】由充分條件和必要條件的定義【詳解】當(dāng)時，直線：，：，兩直線傾斜角分別為和，；當(dāng)時，直線的斜率為，的斜率為9，，.充分性成立，直線：，：，若，則有，解得或.必要性成立.所以“或”是“”的充要條件.故選：C17．（2324高二下·湖北·期中）已知點(diǎn)，若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合斜率公式即可求解.【詳解】直線的斜率為：，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得：.故選：B.18．（2324高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件列方程求解．【詳解】直線與直線互相垂直，則，解得.故選：C題型七、垂直與平行的綜合應(yīng)用19．（2324高二下·上?！て谥校┲本€，若三條直線無法構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)可取值的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分、、及三條直線相交于一點(diǎn)四種情況討論，分別求出所對應(yīng)的的值，即可得解.【詳解】①時，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；②時，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；③時，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；④三條直線交于一點(diǎn)，解得或，則實(shí)數(shù)可取值的集合為，即符合題意的實(shí)數(shù)共6個.故選：D20．（2324高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知直線，直線．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，求出參數(shù)的值，再代入檢驗(yàn)；（2）根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，整理得，即，解得或．?dāng)時，，此時與重合，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意．故．（2）因?yàn)?，所以，解得?1．（2324高二上·上?！て谀┮阎O(shè)直線：，直線：.(1)若，求m的值；(2)當(dāng)與相交時，求交點(diǎn)I的坐標(biāo)（用m表示），并證明點(diǎn)I恒在一條定直線上.【答案】(1)(2)，點(diǎn)I恒在定直線上【分析】（1）根據(jù)直線平行的條件列方程可得，然后驗(yàn)證是否重合可得；（2）聯(lián)立直線方程求解可得點(diǎn)I的坐標(biāo)，然后消參可知點(diǎn)I在定直線上.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，?dāng)時，直線：，直線：即，顯然此時兩直線重合，當(dāng)時，直線：，直線：即，符合題意，故.（2）由（1）知，當(dāng)，相交時，聯(lián)立，解得，∴，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)I恒在定直線上.【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、單選題22．（2324高二上·西藏山南·期末）經(jīng)過點(diǎn)和的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩點(diǎn)斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)和的直線的的斜率為，傾斜角為，由兩點(diǎn)斜率公式可得，所以，又，所以.所以經(jīng)過點(diǎn)和的直線的傾斜角為.故選：D.23．（2324高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件進(jìn)行判斷【詳解】當(dāng)時，直線與直線，即為直線與直線的斜率都是，縱截距不同，則兩直線平行，是充分條件；若直線與直線平行，當(dāng)時，兩直線方程都為，直線重合不符合題意，當(dāng)時，兩直線平行則斜率相等，截距不相等，解得，是必要條件；故選：C24．（2122高二上·山東濟(jì)寧·期中）設(shè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出直線的斜率，再畫出圖形分析可得或，從而即可得解.【詳解】依題意，直線的斜率分別為，如圖所示：若直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率滿足或，即的斜率的取值范圍是或.故選：B25．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)、、，過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A． B．C． D．以上都不對【答案】C【分析】過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線l的斜率或，進(jìn)而求解即可【詳解】如圖，過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率或，而，于是直線l的斜率或，所以直線l斜率k的取值范圍是，故選：C26．（2324高二上·福建福州·期末）已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】依題意得，，，，而在和上單調(diào)遞增，且在上，，在上，所以，即.故選：D27．（2324高二上·浙江麗水·期末）直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直線方程得到斜率，再由斜率可得傾斜角的范圍.【詳解】直線的斜率為，由于，設(shè)傾斜角為，則，，所以.故選：B.28．（2324高二上·北京昌平·期末）已知直線，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由，求得即或，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，，所以當(dāng)時，，即，即或，所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要條件，故選：A.29．（2324高二上·陜西西安·期末）已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的所有取值之和為（

）A．2 B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線平行求出即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或1，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意，所以實(shí)數(shù)的所有取值之和為.故選：B30．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線的斜率的取值范圍，即可得出直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的方程可化為，聯(lián)立方程組，可得，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：D．二、多選題31．（2324高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（

）A．若斜率相等，則平行B．若平行，則的斜率相等C．若的斜率乘積等于，則垂直D．若垂直，則的斜率乘積等于．【答案】AC【分析】利用兩直線平行或垂直與斜率之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知若斜率相等，則平行；若平行，當(dāng)都與軸平行時，的斜率不存在，即可得A正確，B錯誤；易知若的斜率乘積等于，則垂直；若垂直,當(dāng)與軸平行，與軸平行時，直線的斜率為，的斜率不存在，即可得C正確，D錯誤；故選：AC32．（2324高二上·河南信陽·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C．若，，則直線的傾斜角為D．若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)【答案】CD【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系，點(diǎn)斜式及斜截式判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負(fù)，錯；B：直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在，錯；C：由題設(shè)，知兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，直線方程為，直線的傾斜角為，對；D：過，兩點(diǎn)的斜率為：，對.故選：CD.33．（2324高二上·陜西安康·期末）已知直線過點(diǎn)且與線段的延長線有公共點(diǎn)，若，，則直線的斜率的取值可以是（

）A． B．0 C． D．【答案】ABC【分析】先作出直線與線段的延長線，再結(jié)合圖像觀察即可得解.【詳解】由圖像可知：要使直線與線段的延長線有公共點(diǎn)，則，又，則直線的斜率的取值范圍是.故選：ABC.34．（2324高二上·全國·單元測試）（2023秋·河北石家莊·高二石家莊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形D．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形【答案】AC【分析】對于AB，利用斜率公式計(jì)算判斷，對于C，通過計(jì)算判斷，對于D，通過計(jì)算判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，所以B錯誤，對于C，因?yàn)椋?，所以，所以，所以以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以C正確，對于D，因?yàn)?，，所以，所以D錯誤，故選：AC35．（2324高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知，，直線：，：，且，則（

）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是4【答案】BC【分析】利用兩條直線垂直建立的關(guān)系，再利用基本不等式逐項(xiàng)求解即得.【詳解】由直線，，且，得，即，又，對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；對于B，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此的最小值是，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D錯誤.故選：BC三、填空題36．（2324高二下·上?！て谥校┮阎本€經(jīng)過兩點(diǎn)，，則它的斜率為．【答案】/【分析】由斜率公式計(jì)算可得直線的斜率.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過兩點(diǎn)，，所以它的斜率為.故答案為：.37．（2324高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)，若直線和直線平行，則.【答案】4【分析】利用兩直線平行的條件建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】若直線和直線平行，可得，解得，則直線為，直線為，顯然兩直線平行，故符合題意.故答案為：4.38．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）已知點(diǎn)，，直線是過點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是【答案】【分析】利用斜率計(jì)算公式可得，，根據(jù)直線過點(diǎn)且與線段相交，數(shù)形結(jié)合即可求出直線的斜率的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，，，所以，．直線過點(diǎn)且與線段相交，如下圖所示：或，直線的斜率的取值范圍是：．故答案為：．39．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知直線與直線，若，則的最大值為.【答案】/0.25【分析】根據(jù)直線垂直的條件得，根據(jù)基本不等式得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即的最大值為.故答案為：.四、解答題40．（2324高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）（1）若直線與直線平行，求的值；（2）若直線與直線垂直，求的值.【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）由兩直線平行的性質(zhì)計(jì)算即可得，并排除重合的情況；（2）由兩直線垂直的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）兩直線平行，則，即，故或，當(dāng)時，兩直線分別為與，符合要求，當(dāng)時，兩直線分別為與，符合要求，故或；（2）兩直線垂直，則，即，故或.41．（2324高二上·湖北·階段練習(xí)）已知直線，直線，其