1.3.1等比數(shù)列及其通項公式課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

等比數(shù)列及其通項公式第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.理解等比數(shù)列的定義,并能運用通項公式解決相關(guān)問題;2.理解等比中項的概念;3.掌握等比數(shù)列的判定與證明方法.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1等比數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從

起,每一項與它的前一項之比都等于

,那么這個數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的

,公比通常用字母

表示(q≠0).

順序不能顛倒

名師點睛1.定義中的“從第2項起”是因為第1項沒有前一項,也說明等比數(shù)列中至少有三項;2.“每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù)”強調(diào)了比的順序性以及所有比值均為同一常數(shù);3.等比數(shù)列的公比可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),但不能是0.第2項

同一個常數(shù)

公比

q過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)數(shù)列2,-2,2,-2,…是等比數(shù)列.(

)(2)若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的比都為常數(shù),則該數(shù)列為等比數(shù)列.(

)(3)存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列.(

)2.常數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎?√×√提示不一定,只有非零的常數(shù)列才是等比數(shù)列.知識點2等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則數(shù)列的通項公式為

.

名師點睛1.通項公式an=a1qn-1中q的指數(shù)可以這樣記:指數(shù)為等號前面的項an的項數(shù)n減去等號后面的項a1的項數(shù)1.2.變形公式an=amqn-m,此公式中q的指數(shù)也可以這樣記:指數(shù)為等號前面的項an的項數(shù)n減去等號后面的項am的項數(shù)m.an=a1qn-1過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1,當(dāng)公比q=-1時,通項公式an=a1(-1)n-1.(

)(2)已知等比數(shù)列{an}的首項為a1,第n項為an,公比為q,則qn-1=.(

)√√2.若等比數(shù)列{an}的首項為a1,當(dāng)公比q=1時,通項公式有什么特征?提示an=a1.3.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的第1,3,5,7,…項的符號有什么特征?提示由于a3=a1q2,a5=a1q4,…,因此等比數(shù)列的第1,3,5,7,…項的符號相同.知識點3等比中項在兩個數(shù)a,b之間插入數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的

.

名師點睛只有兩個非零數(shù)a,b同號時,這兩個數(shù)才有等比中項,且等比中項有兩個,即若G為a與b的等比中項,則G=±.等比中項

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在一個等比數(shù)列中,從第二項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項.(

)(2)若三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則ac>0.(

)2.若b2=ac,則a,b,c一定成等比數(shù)列嗎?√√提示不一定.若非零實數(shù)a,b,c滿足b2=ac,則a,b,c一定成等比數(shù)列.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用【例1】

在等比數(shù)列{an}中,求解下列問題:(1)若a2=3,a5=,求{an}的通項公式;(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2·2n-1=128,解得n=7.規(guī)律方法

應(yīng)用等比數(shù)列通項公式解題的技巧(1)等比數(shù)列的基本量是a1,q,n和an,很多等比數(shù)列問題都可以歸結(jié)為其基本量的運算問題.解決這類問題時,最核心的方法是解方程(組),即依據(jù)題目條件,先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立關(guān)于a1和q的方程(組),再解方程(組),求得a1和q的值,最后解決其他問題.(2)在等比數(shù)列的基本量運算問題中,建立方程(組)進行求解時,要注意運算的技巧性,特別注意整體思想的應(yīng)用.變式訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.探究點二等比數(shù)列的證明【例2】

在數(shù)列{an}中,若an>0,且an+1=2an+3(n∈N+).證明:數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列.證明(方法1

定義法)∵an>0,∴an+3>0.又an+1=2an+3,∴數(shù)列{an+3}是首項為a1+3,公比為2的等比數(shù)列.(方法2

等比中項法)∵an>0,∴an+3>0.又an+1=2an+3,∴an+2=4an+9.∴(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2=(an+1+3)2,即an+3,an+1+3,an+2+3成等比數(shù)列.∴數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列.規(guī)律方法

證明{an}為等比數(shù)列的方法

變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=3-2an.求證:{an}是等比數(shù)列.證明Sn=3-2an,當(dāng)n=1時,整理得a1=1;探究點三等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用分析

依題意,每年的沙漠面積與綠洲面積之和是確定的,另外需根據(jù)題意建立前后兩年綠洲面積之間的關(guān)系,由此構(gòu)造等比數(shù)列解決問題.【例3】

為了治理“沙塵暴”,西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力,到2023年底,將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%.從2024年開始,每年12%的沙漠面積被綠化,改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲),同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠.據(jù)此估計至少經(jīng)過幾年的綠化,才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%.(可參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3,最后結(jié)果精確到整數(shù))解

設(shè)該地區(qū)總面積為1,2023年底綠洲面積為a1=40%=,經(jīng)過n年后綠洲面積為an+1,設(shè)2023年底沙漠面積為b1,經(jīng)過n年后沙漠面積為bn+1,則a1+b1=1,an+bn=1.依題意,an+1由兩部分組成:一部分是原有綠洲面積an減去被侵蝕的部分8%·an的剩余面積92%·an,另一部分是新綠化的12%·bn.所以規(guī)律方法

求解等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題的方法處理有關(guān)等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題時,關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意,建立適當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)列模型,再進一步利用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決.變式訓(xùn)練3某工廠去年產(chǎn)值為a,計劃十年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%,若今年作為第一年,則這個工廠的產(chǎn)值超過2a是(

)A.從第6年起

B.從第7年起C.從第8年起

D.從第9年起C解析

由題意知,第一年的產(chǎn)值為a(1+10%)=1.1a,且每年的產(chǎn)值構(gòu)成以1.1a為首項,公比為1.1的等比數(shù)列,則等比數(shù)列的通項公式an=1.1a×1.1n-1=a×1.1n.令a×1.1n>2a,即1.1n>2,又1.17<2,1.18>2,所以從第8年起,這個工廠的產(chǎn)值超過2a.故選C.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等比數(shù)列的概念、通項公式;(2)等比中項.2.方法歸納:定義法、等比中項法判斷(證明)等比數(shù)列,累乘法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式,方程(組)求解等比數(shù)列的基本量,數(shù)學(xué)建模求解等比數(shù)列應(yīng)用題.3.注意事項:等比數(shù)列的概念強調(diào)從第2項起,“每一項與前一項之比”為“同一個常數(shù)”;證明等比數(shù)列主要是證明

(n≥2)的值是一個常數(shù).學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練123456789101112131415161718D1234567891011121314151617182.已知等比數(shù)列{an},a3=1,a5=2,則首項a1=(

)B1234567891011121314151617183.等比數(shù)列{an}的前三項分別為1,2x+1,x+2,且該數(shù)列為遞增數(shù)列,則該數(shù)列第4項為(

)D當(dāng)x=-1時,前三項分別為1,-1,1,不滿足題意.故選D.1234567891011121314151617184.[2024甘肅武威高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且a7=12,a15=3,則a11=(

)A.3 B.6C.3或-3 D.6或-6B解析

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,所以a11=a7q4=6.故選B.1234567891011121314151617185.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6個單位,衰分比為40%.今共有糧m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”,衰分比為20%,已知乙衰分得100石,則丁衰分得(

)A.90石

B.80石 C.51.2石 D.64石D解析

依題意丁衰分得100×(1-20%)2=64石,故選D.1234567891011121314151617186.[2024甘肅天水高三階段練習(xí)]在等比數(shù)列{an}中,2a1+a2=5,4a4+2a5=80,則a1=(

)B解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為4a4+2a5=80,所以2a4+a5=40,所以(2a1+a2)q3=40,即5q3=40,解得q=2.1234567891011121314151617187.如果-1,a,b,c,-16成等比數(shù)列,那么ac=

,b=

.

16-4解析

設(shè)-1,a,b,c,-16構(gòu)成等比數(shù)列{an},公比為q,則a1=-1,a5=-16,q4==16,q2=4,則b=a3=a1q2=-4,ac=b2=16.1234567891011121314151617188.“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”這句話出自《莊子·天下篇》,其意思為“一根一尺長的木棰,每天截取一半,永遠都取不完”.設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺,…,第五天被截取剩下的一半剩下a5尺,則

=

.

241234567891011121314151617189.數(shù)列{an},{bn}滿足下列條件:a1=0,a2=1,an+2=

(n∈N+),bn=an+1-an.(1)求證:{bn}是等比數(shù)列;(2)求{bn}的通項公式.12345678910111213141516171810.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制,它與五度相生律、純律并稱三大律制.“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都B級關(guān)鍵能力提升練D12345678910111213141516171811.(多選題)已知等比數(shù)列{an},若4a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則公比q的取值可以為(

)A.1 B.-2C.2 D.-1CD解析

因為在等比數(shù)列{an}中,4a1,a3,2a2成等差數(shù)列,所以a3=2a1+a2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,故選CD.12345678910111213141516171812.現(xiàn)存入銀行8萬元,年利率為2.50%,若采用一年期自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),則第十年末的本利和為(

)A.8×1.0258萬元B.8×1.0259萬元C.8×1.02510萬元D.8×1.02511萬元C解析

由題意得,每年末的本利和依次構(gòu)成以1+2.50%=1.025為公比,8×1.025為首項的等比數(shù)列,所以第十年末的本利和為8×1.025×1.02510-1=8×1.02510萬元.123456789101112131415161718A123456789101112131415161718A.8 B.6C.4 D.2C12345678910111213141516171815.在數(shù)列{an}中,a1=,am+n=aman(?m,n∈N+),則a6=

.

12345678910111213141516171816.[2023全國乙,理15]已知{an}為等比數(shù)列,a2a4a5=a