概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷及答案4套

PAGEPAGE22022年《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷級答案注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值（2.33）=0.9901；（2.48）=0.9934；（1.67）=0.9525選擇題（每題3分，共18分）1.設(shè)A、B均為非零概率事件，且AB成立，則（）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A︱B)=D.P(A-B)=P(A)-P(B)2.擲三枚均勻硬幣，若A={兩個正面，一個反面}，則有P(A)=()A.1/2B.1/4C.3/8D.1/83.對于任意兩個隨機變量和，若E()=EE,則有（）A.D()=DDB.D(+)=D+DC.和獨立D.和不獨立4.設(shè)P(x)=。若P(x)是某隨機變量的密度函數(shù)，則常數(shù)A=（）A.1/2B.1/3C.1D.3/25.若1，2，…，6相互獨立，分布都服從N(u,),則Z=的密度函數(shù)最可能是（）A.f(z)=B.f(z)=C.f(z)=D.f(z)=6.設(shè)（，）服從二維正態(tài)分布，則下列說法中錯誤的是（）A.（，）的邊際分布仍然是正態(tài)分布B.由（，）的邊際分布可完全確定（，）的聯(lián)合分布C.（，）為二維連續(xù)性隨機變量D.與相互獨立的充要條件為與的相關(guān)系數(shù)為0二、填空題（每空3分，共27分）1.設(shè)隨機變量X服從普阿松分布，且P(X=3)=，則EX=。2.已知DX=25,DY=36,=0.4,則cov(X,Y)=________.3.設(shè)離散型隨機變量X分布率為P{X=k}=5A(k=1,2,…),則A=.4.設(shè)表示10次獨立重復(fù)試驗中命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.6，則的數(shù)學(xué)期望E()=.5.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)F(x)=（﹥0），則的密度函數(shù)p(x)=______________,E=,D=.6.設(shè)X～N(2,),且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=7.袋中有50個乒乓球，其中20個黃的，30個白的?，F(xiàn)在兩個人不放回地依次從袋中隨機各取一球，則第二人取到黃球的概率是。三、（本題8分）在房間里有10個人，分別佩戴從1到10號的紀(jì)念章，任選3人紀(jì)錄其紀(jì)念章的號碼，試求下列事件的概率：（1）A=“最小號碼為6”；（2）B=“不含號碼4或6”。四、（本題12分）設(shè)二維隨機變量（，）具有密度函數(shù)試求（1）常數(shù)C；（2）P(+<1);(3)與是否相互獨立？為什么？和的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差。五、（本題8分）已知產(chǎn)品中96%為合格品?，F(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98，而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05.求在這種簡化檢查下被認(rèn)為是合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率？六、（本題8分）一個復(fù)雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件所組成。在運行期間，每個部件損壞的概率為0.1，而為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必須有85個部件工作。求整個系統(tǒng)正常工作的概率。七、（本題12分）有一類特定人群的出事率為0.0003，出事賠償每人30萬元，預(yù)計有500萬以上這樣的人投保。若每人收費M元（以整拾元為單位，以便于收費管理。如122元就取為130元、427元取成430元等），其中需要支付保險公司的成本及稅費，占收費的40%，問M至少要多少時才能以不低于99%的概率保證保險公司在此項保險中獲得60萬元以上的利潤？八、（本題7分）敘述大數(shù)定理，并證明下列隨機變量序列服從大數(shù)定理。，n=2,3,4…《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值（1.0）=0.8413；（2.33）=0.9901；（2.5）=0.9938；（2.42）=0.9922一、選擇題（每題3分，共15分）設(shè)X～N(u,σ),則概率P(X≤1+u)（）A.隨u的增大而增大B.隨u的增加而減小C.隨σ的增加而增加D.隨σ的增加而減小2.設(shè)A、B是任意兩事件，則P(A-B)=()A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(B)+P(AB)C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)-P(AB)3.設(shè)ξ是一個連續(xù)型變量，其概率密度為φ(x)，分布函數(shù)為F(x),則對于任意x值有（）A.P(ξ=x)=0B.F′(x)=φ(x)C.P(ξ=x)=φ(x)D.P(ξ=x)=F(x)4.對于任意兩個隨機變量X和Y，若E(XY)=E(X)·E(Y),則（）A.D(XY)=D(X)·D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和Y獨立D.X和Y不獨立5.設(shè)ξ的分布率為而F(x)=P{ξ<x},則()A.0.6B.0.35C.0.25D.0二、填空題（每空3分，共21分）1.某射手有5發(fā)子彈，射一次命中的概率為0.75，若果命中了就停止射擊，否則就一直射到子彈用盡。則耗用子彈數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為________。2.已知DY=36，cov(X,Y)=12,相關(guān)系數(shù)r=0.4,則DX=________.3.三次獨立的試驗中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率為37/64，則每次試驗成功的概率為__________.4.設(shè)X～B(3,p),Y～B(4,p),且X、Y相互獨立，則X+Y服從二項分布__________________.5.若X～U(0,5),方程有實根的概率為__________.6.設(shè)～N(11,σ),且P{2<X<4}=0.15,則P{X<0}=_________.7.相關(guān)系數(shù)是兩個隨機變量之間__________程度的一種度量。三、（本題10分）設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別為5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的次品率依次為0.1，0.2，0.3。從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件，求這件產(chǎn)品為正品的概率。若取出的產(chǎn)品為正品，則它是甲廠生產(chǎn)的概率是多少？四、（本題8分）離散型隨機變量x的分布函數(shù)，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望。五、（本題15分）設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為求：（1）X的概率分布函數(shù)；（2）X落在（-5，10）內(nèi)的概率；（3）求X的方差。六、（本題10分）設(shè)由2000臺同類機床各自獨立加工一件產(chǎn)品，每臺機床生產(chǎn)的次品率均服從（0.005，0.035）上的均勻分布。問這批產(chǎn)品的平均次品率小于0.025的概率是多少？七、（本題15分）設(shè)二維隨機變量（X,Y）在區(qū)域：上服從均勻分布。（1）求（X,Y）的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；（2）已知DX=25，DY=4,求參數(shù)a、b；（3）判斷隨機變量X與Y是否相互獨立？八、（本題6分）設(shè)隨機變量X服從（0，1）上均勻分布，Y服從參數(shù)為λ=5的指數(shù)分布，且X,Y獨立。求Z=min{X,Y}的分布函數(shù)與密度函數(shù)。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值一、（10分）假設(shè)一枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦的概率為，擊傷的概率為，擊不中的概率為，并設(shè)擊傷兩次也會導(dǎo)致航空母艦沉沒，求發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦的概率？二、（12分）在某種牌賽中，5張牌為一組，其大小與出現(xiàn)的概率有關(guān)。一付52張的牌（四種花色：黑桃、紅心、方塊、梅花各13張，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）的概率；（2）3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）的概率；（3）3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）的概率。三、（10分）某安檢系統(tǒng)檢查時，非危險人物過安檢被誤認(rèn)為是危險人物的概率是0.02；而危險人物又被誤認(rèn)為非危險人物的概率是0.05。假設(shè)過關(guān)人中有96%是非危險人物。問：（1）在被檢查后認(rèn)為是非危險人物而確實是非危險人物的概率？（2）如果要求對危險人物的檢出率超過0.999概率，至少需安設(shè)多少這樣的檢查關(guān)卡？四、（8分）隨機變量服從，求的密度函數(shù)五、（12分）設(shè)隨機變量X、Y的聯(lián)合分布律為：XXY-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函數(shù)；（3）E(XY)。六、（10分）某學(xué)校北區(qū)食堂為提高服務(wù)質(zhì)量，要先對就餐率p進(jìn)行調(diào)查。決定在某天中午，隨機地對用過午餐的同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查。設(shè)調(diào)查了n個同學(xué)，其中在北區(qū)食堂用過餐的學(xué)生數(shù)為m，若要求以大于95%的概率保證調(diào)查所得的就餐頻率與p之間的誤差上下在10%以內(nèi)，問n應(yīng)取多大？七、（10分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域：上服從均勻分布。（1）求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；（2）已知，求參數(shù)a、b；（3）判斷隨機變量X與Y是否相互獨立？八、（8分）證明：對連續(xù)型隨機變量，如果存在，則，。九、（12分）設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為求（1）常數(shù)A；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）；（4）EX，DX，Cov(X，Y)。十、（8分）電視臺有一節(jié)目“幸運觀眾有獎答題”：有兩類題目，A類題答對一題獎勵1000元，B類題答對一題獎勵500元。答錯無獎勵，并帶上前面得到的錢退出；答對后可繼續(xù)答題，并假設(shè)節(jié)目可無限進(jìn)行下去（有無限的題目與時間），選擇A、B類型題目分別由拋均勻硬幣的正、反面決定。已知某觀眾A類題答對的概率都為0.4，答錯的概率都為0.6；B類題答對的概率都為0.6，答錯的概率都為0.4。（1）求該觀眾答對題數(shù)的期望值。（2）求該觀眾得到獎勵金額的期望值。概率論試卷一、（10）有位同學(xué)去某校宿舍樓A看望他老鄉(xiāng)，此樓只有編號1~9的九個宿舍，但他到學(xué)生宿舍樓下時忘了老鄉(xiāng)寢室的號碼。學(xué)校管理規(guī)定：要求訪問者說出兩個寢室號碼，其中有一個正確就能進(jìn)入，否則不能進(jìn)入。問此同學(xué)能進(jìn)入此大樓的概率？二、（12）有個企業(yè)存在大量可疑肺癌病人，這些病人中從事某職業(yè)的人占45%。根據(jù)以往記錄，此職業(yè)的可疑病人中有90%確患有肺癌，在不從事此職業(yè)的可疑病人中僅有5%確患有肺癌。（1）在可疑病人中任選一人，求他患有肺癌的概率；（2）在可疑病人中任選一人，已知他患有肺癌，求他從事該職業(yè)的概率。三、（12）某零件可以用兩種工藝方法加工制造，在第一種情況下需要通過三道工序，其中各道工序出現(xiàn)廢品的概率分別是0.05、0.10及0.25，而在第二種情況下需要兩道工序，其中各道工序出現(xiàn)廢品的概率都是0.1。設(shè)在合格品中得到優(yōu)等品的概率，在第一種情況下是0.9，在第二種情況下是0.8。試比較用哪一種工藝方法加工制造得到優(yōu)等品的概率較大？四、（10）已知某家電在t=0時刻正常運行。它在時刻t還正常運行的條件下，在這段時間損壞的概率等于。求它正常運行時間大于t的概率。五、（12）假定某地區(qū)離婚率是p(0<p<1)。為了某研究需要，決定從此地區(qū)逐個隨機抽取調(diào)查對象（假設(shè)每次抽取的概率相等，并相互獨立），直到抽取m個離婚人士為止，共抽取了位人調(diào)研。求（1）的分布律；（2）的數(shù)學(xué)期望。六、（12）設(shè)在矩形內(nèi)服從均勻分布。（1）二維分布密度及邊緣分布密度；（2）求的值；（3）問隨機變量與是否獨立？七、（10）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，其中。求隨機變量的概率密度函數(shù)。八、（12）為了測定某個大機器的重量，必須把它分解成若干部分來測定。假定每個部分的測量誤差（單位：kg）服從（-1,1）上均勻分布。試問，最多可以把機器分解成多少部分，才能以不低于99%的概率保證測定的總重量誤差的絕對值不超過10kg？九、（10）證明：如果不獨立的隨機變量滿足條件，則對于任何正數(shù)，恒有。概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷A卷參考答案一、1. C注釋：由“AB成立”得P(A)=P(AB)2. C3. B注釋：參考課本86頁4. B?5.6. BA項參見課本64頁，D項參見課本86頁二、1. 2注釋：若X服從Poisson分布，則EX=，DX=。（課本84頁）2. 12注釋：cov(X,Y)=r。（參考課本86頁）3. 1/5注釋：運用等比求和公式S=4. 38.4注釋：5．p(x)=,6. 0.2注釋：類似2006級試卷填空題第6題7. 2/5三、（1）1/20;(2)14/15注釋：（1）P(A)=;（2）四、（1）C=4;(2)(3)？(4)五、 0.9979注釋：運用全概率公式，類似2006級試卷第三題六、 0.9525七、M=160八、（1）課本98頁辛欣大數(shù)定理（2）概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷A卷參考答案一、1.D=2.C注釋：參考課本第8頁3.A注釋：連續(xù)型隨機變量在某一個點上的概率取值為零，故A正確？B項是否正確4.B注釋：參考課本86頁5.A二、1.1.33(或者填)2．25注釋：參考課本86頁3. 0.254. （X+Y）～B(7,p)注釋：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X、Y獨立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)=3p(1-p)+4p(1-p)設(shè)（X+Y）～B(n,P),則有解得n=7,P=p5. 2/56. 0.35?7. 相關(guān)三、

四、五、？六、？試卷中沒有給出的值，且直觀上感覺的值太大了，故不能肯定題中的做法是否可行七、八、參考答案一、解：設(shè)＝｛第i枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦｝，＝｛第i枚彈道導(dǎo)彈擊傷航空母艦｝＝｛第i枚彈道導(dǎo)彈沒有擊中航空母艦｝，i＝1，2，3，4D＝｛發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦｝，，，i＝1，2，3，4=0.99二、解：（1）A＝｛同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）｝（只要說明順子的構(gòu)成，分子40也算對）（2）A＝｛3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）｝（3）A＝｛3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）｝三、解：（1）設(shè)A＝｛被查后認(rèn)為是非危險人物｝，B＝｛過關(guān)的人是非危險人物｝，則（2）設(shè)需要n道卡，每道檢查系統(tǒng)是相互獨立的，則Ci={第i關(guān)危險人物被誤認(rèn)為非危險人物}，，所以，，即=[3.0745]+1=4四、解：當(dāng)時，，則當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，五、解：（1）E(X+Y)=聯(lián)立解得：，（2）X的概率分布函數(shù)：XX-2-1010.170.230.060.54（3）E(XY)＝六、解：，因，；因為，取=96.04即七、解：（1）二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度：邊緣概率密度：，（2），（3）隨機變量X與Y相互獨立，因為八、解：九、解：（1）＝1，A＝4（2）P(X<0.4，Y<1.3)＝（3）（4），，十、解：（1）設(shè)表示該觀眾答對題數(shù)，則第+1次解答答錯（即首次出錯）。答對一題的概率為答錯一題的概率為0.5所以；（2）觀眾得到獎勵金額的期望值：令，則，=或：答對一題得到獎金的期望為：進(jìn)入第k題答題環(huán)節(jié)的概率為：因此，總獎金的期望為：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（2學(xué)分）解：二．解：設(shè)A={從事某職業(yè)的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝，，，（1）（2）三．解：設(shè)A=｛第一種工藝下的合格品｝，B=｛第二種工藝下的合格品｝，C=｛優(yōu)質(zhì)品｝，