2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（滬教版）第十六章 二次根式（7個知識歸納+13類題型突破）（原卷版）

第十六章二次根式（7個知識歸納+13類題型突破）1.掌握二次根式的概念和有無意義的條件；2.掌握二次根式的性質(zhì)；3.掌握二次根式的化簡與計算；知識點(diǎn)1．二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號；判斷一個式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).知識點(diǎn)2.二次根式有無意義的條件：

（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．

（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點(diǎn)3.二次根式的性質(zhì)：（1），（雙重非負(fù)性）．（2）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．應(yīng)用：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）知識點(diǎn)4.二次根式的化簡：（1）二次根式化簡的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．（2）最簡二次根式的條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．知識點(diǎn)5.二次根式的運(yùn)算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0，b≥0）文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.推廣：（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的商的算術(shù)平方根.二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．

二次根式的加減步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．

③合并被開方數(shù)相同的二次根式．

知識點(diǎn)6.二次根式的混合運(yùn)算：（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．①與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．

②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個單項(xiàng)式，多個不同類的二次根式的和可以看作多項(xiàng)式．

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式或整式．

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．知識點(diǎn)7.二次根式的應(yīng)用：把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．題型一求二次根式的參數(shù)1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是（

）A．2 B．14 C．7 D．562．（2023春·福建福州·八年級校考期中）已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．203．（2023春·湖北咸寧·八年級咸寧市溫泉中學(xué)校聯(lián)考期中）若二次根式，的值是整數(shù)，則下列n的取值符合條件的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．202．（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州市河南岸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知為正整數(shù)，且也為正整數(shù)，則的最小值為．4．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若是整數(shù)，則整數(shù)n的所有可能的值為．5．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，求n的最小值．題型二二次根式有意義的條件4．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）若二次根式有意義，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤舳胃接幸饬x，則的取值范圍為（

）A．且 B． C． D．且6．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．且鞏固訓(xùn)練1．（2023春·河北邢臺·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）若式子有意義，則m的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．2（2023春·甘肅定西·八年級校考階段練習(xí)）函數(shù)的自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．且3．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習(xí)）函數(shù)中，自變量的取值范圍是___________．5．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┫然?，再求值已知(1)求的值；(2)求的平方根．題型三利用二次根式的性質(zhì)化簡7．（2023春·上海楊浦·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列正確的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·湖南永州·八年級?？奸_學(xué)考試）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，則化簡的結(jié)果為()A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春·江西宜春·八年級校考階段練習(xí)）若，則等于（）A．1 B．5 C． D．3．（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考期中）若，化簡：．4．（2023秋·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，化簡．5．（2023春·安徽宣城·八年級校考期中）已知，化簡代數(shù)式．題型四復(fù)合二次根式的化簡10．（2023春·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）下面的推導(dǎo)中開始出錯的步驟是（

）因?yàn)?，①，②所?③所以.④A．① B．② C．③ D．④11．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）下列各式中，與化簡所得結(jié)果相同的是（

）A． B． C． D．12．（2023春·廣西欽州·八年級?？茧A段練習(xí)）化簡二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）對式子作恒等變形，使根號外不含字母，正確的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市樹人中學(xué)校考階段練習(xí)）把(2-x)的根號外的（2-x）適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)，得（

）A． B． C． D．3．（2023春·天津?qū)氎妗ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，化簡：．4（2023·上海·八年級假期作業(yè)）把中根號外因式適當(dāng)變形后移至根號內(nèi)得．5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）觀察下面的運(yùn)算，完成計算：

(1)(2)．題型五化為最簡二次根式13．（2023春·湖北咸寧·八年級?？茧A段練習(xí)）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．14．（2023春·湖南衡陽·八年級校聯(lián)考期中）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．15．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）關(guān)于的敘述正確的是（

）A．在數(shù)軸上不存在表示的點(diǎn) B．與最接近的整數(shù)是3C． D．是有理數(shù)鞏固訓(xùn)練1．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后為.

4．（2023春·遼寧朝陽·八年級?？计谥校┌讯胃交勺詈喍胃?，則．5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．題型六已知最簡二次根式求參數(shù)16．（2023春·山東泰安·八年級校考階段練習(xí)）若是最簡二次根式，則m，n的值為（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，017．（2023春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）若最簡二次根式與（a為有理數(shù)）可以合并，則m的值為（

）A．2021 B． C．2025 D．18．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┤糇詈喍胃脚c可以合并，則的值為（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A． B．0 C．1 D．22．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知最簡二次根式與二次根式可以合并成項(xiàng)，則整數(shù)，的值分別為（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023春·重慶渝北·八年級重慶市暨華中學(xué)校?？计谥校┤糇詈喍胃脚c可以合并，則．4．（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）如果最簡二次根式和是可以合并的二次根式，則．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．題型七同類二次根式19．（2023秋·安徽合肥·九年級?？奸_學(xué)考試）下列各數(shù)中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．20．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級校考期中）下列根式化簡成最簡二次根式后，能與合并的是（）A． B． C． D．21．（2023春·河南駐馬店·八年級校考階段練習(xí)）若可以合并為一項(xiàng)，則可以是(

)A．9 B．18 C．27 D．54鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山東泰安·八年級?？茧A段練習(xí)）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若最簡二次根式與是同類二次根式，則（

）A． B．1 C．3 D．3．（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）如果與最簡二次根式可以合并成一個二次根式，則．4．（2023春·湖北黃岡·八年級?？茧A段練習(xí)）若最簡二次根式與可以合并，則a的值為．5．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）是否存在實(shí)數(shù)，使最簡二次根式與是同類二次根式？若存在，求出的?；若不存在，請說明理由．題型八二次根式的混合運(yùn)算22．（2023春·安徽馬鞍山·八年級?？计谀┮阎?，則的值為（

）A． B． C．14 D．23．（2023春·福建三明·九年級校考期中）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．24．（2023秋·重慶·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）若在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是（）A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8鞏固訓(xùn)練1．（2023春·湖北咸寧·八年級校考階段練習(xí)）計算(1)(2)(3)2．（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）計算：(1)(2)(3)(4)3．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）計算：(1)．(2)．4．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？奸_學(xué)考試）計算：(1)；(2)．5．（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型九分母有理化25．（2023春·四川南充·八年級?？计谥校┫铝懈魇街校c的積為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．26．（2023春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．27．（2023春·安徽亳州·八年級?？计谥校┮阎瑒t的值為（

）A．3 B． C． D．6鞏固訓(xùn)練1（2023春·山東聊城·八年級校聯(lián)考期末）下列各式中，不正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江大慶·七年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如果，，那么（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學(xué)考試）計算的結(jié)果是．4．（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）化簡：（的自然數(shù)）的結(jié)果為．5．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)．題型十已知字母的值，化簡求值28．（2023春·云南臨滄·八年級校聯(lián)考期末）若，則的值是（

）A．1 B．5 C． D．29．（2023春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，代數(shù)式的結(jié)果為（

）A． B． C．12 D．30．（2023春·安徽蕪湖·八年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則代數(shù)式的值為（

）A．6 B．5 C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為

(

)A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，，則代數(shù)式的值為（

）A．7 B．14 C． D．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若，則代數(shù)式的值是．4．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)，時，．5．（2023春·江西南昌·八年級校聯(lián)考期中）若，，求：(1)；(2)．題型十一已知條件式，化簡求值31．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，則的值為（

）A． B．4 C． D．32．（2023春·全國·八年級期末）已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．33．（2023春·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期中）已知，，則的值為（

）A． B． C．4 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）已知，則代數(shù)式的值為（）A．2 B．6 C．4 D．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知，則的值等于（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．（2023春·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期末）若為的小數(shù)部分，則的值為．4．（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）（1）若，求；（2）若，求的值．題型十二比較二次根式的大小34．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若，則的值可以是（

）A． B． C． D．35．（2023春·湖南益陽·七年級校聯(lián)考期末）2、、15三個數(shù)的大小關(guān)系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜1536．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，則a，b，c的關(guān)系是（

）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜b＜c鞏固訓(xùn)練1．（2023春·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）的結(jié)果應(yīng)在（

）A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）比較的大小，正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·山東臨沂·八年級校考階段練習(xí)）比較大?。海唬ㄌ睢啊薄啊被颉啊保?．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）比較大?。海?．（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）已知，．(1)比較a，b的大小，并寫出比較過程；(2)求代數(shù)式的值．題型十一二次根式的應(yīng)用37．（2023春·河南周口·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為27和12的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（

）

A． B．6 C． D．438．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，從一