人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三26.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題26.2反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)（二）【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】 1【題型2反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 6【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】 8【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】 11【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】 18【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 24【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】 32【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】 42【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】 50【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】 62【知識(shí)點(diǎn)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】（1）中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)（2）軸對(duì)稱：對(duì)稱軸為直線和直線【題型1反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】【例1】（2023春·杭州九年級(jí)期末測(cè)試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，若正方形的邊長(zhǎng)是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經(jīng)過點(diǎn)A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點(diǎn)C，D，順次連接AB，BC，CD【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過原點(diǎn)的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點(diǎn)，過點(diǎn)Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點(diǎn)，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為；且當(dāng)S【題型2反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例2】（2023春·湖南張家界·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5【變式2-1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點(diǎn)A?3,8(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=2【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1（1）求m的值；（2）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的取值范圍是；（3）當(dāng)直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）時(shí)，結(jié)合圖象，求出在什么范圍時(shí)【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】【例3】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鬭b＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=bA． B．C． D．【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=x+1在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（A． B．C． D．【變式3-2】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，關(guān)于x的函數(shù)y=?kx(k≠0)和y＝kx－k，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（A．B．C．D．【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y=kbx（kb≠0），下列能同時(shí)正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（A．B．C． D．【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，該反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱后的圖象經(jīng)過直線y=?x+5上的點(diǎn)C，則線段AC

【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2(1)求k的值和兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直接寫出y1(3)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)?4<x<?1時(shí)，y2【變式4-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，反比例函數(shù)圖象l1的表達(dá)式為y=k1x(x>0)，圖象l2與圖象l1關(guān)于直線x=1對(duì)稱，直線y=k2x與l2交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A為OB中點(diǎn)時(shí)，則【變式4-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，已知線段AB，A2,1，B4,3.5，現(xiàn)將線段AB沿y軸方向向下平移得到線段MN．直線y=mx+b過M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)恰好也落在雙曲線(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．(2)①直接寫出不等式mx+b?k②若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且△PMN的面積為8.5，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)Cx1,a，Dx2,a?2在雙曲線【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】【例5】（2023春·江西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線y=?x+k與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像交于A，BA．OA=OB B．當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合時(shí)，k=4C．當(dāng)k=6時(shí)，OA=26 D．不存在這樣的k使得△AOB【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x,0)在【變式5-2】（2023春·江西上饒·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線y=?x＋3與坐標(biāo)軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kx在第一象限經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，則A．6 B．274 C．272【變式5-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kx的圖象過點(diǎn)C，當(dāng)△ACD面積為1時(shí)，A．1 B．2 C．3 D．4【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kxk>0,?x>0的圖象過點(diǎn)C且交線段AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，若S

A．53 B．32 C．5【變式6-1】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過菱形對(duì)角線OB的中點(diǎn)D和頂點(diǎn)C，若菱形OABC的面積為62，則點(diǎn)

【變式6-2】（2023春·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)D4，4在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，直線y=2

(1)求k、b的值．(2)求△ACE的面積．(3)已知點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．若S【變式6-3】（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于Aa,?2

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；(3)將△AOB在平面內(nèi)沿某個(gè)方向平移得到△DEF(其中點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F)，若D、F同時(shí)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點(diǎn)【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】【例7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外），過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，若由點(diǎn)P、原點(diǎn)O、兩個(gè)垂足A、B為頂點(diǎn)的矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點(diǎn)”．

【嘗試初探】（1）點(diǎn)C2，3______“美好點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；若點(diǎn)D【深入探究】（2）①若“美好點(diǎn)”Em，6m>0在雙曲線y=kx（②在①的條件下，F(xiàn)2，n在雙曲線y=【拓展延伸】（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點(diǎn)”，已知點(diǎn)Px①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像的草圖，觀察圖像可知該圖像可由函數(shù)______（x>0）的圖像平移得到；③結(jié)合圖像研究性質(zhì)，下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是______；（多項(xiàng)選擇）A．圖象與經(jīng)過點(diǎn)2，B．y隨著x的增大而減??；C．y隨著x的增大而增大；D．圖像經(jīng)過點(diǎn)10，④對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)x，y，代數(shù)式【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y=(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m＝________；x…-4-3-2-1-11234…y…2-3-531m--…描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)；連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出了部分圖象．請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)y=2-x③函數(shù)y=(3)設(shè)A(x1,y1)、B【變式7-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T(1)若a=3，求k的值(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點(diǎn)E①求正方形ABCD的面積；②直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┰诔踔须A段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程，在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義：a=aa≥0（1）當(dāng)x=2時(shí)，y的值為___________；當(dāng)y=0時(shí)，x的值為___________；函數(shù)y=3+6x?1（2）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用你喜歡的方法補(bǔ)全函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象，并請(qǐng)寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：____________；（3）已知函數(shù)y=x+3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式3+6【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】【例8】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谀┪覀兌x：如果一個(gè)矩形A周長(zhǎng)和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．(1)若矩形A為正方形，是否存在一個(gè)正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長(zhǎng)為3．寬為2的矩形C是否存在完全12(3)如果長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全k倍體，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍：______．【變式8-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：12+18_________212×1（2）由（1）中各式猜想：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，a＋b_________2ab（3）結(jié)論應(yīng)用：若a＞0，則當(dāng)a＝_________時(shí)，a+4a有最小值；若b＞0，（4）問題解決：如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=9x（x＞0）的圖像上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=?7x（x＜0）的圖像上，且AB∥x軸，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)【變式8-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校鹃喿x理解】把一個(gè)函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)除外）、橫坐標(biāo)不變，可以得到另一個(gè)函數(shù)的圖象，我們稱這個(gè)過程為倒數(shù)變換．

【知識(shí)運(yùn)用】如圖1，將y=x的圖象經(jīng)過倒數(shù)變換后可得到y(tǒng)=1x的圖象（部分）．特別地，因?yàn)閥=x圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)是原點(diǎn)，所以該點(diǎn)不作變換，因此y=1x的圖象上也沒有縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)．小明在求y=x的圖象與y=1x的交點(diǎn)時(shí)速用了開平方的定義：y=1xy=x【拓展延伸】請(qǐng)根據(jù)上述閱讀材料完成：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2的平面直角坐標(biāo)系中畫出y=x+1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象．(2)設(shè)函數(shù)y=x+1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在左邊），直接寫出其坐標(biāo)．A______，B______；(3)設(shè)C?1,m，且S△ABC=4【變式8-3】（2023春·湖南懷化·九年級(jí)溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校╅喿x：若w為正實(shí)數(shù)，對(duì)于某一函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1(1)分別判斷y=3x?2和y=1x(2)若y=1x(1(3)若y=x3(a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函數(shù)，且【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】【例9】（2023春·福建泉州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B0,2，直線AB與反比例函數(shù)y=k

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)E4,m是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上一點(diǎn)，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ACD的面積與(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為G，且點(diǎn)G在x軸的正半軸上，若點(diǎn)M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MG，以MG為邊作正方形MGNF，當(dāng)頂點(diǎn)F恰好落在直線AB上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式9-1】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=kx與相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)當(dāng)AB=25時(shí)，求k(2)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接AC，①判斷△ABC的形狀，并說明理由；②當(dāng)△ABC的面積等于16時(shí)，雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，連接AP，BP，使△PAB的面積等于△ABC面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式9-2】（2023春·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象與直線y=k2x+b將于交于A?1,6、B?6,m兩點(diǎn)，直線AB

(1)求反比例函數(shù)及直線AB的解析式；(2)若S△ABC=25，求點(diǎn)(3)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)D為x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線AC上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D?E?【變式9-3】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，一次函數(shù)y=kx?52k≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=mxx>0的圖像交于點(diǎn)A8,32，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，過點(diǎn)C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)D(1)一次函數(shù)表達(dá)式為_________；反比例函數(shù)表達(dá)式為_______；(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)E，使點(diǎn)E到OD的距離等于它到x軸的距離？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O'C'D'．①若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'恰好落在該反比例函數(shù)圖像上（如圖2），求出點(diǎn)O'、D'的坐標(biāo)；②如圖3，在平移過程中，射線O'C'與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以O(shè)'、D'、F﹑Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)O'的坐標(biāo)．【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】【例10】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖1～4所示，每個(gè)圖中的“7”字形是由若干個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個(gè)頂點(diǎn)P落在反比例函數(shù)y=1（1）圖1中的每一個(gè)小正方形的面積是；（2）按照?qǐng)D1→圖2→圖3→圖4→…這樣的規(guī)律拼接下去，第n個(gè)圖形中每一個(gè)小正方形的面積是．（用含n的代數(shù)式表示）【變式10-1】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)B1在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)B1分別作x軸和y軸的垂線，垂足為C1和A，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（1，0）取x軸上一點(diǎn)C2（32，0），過點(diǎn)C2分別作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B2，過B2作線段B1C1的垂線交B1C1于點(diǎn)A1，依次在x軸上取點(diǎn)C3（2，0），C4（52，0）…按此規(guī)律作矩形，則第n（n≥2，n為整數(shù)）個(gè)矩形）An-1Cn-1CnBn【變式10-2】（2023·山東日照·二模）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y＝5x在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)之間存在一規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是【變式10-3】（2023春·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B11,33在直線l2:y=33x上，過點(diǎn)B1作A1B1⊥l1交直線l:y=3x于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A1B1C1，過

專題26.2反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)（二）【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】 1【題型2反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 6【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】 8【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】 11【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】 18【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 24【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】 32【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】 42【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】 50【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】 62【知識(shí)點(diǎn)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】（1）中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)（2）軸對(duì)稱：對(duì)稱軸為直線和直線【題型1反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性】【例1】（2023春·杭州九年級(jí)期末測(cè)試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，若正方形的邊長(zhǎng)是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【答案】1【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=k由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)，故圖中陰影部分的面積為：1×1=1．故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義，中心對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為【答案】y=?【分析】首先根據(jù)圓的對(duì)稱性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得：14πr【詳解】解：設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)圓的對(duì)稱性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得：14解得：r=4．∵點(diǎn)A3a,?a是反比例函y=k∴?3a2∴a∴k=?3則反比例函數(shù)的解析式是：y=?4故答案為：y=?4【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握和運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經(jīng)過點(diǎn)A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點(diǎn)C，D，順次連接AB，BC，CD【答案】見解析【分析】將點(diǎn)A代入y=kxk≠0中求出k，再將點(diǎn)B代入y=2x中，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，求出OA【詳解】解：將A1,2代入y=k=2，∴y=2x，將B2,m∴m=22=1∴OA=12+∴OA=OB，由反比例函數(shù)對(duì)稱性可得：OA=OC，OB=OD，即OA=OB=OC=OD，∴四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，對(duì)稱性，矩形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出OA和OB的長(zhǎng)，熟練運(yùn)用矩形的判定定理．【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過原點(diǎn)的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點(diǎn)，過點(diǎn)Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點(diǎn)，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為；且當(dāng)S【答案】69【分析】連接OA，OB，延長(zhǎng)BP交x軸于點(diǎn)C，易求S△BOP由P，Q關(guān)于與原點(diǎn)成中心對(duì)稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S【詳解】連接PQ，OA，OB，延長(zhǎng)BP交x軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，m＞0.則P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC=∴S∵P、Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b?a＝3，∴b＝92故答案為：6，92【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，三角形的面積．利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【題型2反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例2】（2023春·湖南張家界·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5【答案】2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知m2﹣5＝﹣1，又根據(jù)圖象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵y=2m∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2或m＝﹣2，∵反比例函數(shù)y=2m又2m+1＞0，解得：m＞?1∴m＝2．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與圖象性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函數(shù)的定義以及圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點(diǎn)A?3,8(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=2【答案】(1)y=(2)x=?36【分析】（1）設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=kxk≠0（2）將y=2【詳解】（1）解：設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=k將A?3,8代入y=8=k?3，解得∴y=?24（2）將y=23代入23=?24【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則【答案】?1【分析】讓未知數(shù)的指數(shù)為-1，系數(shù)小于0列式求值即可．【詳解】∵是反比例函數(shù)，∴m2-2=-1，解得m=1或-1，∵圖象在第二、四象限，∴2m-1＜0，解得m＜0.5，∴m=-1，故答案為-1．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)：一般形式為y＝kx（k≠0）或y=kx-1【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1（1）求m的值；（2）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的取值范圍是；（3）當(dāng)直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）時(shí)，結(jié)合圖象，求出在什么范圍時(shí)【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義以及性質(zhì)，即可得到m的值；（2）直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行解答即可．（3）解析式聯(lián)立求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象求解．【詳解】解：（1）反比函數(shù)y1∴m+1<0且3?m解得m=?2；（2）由（1）可知反比例函數(shù)為y=?1∵由反比例函數(shù)的圖象可知，當(dāng)?1<x<0時(shí)，函數(shù)圖象在直線y=1的上方，∴當(dāng)?1<x<0時(shí)，y>1，∵當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)圖象在第四象限，∴y<0，∴當(dāng)x>?1時(shí)，y的取值范圍是y>1或y<0．故答案為y>1或y<0；（3）聯(lián)立解析式得方程組y=?xy=?1x解得x=1∴A(?1,1)，由圖象可知：當(dāng)x<?1或0<x<1時(shí)y2【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合思想解本題的關(guān)鍵．【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】【例3】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鬭b＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=bA． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象逐項(xiàng)分析，判斷出a、b的符號(hào)，與ab<0進(jìn)行對(duì)比，問題得解．【詳解】解：A.由圖象可知：a>0,b>0，所以ab>0，與ab<0不一致，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；B.由圖象可知：a<0,b>0，所以ab<0，與ab<0一致，故B選項(xiàng)正確，符合題意；C.由圖象可知：直線不經(jīng)過原點(diǎn)，與已知正比例函數(shù)y=ax不一致，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；D.由圖象可知：a<0,b<0，所以ab>0，與ab<0不一致，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知參數(shù)的取值范圍確定函數(shù)的大致圖象的問題，正確根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)圖象確定比例系數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=x+1在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象所處的象限．【詳解】解：由反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，關(guān)于x的函數(shù)y=?kx(k≠0)和y＝kx－k，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象的特點(diǎn)，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【詳解】解：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y=kx-k的圖象在第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=?kx的圖象在第二、四象限，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y=kx-k的圖象在第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=?kx的圖象在第二、四象限，故選項(xiàng)故選B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y=kbx（kb≠0），下列能同時(shí)正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定k和b的符號(hào)，進(jìn)一步確定反比例函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：A選項(xiàng)中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)中，一次函數(shù)b=0，∵kb≠0，故C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與參數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，該反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱后的圖象經(jīng)過直線y=?x+5上的點(diǎn)C，則線段AC

【答案】2或4【分析】根據(jù)題意求得反比例函數(shù)解析式為y=4x，得到A1,4【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B故將x=1代入一次函數(shù)y=?x+5得y=4，故點(diǎn)A1,4將A1,4代入反比例函數(shù)y=kx，得k=4令?x+5=4x，整理得x2?5x+4=0，解得將x=4代入一次函數(shù)y=?x+5得y=1，故點(diǎn)B4,1故點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∵反比例函數(shù)y=4x關(guān)于直線則直線y=x關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱后的圖像為直線y=x?2；令反比例函數(shù)y=4x的圖像關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱后的圖象為y'，y故y'的圖象可以看做是由反比例函數(shù)y=原點(diǎn)O關(guān)于直線y=x?2的對(duì)稱點(diǎn)O'

故直線y=x?2可以看做直線y=x每一個(gè)點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到（或向右下45度防線平移2個(gè)單位），則y'的圖象可以看做是由反比例函數(shù)y=4x則點(diǎn)A1,4平移之后的坐標(biāo)為A點(diǎn)B4,1平移之后的坐標(biāo)為B即反比例函數(shù)y=4x的圖像關(guān)于直線y=x?1對(duì)稱后的圖象經(jīng)過直線y=?x+5上的點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,3或線段AC的長(zhǎng)度為1?22+4?3故答案為：2或42【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)的平移，反比例函數(shù)的性質(zhì)等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2(1)求k的值和兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直接寫出y1(3)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)?4<x<?1時(shí)，y2【答案】(1)k=8，另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,?4)；(2)x>2；(3)?8<【分析】（1）求出橫坐標(biāo)為2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)yy2=k（2）畫出圖象觀察即可得到答案．（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，在每一象限內(nèi)，y2隨x的增大而減小，分別求出x=?4和x=?1時(shí)y【詳解】（1）在y1=2x中令x=2得y=4，∴正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2∴4=k2，解得∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴它們的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴另一個(gè)交點(diǎn)為(?2,?4)；（2）由函數(shù)圖象可知，y1>y故答案為：x>2．（3）∵y2=8∴在每一象限內(nèi)，y2隨x當(dāng)x=?4時(shí)，y=?2；當(dāng)x∴當(dāng)?4<x<?1時(shí)，y2的取值范圍為?8<故答案為：?8<y【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)及大小比較，解題的關(guān)鍵是要掌握二者的對(duì)稱性和數(shù)形結(jié)合比較大小的方法．【變式4-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，反比例函數(shù)圖象l1的表達(dá)式為y=k1x(x>0)，圖象l2與圖象l1關(guān)于直線x=1對(duì)稱，直線y=k2x與l2交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A為OB中點(diǎn)時(shí)，則【答案】8【詳解】利用函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)確定l2的解析式，再聯(lián)立方程，通過方程跟與系數(shù)的關(guān)系求出k1解：∵圖象l2與圖象l1關(guān)于直線x=1對(duì)稱，即f（x）與f（2﹣x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴反比例函數(shù)l2為：y=k∵直線y=k2x與l2交于A，B兩點(diǎn)，∴y=k整理得：x2∴xA+x∵A為OB中點(diǎn)，∴2x∴xA∴xA=2∴k1k2故答案為：89【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，函數(shù)的對(duì)稱性，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)l2的解析式是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，已知線段AB，A2,1，B4,3.5，現(xiàn)將線段AB沿y軸方向向下平移得到線段MN．直線y=mx+b過M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)恰好也落在雙曲線(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．(2)①直接寫出不等式mx+b?k②若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且△PMN的面積為8.5，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)Cx1,a，Dx2,a?2在雙曲線【答案】(1)y=?10x，y(2)①x≥4或0<x≤2；②P0,1或0,?16(3)當(dāng)a>2或a<0時(shí)，x1>x2；當(dāng)【分析】（1）設(shè)線段AB沿y軸方向向下平移t個(gè)單位得到線段MN，則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為2,1?t、4,3.5?t，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入y=kx，得：k=21?t=43.5?t，解得t=6（2）①觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即可求解；②設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為C，先求出C0,?152，再根據(jù)S△PMN=（3）將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：ax1=?10，a?2x2【詳解】（1）解：設(shè)線段AB沿y軸方向向下平移t個(gè)單位得到線段MN，∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為2,1?t、4,3.5?t，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入y=kx得：解得：t=6，∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為2,?5、4,?2,5，∴k=2×?5∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=?10將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，得?5=2m+b?2.5=4m+b解得：m=5∴一次函數(shù)表達(dá)式為：y=5（2）解：①觀察函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方或相交的部分即為不等式解集，∴不等式m+b?kx≥0的解集為x≥4②設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為C，令x=0，則y=?15∴C如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)，S△PMN∵△PMN的面積為8.5，∴解得PC=17∴P0,1如圖，當(dāng)點(diǎn)P'在點(diǎn)C下方時(shí)，同理可得，P∴P0,?16綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,1或0,?16；

（3）解：將點(diǎn)Cx1,a，D得：ax1=?10則x1當(dāng)20aa?2>0時(shí)，即a>2或a<0當(dāng)20aa?2<0時(shí)，即0<a<2【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】【例5】（2023春·江西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線y=?x+k與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像交于A，BA．OA=OB B．當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合時(shí)，k=4C．當(dāng)k=6時(shí)，OA=26 D．不存在這樣的k使得△AOB【答案】D【分析】先聯(lián)立聯(lián)立y=?x+ky=kx得到x2?kx+k=0，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，?x1+k），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，?x2+k），然后分別求出OA，OB，即可判斷A；根據(jù)A、B重合，則方程x2?kx+k=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ=?k2?4k=0【詳解】解：聯(lián)立y=?x+ky=kx設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，?x1+k），B點(diǎn)坐標(biāo)為（∴OA2=∵A、B是直線與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)，∴x12?k∴x12?k∴OA∴OA=OB，故A選項(xiàng)不符合題意；∵A、B重合，則方程x2∴Δ=解得k=4或k=0（舍去），故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)k=6時(shí)，OA∴OA=26若△AOB是等邊三角形，則OA=AB，∵x1+∴AB=2=2=2k∴2k解得k=6或k=0（舍去），∴存在k=6，使得△AOB是等邊三角形，故D選項(xiàng)符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，兩點(diǎn)距離公式，等邊三角形的性質(zhì)，一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x,0)在【答案】(3,0)【分析】求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=2x得：y1＝2，y∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得：{2=k+b解得：k＝﹣1，b＝3，∴直線AB的解析式是y＝﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，即P（3，0）．故答案為（3，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題的知識(shí)，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置．【變式5-2】（2023春·江西上饒·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線y=?x＋3與坐標(biāo)軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kx在第一象限經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，則A．6 B．274 C．272【答案】B【分析】過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，由條件易得△ADE是等腰直角三角形，由AB=2AD進(jìn)而可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，則可求得k的值．【詳解】解：過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，如圖，對(duì)于y=?x＋3，令x=0，則y=3；令y=0，則∴OA=OB=3，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠DAE=180°?∠OAB?∠BAD=45°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴EA=ED，∵AB=OA2∴AD=1由勾股定理得：EA=ED=2∴OE=OA+EA=9∴D9∵D點(diǎn)在雙曲線y=k∴k=xy=9故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，其中求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kx的圖象過點(diǎn)C，當(dāng)△ACD面積為1時(shí)，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)OBOA=2，得到OB=2OA，設(shè)OA=a，則OB=2a，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式是y=﹣2x+2a，根據(jù)題意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)【詳解】解：∵OBOA∴OB=2OA，設(shè)OA=a，則OB=2a，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：ak+b=0b=2a解得：k=?2b=2a則直線AB的解析式是y=﹣2x+2a，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，CE=OE=12∴OD的解析式是y=x，根據(jù)題意得：y=xy=?2x+2a解得：x=2則D的坐標(biāo)是（23a，∴CE=OE=12∴C的坐標(biāo)是（12a，∴S△AOC=∴S△ACD∴a2∴k=1故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求兩直線的交點(diǎn)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，三角形面積公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kxk>0,?x>0的圖象過點(diǎn)C且交線段AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，若S

A．53 B．32 C．5【答案】B【分析】過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，設(shè)Am,0，Bm,m，且m>0，得到Cm2,m2，推出k=【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，

∵∠OAB=90°，AO=AB，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，∴設(shè)Am,0，Bm,m，且∴AO=AB=m，∵點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，∴Cm∴OC=CE=m∵反比例函數(shù)y=kx的圖象過點(diǎn)∴m2∴k=m∴y=m∵∠OAB=90°，點(diǎn)D在線段AB上，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，∵反比例函數(shù)y=m24x∴當(dāng)x=m時(shí)，y=m∴Dm,∴AD=m4，AE=m?m∴S△OAD=∴S△BCD故選B．【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，各圖形面積的計(jì)算公式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過菱形對(duì)角線OB的中點(diǎn)D和頂點(diǎn)C，若菱形OABC的面積為62，則點(diǎn)

【答案】2【分析】設(shè)Dt,kt，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到B2t,2kt，再利用BC∥OA得到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2kt【詳解】解：設(shè)Dt,∵D為OB的中點(diǎn)，∴B2t,∵四邊形ABCO為菱形，∴BC∥OA，∴C1∴BC=2t?1∵菱形OABC的面積為62∴32t?2k由兩點(diǎn)距離公式可得：12解得：t=2∴C故答案為22【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．也考查了菱形的性質(zhì)．【變式6-2】（2023春·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)D4，4在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，直線y=2

(1)求k、b的值．(2)求△ACE的面積．(3)已知點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．若S【答案】(1)k=16，b=?2(2)6(3)0<m<?52【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，如圖所示，由菱形的性質(zhì)及勾股定理可知B(6,0)，C(9,4)；將點(diǎn)D(4,4)代入反比例函數(shù)y=kx，求出k；將點(diǎn)C(9,4)代入y=2（2）求出直線y=23x?2與x軸和y（3）求出直線ME的表達(dá)式，并得到直線ME與x軸和y軸的交點(diǎn)，即可求出△MAE的面積，利用面積相等列方程求解，在由點(diǎn)M的變化，根據(jù)S△MAE>【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，如圖所示：

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)D(4,4)，∴OA=1，OF=4，DF=4，∴AF=3，由勾股定理可得AD=3∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OA+AB=1+5=6，∴B(6,0)，C(9,4)，∵點(diǎn)D(4,4)在反比例函數(shù)y=k∴k=4×4=16，將點(diǎn)C(9,4)代入y=2∴b=?2；（2）解：由（2）得y=2對(duì)于y=23x?2，令x=0∴E(0,?2)，令y=0，則x=3，∴直線y=23x?2與x∴S△AEC（3）解：點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=16x(x>0)的圖像上，點(diǎn)M

∴Mm,∵E(0,?2)，設(shè)直線ME的表達(dá)式為y=k'x+b'∴直線ME的表達(dá)式為y=16∴直線y=16m2+2由圖可知，S△MAE=12AE??（?①若點(diǎn)M在直線DE右側(cè)，?隨著點(diǎn)M沿著y=16x(x>0)圖像向上運(yùn)動(dòng)而減??；隨著點(diǎn)M當(dāng)S△MAE=S△ACE時(shí)，12m2∵m>0，1>0∴m+1>0，∴根據(jù)兩個(gè)數(shù)（式）相乘結(jié)果為0，若其中一個(gè)不等于0，則另一個(gè)數(shù)（式）必定為0，則m?8=0，解得m=8；∴M8,2∴若S△MAE>S△ACE，則②若點(diǎn)M在直線DE左側(cè)，?隨著點(diǎn)M沿著y=16當(dāng)S△MAE=S△ACE時(shí)，121?m2m+816m∵m>0，∴m=?52∴若S△MAE>S△ACE，則綜上所述，若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為故答案為：0<m<?52+【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法，因式分解，配方及開平方運(yùn)算等知識(shí)，能夠?qū)⒔柚庑蔚倪呴L(zhǎng)和菱形邊的平行求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于Aa,?2

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；(3)將△AOB在平面內(nèi)沿某個(gè)方向平移得到△DEF(其中點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F)，若D、F同時(shí)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點(diǎn)【答案】(1)y=(2)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1+132(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為2,?4【分析】1將點(diǎn)Aa,?2代入y=2x+4，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A2首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，分情況討論：在點(diǎn)M下方的y軸上取OM的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CD∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)C，或在點(diǎn)M上方的y軸上取ME=2，過點(diǎn)E作CE∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)3由平行四邊形和反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知B與D，A與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求得D3,2，根據(jù)B、F的坐標(biāo)得到平移的距離，從而求得點(diǎn)E【詳解】（1）解：將點(diǎn)Aa,?2代入y=2x+4得，?2=2a+4解得a=?3，∴A?3,?2∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴k=?3×?2∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=6（2）解：列方程組y=2x+4y=解得x=?3y=?2或x=1∴B1,6如圖，設(shè)直線y=2x+4與y軸交于M，

∴M0,4∵點(diǎn)C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，∴點(diǎn)C到直線AB的距離是點(diǎn)O到直線AB距離的一半，如圖，在點(diǎn)M下方的y軸上取OM的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CD∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C到直線AB的距離是點(diǎn)O到直線∴直線CD的解析式為y=2x+2，∴2x+2=6解得x1=?1+132，x∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1+13在點(diǎn)M上方的y軸上取ME=2，過點(diǎn)E作CE∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)同理可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?3+21綜上：C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1+132或（3）解：由題意可知AB=DF，AB∥∴四邊形ABFD是平行四邊形，由反比例函數(shù)與平行四邊形是中心對(duì)稱圖形可知，B與D，A與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴F3,2∵B1,6∴點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)F，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為2,?4．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形面積，平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】【例7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外），過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，若由點(diǎn)P、原點(diǎn)O、兩個(gè)垂足A、B為頂點(diǎn)的矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點(diǎn)”．

【嘗試初探】（1）點(diǎn)C2，3______“美好點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；若點(diǎn)D【深入探究】（2）①若“美好點(diǎn)”Em，6m>0在雙曲線y=kx（②在①的條件下，F(xiàn)2，n在雙曲線y=【拓展延伸】（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點(diǎn)”，已知點(diǎn)Px①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像的草圖，觀察圖像可知該圖像可由函數(shù)______（x>0）的圖像平移得到；③結(jié)合圖像研究性質(zhì)，下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是______；（多項(xiàng)選擇）A．圖象與經(jīng)過點(diǎn)2，B．y隨著x的增大而減??；C．y隨著x的增大而增大；D．圖像經(jīng)過點(diǎn)10，④對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)x，y，代數(shù)式【答案】（1）不是，4；（2）①18；②152；（3）①y=4x?2+2（x>2【分析】（1）直接根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可以判斷點(diǎn)C是不是“美好點(diǎn)”，根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義得到2×4+b=4b，進(jìn)行計(jì)算即可得到（2）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義求出m的值，得到E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②先由①得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，令直線EF與x軸交于點(diǎn)G，當(dāng)y=0時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，最后根據(jù)S△EOF（3）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可得2x+y=xy，化簡(jiǎn)整理即可得到答案；②描點(diǎn)連線即可得到圖象，由圖象觀察可知，該圖像可由y=4x平移得到；③先畫出草圖，再根據(jù)圖象逐一判斷即可得到答案；④將【詳解】解：（1）∵2+3∴點(diǎn)C2∵點(diǎn)D4∴2×4+b解得：b=4，故答案為：不是，4；（2）①∵Em∴2×m+6解得：m=3，∴E3將E3，6得k=18，故答案為：18；②∵F2，n∴n=18∴F2設(shè)直線EF的解析式為：y=ax+b，∴2a+b=9解得a=?3b=15∴直線EF的解析式為：y=?3x+15，令直線EF與x軸交于點(diǎn)G，當(dāng)y=0時(shí)，?3x+15=0，解得：x=5，∴G5畫出圖如圖所示：

∴S（3）①∵點(diǎn)Px∴2x+y化簡(jiǎn)得：y=2x∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，∴x>0解得：x>2，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=4x?2+2②畫出草圖如圖所示：

該圖像可由y=4故答案為：y=4③由圖象可得：A.圖象與經(jīng)過點(diǎn)2，B.由圖象可知y隨著x的增大而減小，故B正確，符合題意；C.y隨著x的增大而增大，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D.當(dāng)x=10時(shí)，y=52，所以圖像經(jīng)過點(diǎn)故選：AB；④∵y=4∴2?x∴對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)x，y，代數(shù)式2?x?【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解“美好點(diǎn)”的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y=(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m＝________；x…-4-3-2-1-11234…y…2-3-531m--…描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)；連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出了部分圖象．請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)y=2-x③函數(shù)y=(3)設(shè)A(x1,y1)、B【答案】(1)0，圖見解析(2)①減??；②下；1；③0,-1(3)1【分析】（1）將x=2（2）根據(jù)圖象進(jìn)行解答即可；（3）將點(diǎn)代入解析式，結(jié)合x1【詳解】（1）解：當(dāng)x=2時(shí)：y∴m=0如圖：（2）解：如圖①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減??；②y=∴函數(shù)y=2-x③∵y=∴y=2-x（3）把A（x1y1=∵x1∴y1【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象的平移和性質(zhì)．根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T(1)若a=3，求k的值(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點(diǎn)E①求正方形ABCD的面積；②直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)k＝12(2)①正方形ABCD的面積為8；②E【分析】（1）先計(jì)算點(diǎn)A平移前的坐標(biāo)為（4，3），這點(diǎn)在圖象T1上，代入函數(shù)y＝kx(x＞0)中可得k的值；（2）①先根據(jù)點(diǎn)A（0，a）可得k＝4a，如圖2，過點(diǎn)D作FM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CF⊥FM于F，證明△DMA≌△AOB（AAS），表示點(diǎn)D和C的坐標(biāo)，可解答；②利用待定系數(shù)法可得BC的解析式，與平移后的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程，解方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：當(dāng)a＝3時(shí)，A（0，3）∴點(diǎn)A平移前的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3）∴k＝4×3＝12．（2）解：①把點(diǎn)A（0，a）代入y＝kx＋4∴k＝4a，過點(diǎn)D作FM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CF⊥FM于F，如圖所示：∴∠DMA＝90°，∴∠DAM＋∠ADM＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAM＋∠BAO＝90°，∴∠MDA＝∠BAO，∴△DMA≌△AOB（AAS），∴DM＝OA＝a，當(dāng)x＝a時(shí)，y=4a∴AM＝4?a，同理得：△AMD≌△DFC（AAS），∴DF＝AM＝4?a，CF＝DM＝a，∴C（4，4?a），∴4（4?a）＝4a，∴a＝2，∴正方形ABCD的面積＝AD2＝a2＋（4?a）2＝4＋4＝8；②由①得：B（2，0），C（4，2），設(shè)BC的解析式為：y＝mx＋b，則2m＋b＝∴BC的解析式為：y＝x?2，∴x?2＝解得：x=?1±17∵點(diǎn)E在第一象限，∴x=?1+17∴E?1+【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，平移的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線，構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵，還體現(xiàn)了方程思想，難度適中．【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┰诔踔须A段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程，在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義：a=aa≥0（1）當(dāng)x=2時(shí)，y的值為___________；當(dāng)y=0時(shí)，x的值為___________；函數(shù)y=3+6x?1（2）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用你喜歡的方法補(bǔ)全函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象，并請(qǐng)寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：____________；（3）已知函數(shù)y=x+3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式3+6【答案】（1）9，-1，x≠1；（2）圖象見解析，當(dāng)x<?1時(shí)，y的值隨x的增大而減??；當(dāng)?1≤x<1時(shí)，y的值隨x的增大而增大；當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x的增大而減??；（3）x≤?2或0≤x<1或1<x≤3【分析】（1）把x=2和y=0分別代入y=3+6x?1（2）找出幾個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，將圖象大致描繪出來，注意圖象都在x軸的上方，根據(jù)增減性寫出函數(shù)的性質(zhì)即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象得出不等式3+6【詳解】解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，y=3+當(dāng)y=0時(shí)，0=3+6x?1函數(shù)y=3+6x?1中，自變量x故答案為：9，-1，x≠1；（2）如圖所示，性質(zhì)：①當(dāng)x<?1時(shí)，y的值隨x的增大而減小；②當(dāng)?1≤x<1時(shí)，y的值隨x的增大而增大；③當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x的增大而減小；故答案為：當(dāng)x<?1時(shí)，y的值隨x的增大而減?。划?dāng)?1≤x<1時(shí)，y的值隨x的增大而增大；當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x的增大而減??；（3）由圖象可得，3+6x?1∴不等式3+6x?1≥x+3的解集為：x≤?2或0≤x<1故答案為：x≤?2或0≤x<1或1<x≤3．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)與一元一次不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想，正確畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】【例8】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校考期末）我們定義：如果一個(gè)矩形A周長(zhǎng)和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．(1)若矩形A為正方形，是否存在一個(gè)正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長(zhǎng)為3．寬為2的矩形C是否存在完全12(3)如果長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全k倍體，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍：______．【答案】(1)不存在(2)長(zhǎng)為3．寬為2的矩形C不存在完全12(3)k≥【分析】（1）根據(jù)“完全N倍體”的定義及題干示例解答即可；（2）運(yùn)用新定義“完全N倍體”及【小鳴方程流】和【小棋函數(shù)流】的方法分別解答即可；（3）設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x,則所求矩形的寬為：k（3+2）-x,即5k-x,根據(jù)新定義“完全N倍體”可得：x2-5kx+6k【詳解】（1）不存在．因?yàn)閮蓚€(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長(zhǎng)比為2時(shí)，則面積比必定是4，所以不存在．故答案為：不存在；[深入探究]長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形，∵矩形ABCD長(zhǎng)為3，寬為2，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為10，面積為6，[小鳴方程流]設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10.xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12整理得x2解得：x1=5+13∴新矩形的長(zhǎng)為5+13，寬為5?13時(shí)，周長(zhǎng)為20，面積為∴長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形．[小棋函數(shù)流]如圖，設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10.xy=12，即y=?x+10，y=12利用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：（2）長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C的周長(zhǎng)為10，面積為6，[小鳴方程流】設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=52，聯(lián)立得x+y=5整理得：2x∵Δ=(?5)∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，即長(zhǎng)為3.寬為2的矩形C不存在完全12[小棋函數(shù)流]如圖，設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=5即y=?x+52，利用反比例函數(shù)l2：y=3x與一次函數(shù)l1：（3）設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，則所求矩形的寬為：k(3+2)?x，即5k?x，由題意得：x?(5k?x)=6k，整理得：x2Δ=25k∵一定存在另一個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積k倍，∴△≥0，即：25k令y=25k則由y=0，可得：25k解得：k1=0，∴當(dāng)y≥0時(shí)，k≤0或k≥24∵k≤0不符合題意，∴k的取值范圍為：k≥24故答案為：k≥24【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式．需要認(rèn)真閱讀理解新定義“矩形A是矩形B的完全N倍體”，根據(jù)題干過程模仿解題．第（3）題應(yīng)用一元二次方程根的判別式求k的范圍．【變式8-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：12+18_________212×1（2）由（1）中各式猜想：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，a＋b_________2ab（3）結(jié)論應(yīng)用：若a＞0，則當(dāng)a＝_________時(shí)，a+4a有最小值；若b＞0，（4）問題解決：如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=9x（x＞0）的圖像上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=?7x（x＜0）的圖像上，且AB∥x軸，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)【答案】（1）＞，＝，＞；（2）≥，理由見解析；（3）2，5；（4）存在，最小值16，A(【分析】（1）分別計(jì)算出左右兩邊，即可比較大小；（2）利用完全平方公式可得a+b?2ab（3）直接代入（2）中結(jié)論可得答案；（4）設(shè)A(m,9m)，B(?7m9，9【詳解】解：（1）∵12+1∴12∵3+3=6，23×3∴3+3=23×3∵6+3=9，26×3∴6+3>26×3故答案為：>，=，>；（2）∵a+b?2ab∴a+b?2ab故答案為：?；（3）當(dāng)a=4a時(shí)，即a=2時(shí)，∵b+9∴當(dāng)b+1=9b+1時(shí)，即b=2時(shí)，b+9故答案為：2，5；（4）四邊形ABCD的周長(zhǎng)存在最小值，理由如下：設(shè)A(m,9m)，B(?∵AB∥x軸，AD⊥x∴AB=m+7m9=∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2(AB+AD)=32m∵m>0，∴32m9∴當(dāng)32m9=18∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小值為16，此時(shí)A(94，【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力和分析、解決問題的能力，是近幾年中考的熱點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用前面推出的結(jié)論解決后面問題．【變式8-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）【閱讀理解】把一個(gè)函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)除外）、橫坐標(biāo)不變，可以得到另一個(gè)函數(shù)的圖象，我們稱這個(gè)過程為倒數(shù)變換．

【知識(shí)運(yùn)用】如圖1，將y=x的圖象經(jīng)過倒數(shù)變換后可得到y(tǒng)=1x的圖象（部分）．特別地，因?yàn)閥=x圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)是原點(diǎn)，所以該點(diǎn)不作變換，因此y=1x的圖象上也沒有縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)．小明在求y=x的圖象與y=1x的交點(diǎn)時(shí)速用了開平方的定義：y=1xy=x【拓展延伸】請(qǐng)根據(jù)上述閱讀材料完成：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2的平面直角坐標(biāo)系中畫出y=x+1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象．(2)設(shè)函數(shù)y=x+1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在左邊），直接寫出其坐標(biāo)．A______，B______；(3)設(shè)C?1,m，且S△ABC=4【答案】(1)見解析(2)(?2,?1)，(0,1)(3)±4【分析】（1）畫出函數(shù)y=x+1和函數(shù)y=1（2）解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求解；（3）利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解y=x+1y=1x+1，得x=0∴A(?2,?1)，B(0,1)，故答案為：(?2,?1)，(0,1)；（3）∵S∴12∴m=±4．【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)變換，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，三角形面積．理解倒數(shù)變換的定義是解題的基礎(chǔ)，能夠熟練用描點(diǎn)法畫圖是正確畫出圖象的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·湖南懷化·九年級(jí)溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校╅喿x：若w為正實(shí)數(shù)，對(duì)于某一函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1(1)分別判斷y=3x?2和y=1x(2)若y=1x(1(3)若y=x3(a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函數(shù)，且【答案】(1)y=3x?2是王氏函數(shù)，y=1(2)0＜w(3)3【分析】（1）利用王氏函數(shù)的定義判斷即可；（2）先利用王氏函數(shù)的定義化簡(jiǎn)得到有y1?y2x1?x2≥w（3）先利用李氏函數(shù)的定義得出結(jié)論化簡(jiǎn)得有y1?y2x1?x2=【詳解】（1）由y1?y①y1=3∴y1?∴y1②y1=∴y1?∴y1?y∴y=3x?2是王氏函數(shù)，y=1（2）若y=1x(13＜x＜∵13設(shè)13∴1∴w≤1x∴w≤1故0＜w≤（3）由題y1?y2∴w≤x12+∴w≤x12+即w≤3∴a=3所求a的值是3．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，解不等式，分類討論的思想；解本題的關(guān)鍵是理解新定義．【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】【例9】（2023春·福建泉州·九年級(jí)校考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B0,2，直線AB與反比例函數(shù)y=k

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)E4,m是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上一點(diǎn)，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ACD的面積與(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為G，且點(diǎn)G在x軸的正半軸上，若點(diǎn)M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MG，以MG為邊作正方形MGNF，當(dāng)頂點(diǎn)F恰好落在直線AB上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)存在，D2,0或(3)點(diǎn)M1,8或【分析】（1）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再把點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a，再代入反比例函數(shù)解析式即可求出k；（2）先求出點(diǎn)E坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí)，由于△ACD的面積與△ACE的面積相等，進(jìn)而可得DE∥AC，設(shè)直線DE的解析式為y=x+c，把點(diǎn)E4,2代入即可求出c，進(jìn)而可得點(diǎn)D（3）由題意可知：G4,0，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在M左側(cè)時(shí)，如圖，作出輔助線構(gòu)建三垂直全等三角形，證明△QMF≌△HGMAAS，推出QF=MH，GH=QM，設(shè)Mt,8t，然后用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)F【詳解】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=bx+n將點(diǎn)A?2,0，B0,2代入，得?2b+n=0n=2∴y=x+2，將點(diǎn)Ca,4代入y=x+2，得a+2=4，解得a=2∴C2,4將點(diǎn)C2,4代入y=kx∴y=8（2）把點(diǎn)E4,m代入y=8x∴E4,2當(dāng)點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)E到AC的距離為?1，點(diǎn)D到AC的距離為因?yàn)椤鰽CD的面積與△ACE的面積相等，所以?1∴DE∥AC，設(shè)直線DE的解析式為y=x+c，把點(diǎn)E4,2代入得，c=?2∴y=x?2，令y=0得x=2，∴D2,0當(dāng)點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得DA=4，∴D?6,0∴D2,0或D

（3）由題意可知：G4,0當(dāng)點(diǎn)F在M左側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)M作QH∥x軸，過點(diǎn)F作FQ⊥QH于點(diǎn)Q，過點(diǎn)G作GH⊥QH于點(diǎn)H，∴∠MQF=∠MHG=90°，在正方形MGNF中，∠GMF=90°，MG=MF，∵∠QMF+∠GMH=90°=∠MGH+∠GMH，∴∠QMF=∠MGH，∴△QMF≌△HGMAAS∴QF=MH，GH=QM，∵M(jìn)在雙曲線y=8∴設(shè)點(diǎn)Mt,8t，則QF=MH=4?t∴點(diǎn)Ft?8t,8解得t=8∴點(diǎn)M8

當(dāng)點(diǎn)F在M右側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)M作QH∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FH⊥QH于點(diǎn)H，同理可證△MFH≌△GMQAAS∴QG=MH，F(xiàn)H=QM，∵M(jìn)在雙曲線y=8∴設(shè)點(diǎn)Mt,8t，則QG=MH=4?t∴點(diǎn)Ft+8t,8解得t=1，∴點(diǎn)M1,8綜上，點(diǎn)M1,8或8

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=kx與相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)當(dāng)AB=25時(shí)，求k(2)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接AC，①判斷△ABC的形狀，并說明理由；②當(dāng)△ABC的面積等于16時(shí)，雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，連接AP，BP，使△PAB的面積等于△ABC面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)k=2；(2)①△ABC為直角三角形，理由見解析；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2+22，4+42)或(?2?2【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，2m)，則點(diǎn)A(?m，（2）①點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)相同，AC∥y軸，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，故BC⊥y軸，即可求解；②過點(diǎn)C作直線m∥AB，交反比例函數(shù)于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合題設(shè)要求，同樣在AB下方等間隔作直線n∥AB交反比例函數(shù)于點(diǎn)P，則點(diǎn)P也符合要求，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解∶設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，2m)，則點(diǎn)AB解得m=1（負(fù)值已舍去），故點(diǎn)