第二章：平面向量的教材分析與教法建議

第二章：“平面向量”的教材分析與教法建議房山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校張吉一、地位與作用向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。在本章中，讓學(xué)生了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。二、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章主要包括向量的線性運(yùn)算、向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、向量應(yīng)用四部分內(nèi)容。通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生：

1．通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

2．通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。

3．通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的條件。4．了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。5．了解平面向量的基本定理及其意義。6．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。7．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。8．會(huì)用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。9．通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

10．體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。11．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。12．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。13．經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。三、本章重點(diǎn)與難點(diǎn)（一）重點(diǎn)：（1）向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用；（2）數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用。（二）難點(diǎn)：（1）理解平面向量基本定理；（2）理解平面向量分解定理。四、本章內(nèi)容安排

本章共安排了4個(gè)小節(jié)內(nèi)容，大約需要12個(gè)課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：節(jié)次內(nèi)容課時(shí)2．1向量的線性運(yùn)算

4課時(shí)2．1．1向量的的概念1課時(shí)2．1．2向量的加法1課時(shí)2．1．3向量的減法2．1．4數(shù)乘向量1課時(shí)2．1．5向量共線的條件與數(shù)軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算1課時(shí)2．2向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算2課時(shí)2．2．1平面向量的基本定理1課時(shí)2．2．2向量的正角分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1課時(shí)2．2．3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件2．3平面向量的數(shù)量積2課時(shí)2．3．1向量數(shù)量積的物理背景與定義1課時(shí)2．3．2向量數(shù)量積的運(yùn)算律1課時(shí)2．3．3向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式與度量公式2．4向量的應(yīng)用2課時(shí)2．4．1向量在幾何中的應(yīng)用1課時(shí)2．4．2向量在物理中的應(yīng)用1課時(shí)小結(jié)與復(fù)習(xí)2課時(shí)五、本章教材編寫時(shí)注意了以下幾個(gè)問題

1．突出向量的物理背景與幾何背景教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過日常生活中確定“位置”中的位移概念，說明學(xué)習(xí)向量知識(shí)的意義；在2.1節(jié)，通過物理學(xué)中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實(shí)際背景素材，說明它們都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問題、物理問題以及數(shù)學(xué)問題中的作用，使學(xué)生建立起理解和運(yùn)用向量概念的背景支持。

教科書借助幾何直觀，并通過與數(shù)的運(yùn)算的類比引入向量運(yùn)算，以加強(qiáng)向量的幾何背景。例如，關(guān)于向量的減法，在向量代數(shù)中，常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，即如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差。這樣，作b－a時(shí)，可先在平面內(nèi)取一點(diǎn)，再作，則就是b－a。第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量的加法定義向量的減法，即已知、，定義。在這種定義下，作時(shí)，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則由向量加法的平行四邊形法則知，。由于，即就是。實(shí)踐表明，中學(xué)生理解第一種定義方法存在困難，但能容易地作出；接受第二種定義方法容易，但作較繁。為便于學(xué)生接受，教科書先類比相反數(shù)給出相反向量，再把定義為，然后借助幾何直觀得出的作法（向量減法的幾何意義）。2．強(qiáng)調(diào)向量作為解決現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題的工具作用。為了強(qiáng)調(diào)向量作為刻畫力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中常見現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具作用，本章特別注意聯(lián)系實(shí)際。特別是在概念引入中加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。例如，在引入向量的概念時(shí)，聯(lián)系了位移、物體在液體中的受力分析、彈簧受力分析等；向量的加法運(yùn)算、平面向量的正交分解、平面向量的數(shù)量積等都與相應(yīng)的物理問題建立聯(lián)系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成相聯(lián)系。另外，向量也是解決數(shù)學(xué)問題的好工具，例如，和（差）角的三角函數(shù)公式、線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進(jìn)行推導(dǎo)；向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，是一個(gè)很好的數(shù)形結(jié)合工具，教科書通過“平面幾何中的向量方法”進(jìn)行了介紹，并在第三章用向量方法來推導(dǎo)兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現(xiàn)向量作為基本的、重要的數(shù)學(xué)工具的地位。

3．根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程安排內(nèi)容。

向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來引進(jìn)的新內(nèi)容，為了保證其科學(xué)性，同時(shí)又易于被學(xué)生接受，根據(jù)向量知識(shí)的發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對向量內(nèi)容的定位，并考慮到學(xué)生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來的經(jīng)驗(yàn)，本章按照如下次序來編排：向量的實(shí)際背景及基本概念→向量的線性運(yùn)算→平面向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量的數(shù)量積→向量應(yīng)用舉例。

具體的考慮是：（1）借助力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中的常見現(xiàn)象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，給出向量的概念。

（2）數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個(gè)新的量，自然要看看它的運(yùn)算及其運(yùn)算律的問題。向量運(yùn)算可以與我們熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，從中得到啟發(fā)，因此在引進(jìn)向量概念后接著討論向量的線性運(yùn)算（加、減及數(shù)乘）是很自然的。只是要對向量與數(shù)之間不同的地方要非常小心，也即運(yùn)算中除了考慮大小，還要考慮方向問題。這里，為了便于學(xué)生理解，還要借助于物理中力的合成來定義向量的加法。（3）受到數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的啟發(fā)，向量能不能用類似于數(shù)軸上的點(diǎn)的形式來表示呢？根據(jù)這個(gè)想法，以向量的加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，得出平面向量基本定理，就可以引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示。

（4）從運(yùn)算的角度看，自然要研究兩個(gè)向量是否可以相乘，如果可以，那么結(jié)果怎樣？還是從向量的物理背景中得到啟發(fā)，可以定義兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算，并討論運(yùn)算律問題。至于向量是否可以作其他運(yùn)算，以及如何定義，可以作為懸念留待今后解決。（5）學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，應(yīng)用的過程中可以加深理解相關(guān)知識(shí)，因此安排了“向量的簡單應(yīng)用”。本章內(nèi)容的這種想法，如果能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中明確起來，那么對他們掌握本章內(nèi)容會(huì)有很大幫助。這里需要說明的是，向量的坐標(biāo)表示的引入，由于目的不同而有不同的處理方式。高等數(shù)學(xué)教材中，往往采取先介紹向量的概念及各種運(yùn)算，并直接用向量解決有關(guān)幾何問題，然后再引進(jìn)坐標(biāo)，并用向量和坐標(biāo)方法討論空間直線、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章為了盡早讓學(xué)生知道處理幾何問題的另兩種方法——向量法和坐標(biāo)法，突出數(shù)形結(jié)合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引進(jìn)向量的坐標(biāo)，并把向量的線性運(yùn)算及向量的共線等用坐標(biāo)表示。4．強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想，明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位。

向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運(yùn)算得到解決。另外，向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形的性質(zhì)緊密相聯(lián)，向量的運(yùn)算（包括運(yùn)算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質(zhì)也可以用向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）來表示。例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的加法及其交換律（a+b=b+a）又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD）。這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。

幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”。這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果。如果把解析幾何的方法簡單地表述為：[形到數(shù)]——[數(shù)的運(yùn)算]——[數(shù)到形]；則向量方法可簡單地表述為：[形到向量]——[向量的運(yùn)算]——[向量和數(shù)到形]。教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想，并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問題的“三步曲”。為了使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性，教科書注意引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題時(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納，同時(shí)還明確使用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限；如果沒有運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語。5．通過與數(shù)及其運(yùn)算的類比，向量法與坐標(biāo)法的類比，建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，突出思想性。向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算既有區(qū)別又有聯(lián)系，在研究的思想方法上可以進(jìn)行類比。這種類比可以打開學(xué)生討論向量問題的思路，同時(shí)還能使向量的學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點(diǎn)。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等內(nèi)容的展開上，都注意與數(shù)及其運(yùn)算（加、減、乘）進(jìn)行類比。又如，在學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及運(yùn)算律時(shí)，也是從數(shù)談起的：“數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無窮。與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？”“數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法?！薄皵?shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算。類似的，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？”“我們知道，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。向量的減法是否也有類似的法則？”……再如，在向量的坐標(biāo)表示中，先提出問題：“在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示。對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐標(biāo)表示，并把向量（有向線段）的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)對應(yīng)起來，實(shí)現(xiàn)向量的運(yùn)算到數(shù)的運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。6．用恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

本章充分利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置了大量問題，教科書通過這些問題來啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。例如，引進(jìn)向量加法運(yùn)算時(shí)，通過“探究”欄目，創(chuàng)設(shè)從力的合成到向量加法的問題情景；討論向量加法的運(yùn)算律時(shí)，提出“數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律？請畫圖進(jìn)行探索?！痹谟懻撓蛄繑?shù)乘運(yùn)算時(shí)，先提出“已知非零向量，作出++和（-）+（-）+（-）。你能說明它們的幾何意義嗎？”平面向量基本定理的引入，先讓學(xué)生思考“給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量，請作出向量3e1+2e2，e1－2e2。平面內(nèi)任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？”引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，概括出平面向量基本定理。六、對本章教學(xué)的幾個(gè)建議1．引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量內(nèi)容在向量概念的教學(xué)中，要利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實(shí)例是學(xué)生了解向量的物理背景、幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)向量作為描述現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型的作用。同時(shí)還要通過解決一些實(shí)際問題或幾何問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)用向量這一數(shù)學(xué)模型處理問題的基本方法。2．加強(qiáng)向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，使學(xué)生明確研究向量的基本思路向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。作為代數(shù)對象，向量可以運(yùn)算，而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面），利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，通過向量運(yùn)算還可以描述幾何元素之間的關(guān)系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注到向量的這些特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中學(xué)習(xí)本章知識(shí)。

值得特別注意的是，在本章的教學(xué)之初，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過與數(shù)及其運(yùn)算的類比，體會(huì)研究向量的基本思路，在學(xué)完本章內(nèi)容后，還要引導(dǎo)學(xué)生反思，重新概括研究思路，這樣可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中研究問題的思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。3．引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)向量法的思想實(shí)質(zhì)向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時(shí)可以實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合，因而向量方法是幾何研究的一個(gè)有效的強(qiáng)有力工具。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)通過建立向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系，利用向量的代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。其中，由于向量的數(shù)量積集距離和角這兩個(gè)刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量于一身，因而它在解決幾何問題中的作用更大，應(yīng)當(dāng)通過適當(dāng)?shù)膯栴}引起學(xué)生的注意。4．注意與數(shù)及其運(yùn)算、解析幾何的思想方法的類比前已指出，向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比，這種類比使學(xué)生體會(huì)向量研究中的問題與方法，使向量的學(xué)習(xí)有一個(gè)好的思維固著點(diǎn)。這樣的類比是教學(xué)中提高思想性的有效手段，因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的關(guān)注。另外，從思想實(shí)質(zhì)來說，向量法與解析法是完全一致的，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)2中歸納的解析法的“三步曲”，然后讓學(xué)生自己概括出向量法的“三步曲”。順便指出，作為向量數(shù)量化依據(jù)的平面向量基本定理，教科書是通過具體的例子來說明同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，這種表示是學(xué)生所不熟悉的。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分用好具體例子，使學(xué)生形成對基本定理的直觀理解，但不要加以證明。在進(jìn)入平面向量的坐標(biāo)表示以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算后，可以引導(dǎo)學(xué)生通過例題，在解決線段的定比分點(diǎn)、平移、平面上兩點(diǎn)之間的距離等問題的過程中，使學(xué)生看到結(jié)果與在數(shù)學(xué)2中得到的一樣，從而進(jìn)一步體會(huì)平面向量基本定理的內(nèi)涵。七、分節(jié)分析（一）向量的線性運(yùn)算（共4課時(shí)）2．1向量的線性運(yùn)算2．1．1向量的概念（1課時(shí)）1．教學(xué)要求（1）在物理學(xué)上一個(gè)向量為從始點(diǎn)到終點(diǎn)的位移，在幾何上向量表示一點(diǎn)相對于另一點(diǎn)的位置；（2）知道如何用向量確定點(diǎn)的位置，給定一點(diǎn)，另一點(diǎn)的位置可用向量唯一確定；（3）向量的有關(guān)概念。2．內(nèi)容分析（1）位移的概念：表示質(zhì)點(diǎn)位置變化的物理量，它只與質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)與終點(diǎn)位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)行的路徑無關(guān)。（2）向量的有關(guān)概念：①有向線段的概念；②向量、向量的方向、向量的大?。＃⑾蛄康幕€的概念；③向量的幾何表示：有向線段；④零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等基本概念；⑤自由向量：只有大小和方向，而無特定位置的向量。（3）用向量表示點(diǎn)的位置3．本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：①向量的概念；②相等向量的概念；③向量的幾何表示。（2）難點(diǎn)：向量的概念的理解。4．教法建議（1）向量概念的教學(xué)。在幾何學(xué)中，點(diǎn)是構(gòu)成平面最基本的元素，連結(jié)兩點(diǎn)間的線段是空間最基本的圖形。這一小節(jié)，我們探究的是，在平面內(nèi)如何表示一點(diǎn)到另一點(diǎn)的位移，以及如何確定一點(diǎn)相對于另一點(diǎn)的位置（用位置向量）。由此，引出有向線段和向量的概念，并講解如何用向量確定點(diǎn)的位置，為向量在幾何中的應(yīng)用奠定必要的基礎(chǔ)。（2）思考與討論的目的是想說明，向量與平行四邊形的特征性質(zhì)：“如果四邊形中，有一組對邊平行且相等，則另一組對邊平行且相等”之間的內(nèi)在聯(lián)系。即，兩條不共線的有向線段表示同一向量的充要條件是：它們起點(diǎn)與起點(diǎn)、終點(diǎn)與終點(diǎn)相連構(gòu)成平行四邊形。這一討論的另外一個(gè)目的是，為下一節(jié)學(xué)習(xí)加法交換律打下基礎(chǔ)。（3）書中例題的解，直接給出了答案，沒有說理。教學(xué)時(shí)，還是建議教師要引導(dǎo)學(xué)生說出理由。從而復(fù)習(xí)正六邊形和平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)。（4）強(qiáng)化幾何與向量的聯(lián)系。（4）練習(xí)A、B全做。練習(xí)B中的2、3可以增加要求“說明理由”，讓學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)平面幾何知識(shí)。在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)要抓住一切機(jī)會(huì)，讓學(xué)生復(fù)習(xí)平面幾何的知識(shí)。5．例題分析（課本例題）2．1．2向量的加法與2．1．3向量的減法（1課時(shí)）1．教學(xué)要求（1）理解向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則；（2）學(xué)生要熟練地掌握向量的加法運(yùn)算及其運(yùn)算律；（3）理解向量的減法運(yùn)算為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算；（4）能熟練地通過作圖，求作兩個(gè)向量的差。2．內(nèi)容分析（1）向量加法的定義：向理加法是利用幾何作圖來定義的，方法有三角法則、平行四邊形法法則、多邊形法則。（2）兩向量的和向量與原向量之間的關(guān)系①②+=③當(dāng)向量不共線時(shí)，的方向與不同向，且④當(dāng)向量同向時(shí)，的方向與同向，且當(dāng)向量反向時(shí)，若，則的方向與同向，且；若，則的方向與反向，且。（3）加法運(yùn)算律①交換律：；②結(jié)合律：（4）向量減法的定義：有兩種方法，第一種類比運(yùn)算中的加減互為逆運(yùn)算，將向量減法定義為加法的逆運(yùn)算；第二種方法是定義相反向量的基礎(chǔ)上，通過各量加法定義向量減法。3．本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：（1）向量加法的三角形法則與平行四邊形法則的運(yùn)用；（2）向量減法法則的運(yùn)用。（2）難點(diǎn)：對向量的加法與減法定義的理解。4．教學(xué)建議（1）建議直接從位移的合成引入向量的加法運(yùn)算。認(rèn)真分析“從點(diǎn)A位移到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B位移到點(diǎn)C，等效于從點(diǎn)A到點(diǎn)C的位移”這句話的含義。（2）要認(rèn)真地證明向量加法的交換律、結(jié)合律。特別是交換律的證明，不要忽略。教師要領(lǐng)悟到，向量加法交換律與“在四邊形中，如果有一組對邊平行且相等，則另一組對邊也一定平行且相行”這個(gè)命題是等價(jià)的。正由于這個(gè)事實(shí)，才使我們能把全等與平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算及運(yùn)算律表示。（3）本小節(jié)設(shè)置的“思考與討論”的目的是，說明求向量和與表示向量的有向線段的起點(diǎn)的選擇無關(guān)。向量加法構(gòu)成的三角形平移到任何位置，其關(guān)系不變。通過證明這一事實(shí)進(jìn)一步溝通“全等”“平行”與向量加法運(yùn)算間的聯(lián)系。（4）講向量減法運(yùn)算時(shí)，最好先復(fù)習(xí)一下數(shù)的減法運(yùn)算和代數(shù)和概念。然后用逆運(yùn)算的觀點(diǎn)引入向量的減法運(yùn)算。（5）應(yīng)注意共線向量求差的作圖方法。（6）練習(xí)A的1、2、3可作為課堂練習(xí)。練習(xí)A的4和B可留作課外作業(yè)。請教師們關(guān)注一下練習(xí)A的第4題，最好在下一節(jié)課，先對它作一小結(jié)，然后再講減法運(yùn)算。5．例題分析（課本例題）2．1．4數(shù)乘向量（1課時(shí)）1．教學(xué)要求（1）理解數(shù)乘向量所表達(dá)的幾何意義；（2）理解數(shù)乘向量分配律所表達(dá)的幾何意義。2．內(nèi)容分析（1）數(shù)乘向量的定義：實(shí)數(shù)與向量和乘積是一個(gè)向量，記作，且它的長，當(dāng)>0時(shí)，與同方向；<0時(shí)，與反方向；當(dāng)時(shí)，=；（2）數(shù)乘向量的運(yùn)算律：①；②③（3）向量線性運(yùn)算的概念：向量的加法、減法、數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算。3．本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)(1)重點(diǎn)：①數(shù)乘向量的定義；(2)數(shù)乘向量的運(yùn)算律。（2）難點(diǎn):正確運(yùn)用法則、運(yùn)算律，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算4．教學(xué)建議（1）應(yīng)該采用歸納對比的教學(xué)方式，與數(shù)的乘法進(jìn)行對比。當(dāng)學(xué)生充分理解3a、a與a的意義后，再給出數(shù)乘向量的一般定義。（2）建議探索與研究在課堂上進(jìn)行。對分配律進(jìn)行探索與說理是很重要的。高中學(xué)生一定要養(yǎng)成處處說理的習(xí)慣。培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，是數(shù)學(xué)教育一項(xiàng)重要任務(wù)。（3）例1和例2可以由學(xué)生自己完成。例3由老師講解，說明例3的幾何意義。如過條件允許的話，最好啟發(fā)學(xué)生思考分配律與相似三角形的判斷定理之間的關(guān)系。向量等式，表明了在三角形OAB和三角形OA’B’中，有兩邊對應(yīng)成比例而且夾角相等。例中用分配律證明了，即第三條邊也成比例，也就是證明了這兩個(gè)三角形相似。（4）教師要理解，如果把例3中的數(shù)3換為任意實(shí)數(shù)λ，則上面的過程也就證明了相似三角形的一個(gè)判斷定理：如果在兩個(gè)三角形中，有兩條邊對應(yīng)成比例且其夾角相等，則第三條邊也對應(yīng)成比例，即兩三角形相似。反之，由相似三角形判斷定理可以推出數(shù)乘向量的分配律成立。由上面分析可得出，相似三角形判斷定理與數(shù)乘向量分律是等價(jià)的。這樣，我們就可用數(shù)乘向量的分配律處理有關(guān)放大縮小及相似的問題。（5）練習(xí)A、B全做。5．例題分析（課本例題）2．1．5向量共線的條件與軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1課時(shí)）1．教學(xué)要求（1）要求學(xué)生理解向量平行（共線）概念和平行向量基本定理，并能像例1那樣，證明幾何中簡單的平行問題；（2）理解軸和軸上向量的概念。理解軸上向量的坐標(biāo)，建立軸上向量與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系。（3）學(xué)生能用向量的觀點(diǎn)理解數(shù)軸，能用軸上向量運(yùn)算證明解析幾何基本公式AB+BC=AC，AB=x2-x1，|AB|=|x2-x1|，能用向量確定直線上點(diǎn)的位置。2．內(nèi)容分析（1）平行（共線）向量：如果向量的基線平行或重合，則稱這些向量共線或平行。（2）平行向量的基本定理：若，則∥，反之，若∥，則且，則一定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。（3）軸上向量的坐標(biāo)及運(yùn)算①軸：規(guī)定了方向和長度單位的直線；②給定單位向量，它能生成與它平行的所有向量的集合為；③A、B是軸上兩點(diǎn)，坐示分別為，則AB=，（4）向量的單位向量：與向量同方向，且長度為1的向量。4．教學(xué)建議（1）平行向量基本定理是建立直線坐標(biāo)系的理論基礎(chǔ)。一定要讓學(xué)生扎實(shí)的掌握，這樣能使數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生頭腦中牢牢地扎根。（2）本節(jié)知識(shí)看似簡單，其實(shí)極為重要，一定要重視。這一小節(jié)涉及到解析幾何一些基礎(chǔ)知識(shí)：向量的共線（平行）、向量共線的條件、軸、向量在軸上的坐標(biāo)及加法運(yùn)算、數(shù)軸以及如何用位置向量確定軸上點(diǎn)的位置、基本公式等。這些知識(shí)看似簡單，但極為重要。這一節(jié)的學(xué)習(xí)，可為不同層次的學(xué)生搭建學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)平臺(tái)。（3）向量的平行，是用向量的基線平行定義的。并規(guī)定零向量可以與任意一個(gè)向量平行。從這里可以看出引入向量基線的作用。引入基線，主要是邏輯上的考慮。我們把向量平行建立在直線平行的基礎(chǔ)上。這樣，向量與幾何緊密相連，又可避開直接用方向來定義向量的平行。（4）平行向量基本定理是由向量平行的定義直接推知，沒有作形式化的證明。教學(xué)時(shí)，沒有必要補(bǔ)充證明。（5）軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算，完全可啟發(fā)學(xué)生自己導(dǎo)出。一定要讓學(xué)生區(qū)分軸與數(shù)軸這兩個(gè)不同的概念。理解軸上向量與其實(shí)數(shù)（坐標(biāo)）的一一對應(yīng)關(guān)系。書中沒有提軸上向量的減法運(yùn)算，它應(yīng)包含在加法運(yùn)算之中。（6）軸上向量的基本公式，在數(shù)學(xué)2中已學(xué)習(xí)過，這里用向量再重新推導(dǎo)，目的是提高學(xué)生對這些基本公式的理解和記憶。直接學(xué)習(xí)必修4的學(xué)生，更應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對這些公式的理性認(rèn)識(shí)。（7）練習(xí)和習(xí)題都比較簡單，要求學(xué)生全做。5．例題分析（課本例題）（二）2．2向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算（2課時(shí)）2．2．1平面向量基本定理（1課）1．教學(xué)要求（1）理解平面向量的基本定理；（2）理解平面向量與數(shù)偶的一一對應(yīng)關(guān)系和向量的坐標(biāo)表示；（3）通過例2掌握直線的向量表達(dá)式和中點(diǎn)公式；（4）解題時(shí)能合理地選擇基底表示向量，并進(jìn)行向量運(yùn)算。2．內(nèi)容分析（1）平面向量基本定理：如果，是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，存在唯一一對實(shí)數(shù)，使得；（2）直線的向量表達(dá)式：設(shè)A、B是同一直線上三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，則對直線上任一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)，使=；（3）線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式：上式中，若M為AB的中點(diǎn)，則。3．本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：平面向量的基本定理及應(yīng)用。（2）難點(diǎn)：平面向量的基本定理及應(yīng)用。4．教學(xué)建議（1）教科書中，先用實(shí)例歸納出基本定理，然后做形式化的證明。（2）實(shí)際教學(xué)時(shí)，形式化證明可以省略。特別是唯一性證明，可能多數(shù)學(xué)生難以理解。但一定要對“唯一性”加以說明，以便應(yīng)用唯一性解題。（3）由基本定理，分析向量與數(shù)偶的一一對應(yīng)關(guān)系和向量的坐標(biāo)概念。一個(gè)數(shù)偶對應(yīng)平面內(nèi)一個(gè)向量，即對應(yīng)一個(gè)平行且相等的有向線段的集合。（4）建議引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的向量表達(dá)式和中點(diǎn)公式。應(yīng)注意，直線的向量表達(dá)式和中點(diǎn)公式應(yīng)讓學(xué)生記憶。（5）建議增加思考與討論：假設(shè)O、A、B是平面上三個(gè)定點(diǎn)，而且，思考點(diǎn)P在直線AB上的條件。（6）練習(xí)A，B的設(shè)置，全是為了學(xué)生熟練地掌握基本定理，要求學(xué)生全做。不需要增加技巧題。5．例題分析（課本例題）2．2．2向量的正交分解與各量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，2．2．3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線性運(yùn)算，1．教學(xué)要求（1）熟練地掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算。(2)理解正交分解的概念，用向量的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)直角坐標(biāo)系，區(qū)分向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的異同；(3)

已知向量的長度和方向轉(zhuǎn)角，會(huì)求向量的坐標(biāo)，知道向量始點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，會(huì)求向量的坐標(biāo)；(4)

掌握線段的中點(diǎn)公式的坐標(biāo)表示，會(huì)根據(jù)已知條件，確定直線上點(diǎn)的位置。(5)

會(huì)推導(dǎo)兩向量平行的坐標(biāo)表示；(6)

掌握判斷兩個(gè)向量平行（或共線）的條件。2．內(nèi)容分析（1）向量垂直：若兩向量的基線垂直，則稱兩向量垂直。（2）正交基底：若基底的兩個(gè)向量，互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底。（3）正交分解：在正交基底下分解向量，叫正交分解。（4）向量的直角坐標(biāo)表示：設(shè)，，則①②③④設(shè)點(diǎn)A，點(diǎn)B，則向量（4）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A，B，則線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，（5）用平面向量坐標(biāo)表示兩向量平行的條件：設(shè)，，∥4．教學(xué)建議(1)

復(fù)習(xí)基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念。讓學(xué)生用基本定理重新認(rèn)識(shí)平面直角坐標(biāo)系。用三角函數(shù)的定義，初步建立向量與長度、角度之間的聯(lián)系a1=|a|cosθ，a2=|a|sinθ。（2）教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)運(yùn)算法則。(3)

認(rèn)真向?qū)W生分析，向量的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。(4)做完前6個(gè)例題，總結(jié)用向量確定點(diǎn)位置的計(jì)算方法。（5）注意滲透數(shù)形結(jié)合思想。（6）下一章我們要證明，a1b2-a2b1為向量a、b張成的平行四邊形的面積。它是解析幾何中一個(gè)重要的不變量。顯然，面積為零，兩向量共線。5．例題分析（課本例題）（三）2．3平面向量的數(shù)量積（2課時(shí)）向量的數(shù)量積與距離、角度緊密相聯(lián)，它是度量幾何學(xué)的基礎(chǔ)。如何度量距離和角度是幾何學(xué)發(fā)展兩個(gè)強(qiáng)大的動(dòng)力。從直接度量到相似和勾股計(jì)算，從解直角三角形，到正弦和余弦定理，人們已可解決各種各樣的有關(guān)角度和距離的度量。向量的數(shù)量積使度量幾何上升到一個(gè)嶄新的層面，使人們能更有效地用代數(shù)方法研究幾何，向量的數(shù)量積已成為研究幾何度量的強(qiáng)有力的工具。2．3．1向量數(shù)量積的物理背景與定義（1課時(shí)）1．教學(xué)要求(1)

理解投影公式al=|a|cosθ的意義和作用。(2)

掌握數(shù)量積的定義、幾何意義和5條基本性質(zhì)。2．內(nèi)容分析（1）力做功的計(jì)算：，其中是力在物體位移方向上的分量的數(shù)量，也是力在物體位移方向上正射影的數(shù)量。（2）兩個(gè)向量的夾角：①讓兩向量共起點(diǎn)后，兩向量正方向所成的最小正角；②兩向量夾角的表示：③范圍：（3）向量在軸上的正射影：向量在軸上的正射影記作，向量的方向與軸所正向所成的角為，則=。（4）向量的數(shù)量積（內(nèi)積）①定義：②內(nèi)積的五個(gè)性質(zhì)：若是單位向量，則；若，則，且若，則；，即；=；3．本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)（2）難點(diǎn)：對向理數(shù)量積的定義的理解與應(yīng)用。4．教學(xué)建議(1)

通過對物理中做功計(jì)算的分析，引入向量的在軸上的投影計(jì)算公式。(2)

先回到力做功的計(jì)算，定義W=|s|(|f|cosθ)=s·f，再引入向量的數(shù)量積定義。(3)

學(xué)生對運(yùn)算的意義，通過集合運(yùn)算、向量的加法、數(shù)乘向量，已突破算術(shù)運(yùn)算的框框，學(xué)生在形式上會(huì)接受定義，但還是向?qū)W生說明，之所以定義這種運(yùn)算，是因?yàn)樗哂幸惶變?yōu)良的算律。為下一節(jié)講算律埋下伏筆。（4）對數(shù)量積，應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)。①兩個(gè)向量的和，數(shù)乘向量的積都仍是一個(gè)向量；②兩個(gè)向量的數(shù)量積，就不在是一個(gè)向量，而是一個(gè)實(shí)數(shù)；③在向量集合中，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積對應(yīng)實(shí)數(shù)集中一個(gè)唯一的實(shí)數(shù)。(5)

引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的5條性質(zhì)。這5條性質(zhì)是度量幾何最基本的5個(gè)關(guān)系式，它的重要作用顯現(xiàn)在它們的坐標(biāo)表達(dá)式之中。這里，主要是通過定義，講清楚它們的幾何意義。(6)

設(shè)置的練習(xí)題，主要是鞏固學(xué)生對數(shù)量積的定義的理解，并掌握其性質(zhì)。

5．例題分析（課本例題）2．3．2向量數(shù)量積的運(yùn)算律與2．3．3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式（1課時(shí)）1．教學(xué)要求(1)

掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其幾何意義，特別是分配律的幾何意義：兩個(gè)向量和的投影等于各向量投影的和；(2)

能用運(yùn)算律證明簡單的幾何問題；（3）掌握推導(dǎo)數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)式的過程，熟練掌握向量垂直的條件、距離公式和夾角公式；（4）體會(huì)數(shù)量積與長度、角度間的聯(lián)系。2．內(nèi)容分析（1）數(shù)量積的運(yùn)算律：①②③（2）向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與度量公式：設(shè)，，則①向量內(nèi)積的坐標(biāo)表示：②兩向量垂直的條件：③向量的長度：④向量的夾角：=⑤設(shè)點(diǎn)A，B，則3．本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：①對向量數(shù)量積運(yùn)算律的理解和運(yùn)用；②向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與度量分式。（2）難點(diǎn)：①對向量數(shù)量積運(yùn)算律的理解和運(yùn)用；②靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。4．教學(xué)建議(1)

由恒等變形|a|(|b|cosθ)=|b|(|a|cosθ)，得出ab=ba。(2)

認(rèn)真證明分配律，揭示分配律的幾何意義。為用分配律運(yùn)算解幾何問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。(3)

例1中的（1）、（2）、（3），主要是讓學(xué)生熟悉算律的應(yīng)用。但這三個(gè)向量表達(dá)式，有深刻的幾何意義。如果在△ABC中令，則，，，且。則（1）和（3）都是余弦定理的向量表達(dá)式。也就是說，（1）和（3）已證明了余弦定理。顯然，這時(shí)接著學(xué)習(xí)正、余弦定理是順理成章的事。但教材依據(jù)課標(biāo)，把這一內(nèi)容放到必修5中，以便那個(gè)時(shí)候再返回到低的層面上循環(huán)。其教育價(jià)值，值得研究。建議講解（1）和（3）時(shí)，順便畫圖，說一下其幾何意義，為以后學(xué)習(xí)埋下伏筆。例1中的（2），作出圖來，顯示的是平行四邊形的性質(zhì)。當(dāng)?shù)仁接疫叺扔?，也就證明了菱形的對角線互相垂直。這也是例2要求證明的。(4)

2．3．3

這一節(jié)，主要是把數(shù)量積運(yùn)算，完全坐標(biāo)化。實(shí)際上，a1b1+a2b2表示兩個(gè)向量的數(shù)量積，只與長度和角度有關(guān)，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，它是解析幾何中一個(gè)重要的不變量。在度量幾何中有著重要應(yīng)用。這樣，遇到幾何中的度量問題，就可通過建立坐標(biāo)系，用代數(shù)方法來處理。教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式。(5)

引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)兩個(gè)向量垂直的條件a1b1+a2b2=0。有了這個(gè)條件，就可通過計(jì)算數(shù)量積處理相關(guān)的垂直問題。引導(dǎo)學(xué)生寫出與向量（a1，a2）垂直的向量的坐標(biāo)形式為：k(-a2，a1)。特別與它垂直的兩個(gè)單位向量，以及，。記住與(a1，a2)垂直的兩個(gè)向量是有益的。(6)

引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)向量長度、距離和夾角公式。(7)

引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行思考與討論，用兩個(gè)向量垂直的條件證明90°的誘導(dǎo)公式。(8)

講解2．3．3

例4時(shí)，已知（a，b），要求學(xué)生會(huì)寫出關(guān)于直線y=x的軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（b，a）。(9)

練習(xí)A、B的練習(xí)都是度量公式基本應(yīng)用，學(xué)生應(yīng)能熟練地做出。

（10）學(xué)生基礎(chǔ)好的學(xué)校也可安排一個(gè)例題：已知點(diǎn)A（2，5），B（1，2），而且C（4，3），求點(diǎn)A到直線BC的距離。引導(dǎo)學(xué)生通過向量運(yùn)算求解。求出向量BC垂直的單位向量h0，則點(diǎn)A到直線BC的距離。5．例題分析（課本例題）（四）2.4向量的應(yīng)用這一節(jié)的重點(diǎn)是，向量在解析幾何中的應(yīng)用。

2．4．1向量在幾何中的應(yīng)用1．教學(xué)要求(1)

通過書中例子，了解向量在平面幾何中的應(yīng)用，但不引導(dǎo)學(xué)生用向量去解平面幾何問題；(2)

理解向量與直線平行、向量與直線垂直的概念、直線斜率與直線方向向量間的關(guān)系；(3)

會(huì)求通過一點(diǎn)且與已知向量