人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題11.3三角形的內(nèi)角和定理【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題11.3三角形的內(nèi)角和定理【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1證明三角形內(nèi)角和】 1【題型2由三角形內(nèi)角和直接求角度】 3【題型3由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀】 4【題型4三角形內(nèi)角和與平行線的綜合運(yùn)用】 4【題型5三角形內(nèi)角和與翻折的綜合運(yùn)用】 5【題型6三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合運(yùn)用】 7【題型7三角形內(nèi)角和與三角板的綜合運(yùn)用】 8【題型8由三角形內(nèi)角和定理探究角度之間的關(guān)系】 9【題型9由直角三角形的性質(zhì)求角度】 11【題型10銳角互余的三角形是直角三角形】 12知識(shí)點(diǎn)1：三角形的內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于．（2）因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角的和等于，所以任何一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角或直角．【提示】（1）三角形內(nèi)角和定理適用于任意三角形．（2）任何一個(gè)三角形中，至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角或直角．【題型1證明三角形內(nèi)角和】【例1】（23-24八年級(jí)·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中能證明“三角形的內(nèi)角和是180°”的有（

）①如圖1，過點(diǎn)C作EF∥②如圖2，過AB上一點(diǎn)D分別作DE∥BC，③如圖3，延長AC到點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE∥④如圖4，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【變式1-1】（23-24八年級(jí)·全國·課堂例題）如圖，折疊一張三角形紙片，把三角形三個(gè)角拼在一起，就能驗(yàn)證一個(gè)幾何定理．請(qǐng)寫出這個(gè)定理的名稱：．

【變式1-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）下面是一道習(xí)題，需要填寫符號(hào)處的內(nèi)容，下列填寫正確的是（

）已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠ACB=180°．證明：如圖，過點(diǎn)C作DE∥AB．∵DE∥AB（已知），∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．

A．★處填2 B．■處填1C．①內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．②平角定義【變式1-3】（23-24·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形的內(nèi)角和定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要定理，下面給出了該定理的一種證明方法．已知：如圖，．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：作BC的延長線CD，在△ABC外部，以CA為一邊，作∠ACE=∠A．所以，CE∥AB所以，∠B=∠ECD（）．因?yàn)?，∠ACB，∠ACE，∠ECD組成一個(gè)平角，所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定義），所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（）．(1)請(qǐng)將上面的“已知”和推理“依據(jù)”補(bǔ)充完整；(2)該定理有多種證明方法，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆环N證明方法．【題型2由三角形內(nèi)角和直接求角度】【例2】（23-24八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．若△ABC為倍角三角形，∠A=100°，則∠B=．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·新疆巴音郭楞·期末）如圖1是某款嬰兒手推車，如圖2是其側(cè)面的示意圖，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，則∠2的度數(shù)為【變式2-2】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期末）將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，則∠A的度數(shù)是（

）

A．54° B．64° C．74° D．52°【變式2-3】（23-24八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，∠2與∠3互余，且∠1=∠4，試猜想AB與BC的位置關(guān)系，并說明理由．【題型3由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀】【例3】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期中）如圖，當(dāng)x=3y時(shí)，該三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【變式3-1】（23-24八年級(jí)·廣西梧州·期中）△ABC中，若∠A?∠C=∠B，則△ABC的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角二角形 D．無法確定【變式3-2】（23-24八年級(jí)·安徽淮北·階段練習(xí)）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角都小于30°，那么這個(gè)三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【變式3-3】（23-24八年級(jí)·重慶秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，請(qǐng)判斷三角形的形狀并證明．【題型4三角形內(nèi)角和與平行線的綜合運(yùn)用】【例4】（23-24八年級(jí)·河南平頂山·期末）如圖，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數(shù)是（

）

A．40° B．45° C．50° D．60°【變式4-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，AB//CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠A＝25°，∠D＝45°，則∠AOB的大小為（）A．90° B．110° C．120° D．135°【變式4-2】（23-24八年級(jí)·陜西渭南·期中）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，H，E分別是邊AB，BC，CA上的點(diǎn)，連接DE，DH，F(xiàn)為DH上一點(diǎn)，連接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．則∠FEC的度數(shù)為°．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖北孝感·期中）如圖，直線EF∥MN，點(diǎn)A，B分別是EF，MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分線交于點(diǎn)D，若∠D=52°，則m的值為．

【題型5三角形內(nèi)角和與翻折的綜合運(yùn)用】【例5】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，M、N是△ABC邊AB、AC上的點(diǎn)，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且點(diǎn)E在BC邊上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且點(diǎn)F在邊BC上，若∠A=70°，則∠1+∠2=（

）

A．65° B．70° C．75° D．85°【變式5-1】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，將直角三角形紙片ABC沿CD（D是斜邊AB上一點(diǎn)）折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若∠ACB'=α°，則∠ACD的度數(shù)是

【變式5-2】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張△ABC的紙片，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若∠1+∠2=130°，則∠A=.

【變式5-3】（23-24八年級(jí)·福建漳州·期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，把△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)E處，當(dāng)DE平行于△ABC的邊時(shí)，∠CDB的度數(shù)為．【題型6三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合運(yùn)用】【例6】（23-24八年級(jí)·江蘇淮安·期末）如圖，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，則∠CDF的度數(shù)=．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·江蘇徐州·期中）如圖，CD、BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點(diǎn)O，∠BOC=n，∠A=（用含n的代數(shù)式表示）.【變式6-2】（23-24八年級(jí)·遼寧營口·期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ABF=（

）．A．35° B．40° C．45° D．50°【變式6-3】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中）新定義：在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，則△DEF為倍角三角形．(2)如圖1，直線MN與直線PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分線交于點(diǎn)C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．(3)如圖2，直線MN⊥直線PQ于點(diǎn)O，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在射線OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點(diǎn)E、F．若△AEF為3倍角三角形，試求∠ABO的度數(shù)．【題型7三角形內(nèi)角和與三角板的綜合運(yùn)用】【例7】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期末）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2=30°，則AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-1】（23-24八年級(jí)·安徽六安·期末）生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識(shí)，只要同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會(huì)有許多意想不到的收獲，將一副學(xué)生用三角板按如圖所示的方式放置．若AE//BC，則∠AFD的度數(shù)是．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，且使AB∥CD，則∠DEB的度數(shù)是（A．15° B．20° C．65°【變式7-3】（23-24八年級(jí)·湖北隨州·期末）將一副學(xué)生用的三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）如圖疊放，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（

）①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，則OC平分∠AOBA．0 B．1 C．2 D．3【題型8由三角形內(nèi)角和定理探究角度之間的關(guān)系】【例8】（23-24八年級(jí)·全國·單元測(cè)試）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．

(1)求證：∠A+∠C=∠B+D；(2)如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線AP、DP相交于點(diǎn)P，且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．①以線段AC為邊的“8字型”有__________個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有__________個(gè)；②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度數(shù)；③若角平分線中角的關(guān)系改為∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13【變式8-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，△ABC中，∠B=50°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，∠CED=105°，則下面關(guān)于∠C與∠ADE的關(guān)系中一定正確的是（

）A．∠C+∠ADE=95° B．∠C?∠ADE=25°C．∠C?∠ADE=35° D．∠C=2∠ADE【變式8-2】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）已知如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B=30°，∠C=50°

(1)求∠DAE的度數(shù)．(2)求∠DAE與∠B，∠C的關(guān)系，并說明理由．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期末）如圖1，過直線AB外一點(diǎn)C作MN∥AB，連接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分線AD與MN交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,D重合），連接EC．(1)若∠ACM=50°，則∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；(2)若∠ECA=2∠EAB，求證：∠ECB=∠ABC；(3)如圖2，∠CED的平分線EF與MN交于點(diǎn)F，連接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<知識(shí)點(diǎn)2：直角三角形的性質(zhì)與判定（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余．（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【提示】直角三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用思路：（1）見直角三角形，可得兩銳角互余．（2）見兩角互余，可得直角三角形．【題型9由直角三角形的性質(zhì)求角度】【例9】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍還多10°，則∠A的大小為．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·河南南陽·期末）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB=25°，則∠DFC=．【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖南株洲·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠ECH=．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，有一副三角板ABC與DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面內(nèi)將這副三角板進(jìn)行拼擺，使得點(diǎn)B、E重合，且點(diǎn)B、C、F三點(diǎn)在同一直線上，則∠ABD的度數(shù)是°．【題型10銳角互余的三角形是直角三角形】【例10】（23-24八年級(jí)·全國·課堂例題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E是AB邊上一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)M，且∠DCM=∠MAE．求證：△AEM是直角三角形．【變式10-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期中）證明：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．已知：如圖，，求證：．證明：【變式10-2】（23-24八年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）在下列條件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°?∠B，④∠A=∠B?∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-3】（23-24八年級(jí)·全國·課后作業(yè)）如圖AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)專題11.3三角形的內(nèi)角和定理【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1證明三角形內(nèi)角和】 1【題型2由三角形內(nèi)角和直接求角度】 6【題型3由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀】 8【題型4三角形內(nèi)角和與平行線的綜合運(yùn)用】 10【題型5三角形內(nèi)角和與翻折的綜合運(yùn)用】 13【題型6三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合運(yùn)用】 18【題型7三角形內(nèi)角和與三角板的綜合運(yùn)用】 22【題型8由三角形內(nèi)角和定理探究角度之間的關(guān)系】 26【題型9由直角三角形的性質(zhì)求角度】 33【題型10銳角互余的三角形是直角三角形】 37知識(shí)點(diǎn)1：三角形的內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于．（2）因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角的和等于，所以任何一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角或直角．【提示】（1）三角形內(nèi)角和定理適用于任意三角形．（2）任何一個(gè)三角形中，至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角或直角．【題型1證明三角形內(nèi)角和】【例1】（23-24八年級(jí)·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中能證明“三角形的內(nèi)角和是180°”的有（

）①如圖1，過點(diǎn)C作EF∥②如圖2，過AB上一點(diǎn)D分別作DE∥BC，③如圖3，延長AC到點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE∥④如圖4，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，平行線的性質(zhì)，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義逐一判斷即可得答案．【詳解】①∵EF∥∴∠ECA=∠A,∠FCB=∠B，∵∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故①符合題意，②∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∠BDF=∠A，∠C=∠AED,∠AED=∠EDF，∴∠C=∠EDF，∵∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°，故②符合題意，③∵CE∥∴∠FCE=∠A,∠ECB=∠B，∵∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故③符合題意，④∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”故④不符合題意，故選：A．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·全國·課堂例題）如圖，折疊一張三角形紙片，把三角形三個(gè)角拼在一起，就能驗(yàn)證一個(gè)幾何定理．請(qǐng)寫出這個(gè)定理的名稱：．

【答案】三角形內(nèi)角和定理【分析】根據(jù)折疊前后的兩個(gè)角相等，把三角形的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，可以得到三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，

∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理為：三角形內(nèi)角和定理．故答案為：三角形內(nèi)角和定理．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）下面是一道習(xí)題，需要填寫符號(hào)處的內(nèi)容，下列填寫正確的是（

）已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠ACB=180°．證明：如圖，過點(diǎn)C作DE∥AB．∵DE∥AB（已知），∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．

A．★處填2 B．■處填1C．①內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．②平角定義【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明判斷即可．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)C作DE∥AB．∵DE∥AB（已知），∴∠B=∠1，∠A=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．

故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形的內(nèi)角和定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要定理，下面給出了該定理的一種證明方法．已知：如圖，．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：作BC的延長線CD，在△ABC外部，以CA為一邊，作∠ACE=∠A．所以，CE∥AB所以，∠B=∠ECD（）．因?yàn)?，∠ACB，∠ACE，∠ECD組成一個(gè)平角，所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定義），所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（）．(1)請(qǐng)將上面的“已知”和推理“依據(jù)”補(bǔ)充完整；(2)該定理有多種證明方法，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆环N證明方法．【答案】(1)∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角；兩直線平行，同位角相等；等量代換(2)見解析【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)：（1）在△ABC外部，以CA為一邊，作∠ACE=∠A．根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及平角定義求解即可；（2）過點(diǎn)A作AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)【詳解】（1）解：已知：如圖，∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：如圖，作BC的延長線CD，在△ABC外部，以CA為一邊，作∠ACE=∠A．所以，CE∥所以，∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)椋螦CB，所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定義），所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代換）．（2）證明：如圖，過點(diǎn)A作AD∥∵AD∥∴∠DAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∠BAD+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．即∠BAC+∠DAC+∠B=180°．∴∠BAC+∠B+∠C=180°．【題型2由三角形內(nèi)角和直接求角度】【例2】（23-24八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．若△ABC為倍角三角形，∠A=100°，則∠B=．【答案】50°或30°或160°3或【分析】該題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是分類討論．根據(jù)“倍角三角形”定義分為當(dāng)∠A=2∠B時(shí)，當(dāng)∠A=2∠C時(shí)，當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，當(dāng)∠C=2∠B時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可；【詳解】解：當(dāng)∠A=2∠B時(shí)，∠B=1當(dāng)∠A=2∠C時(shí)，∠C=12∠A=50°當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+12∠B=180°當(dāng)∠C=2∠B時(shí)，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+2∠B=180°，解得：∠B=80°故答案為：50°或30°或160°3或80°【變式2-1】（23-24八年級(jí)·新疆巴音郭楞·期末）如圖1是某款嬰兒手推車，如圖2是其側(cè)面的示意圖，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，則∠2的度數(shù)為【答案】85°/85度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠3=35°，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠AEB的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠3=35°，∵∠1=130°∴∠4=180°?130°=50°，∴∠AEB=180°?50°?35°=95°∴∠2=180°?∠AEB=85°，故答案為：85°．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期末）將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，則∠A的度數(shù)是（

）

A．54° B．64° C．74° D．52°【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形平移，圖形的大小不變，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，由平移的性質(zhì)得：∠1=∠B=64°，∴∠A=180°?∠B?∠2=64°，故選：B．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，∠2與∠3互余，且∠1=∠4，試猜想AB與BC的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】AB⊥BC，理由見解析【分析】本題考查了垂線的定義，余角的定義，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)∠2+∠3=90°，推出∠DEC=90°，進(jìn)而得到∠1+∠BEC=90°，由∠1=∠4，得到∠4+∠BEC=90°，從而得到∠CBE=90°，推出AB⊥BC．【詳解】解：AB⊥BC，理由見如下：∵∠2+∠3=90°，∴∠DEC=180°?∠2?∠3=90°，∴∠1+∠BEC=180°?∠DEC=90°，∵∠1=∠4，∴∠4+∠BEC=90°，∴∠CBE=180°?∠4+∠BEC∴AB⊥BC．【題型3由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀】【例3】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期中）如圖，當(dāng)x=3y時(shí)，該三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類．利用三角形內(nèi)角和定理得到x+y=120，結(jié)合已知計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖x=3y，且x+y=180?60=120，∴3y+y=120，∴y=30，∴x=90，∴該三角形的形狀是直角三角形，故選：B．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·廣西梧州·期中）△ABC中，若∠A?∠C=∠B，則△ABC的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角二角形 D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)在△ABC中，∠A?∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠A的度數(shù)，即可得出結(jié)論，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A?∠C=∠B，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形．故選：B．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·安徽淮北·階段練習(xí)）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角都小于30°，那么這個(gè)三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵三角形的兩個(gè)內(nèi)角都小于30°，∴這兩個(gè)內(nèi)角的和小于60°，∵三個(gè)內(nèi)角的和為180°，∴另一個(gè)角大于120°，∴這個(gè)三角形是鈍角三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·重慶秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，請(qǐng)判斷三角形的形狀并證明．【答案】△ABC是直角三角形，證明見解析【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，設(shè)∠A=4x，∠B=5x，∠C=9x，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度建立方程4x+5x+9x=180°，解方程求出【詳解】解；△ABC是直角三角形，證明如下；∵∠A:∠B:∠C=4:5:9，∴可設(shè)∠A=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x+5x+9x=180°，解得x=10°，∴∠A=40°，∴△ABC是直角三角形．【題型4三角形內(nèi)角和與平行線的綜合運(yùn)用】【例4】（23-24八年級(jí)·河南平頂山·期末）如圖，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數(shù)是（

）

A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】連接AC并延長交EF于點(diǎn)M．由平行線的性質(zhì)得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代換得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．【詳解】連接AC并延長交EF于點(diǎn)M．

∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°?∠E?∠F=180°?70°?50°=60°，∴∠BAD=∠FCE=60°，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，AB//CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠A＝25°，∠D＝45°，則∠AOB的大小為（）A．90° B．110° C．120° D．135°【答案】B【分析】首先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的內(nèi)角和為180°，求出∠AOB的大?。驹斀狻拷猓骸逜B//CD，∴∠B＝∠D＝45°．∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠D＝45°是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型，比較簡單．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·陜西渭南·期中）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，H，E分別是邊AB，BC，CA上的點(diǎn)，連接DE，DH，F(xiàn)為DH上一點(diǎn)，連接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．則∠FEC的度數(shù)為°．【答案】63【分析】由∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，得到∠2=∠DFE，根據(jù)平行線的判定，得到AB∥FE，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠FEC=∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠A的度數(shù)，即可求解，本題考查了，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，∴∠2=∠DFE，∴AB∥FE，∴∠FEC=∠A，∵∠A=180°?∠B?∠C=180°?65°?52°=63°，∴∠FEC=∠A=63°，故答案為：63．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖北孝感·期中）如圖，直線EF∥MN，點(diǎn)A，B分別是EF，MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分線交于點(diǎn)D，若∠D=52°，則m的值為．

【答案】76【分析】先由平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出m的值．【詳解】解：過點(diǎn)C作CH∥MN，

∵CH∥MN，∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，∵∠ACB=∠6+∠7，∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，∵∠D=52°，∴∠1+∠5+∠3=180°?52°=128°，由題意可得GD為∠AGB的角平分線，BD為∠CBN的角平分線，∴∠1=∠2，∠3=∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°?∠5+∠3∴∠3=∠4=∠1+52°，∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，∴m°+52°=128°，∴m=76．故答案為：76．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【題型5三角形內(nèi)角和與翻折的綜合運(yùn)用】【例5】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，M、N是△ABC邊AB、AC上的點(diǎn)，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且點(diǎn)E在BC邊上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且點(diǎn)F在邊BC上，若∠A=70°，則∠1+∠2=（

）

A．65° B．70° C．75° D．85°【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出∠1+∠2+∠3=125°，∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，將已知數(shù)據(jù)代入，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

依題意，∠MBD=∠CBD=1∴∠BDC=180°?∠DBC?∠DCB=180°?=180°?1即∠1+∠2+∠3=125°，∠1+∠3=∠BDM，∠2+∠3=∠CDN，∵∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，∴∠1+∠2+2∠3+∠1+∠2+∠3+∠MDN=360°，∴3∠1+∠2+∠3∴3×125°?∠1+∠2∴∠1+∠2=85°，故選：D．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，將直角三角形紙片ABC沿CD（D是斜邊AB上一點(diǎn)）折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若∠ACB'=α°，則∠ACD的度數(shù)是

【答案】45?【分析】本題考查了三角形折疊中的角度問題，根據(jù)角度間關(guān)系可得∠B'CD=α°+∠ACD，再根據(jù)折疊性質(zhì)得到∠BCD=∠【詳解】解：∵∠ACB∴∠B∵將直角三角形紙片ABC沿CD（D是斜邊AB上一點(diǎn)）折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'∴∠BCD=∠B∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=α°+2∠ACD，∵∠ACB=90°，∴2∠ACD=90°?α°，∴∠ACD=45?故答案為：45?1【變式5-2】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張△ABC的紙片，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若∠1+∠2=130°，則∠A=.

【答案】65°/65度【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．由折疊可得∠AED=∠A'ED=12∠AEA'，【詳解】解：∵將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，∴∠AED=∠A'ED=∴∠1+∠2=180°?∠AEA'+180°?∠AD∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∴∠AED+∠ADE=180°?∠A，∴∠1+∠2=360°?2180°?∠A∵∠1+∠2=130°，∴∠A=1故答案為：65°．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·福建漳州·期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，把△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)E處，當(dāng)DE平行于△ABC的邊時(shí)，∠CDB的度數(shù)為．【答案】65°或120°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，分兩種情況，ED∥AB和ED∥BC，分別畫出圖形，再利用平行線的性質(zhì)求解即可，正確分類并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】由折疊的性質(zhì)得：∠CDB=∠EDB，設(shè)∠EDB=∠CDB=xx>0∵∠A=60°,∠ABC=70°，∴∠C=50°，由題意，分以下兩種情況：如圖，當(dāng)ED∥AB時(shí)，∵∠EDA=∠A=60°，∴∠ADB=∠EDB?∠EDA=x?60°，∵∠ADB+∠CDB=180°，∴x?60+x=180，解得x=120，即∠CDB=120°；如圖，當(dāng)ED∥BC時(shí)，∴∠EDA=∠C=50°，∵∠CDB+∠EDB+∠EDA=180°，∴x+x+50=180，解得x=65，即∠CDB=65°，綜上，∠CDB的大小為65°或120°．故答案為：65°或120°．【題型6三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合運(yùn)用】【例6】（23-24八年級(jí)·江蘇淮安·期末）如圖，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，則∠CDF的度數(shù)=．【答案】70°【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和180°以及角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和180°以及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠ACB的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得∠ACE的度數(shù)，則∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用內(nèi)角和定理即可求得∠CDF的度數(shù)．【詳解】∵∠A=40°，∠B=80°，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°?∠A?∠CDA=50°，∴∠ECD=∠ACD?∠ACE=20°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°?∠CFD?∠DCF=70°．故答案為：70°．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·江蘇徐州·期中）如圖，CD、BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點(diǎn)O，∠BOC=n，∠A=（用含n的代數(shù)式表示）.【答案】2n?180°【分析】此題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，先求出∠OBC+∠OCB=180°?n，再利用角平分線求出∠ABC+∠ACB=2180°?n【詳解】解：∵∠BOC=n，∴∠OBC+∠OCB=180°?∠BOC=180°?n，∵CD、BE是△ABC的角平分線，∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2∠OBC+∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°?∠ABC+∠ACB故答案為：2n?180°【變式6-2】（23-24八年級(jí)·遼寧營口·期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ABF=（

）．A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，依據(jù)AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依據(jù)∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠EAD=5°，再依據(jù)BF是∠ABC的平分線，得到∠ABF=30°，可得∠EAD+∠ABF=35°，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=180°?∠ADB?∠ABC=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°?25°=5°，∵BF是∠ABC的平分線，∴∠ABF=1∴∠EAD+∠ABF=35°故選：A．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中）新定義：在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，則△DEF為倍角三角形．(2)如圖1，直線MN與直線PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分線交于點(diǎn)C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．(3)如圖2，直線MN⊥直線PQ于點(diǎn)O，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在射線OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點(diǎn)E、F．若△AEF為3倍角三角形，試求∠ABO的度數(shù)．【答案】(1)3(2)50°或52.5°或25°或22.5°(3)45°或60°【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，余角的意義等知識(shí)，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根據(jù)n倍角三角形的定義可得結(jié)論．（2）先求出∠CBA+∠CAB=75°，∠C=105°，然后分四種情形分別求解即可．（3）先證明∠EAF=90°，∠ABO=2∠E，然后分四種情形分別求解即可．【詳解】（1）∵∠E=40°，∠F=35°，∴∠D=180°?40°?35°=105°，∴∠D=3∠F，∴△DEF為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：∵∠POM=30°，∴∠OAB+∠OBA=150°．又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，∴∠CBA+∠CAB=1∴∠C=105°．①當(dāng)∠CBA=2∠CAB時(shí)，∵∠CBA+∠CAB=75°，∴∠BAC=25°；②當(dāng)∠CAB=2∠CBA時(shí)，∵∠CBA+∠CAB=75°，∴∠BAC=50°；③當(dāng)∠C=2∠CAB時(shí)，∵∠C=105°，∴∠BAC=1④當(dāng)∠C=2∠CBA時(shí)，∵∠C=105°，∴∠CBA=1∴∠BAC=22.5°．綜上，在△ABC中當(dāng)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，∠BAC等于50°或52.5°或25°或22.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF，∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°，∴∠E+∠F=90°；又∵EF平分∠BOQ，∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①，∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90°②；①×2?②得：若△AEF為3倍角三角形：i)若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°，∴∠E=22.5°，∴∠ABO=45°；ii)若∠E=3∠F，∴∠E=67.5°，∴∠ABO=135°（不符合題意，舍去）；iii)若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°，∴∠ABO=60°；iv)若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°，∴∠ABO=120°（不符合題意，舍去）；綜上所述，∠ABO等于45°或60°時(shí)，△AEF為3倍角三角形．【題型7三角形內(nèi)角和與三角板的綜合運(yùn)用】【例7】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期末）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2=30°，則AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正確；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；∵BC∥AD，∠∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③錯(cuò)誤；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正確；所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·安徽六安·期末）生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識(shí)，只要同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會(huì)有許多意想不到的收獲，將一副學(xué)生用三角板按如圖所示的方式放置．若AE//BC，則∠AFD的度數(shù)是．【答案】75°【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求得∠C的度數(shù)，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得∠AFD的度數(shù)．【詳解】解：∵AE//BC，∴∠E=∠EDC=45°，∵∠C=30°∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，故答案為75°【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵.【變式7-2】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，且使AB∥CD，則∠DEB的度數(shù)是（A．15° B．20° C．65°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，有同位角相等，即∠ABE=∠CFE，進(jìn)而求出∠EFD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DEB．【詳解】如圖：∵AB∴∠ABE=∠CFE=45∴∠DFE=180∴∠DEB=∠180故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、兩角互補(bǔ)與三角形內(nèi)角和定理，找到∠ABE=∠CFE為關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·湖北隨州·期末）將一副學(xué)生用的三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）如圖疊放，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（

）①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，則OC平分∠AOBA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根據(jù)角平分線的定義可判定OC平分∠AOB．【詳解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠BOD=∠AOC，故②正確；如圖，AB與OC交于點(diǎn)P，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正確；如果OB平分∠DOC，則∠DOB=∠BOC=45°，則∠AOC=∠BOC=45°，故OC平分∠AOB，故④正確；由②知：∠AOC＝∠BOD，故當(dāng)∠AOC=∠BOD=45°時(shí)，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否則不成立，故①不正確；綜上，②③④正確，共3個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了余角以及三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知余角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．【題型8由三角形內(nèi)角和定理探究角度之間的關(guān)系】【例8】（23-24八年級(jí)·全國·單元測(cè)試）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．

(1)求證：∠A+∠C=∠B+D；(2)如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線AP、DP相交于點(diǎn)P，且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．①以線段AC為邊的“8字型”有__________個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有__________個(gè)；②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度數(shù)；③若角平分線中角的關(guān)系改為∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13【答案】(1)見解析(2)①3；4；②∠P=110°③3∠P=∠B+2∠C【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠C=180°?∠AOC，∠B+∠D=180°?∠BOD，又因?yàn)椤螦OC和∠BOD是對(duì)頂角，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題目給的8字型定義，在圖2中查圖形的數(shù)量即可得出答案；②根據(jù)角平分線的定義得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠P+∠CDP=∠C+∠CAP和∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，兩式相加，最后得出2∠P=∠B+∠C，然后把∠B=100°,∠C=120°代入計(jì)算即可得到答案；③根據(jù)∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB得到∠BAP=23∠CAB，∠BDP=【詳解】（1）證明：∵∠A+∠C=180°?∠AOC，∠B+∠D=180°?∠BOD，∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+D；（2）解：①以線段AC為邊的“8字型”有：以△ACM和△MDP共點(diǎn)M組成的圖形ACMDP；以△AOC和△DON共點(diǎn)O組成的圖形ACODN；以△AOC和△BOD共點(diǎn)O組成的圖形ACODB；共有3個(gè)；

以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有：以△AOC和△DON共點(diǎn)O組成的圖形ACODN；以△AOC和△BOD共點(diǎn)O組成的圖形ACODB；以△AOM和△BOD共點(diǎn)O組成的圖形AMODB；以△AOM和△DON共點(diǎn)O組成的圖形AMODN；共有4個(gè)；故答案為：3；4；②以點(diǎn)M為交點(diǎn)的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以點(diǎn)N為交點(diǎn)的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，∴2∠P=∠B+∠C，∵∠B=100°,∠C=120°，∴∠P==1③3∠P=∠B+2∠C∵∠CAP=13∠CAB∴∠BAP=23∠CAB以點(diǎn)M為交點(diǎn)的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以點(diǎn)N為交點(diǎn)的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，∴∠C?∠P=∠CDP?∠CAP=∠P?∠B=∠BDP?∠BAP=2∴2∠C?∠P∴3∠P=∠B+2∠C；【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180度，也考查了角平分線的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，△ABC中，∠B=50°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，∠CED=105°，則下面關(guān)于∠C與∠ADE的關(guān)系中一定正確的是（

）A．∠C+∠ADE=95° B．∠C?∠ADE=25°C．∠C?∠ADE=35° D．∠C=2∠ADE【答案】B【分析】先求出∠AED=180°?∠CED=75°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠C=180°?∠B?∠A=130°?∠A，∠ADE=180°?∠A?∠AED=105°?∠A，從而可得∠C?∠ADE=（130°?∠A）?（∠105°?∠A）=25°，即可求解．【詳解】解：∵∠CED=105°，∴∠AED=180°?∠CED=75°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠C=180°?∠B?∠A=130°?∠A，∠ADE=180°?∠A?∠AED=105°?∠A，∴∠C?∠ADE=（130°?∠A）?（∠105°?∠A）=25°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確利用△ABC和△ADE的內(nèi)角關(guān)系．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）已知如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B=30°，∠C=50°

(1)求∠DAE的度數(shù)．(2)求∠DAE與∠B，∠C的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)10°(2)∠DAE=【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和求得∠BAC=100°，再利用角平分線的定義和直角三角形的兩銳角互余求得∠CAE=50°，∠CAD=40°，進(jìn)而求解即可；（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義和直角三角形的兩銳角互余求得∠CAE=12∠BAC=【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=100°，∵AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=50°∴∠DAE=∠CAE?∠CAD=50°?40°=10°；（2）解：∵AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，∴∠CAE=12∠BAC=∴∠DAE=∠CAE?∠CAD==90°?=1【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形的角平分線和高的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期末）如圖1，過直線AB外一點(diǎn)C作MN∥AB，連接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分線AD與MN交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,D重合），連接EC．(1)若∠ACM=50°，則∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；(2)若∠ECA=2∠EAB，求證：∠ECB=∠ABC；(3)如圖2，∠CED的平分線EF與MN交于點(diǎn)F，連接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<【答案】(1)25，40；(2)見解析(3)γ+β?12【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC；（2）由AD平分∠BAC得到∠CAB=2∠EAB，從而∠CAB=∠ECA，再根據(jù)等角的余角相等即可得證；（3）分兩種情況討論求解：①點(diǎn)E在線段BC的左側(cè)，②點(diǎn)E在線段BC的右側(cè)．【詳解】（1）解：∵M(jìn)N∥AB，∴∠CAB=∠ACM=50°，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=1∵∠ACB=90°，∴∠ABC=180°?∠ACB?∠BAC=180°?90°?50°=40°；故答案為：25，40（2）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAB=2∠EAB，∵∠ECA=2∠EAB，∴∠CAB=∠ECA，∵∠ACB=90°∴∠ECB+∠ECA=90°∵∠CAB+∠CBA=90°∴∠ECB=∠ABC；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的左側(cè)時(shí)，如圖，

∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，∵M(jìn)N∥AB，∴∠MCA=∠CAB=44°，∵∠ECM=α，∴∠ACE=∠ECM?∠MCA=α?44°，∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α?44°+22°=α?22∵EF平分∠CED，∴∠CEF=∠DEF=1∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，∴∠ABC=46°，∵∠EBC=β，∴∠ABE=∠ABC?∠EBC=46°?β，∵∠BEF=γ0°<γ<180°∴∠BED=∠BEF?∠FED=γ?1∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∴γ?1∴γ+β?1②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的右側(cè)時(shí)，如圖，

∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，∵M(jìn)N∥AB，∴∠MCA=∠CAB=44°，∵∠ECM=α，∴∠ACE=∠ECM?∠MCA=α?44°，∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α?44°+22°=α?22°．∵EF平分∠CED，∴∠CEF=∠DEF=1∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，∴∠ABC=46°，∵∠EBC=β∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=46°+β，∵∠BEF=γ0°<γ<180°∴∠BED=∠BEF?∠FED=γ?∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∴γ?∴γ?β?1綜上，α,β,γ之間的等量關(guān)系為：γ+β?12【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差，三角形的內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2：直角三角形的性質(zhì)與判定（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余．（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【提示】直角三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用思路：（1）見直角三角形，可得兩銳角互余．（2）見兩角互余，可得直角三角形．【題型9由直角三角形的性質(zhì)求角度】【例9】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍還多10°，則∠A的大小為．【答案】90°或70°【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論，分兩種情況：當(dāng)∠A為直角時(shí)，當(dāng)∠C為直角時(shí)，分別求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)∠A為直角時(shí)，∠A=90°，當(dāng)∠C為直角時(shí)，∠A+∠B=90°，∵∠A比∠B的3倍還多10°，∴∠A=3∠B+10°，∴3∠B+10°+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠A=70°，故答案為：90°或70°．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·河南南陽·期末）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB=25°，則∠DFC=．【答案】110°/110度【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余，對(duì)頂角的性質(zhì)，余角性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，由直角三角形兩銳角互余可得∠BFM+∠BMF=90°，∠EAM+∠AME=90°，進(jìn)而由余角性質(zhì)可得∠BFM=∠EAM=25°，即可得到∠BFD=25°+45°