新高考數(shù)學一輪復(fù)習講義命題方向全歸類專題12函數(shù)與方程(原卷版+解析)

專題12函數(shù)與方程【命題方向目錄】命題方向一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間命題方向二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍命題方向三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題命題方向四：嵌套函數(shù)的零點問題命題方向五：函數(shù)的對稱問題命題方向六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型命題方向七：唯一零點求值問題命題方向八：分段函數(shù)的零點問題命題方向九：零點嵌套問題命題方向十：等高線問題命題方向十一：二分法【2024年高考預(yù)測】2024年高考仍將方程解得個數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)、不等式整數(shù)解的問題、不等式恒成立與能成立為載體考查函數(shù)的綜合問題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想．【知識點總結(jié)】1、函數(shù)的零點與方程的解（1）函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點．（2）函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系方程有實數(shù)解?函數(shù)有零點?函數(shù)的圖象與x軸有公共點．（3）函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解．2、二分法（1）對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．（2）對于給定精確度，利用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟如下：①確定區(qū)間，驗證，給定精確度；②求區(qū)間的中點；③計算；a．若，則就是函數(shù)的零點；b．若，則令（此時零點）；c．若，則令（此時零點）．④判斷是否達到精確度，即：若，則得到零點近似值（或）；否則重復(fù)②③④．【方法技巧與總結(jié)】1、若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點．2、連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號．3、連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號．4、連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出．【典例例題】命題方向一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間例1．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）定義符號函數(shù)，則方程的解是（

）A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或例2．（2023·北京·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)的零點是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2例3．（2023·全國·高三專題練習）已知是函數(shù)的一個零點，若，則（

）A．， B．，C．， D．，變式1．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（

）A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）也有零點B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）沒有零點C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）有零點D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）也沒有零點變式2．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，若，則（

）A． B．C． D．變式3．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程的實根在區(qū)間上，則k的最大值是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).命題方向二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍例4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)有兩個不同的零點的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．例5．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則k的取值范圍（

）A． B．C． D．例6．（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)，若有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2023·全國·高三專題練習）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式6．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式7．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式8．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的兩個零點是，則（

）A． B．C． D．無法判斷【通性通解總結(jié)】本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.命題方向三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題例7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足.當時，，則在上的零點個數(shù)為___________.例8．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個實數(shù)解.例9．（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點個數(shù)為__________.變式9．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，當時的零點個數(shù)是___．變式10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知則函數(shù)的零點個數(shù)是______．變式11．（2023·北京大興·高三校考開學考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為___________.變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)是__________．【通性通解總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.命題方向四：嵌套函數(shù)的零點問題例10．（2023·江蘇·高三專題練習）設(shè)定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)解，則_____________.例11．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，，若關(guān)于的方程恰好有個不同的實數(shù)根，那么的值為___________.例12．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則m=______變式13．（2023·四川成都·高三石室中學?？迹┮阎瘮?shù),若關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)解，則整數(shù)m的值為___________.（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）變式14．（2023·江蘇揚州·高三揚州中學?？迹┮阎瘮?shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)解，且最小實數(shù)解為，則的值為______．變式15．（2023·山東棗莊·高三階段練習）設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有五個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是_________.變式16．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為__________.【通性通解總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．命題方向五：函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習）若不同兩點、均在函數(shù)的圖象上，且點、關(guān)于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）．已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谥校┤艉瘮?shù)圖象上存在不同的兩點，關(guān)于軸對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“黃金點對”（注：點對與可看作同一對“黃金點對”）．已知函數(shù)則此函數(shù)的“黃金點對”有（

）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對例15．（2023·山東德州·高一德州市第一中學?？计谀┤艉瘮?shù)圖象上不同兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“姊妹點對”（點對與看作同一對“姊妹點對”），已知函數(shù)，則此函數(shù)的“姊妹點對”有（

）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對變式17．（2023·全國·高三專題練習）若M，N為函數(shù)圖象上的兩個不同的點，且M，N兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對（M，N）為函數(shù)的一個“配合點對”（點對（M，N）與點對（N，M）為同一“配合點對”）．現(xiàn)給定函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)的圖象上恰有兩個“配合點對”，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式18．（2023·陜西西安·西安中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】命題方向六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型例16．（2023·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍為______．例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.例18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)存在4個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．變式20．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)記若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是________________________.命題方向七：唯一零點求值問題例19．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．例21．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．變式21．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學?？奸_學考試）已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B．3 C．或3 D．4變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A．1 B． C． D．變式23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)A． B． C． D．或【通性通解總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.命題方向八：分段函數(shù)的零點問題例22．（2023·北京·高三專題練習）設(shè)，函數(shù)若恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.若有個零點，則實數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或變式26．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【通性通解總結(jié)】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.命題方向九：零點嵌套問題例25．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，其中，則的值為________．例26．（2023·江西宜春·高三江西省豐城中學校考階段練習）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為______．例27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為___________.變式27．（2023·河南信陽·高三信陽高中?？奸_學考試）已知函數(shù)有三個零點，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的范圍為______．變式28．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省震澤中學校考階段練習）已知函數(shù)有四個不同的零點，且四個零點全部大于1，則的值為_______．變式29．（2023·江蘇蘇州·高二常熟中學?？计谀┮阎瘮?shù)存在三個零點、、，且滿足，則的值為__________.【通性通解總結(jié)】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.命題方向十：等高線問題例28．（2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，，，，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．例29．（2023·河南鄭州·高一新密市第一高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例30．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實數(shù)解，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式30．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習）已知函數(shù)有五個不同的零點，且所有零點之和為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】數(shù)形結(jié)合命題方向十一：二分法例31．（2023·全國·高三專題練習）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例32．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)()的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066例33．（2023·陜西西安·西安中學校考模擬預(yù)測）某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（

）A．是滿足精度為的近似值.B．是滿足精度為的近似值C．是滿足精度為的近似值D．是滿足精度為的近似值變式31．（2023·全國·高三專題練習）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次計算，得，，第二次應(yīng)計算，則等于（

）A．1 B． C．0.25 D．0.75變式32．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分法逐次計算，列表如下：x11.51.251.3751.3125f（x）-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程的一個近似根（精確度為0.1）可以為（）A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25變式33．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897那么函數(shù)的一個零點近似值（精確度為0.1）為（

）A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89【通性通解總結(jié)】對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（）A． B． C． D．2．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學?？家荒＃┖瘮?shù)的零點為（

）A．4 B．4或5 C．5 D．或53．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)則在上的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．20234．（2023·四川成都·成都市第二十中學校校考一模）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2023·湖南·模擬預(yù)測）若函數(shù)在內(nèi)有2個零點，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若方程恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023·吉林長春·長春市實驗中學?？级＃┖瘮?shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B．C． D．8．（2023·四川巴中·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是（

）A． B． C． D．10．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預(yù)測）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．若則 D．有且僅有兩個零點11．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上為減函數(shù) D．方程僅有6個實數(shù)解12．（2023·全國·深圳中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，對于任意的，，，關(guān)于的方程的解集可能的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·河南南陽·南陽中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為___________.14．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知的反函數(shù)的零點為2，則實數(shù)的值為___________；15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預(yù)測）已知定義在（0，+）上的函數(shù)f（x）滿足：，若方程在（0，2]上恰有三個根，則實數(shù)k的取值范圍是___________.16．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）函數(shù)上所有零點之和為_____.專題12函數(shù)與方程【命題方向目錄】命題方向一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間命題方向二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍命題方向三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題命題方向四：嵌套函數(shù)的零點問題命題方向五：函數(shù)的對稱問題命題方向六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型命題方向七：唯一零點求值問題命題方向八：分段函數(shù)的零點問題命題方向九：零點嵌套問題命題方向十：等高線問題命題方向十一：二分法【2024年高考預(yù)測】2024年高考仍將方程解得個數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)、不等式整數(shù)解的問題、不等式恒成立與能成立為載體考查函數(shù)的綜合問題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想．【知識點總結(jié)】1、函數(shù)的零點與方程的解（1）函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點．（2）函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系方程有實數(shù)解?函數(shù)有零點?函數(shù)的圖象與x軸有公共點．（3）函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解．2、二分法（1）對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．（2）對于給定精確度，利用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟如下：①確定區(qū)間，驗證，給定精確度；②求區(qū)間的中點；③計算；a．若，則就是函數(shù)的零點；b．若，則令（此時零點）；c．若，則令（此時零點）．④判斷是否達到精確度，即：若，則得到零點近似值（或）；否則重復(fù)②③④．【方法技巧與總結(jié)】1、若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點．2、連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號．3、連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號．4、連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出．【典例例題】命題方向一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間例1．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）定義符號函數(shù)，則方程的解是（

）A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或【答案】D【解析】依題意，當時，方程為：，解得或，因此或，當時，方程為：，解得，于是無解，當時，方程為：，解得或，因此，所以方程的解是或或.故選：D例2．（2023·北京·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)的零點是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】C【解析】令，則；故選：C.例3．（2023·全國·高三專題練習）已知是函數(shù)的一個零點，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因為是函數(shù)的一個零點，則是函數(shù)與的交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，則當時，在下方，即；當時，在上方，即，故選：B變式1．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（

）A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）也有零點B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）沒有零點C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）有零點D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）也沒有零點【答案】A【解析】去絕對值可得.時，，因此函數(shù)在單調(diào)遞增；時，.（i）時，，因此在單調(diào)遞增.當時，，，因此在區(qū)間有零點，且在區(qū)間和都沒有零點；當時，，故在區(qū)間和都沒有零點，故C選項和D選項均錯誤.（ii）時，令得，因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當時，.（1）時，在區(qū)間存在唯一零點，而在區(qū)間沒有零點.（2）時，在區(qū)間沒有零點.當時，.①時，，因此在區(qū)間和都有零點，此時，故在區(qū)間也有零點.②時，在區(qū)間沒有零點.綜上所述，本題正確答案是A.故選：A變式2．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，因為，，由單調(diào)性知，即．故選：B變式3．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程的實根在區(qū)間上，則k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，當時，解得；當時，，其中，，當時，解得，綜上k的最大值是1.故選：C.變式4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上單調(diào)遞增，，所以的零點在區(qū)間.故選：B【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).命題方向二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍例4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)有兩個不同的零點的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則1是的一個零點，則有兩個不同的零點有兩種情形：①1是方程的根，則，即，此時方程有1，兩個根，故有1，兩個不同的零點；②1不是方程的根，則方程有兩個相同的實數(shù)根，則，得，此時，故有1，兩個不同的零點；綜上，函數(shù)有兩個不同的零點，則或，所以是有兩個不同的零點的一個充分不必要條件，故選：A.例5．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則k的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當，，則，因為，，所以當時，單調(diào)遞增，若函數(shù)恰有4個零點,則有四個根，即與有四個交點，當時，與，圖象如下：

兩圖象只有兩個交點，不符合題意，當時，與軸相交與兩點與圖象如下：當時，函數(shù)的函數(shù)值為，當時，函數(shù)的函數(shù)值為，所以兩圖象有四個交點，符合題意，

當時，與軸相交與兩點與圖象如下：

在內(nèi)兩圖象有兩個交點，所以若有四個交點，只需要與在內(nèi)還有兩個根，因為，所以，所以有在內(nèi)還有兩個根，即在內(nèi)還有兩個根，所以在在內(nèi)還有兩個根，因為（當且僅當時，取等號），所以且，解得，綜上所述，k的取值范圍為.故選：D.例6．（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)，若有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，單調(diào)遞增且，此時至多有一個零點，若有三個零點，則時，函數(shù)有兩個零點；當時，，故；當時，要使有兩個零點，則，所以，又，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.變式5．（2023·全國·高三專題練習）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，由于當時，，，且；當時，，，且，作出函數(shù)的圖象如圖所示，則當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不同的實數(shù)根，的取值范圍是．故選：C．變式6．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】①當時，則只有一個零點0，不符合題意；②當時，作出函數(shù)的大致圖象，如圖1，在和上各有一個零點，符合題意；③當時，作出函數(shù)的大致圖象，如圖2，在上沒有零點．則在上有兩個零點，此時必須滿足，解得．綜上，得或．故選：A變式7．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】定義域為，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，可得圖象如下圖所示，有個零點，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.變式8．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的兩個零點是，則（

）A． B．C． D．無法判斷【答案】C【解析】令，則，如圖分別畫出和，兩個零點分別設(shè)為，且函數(shù)單調(diào)遞減，如圖可知，，，即，所以.故選：C【通性通解總結(jié)】本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.命題方向三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題例7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足.當時，，則在上的零點個數(shù)為___________.【答案】160【解析】因為函數(shù)滿足，所以，所以的最小正周期為3，當時，令，解得或，所以當時，有兩個零點，所以在上的零點個數(shù)為個.故答案為：160.例8．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個實數(shù)解.【答案】7【解析】由可得，由知，，當時，，，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，，在單調(diào)遞增，則可作出函數(shù)的大致圖像如圖：三個圖分別對應(yīng)時的情況，設(shè)，則即，則的解的個數(shù)問題即為的交點個數(shù)問題，結(jié)合的圖象可知的交點個數(shù)最多是3個，即為圖2個和圖3所示情況，不妨設(shè)交點橫坐標為，當如圖2所示時，，此時無解，有1個解，最多有3個解，故此時最多有4個解；當如第3個圖所示時，，此時有一個解，最多有3個解，最多有3個解，故此時最多有7個解；故答案為：7例9．（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點個數(shù)為__________.【答案】1【解析】注意到，在同一坐標系中作出與的圖象，易知零點個數(shù)為1.故答案為：1.變式9．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，當時的零點個數(shù)是___．【答案】2【解析】,令，，當時，，當時，，故在處取得極大值，且在上單調(diào)遞增，則，又，，則，，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則存在，，使得，所以時，有兩個零點.故答案為：2.變式10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知則函數(shù)的零點個數(shù)是______．【答案】7【解析】函數(shù)的零點即為方程的根，解方程得或．作出函數(shù)的圖像，如圖所示．由圖像知直線與的圖像有4個交點，直線與的圖像有3個交點．因此函數(shù)的零點有7個．故答案為：7變式11．（2023·北京大興·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【答案】【解析】當時，，解得；當時，得，易得，作出函數(shù)，的圖象，如圖，所以，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)，在有兩個交點，所以當時，有兩個實數(shù)根，所以，函數(shù)的零點個數(shù)為故答案為：變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)是__________．【答案】【解析】令，即，解得或，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，方程有個實數(shù)解，有個實數(shù)解，且均互不相同，所以，的實數(shù)解有個，所以，函數(shù)零點的個數(shù)是個.故答案為：【通性通解總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.命題方向四：嵌套函數(shù)的零點問題例10．（2023·江蘇·高三專題練習）設(shè)定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)解，則_____________.【答案】3【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，易知函數(shù)圖象關(guān)于對稱，若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)解，則方程必有一個根使，不妨設(shè)為，而另外兩根關(guān)于直線對稱，于是.故答案為：3.例11．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，，若關(guān)于的方程恰好有個不同的實數(shù)根，那么的值為___________.【答案】【解析】根據(jù)已知部分的函數(shù)解析式和偶函數(shù)對稱性，畫圖象如圖，令，則原方程可化為，根據(jù)圖象可知，要使原方程恰好有個不同的實數(shù)根，只需有兩個不等的實數(shù)根、，由韋達定理可知，，，解得，，故.故答案為：.例12．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則m=______【答案】2【解析】∵題中原方程有個不同的實數(shù)根，∴即要求對應(yīng)于等于某個常數(shù)有個不同實數(shù)解和個不同的實數(shù)解，∴故先根據(jù)題意作出的簡圖：由圖可知，只有當時，它有三個根，故關(guān)于的方程有一個實數(shù)根，∴，∴或，時，方程或,有5個不同的實數(shù)根，∴．變式13．（2023·四川成都·高三石室中學?？迹┮阎瘮?shù),若關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)解，則整數(shù)m的值為___________.（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】5【解析】因為,所以當時，，當時，，即滿足，則是偶函數(shù).當時，則，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，,作出函數(shù)的圖象，如圖所示：設(shè)，因為有8個不同的實數(shù)解，所以由圖象可得，關(guān)于t的方程有2個不同的實數(shù)解，且都大于e，所以有，解得，又因為，所以整數(shù)m的值為5，故答案為：5.變式14．（2023·江蘇揚州·高三揚州中學校考）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)解，且最小實數(shù)解為，則的值為______．【答案】【解析】由題意，作出函數(shù)圖象，如圖所示：令，根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有2個不同的實數(shù)解，且必有一個解為0，另一個解大于0，所以．則，解為，．所以，即．所以．故答案為：．變式15．（2023·山東棗莊·高三階段練習）設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有五個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是_________.【答案】.【解析】，所以關(guān)于直線對稱，在上遞減，且；在上遞增，且.是方程的根.令，，由于關(guān)于的方程有五個不同的實數(shù)解，所以有兩個大于且小于的不相等的實數(shù)根，令，則，即，解得.故答案為：變式16．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為__________.【答案】【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，令，則可化為，則或，則關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解等價于的圖象與直線的交點個數(shù)之和為5個，由圖可得函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)為2，所以的圖象與直線的交點個數(shù)為3個，即此時，解得.故答案為：.【通性通解總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．命題方向五：函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習）若不同兩點、均在函數(shù)的圖象上，且點、關(guān)于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）．已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為，的圖象上恰好有兩個“匹配點對”等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程有兩個不等式的正實數(shù)根，即有兩個不等式的正實數(shù)根，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個交點．，當時，，單調(diào)遞增．當時，，單調(diào)遞減．且時，，時，所以所以圖象與函數(shù)圖象有2個交點．則，解得．故選：B例14．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谥校┤艉瘮?shù)圖象上存在不同的兩點，關(guān)于軸對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“黃金點對”（注：點對與可看作同一對“黃金點對”）．已知函數(shù)則此函數(shù)的“黃金點對”有（

）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【答案】D【解析】由題意，不妨設(shè)，且，①當時，，即為與在的交點的橫坐標，如下圖：故此函數(shù)在的“黃金點對”有2對；②當時，，為與在的交點的橫坐標，如下圖：故此函數(shù)在的“黃金點對”有1對，綜上所述，此函數(shù)的“黃金點對”有3對．故選：D．例15．（2023·山東德州·高一德州市第一中學校考期末）若函數(shù)圖象上不同兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“姊妹點對”（點對與看作同一對“姊妹點對”），已知函數(shù)，則此函數(shù)的“姊妹點對”有（

）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【答案】B【解析】根據(jù)題意可得的“姊妹點對”數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)的圖象如下：由圖可得兩個函數(shù)的圖象有1個交點，即此函數(shù)的“姊妹點對”有1對．故選：B．變式17．（2023·全國·高三專題練習）若M，N為函數(shù)圖象上的兩個不同的點，且M，N兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對（M，N）為函數(shù)的一個“配合點對”（點對（M，N）與點對（N，M）為同一“配合點對”）．現(xiàn)給定函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)的圖象上恰有兩個“配合點對”，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)0）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為的圖象上恰好有兩個“配合點對”等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程有兩個不等式的正實數(shù)根，即有兩個不等式的正實數(shù)根，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個交點．，，所以在上單調(diào)遞增，且所以當時，，單調(diào)遞減．當時，，單調(diào)遞增．且時，，時，所以如圖，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有令個交點．則，解得．故選：B．變式18．（2023·陜西西安·西安中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)（）與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)的圖象有交點，即在上有解，即在上有解，令，（），，當時，，函數(shù)為減函數(shù)，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，故時，函數(shù)取得最小值，當時，，當時，，故實數(shù)的取值范圍是．故選：A變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知方程在區(qū)間上有解，再轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有解，構(gòu)造函數(shù)，，得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．函數(shù)在處有最小值，又，，且，∴，所以，，故選：B．【通性通解總結(jié)】命題方向六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型例16．（2023·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個交點．∵，，∴函數(shù)與函數(shù)的圖像的唯一交點為．又∵，且，，∴在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)．又∵，當且僅當，即時等號成立，且是最小正周期為2．最大值為的正弦型函數(shù)，∴可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖所示．∴要使函數(shù)與函數(shù)的圖像只有唯一一個交點，則．∵，，∴，解得．對∵，∴實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】由，得，且由，則若，則，此時，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，不滿足題意.若，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增由，所以有唯一實數(shù)根，設(shè)為，即則當時，，，則在單調(diào)遞減，當時，，，則在單調(diào)遞增，所以當時，由可得，即，即所以，又當時，，當，指數(shù)函數(shù)增加的速度比對數(shù)函數(shù)增加的速度快得多，可得所以函數(shù)有兩個不同零點，則設(shè)，則當時，有，則在上單調(diào)遞增.當時，有，則在上單調(diào)遞減.又當時，，所以當時，，當時，，所以的解集為故答案為：例18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)存在4個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】轉(zhuǎn)化為有四個解，即在范圍內(nèi)有四個解，即在范圍內(nèi)有四個解，即在范圍內(nèi)有四個解，即在范圍內(nèi)有四個解，令，則，令得，所以當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，做出大致圖像如下：令，則原方程轉(zhuǎn)化為，令，，令得，當時，，當時，，所以在遞減，在遞增，做出大致圖像如下：所以時，對應(yīng)解出兩個值，從而對應(yīng)解出四個值，故答案為：.變式20．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)記若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是________________________.【答案】【解析】依題意，令，即，設(shè)，求導得，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此當時，，因當時，的取值集合為，的取值集合為，則當時，的取值集合為，當時，的取值集合為，的取值集合為，即當時，的取值集合為，所以函數(shù)至少存在一個零點，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.命題方向七：唯一零點求值問題例19．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：∴令∵有唯一零點，且是偶函數(shù)，所以，∴∴或若時，則當時，則令解得，∴（不合題意舍去）若時，則∵在上單調(diào)遞減∴∵是偶函數(shù)∴只有唯一零點0∴只有唯一零點2023綜上：.故選：D.例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)，定義域為R,∴，故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∵有唯一零點，∴，即．故選：D．例21．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，記，則，令則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，因為只有唯一的零點，所以零點只能是于是故選：C變式21．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學?？奸_學考試）已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B．3 C．或3 D．4【答案】B【解析】，令，則有是偶函數(shù)，若只有唯一零點，則必過原點，即，從而.當時，有3個零點，舍去.故，此時，則，故.故選：B變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】把函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)性質(zhì)，有唯一零點，由得解.因為，令則，因為函數(shù)有唯一零點，所以也有唯一零點，且為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，由偶函數(shù)對稱性得，所以，解得，故選：D.變式23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【答案】A【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，求出，結(jié)合函數(shù)的對稱性得出和都關(guān)于對稱，由有唯一零點，可知，即可求.已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：，由于關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱，為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，則關(guān)于對稱，由于有唯一零點，則必有，，即：，解得：或.故選：A.變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)A． B． C． D．或【答案】A【解析】函數(shù)有唯一零點，設(shè)則函數(shù)有唯一零點，則設(shè)∴為偶函數(shù)，∵函數(shù)有唯一零點，∴與有唯一的交點，∴此交點的橫坐標為0，解得或（舍去），故選A．【通性通解總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.命題方向八：分段函數(shù)的零點問題例22．（2023·北京·高三專題練習）設(shè)，函數(shù)若恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)可由分段平移得到，易知當時，函數(shù)恰有一個零點，滿足題意；當時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；當時，圖象往下平移，當時，函數(shù)有兩個零點；當時，恰有一個零點，滿足題意，即；綜上可得的取值范圍是.故選：D例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.若有個零點，則實數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令可得，當時，，當時，的圖象與關(guān)于軸對稱，所以作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由上圖可知，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，此時，函數(shù)有2個零點.因此，實數(shù)的取值范圍是.即實數(shù)的最小值為1.故選：D例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令可得出，令，由于函數(shù)有零點，所以，實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)的值域.當時，；當時，由于函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)單調(diào)遞增，此時，.綜上所述，函數(shù)的值域為.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】當時，，令，解得，即函數(shù)在上有兩個零點，由題意得：在上無零點.所以在上無解，即在上無解，當時，，所以或.故選：D變式26．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】因為，所以或解得或故函數(shù)有兩個零點，故選：B【通性通解總結(jié)】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.命題方向九：零點嵌套問題例25．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，其中，則的值為________．【答案】1【解析】設(shè)，，當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，；時，，∴，作出的圖象，如圖要使有三個不同的零點，，其中令，則需要有兩個不同的實數(shù)根（其中）則，即或，且若，則，∵，∴，則∴，則，且∴=若，則，因為，且，∴，故不符合題意，舍去綜上故答案為：1例26．（2023·江西宜春·高三江西省豐城中學校考階段練習）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為______．【答案】4【解析】，又，則有三個不同的零點，，，且，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增則在時取得最大值，時，令，則則必有二根，且則則有一解，有二解且故故答案為：4例27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為___________.【答案】36【解析】因為所以因為，所以有三個不同的零點，令，則，所以當時，當時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以,當時，令，則必有兩個根，不妨令，且,即必有一解，-有兩解，且，故.故答案為：36.變式27．（2023·河南信陽·高三信陽高中校考開學考試）已知函數(shù)有三個零點，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的范圍為______．【答案】【解析】由，兩邊同時除以變形為，有設(shè)即，所以令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，當時，其大致圖像如下．要使關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且．結(jié)合圖像可得關(guān)于t的方程一定有兩個不等的實數(shù)根，且，從而．，，則，．所以.故答案為：變式28．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省震澤中學校考階段練習）已知函數(shù)有四個不同的零點，且四個零點全部大于1，則的值為_______．【答案】【解析】由題意令，，令，則所以函數(shù)有四個不同的零點，等價于關(guān)于的方程，即方程有兩個不同的實根，且此時直線與的圖象應(yīng)有四個交點，交點的橫坐標分別為，由上，；上，，，且當時，；當時，，所以由數(shù)形結(jié)合可知：，故答案為：變式29．（2023·江蘇蘇州·高二常熟中學?？计谀┮阎瘮?shù)存在三個零點、、，且滿足，則的值為__________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，由可得，令，可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，當時，，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：若使得方程由三個不等的實根、、，且滿足，則關(guān)于的方程有兩個不等的實根、，設(shè)，由韋達定理可得，則，由圖可知，，因此，.故答案為：.【通性通解總結(jié)】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.命題方向十：等高線問題例28．（2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，，，，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【答案】D【解析】函數(shù)圖像如圖所示，，，，，由，∴，當且僅當時，等號成立，此時；，當且僅當時等號成立，此時.所以的最小值為.故選：D例29．（2023·河南鄭州·高一新密市第一高級中學校考階段練習）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】作函數(shù)和的圖象，如圖所示：當時，，即，解得，此時，故A錯誤；結(jié)合圖象知，，當時，可知是方程，即的二根，故，，端點取不到，故BC錯誤；當時，，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正確.故選：D.例30．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實數(shù)解，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下：因為方程有四個不同的解，，，，且，所以有，，故，再由可得或，即，令，（），任取，則，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以.即的取值范圍是.故選：B.變式30．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習）已知函數(shù)有五個不同的零點，且所有零點之和為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)五個零點分別為，且，則，所以,所以，則，由，可得，則.故選：C.【通性通解總結(jié)】數(shù)形結(jié)合命題方向十一：二分法例31．（2023·全國·高三專題練習）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】根據(jù)題意，原來區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則經(jīng)過n次操作后，區(qū)間的長度為，若，即.故選：B．例32．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)()的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增.設(shè)近似值為，由表格有，所以故選：C例33．（2023·陜西西安·西安中學校考模擬預(yù)測）某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（

）A．是滿足精度為的近似值.B．是滿足精度為的近似值C．是滿足精度為的近似值D．是滿足精度為的近似值【答案】B【解析】，又A錯誤；，又，滿足精度為的近似值在內(nèi)，則B正確，D錯誤；，C錯誤.故選：B.變式31．（2023·全國·高三專題練習）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次計算，得，，第二次應(yīng)計算，則等于（

）A．1 B． C．0.25 D．0.75【答案】C【解析】因為，，所以在內(nèi)存在零點，根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計算，其中；故選：C變式32．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分法逐次計算，列表如下：x11.51.251.3751.3125f（x）-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程的一個近似根（精確度為0.1）可以為（）A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25【答案】B【解析】由，，且為連續(xù)函數(shù)，由零點存在性定理知：區(qū)間內(nèi)存在零點，故方程的一個近似根可以為1.32，B選項正確，其他選項均不可.故選：B變式33．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897那么函數(shù)的一個零點近似值（精確度為0.1）為（

）A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89【答案】B【解析】根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間內(nèi)，所以近似解為0.57故選：B【通性通解總結(jié)】對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】時，由得，時，由得或，所以四個零點和為．故選：D．2．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學?？家荒＃┖瘮?shù)的零點為（

）A．4 B．4或5 C．5 D．或5【答案】C【解析】由題意可得：，解得，故的定義域為，令，得，則，解得或，又∵，所以．故選：C.3．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)則在上的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．2023【答案】B【解析】解:由題知所以,當時,當時,,當時，，；當時，，；故，綜上，在上單調(diào)遞增,因為,故函數(shù)在上有1個零點.故選:B4．（2023·四川成都·成都市第二十中學校?？家荒＃┮阎瘮?shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】令解得，的定義域為，的圖像如圖所示，由圖像可知在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在和上單調(diào)遞