人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三24.2垂徑定理及其推論【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題24.2垂徑定理及其推論【十大題型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】 1【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】 2【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】 3【題型4在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】 5【題型5利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 6【題型6利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】 7【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 8【題型8垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】 9【題型9利用垂徑定理求整點(diǎn)】 11【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】 12【知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

推論2：弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。绢}型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】【例1】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【變式1-1】（2023春·北京海淀·九年級(jí)人大附中校考階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學(xué)分別整理了一個(gè)命題:甲:相等的弦所對(duì)的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對(duì)這兩個(gè)命題的判斷,正確的是A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)乙對(duì) C．甲乙都對(duì) D．甲乙都錯(cuò)【變式1-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧 B．弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心C．平分弦的直徑垂直于弦 D．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線(xiàn)垂直于弦【變式1-3】（2023·福建三明·泰安模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】【例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，則r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【變式2-1】（2023春·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OE交⊙O于點(diǎn)F，當(dāng)EF最大時(shí)，OE+EF的值為．【變式2-2】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E點(diǎn)，已知⊙O的半徑為1，則AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長(zhǎng)；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長(zhǎng)；（3）當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（∠NPB=45°不變），PM【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】【例3】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點(diǎn)E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB=CD=6，則

A．22 B．32 C．42【變式3-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦AD與弦BC交于點(diǎn)G,AD=CB,M,N分別是CB和AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,OG．（1）求證：OG⊥MN；（2）聯(lián)結(jié)AC,AM,CN，當(dāng)CN//OG時(shí)，求證：四邊形ACNM為矩形．【變式3-3】（2023春·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求作圖(1)如圖1，已知AB是⊙O的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺作出∠AOD的角平分線(xiàn)OP；(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，AB∥CD，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺在射線(xiàn)DC上找一點(diǎn)P，使四邊形ABPD是平行四邊形．【題型4在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】【例4】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為42，則aA．4 B．3+2 C．32 【變式4-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,0)，點(diǎn)C，D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【變式4-2】（2023·江蘇南京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【變式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,10，直線(xiàn)y=kx+2k?4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【題型5利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】【例5】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是【變式5-1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【變式5-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為．【變式5-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過(guò)圓心O的線(xiàn)段EF⊥AB于點(diǎn)F，與CD交于點(diǎn)E，已知⊙O半徑為5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的長(zhǎng)；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【題型6利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】【例6】（2023春·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)圓都是以O(shè)為圓心．（1）求證：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圓的半徑為5，求大圓的半徑R的值．【變式6-1】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線(xiàn)所截得的一組圓弧．已知每個(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【變式6-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【變式6-3】（2023·浙江杭州·九年級(jí)）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為2和4，矩形ABCD的邊AB和CD分別是兩圓的弦，則矩形ABCD面積的最大值是．【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由APB和直角∠ACB圍成，且點(diǎn)C也在APB所在的圓上，已知AC=4m，隧道的最高點(diǎn)P離路面BC的距離DP=7m，則該道路的路面寬BC=m；在APB上，離地面相同高度的兩點(diǎn)E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若E是AP的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是【變式7-1】（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=8cm，水面最深地方的高度為2【變式7-2】（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）“筒車(chē)”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．如圖，“筒車(chē)”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【變式7-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問(wèn)題設(shè)置：把筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車(chē)半徑為2米．當(dāng)t=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)∠AOM=30°，經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問(wèn)題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）【題型8垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【例8】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖是由小正方形組成的7×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖．(1)在圖（1）中，A，B，C三點(diǎn)是格點(diǎn)，畫(huà)經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓的圓心O，并在該圓上畫(huà)點(diǎn)D，使AD=BC；(2)在圖（2）中，A，E，F(xiàn)三點(diǎn)是格點(diǎn)，⊙I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．先過(guò)點(diǎn)F畫(huà)AE的平行線(xiàn)交⊙I于M，N兩點(diǎn)，再畫(huà)弦MN的中點(diǎn)G．【變式8-1】（2023春·遼寧盤(pán)錦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（正方形網(wǎng)格交點(diǎn)）A、B、C，其中B2,3，則圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為【變式8-2】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來(lái)一致的鏡面，則這個(gè)鏡面的半徑是．【變式8-3】（2023·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1cm的網(wǎng)格中，畫(huà)出了一個(gè)過(guò)格點(diǎn)A，B的圓，通過(guò)測(cè)量、計(jì)算，求得該圓的周長(zhǎng)是cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【題型9利用垂徑定理求整點(diǎn)】【例9】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點(diǎn)O，MN=10，AB=8，如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系．我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整數(shù)點(diǎn)，則線(xiàn)段OC長(zhǎng)是，⊙C上的整數(shù)點(diǎn)有個(gè)．【變式9-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）⊙O的直徑為10，弦AB=6，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足線(xiàn)段OP的長(zhǎng)為整數(shù)的點(diǎn)P有處不同的位置．【變式9-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)(latticepoint（1）若經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在的圓心為M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（2）若畫(huà)出該圓弧所在的圓，則在整個(gè)平面坐標(biāo)系網(wǎng)格中該圓共經(jīng)過(guò)格點(diǎn)．【變式9-3】（2023·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考一模）⊙O的直徑為10，弦AB=8，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，若OP的值為整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)有個(gè)．【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】【例10】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C在半徑為5的⊙O上，D2,1，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之運(yùn)動(dòng)，則矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的最小值為（

A．25 B．10?5 C．10+5【變式10-1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的長(zhǎng)度范圍是（A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5【變式10-2】（2023春·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的半徑OF⊥弦AB于點(diǎn)E，C是⊙O上一點(diǎn)，EF=2，AB=12，CE的長(zhǎng)的最大值為．【變式10-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，以G0,1為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，則弦AB的長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)E在⊙G的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段FG的長(zhǎng)度的最小值為專(zhuān)題24.2垂徑定理及其推論【十大題型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】 1【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】 3【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】 8【題型4在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】 14【題型5利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 19【題型6利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】 23【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 27【題型8垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】 33【題型9利用垂徑定理求整點(diǎn)】 38【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】 41【知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

推論2：弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】【例1】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可；【詳解】∵直徑CD垂直于弦AB于點(diǎn)E，則由垂徑定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故選項(xiàng)A，B，D正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·北京海淀·九年級(jí)人大附中校考階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學(xué)分別整理了一個(gè)命題:甲:相等的弦所對(duì)的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對(duì)這兩個(gè)命題的判斷,正確的是A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)乙對(duì) C．甲乙都對(duì) D．甲乙都錯(cuò)【答案】D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另外兩組量也相等，可判斷甲命題；由垂徑定理可得判斷乙命題.【詳解】(1)在同圓或等圓中,相等的弦所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等,故甲命題錯(cuò)誤;(2)平分弦的直徑垂直于不是直徑的弦;故乙命題項(xiàng)錯(cuò)誤;故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查同圓或等圓中，弧、弦、圓心角的關(guān)系及垂徑定理.【變式1-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧 B．弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心C．平分弦的直徑垂直于弦 D．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線(xiàn)垂直于弦【答案】ABD【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，正確；B、弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，正確；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤；D、平分弦所對(duì)的兩條弧的直線(xiàn)垂直于弦，正確；故選ABD．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·福建三明·泰安模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【答案】B【詳解】試題分析：∵AB⊥CD，AB過(guò)O，∴DE=CE，BC=根據(jù)已知不能推出DE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．故選B．【考點(diǎn)】垂徑定理．【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】【例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，則r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【答案】C【分析】設(shè)BC、OA交于D，根據(jù)題意和垂徑定理得到OD=12r，BD=3【詳解】解：設(shè)BC、OA交于D，∵弦BC垂直平分OA，BC=6，∴OD=1在Rt△OBD中，由勾股定理得O∴r2解得r=23故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，利用方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OE交⊙O于點(diǎn)F，當(dāng)EF最大時(shí)，OE+EF的值為．【答案】7【分析】當(dāng)OE⊥AB，EF最大，即點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，過(guò)O作OE⊥AB于E，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到BE=4，根據(jù)勾股定理得到OE=OB【詳解】解：當(dāng)OE⊥AB，EF最大，即點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，過(guò)O作OE⊥AB于E，連接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴OE=OB∴OE+EF=OE+OB=7，故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E點(diǎn)，已知⊙O的半徑為1，則AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接BE，根據(jù)垂徑定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接BE，如圖，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故選：B．【變式2-3】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長(zhǎng)；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長(zhǎng)；（3）當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（∠NPB=45°不變），PM【答案】（1）214；（2）217【分析】（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計(jì)算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，則OH=22OP=2，再在Rt△OHN中，利用勾股定理計(jì)算出NH=14，然后根據(jù)垂徑定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=214（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計(jì)算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可計(jì)算出ON=17，所AB=2ON=217；(3)作OH⊥MN于H，連接ON，根據(jù)垂定理得HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，則PH2+NH2=R2，然后變形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值為2R2，又AB=2R，代入計(jì)算即可求出答案．【詳解】解：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=22OP=2在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=2，∴NH=NO2－OH2∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴MN=2NH=214；（2）作OH⊥MN于H，連接ON，則HM=HN，∵M(jìn)P=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON=OH2+N∴AB=2ON=217；（3）PM2+P作OH⊥MN于H，連接ON，則HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，∴PM2+PN∴PM2+P【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚绢}型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】【例3】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點(diǎn)E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB=CD=6，則

A．22 B．32 C．42【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H點(diǎn)，OF⊥CD于F點(diǎn)，連接OB、OC，根據(jù)垂徑定理可求出EH的值，再證Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)【詳解】解：如圖所示，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H點(diǎn)，OF⊥CD于F點(diǎn)，連接OB、OC，

∴根據(jù)垂徑定理得，DF=CF=12CD=∵AE=1，∴EH=AH?AE=3?1=2，在Rt△OBH和RtOB=OCBH=CF∴Rt△OBH≌∴OH=OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF=90°，∵∠OHE=∠OFE=90°，∴四邊形OHEF為正方形，OE是正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴OE=2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．【答案】3【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過(guò)證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．【詳解】解：∵E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，∠OAE=∠COD∠AEO=∠ODC∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝OC2?CD【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦AD與弦BC交于點(diǎn)G,AD=CB,M,N分別是CB和AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,OG．（1）求證：OG⊥MN；（2）聯(lián)結(jié)AC,AM,CN，當(dāng)CN//OG時(shí)，求證：四邊形ACNM為矩形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連結(jié)OM,ON，由M、N分別是CB和AD的中點(diǎn)，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AB=CD，可得OM=ON，可證RtΔEOP≌RtΔFOPHL，MG=NG，∠MGO=∠NGO，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)OG⊥MN（2）設(shè)OG交MN于E，由RtΔEOP≌RtΔFOP，可得MG=NG，可得∠CMN=∠ANM，CM=12CB=12AD=AN，可證△CMN≌△ANM可得AM=CN，由CN∥OG，可得∠AMN=∠CNM=90°，由∠AMN+∠CNM=180°可得【詳解】證明：（1）連結(jié)OM,ON，∵M(jìn)、N分別是CB和AD的中點(diǎn)，∴OM，ON為弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，OM=ONOG=OG∴RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）設(shè)OG交MN于E，∵RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG，∴∠GMN=∠GNM，即∠CMN=∠ANM，∵CM=1在△CMN和△ANM中CM=AN∠CMN=∠ANM∴△CMN≌△ANM，∴AM=CN,∠AMN=∠CNM，∵CN∥OG，∴∠CNM=∠GEM=90°，∴∠AMN=∠CNM=90°，∴∠AMN+∴AM∥CN，∴ACNM是平行四邊形，∵∠AMN=90°，∴四邊形ACNM是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求作圖(1)如圖1，已知AB是⊙O的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺作出∠AOD的角平分線(xiàn)OP；(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，AB∥CD，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺在射線(xiàn)DC上找一點(diǎn)P，使四邊形ABPD是平行四邊形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接AD，EC交于點(diǎn)F，作射線(xiàn)OF交⊙O于點(diǎn)P，OP即為所求；（2）連接DB，OC交于點(diǎn)E，作射線(xiàn)AE交DC于點(diǎn)P，四邊形ABPD即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，連接AD，EC交于點(diǎn)F，作射線(xiàn)OF交⊙O于點(diǎn)P，OP即為所求；∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴AF=DF，∵OA=OD，∴OP是∠AOD的角平分線(xiàn)；（2）如圖2，連接OD，連接DB，OC交于點(diǎn)E，作射線(xiàn)AE交射線(xiàn)DC于點(diǎn)P，四邊形ABPD即為所求；∵點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，∴OC⊥DB,∵OD=OB，∴DE=EB，∵AB∥∴∠ABE=∠PDE，在△ABE與△PDE中，∠ABE=∠PDE∠AEB=∠PED∴△ABE≌△PDE，∴AB=DP，∵AB∥∴四邊形ABPD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線(xiàn)合一，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型4在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】【例4】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為42，則aA．4 B．3+2 C．32 【答案】B【分析】作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，求出D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)，可得△OCD為等腰直角三角形，從而△PED也為等腰直角三角形．根據(jù)垂徑定理得AE=BE=22，在Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出【詳解】解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，如圖，∵⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)，∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)，∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴∠PDE=∠ODC=45°，∵PE⊥AB，∴△PED為等腰直角三角形，AE=BE=1在Rt△PBE中，PB=3∴PE=3∴PD=2∴a=3+2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。_作出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,0)，點(diǎn)C，D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,3)【分析】連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H，根據(jù)題意得CD=OB=8，CN=MH，CH=MN，根據(jù)垂徑定理得出CN=DN=12CD=4．MO=MC=5,在Rt△MNC中，勾股定理得出MN=3,進(jìn)而得出C的縱坐標(biāo)為3，又【詳解】解：如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H．∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,0)，∴CD=OB=8，CN=MH，CH=MN．又∵M(jìn)N⊥CD，∴CN=DN=12CD=4∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,0)，∴OA=10，∴MO=MC=5．在Rt△MNC中，MN=CM2?CN2∴CH=3．又OH=OM?MH=5?4=1．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,3)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·江蘇南京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】(0,?4)【詳解】設(shè)圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進(jìn)而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進(jìn)而可得點(diǎn)D坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，則EA＝EB＝AB2＝4，F(xiàn)C＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，?1∴CF＝DF＝3?(?12)∴OD＝OF+DF＝12∴D（0，﹣4），故答案為：（0，﹣4）．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標(biāo)系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．【變式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,10，直線(xiàn)y=kx+2k?4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【答案】C【分析】易知直線(xiàn)y=kx+2k?4過(guò)定點(diǎn)D(?2,?4)，運(yùn)用勾股定理可求出OD，由⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,10，可求出半徑OB=10，由于過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運(yùn)用垂徑定理及勾股定理就可解決問(wèn)題．【詳解】解：對(duì)于直線(xiàn)y=kx+2k?4，當(dāng)x=?2時(shí)，y=?4，故直線(xiàn)y=kx+2k?4恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,?4)，記為點(diǎn)D．由于過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，即當(dāng)OD⊥BC時(shí)，BC最短，連接OB，如圖所示，∵D(?2,?4)，∴OD=?2∵⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,10，∴OB=10，∴BD=O∵OB⊥BC，∴BC=2BD=85∴弦BC的最小值是85故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,?4)以及運(yùn)用“過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)是解決該題的關(guān)鍵．【題型5利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】【例5】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是【答案】2或14【分析】由于弦AB與CD的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB與CD在圓心同側(cè)；②弦AB與CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB與CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，交CD于點(diǎn)E，連接OA，∵AB∥∴OE⊥CD，∵AB=12，∴CE=8，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102?∴EF=OF?OE=2；②當(dāng)弦AB與CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)OE交AB于點(diǎn)F，連接OA，同理EO=102?EF=OF+OE=14，所以AB與CD之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．【變式5-1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計(jì)算．【詳解】如圖，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=12EF∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為．【答案】21【分析】由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線(xiàn)上時(shí)，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【詳解】解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，∴BE＝12AB＝12，CF＝1∴OE=OB2∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：BC=B即PA＋PC的最小值為212故答案為：212【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問(wèn)題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過(guò)圓心O的線(xiàn)段EF⊥AB于點(diǎn)F，與CD交于點(diǎn)E，已知⊙O半徑為5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的長(zhǎng)；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得AF=1（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長(zhǎng)，設(shè)EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵EF⊥AB，且EF過(guò)圓心，∴AF=1∵AO=5，∴OF=A∵AB//CD，∴EF⊥CD，同理DE=1OE=O∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如圖，連接BO和DO，∵CD=46∴DE=26∴OE=O設(shè)EF=BF=x，則OF=x?1，在Rt△OBF中，OFx?12+x2=25∴BF=4，∴AB=2BF=8．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進(jìn)行運(yùn)用求解．【題型6利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】【例6】（2023春·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)圓都是以O(shè)為圓心．（1）求證：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圓的半徑為5，求大圓的半徑R的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）41【分析】（1）作OE⊥AB，由垂徑定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）連接OB，OD，由AB=10，則BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2【詳解】解：（1）如圖：作OE⊥AB于E，由垂徑定理，得：AE=BE，CE=DE，∴BE?DE=AE?CE，即AC=BD；（2）如圖，連接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=5-2=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=O∴OD2?D即52解得：OB=41∴大圓的半徑為41.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線(xiàn)所截得的一組圓弧．已知每個(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫(huà)出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE則r2解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【變式6-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線(xiàn)、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.【變式6-3】（2023·浙江杭州·九年級(jí)）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為2和4，矩形ABCD的邊AB和CD分別是兩圓的弦，則矩形ABCD面積的最大值是．【答案】16【分析】過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長(zhǎng)交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大，過(guò)點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長(zhǎng)交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)N分別為AB和CD的中點(diǎn)，∴S矩形APND=12S∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長(zhǎng)∴S△AOD=12S矩形APND=14∴S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大過(guò)點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得h≤OD（當(dāng)且僅當(dāng)OD⊥OA時(shí)，取等號(hào)）∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷14故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問(wèn)題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導(dǎo)面積關(guān)系和垂線(xiàn)段最短是解決此題的關(guān)鍵．【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由APB和直角∠ACB圍成，且點(diǎn)C也在APB所在的圓上，已知AC=4m，隧道的最高點(diǎn)P離路面BC的距離DP=7m，則該道路的路面寬BC=m；在APB上，離地面相同高度的兩點(diǎn)E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若E是AP的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是【答案】221【分析】先求得圓心的位置，根據(jù)垂徑定理得到AM=CM=2，即可求得半徑為5，根據(jù)勾股定理即可求得CD，進(jìn)而求得BC，根據(jù)勾股定理求得PA，從而以及垂徑定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通過(guò)證得△EOK?△OPN求得EK=ON，進(jìn)一步即可求得EQ．【詳解】作AC的垂直平分線(xiàn)OM，交PD于O，交AC于M，則O是圓心，連接OC，∴OD=MC=1∵PD=7，∴圓的半徑為7?2=5，∴CD=O∴BC=2CD=221連接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，∵PD=7，DH=AC=4，∴PH=7?4=3，∵AH=CD=21∴PA=A∵E是AP的中點(diǎn)，∴OE垂直平分PA，∴PN=30∴ON=O∵EQ∥∴∠OEK=∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°∴△EOK?△OPN(AAS∴EK=ON=70∴EQ=EK+KQ=70故答案為221，70【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=8cm，水面最深地方的高度為2【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）運(yùn)用尺規(guī)作圖的步驟和方法即可解答；（2）作OD⊥AB于D，并延長(zhǎng)交⊙O于C，則D為AB的中點(diǎn)，則AD=4cm，設(shè)這個(gè)圓形截面的半徑為xcm，在Rt△AOD【詳解】（1）如圖所示；

（2）作OD⊥AB于D，并延長(zhǎng)交⊙O于C，則D為AB的中點(diǎn)，∵AB=8cm∴AD=1設(shè)這個(gè)圓形截面的半徑為xcm又∵CD=2cm∴OD=x?2在Rt△AOD∵OD2+A解得x=5cm∴圓形截面的半徑為5cm【點(diǎn)睛】本題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形和靈活應(yīng)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）“筒車(chē)”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．如圖，“筒車(chē)”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【答案】(1)5米(2)2米【分析】（1）作OD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，由垂徑定理可得AE=12AB=3（2）當(dāng)AB=8米時(shí)，AE=12AB=4米．在Rt△AOE中，由勾股定理可得，AE【詳解】（1）解：如圖，作OD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．則AE=12AB=3設(shè)圓的半徑為r米，在Rt△AOE中，A∴32解得r=5，∴該圓的半徑為5米；

（2）解：當(dāng)AB=8米時(shí)，AE=1在Rt△AOE中，A∴42∴OE=3米，∴DE=5?3=2（米）．答：水面下盛水筒的最大深度為2米．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問(wèn)題設(shè)置：把筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車(chē)半徑為2米．當(dāng)t=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)∠AOM=30°，經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問(wèn)題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為0.3米．【分析】（1）先求得該盛水筒的運(yùn)動(dòng)速度，再利用周角的定義即可求解；（2）作BC⊥OM于點(diǎn)C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得OD的長(zhǎng)，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，∴每秒旋轉(zhuǎn)360°120當(dāng)經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，∠AOB=360°?3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°?30°=45°；（2）解：作BC⊥OM于點(diǎn)C，設(shè)OM與水平面交于點(diǎn)D，則OD⊥AD，

在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2∴AD=12OA=1在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2∴BC=OC=2∴CD=OD?OC=3答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為0.3米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．【題型8垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【例8】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖是由小正方形組成的7×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖．(1)在圖（1）中，A，B，C三點(diǎn)是格點(diǎn)，畫(huà)經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓的圓心O，并在該圓上畫(huà)點(diǎn)D，使AD=BC；(2)在圖（2）中，A，E，F(xiàn)三點(diǎn)是格點(diǎn)，⊙I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．先過(guò)點(diǎn)F畫(huà)AE的平行線(xiàn)交⊙I于M，N兩點(diǎn)，再畫(huà)弦MN的中點(diǎn)G．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和圓的性質(zhì)求得點(diǎn)D，然后根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分和圓的性質(zhì)求得點(diǎn)O即可；（2）設(shè)AE與⊙I的交點(diǎn)為C，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和平行線(xiàn)的求得直線(xiàn)BF交⊙I于M，N兩點(diǎn)，然后連接AN，CM交于點(diǎn)D，連接DI并延長(zhǎng)交MN與點(diǎn)G即可求解．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，BC相交于點(diǎn)O，由網(wǎng)格可得，AD由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，D∵點(diǎn)A，C，B，D2∴A∴點(diǎn)D1和D2即為所要求作的∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°∴四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∴點(diǎn)O即為經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心，∴點(diǎn)O即為所求作的點(diǎn)；‘（2）如圖所示，∵AC∥MN，點(diǎn)A，C，N，M在⊙I上∴AM=CN∴四邊形AMNC是等腰梯形，∴AN=CM，AD=CD,MD=ND∴DG⊥MN，且DG平分MN，∴點(diǎn)G即為所求作的點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，利用了垂徑定理的推論，矩形的性質(zhì)，作軸對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將復(fù)雜作圖逐步轉(zhuǎn)化為基本作圖是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·遼寧盤(pán)錦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（正方形網(wǎng)格交點(diǎn)）A、B、C，其中B2,3，則圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為【答案】（【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，可知弦AB和BC的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是（1故答案是：（【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)圖形性質(zhì)、垂徑定理，熟知“弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心”是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來(lái)一致的鏡面，則這個(gè)鏡面的半徑是．【答案】5【詳解】解：如圖所示，作AB，BD的中垂線(xiàn)，交點(diǎn)O就是圓心．連接OA、OB，∵OC⊥AB，∵AC=1，OC=2，∴OA=AC【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1．垂徑定理的應(yīng)用；2．勾股定理．【變式8-3】（2023·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1cm的網(wǎng)格中，畫(huà)出了一個(gè)過(guò)格點(diǎn)A，B的圓，通過(guò)測(cè)量、計(jì)算，求得該圓的周長(zhǎng)是cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】8.9【分析】根據(jù)垂徑定理確定圓的圓心，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】由垂徑定理可知，圓的圓心在點(diǎn)O處，連接OA，由勾股定理得，OA=1圓的周長(zhǎng)為：22故答案為：8.9．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心是解題的關(guān)鍵．【題型9利用垂徑定理求整點(diǎn)】【例9】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點(diǎn)O，MN=10，AB=8，如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系．我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整數(shù)點(diǎn)，則線(xiàn)段OC長(zhǎng)是，⊙C上的整數(shù)點(diǎn)有個(gè)．【答案】312【分析】過(guò)C作直徑UL∥x軸，連接AC，根據(jù)垂徑定理求出AO=BO=4，根據(jù)勾股定理求出OC，再得出答案即可．【詳解】解：過(guò)C作直徑UL∥x軸，連接CA，則AC=12∵M(jìn)N過(guò)圓心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO=AC∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理還有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x軸，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12個(gè)點(diǎn)，故答案為：3；12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，能找出符合條件的所有點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）⊙O的直徑為10，弦AB=6，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足線(xiàn)段OP的長(zhǎng)為整數(shù)的點(diǎn)P有處不同的位置．【答案】3【分析】當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)OP最短，利用垂徑定理得到OP垂直于AB，在RT△AOP中，由OA與AP的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OP的長(zhǎng)，當(dāng)P與A或B重臺(tái)時(shí)，OP最長(zhǎng)，求出OP的范圍，由OP為整數(shù)，即可得到OP所有可能的長(zhǎng)．【詳解】解：當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，利用垂徑定理得到OP⊥AB，此時(shí)OP最短，如圖所示：∵AB=6,∴AP=PB=3,在RT△AOP中，∵OA=5,AP=3,∴OP=即OP的最小值為3，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，OP最長(zhǎng)，此時(shí)0P=5，∴4≤OP≤5,則使線(xiàn)段OP的長(zhǎng)度為整數(shù)的點(diǎn)P有4，5，共3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)(latt