人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題13.5等邊三角形【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.5等邊三角形【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)】 1【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 2【題型3利用等邊三角形的性質(zhì)求最值】 3【題型4證明等邊三角形】 4【題型5探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問(wèn)題】 6【題型6探究等邊三角形中的折疊問(wèn)題】 8【題型7探究等邊三角形中的三角板問(wèn)題】 9【題型8探究等邊三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題】 11【題型9探究等邊三角形中線段或角度之間的關(guān)系】 12【題型10等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題判斷正誤】 14知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例1】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，則∠BPD=度．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）等邊三角形兩條中線相交所成銳角度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【變式1-2】（23-24八年級(jí)·福建莆田·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°【變式1-3】（23-24八年級(jí)·遼寧本溪·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上，且DE=12BC，則∠AFE【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例2】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點(diǎn)D恰好落在BC上，則線段AP的長(zhǎng)是（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【變式2-1】（23-24八年級(jí)·河南漯河·期末）如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OE+OF的值為（

）A．0.5 B．1 C．2 D．不確【變式2-2】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8cm，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，且點(diǎn)A1在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為【變式2-3】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（

）A．95 B．2 C．115 【題型3利用等邊三角形的性質(zhì)求最值】【例3】（2024·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)．若BD=8,CD=6，連接AD，則AD的最大值與最小值的差為．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AD是邊BC上的中線，且AD=6，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，BE+EF的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP?PE的最大值是．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，在DP的下方作等邊三角形DPE，連接CE，則CE最小值是（

）A．3 B．2 C．1.5 D．1【題型4證明等邊三角形】【例4】（23-24八年級(jí)·天津?qū)幒印て谥校┤鐖D所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)求證：AD=CE(3)求∠DFC的大?。咀兪?-1】（23-24八年級(jí)·重慶豐都·期末）如圖，點(diǎn)E在△ABC的外部，點(diǎn)D在BC上，DE交AC于點(diǎn)F，∠2=∠3，AE=AC，DE=BC．(1)求證：△ABC≌(2)若∠2=60°，猜想△ABD的形狀并證明．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，點(diǎn)O、點(diǎn)P分別在射線AD、BA上運(yùn)動(dòng)，且保證∠OCP=60°，連接OP．(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，如圖1，求AP的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，如圖1，試判斷△OPC的形狀并證明；(3)當(dāng)點(diǎn)O在射線AD其它地方運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPC還滿足（2）的結(jié)論嗎？請(qǐng)用圖2說(shuō)明理由．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC與BD相交于點(diǎn)E，∠ABD=∠ADB．(1)填空：AC與BD的位置關(guān)系為_(kāi)_________，BE與DE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；(2)過(guò)點(diǎn)B作BF∥CD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且①求證：△BCD是等邊三角形；②若點(diǎn)G，H分別是線段AC，線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)GH+AH的值最小時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)H的位置，并求出GH與CH之間的數(shù)量關(guān)系．【題型5探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問(wèn)題】【例5】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,4(1)如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：AB=2OE；(3)如圖3，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，△ACD是等邊三角形，連接OD，若∠AOD=30°，求B點(diǎn)坐標(biāo)【變式5-1】（23-24八年級(jí)·遼寧錦州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形A1B1C1D1（記為第1個(gè)正方形）的頂點(diǎn)A1與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)D1在x軸上，點(diǎn)C1在第一象限內(nèi)，以C1為頂點(diǎn)作等邊△C1A2B2，使得點(diǎn)A2落在x軸上，A2B2⊥x軸，再以A2B2為邊向右側(cè)作正方形A2B2C2D2（記為第2個(gè)正方形），點(diǎn)D2在x軸上，以C2為頂點(diǎn)作等邊△C2A3B3，使得點(diǎn)A3落在x軸上，A3B3⊥x軸，若按照上述的規(guī)律繼續(xù)作正方形，則第2021個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)B在y軸上且位于A點(diǎn)上方，以BP為邊向BP的右側(cè)作等邊△PBC，連接CA，并延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)E．(1)求證：OB=AC；(2)判斷AP是否平分∠OAC？(3)在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△AEQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·天津和平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B在x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,12)，∠BAC的平分線交y軸于點(diǎn)D．

(1)如圖①，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)如圖②，E為x軸上一點(diǎn)，以CE為邊，在第一象限內(nèi)作等邊△CEF，連接FB并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)G．求OG的長(zhǎng)；(3)如圖③，在（1）的條件下，M為y軸正半軸上D點(diǎn)上方的任意一點(diǎn)，在BM右上方作∠BMN=60°交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，求證：DN?DM是定值．【題型6探究等邊三角形中的折疊問(wèn)題】【例6】（23-24八年級(jí)·廣西賀州·期末）如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合）．過(guò)點(diǎn)A折疊△ABC，使點(diǎn)B與C重合，得折痕AF交BC于F，然后展開(kāi)；再過(guò)點(diǎn)D折疊△ABC，折痕DE交AC于點(diǎn)E，使點(diǎn)A落在折痕AF所在的直線上，記為點(diǎn)P，兩折痕AF與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：DE∥(2)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE始終是等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)連接DP、BP，當(dāng)△BDP為直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖1，△ABD是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作∠DPE=∠DAB=60°，PE交射線DA于點(diǎn)E，點(diǎn)O是線段AE，PE垂直平分線的交點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)O在AB邊上時(shí)，∠ADP=______．（2）①當(dāng)點(diǎn)P，B重合時(shí)，作AO'⊥DE，交PE的垂直平分線于點(diǎn)O②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，或AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠OPD的度數(shù)是否為定值？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)，并選擇點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，把等邊三角形△ABD沿著B(niǎo)D折疊，得到△BDC，且點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接AC．當(dāng)PE//AC時(shí)，證明AP平分∠DPE，并在△DPE內(nèi)確定一點(diǎn)T，使點(diǎn)T到【變式6-2】（23-24八年級(jí)·廣東中山·期末）已知△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ABE沿DE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn).(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，求證：△BDF是等邊三角形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在△ABC內(nèi)，且DF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，CF=EF，求∠A的大小；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在△ABC外，DF交BC于點(diǎn)G，連接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的長(zhǎng).【變式6-3】（23-24八年級(jí)·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）在學(xué)習(xí)完等腰三角形之后，某興趣小組開(kāi)展了如下數(shù)學(xué)活動(dòng)：如圖，正方形紙片ABCD，①先對(duì)折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點(diǎn)A落在EF的點(diǎn)H上，沿BH和CH剪下△BCH，小組成員得到了如下結(jié)論：①∠BHF=30°；②BF=12CH；③△BCH是等邊三角形；④∠ABG=15°；⑤四邊形ABHE和四邊形DCHE

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【題型7探究等邊三角形中的三角板問(wèn)題】【例7】（23-24八年級(jí)·河北保定·期中）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，將含30°角的三角板中60°角的頂點(diǎn)D放在邊AB上移動(dòng)，使這個(gè)60°角的兩邊與△ABC的邊AC，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE始終與AB垂直，連接EF．(1)△BDF是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖1，若AE=8，求CF的長(zhǎng)．(3)如圖2，當(dāng)EF∥AB時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α=60°，點(diǎn)B，點(diǎn)C表示的刻度分別為1cm,3cm，則△ABC的周長(zhǎng)為【變式7-2】（23-24八年級(jí)·安徽銅陵·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．將三角板中30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng)，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且使DE始終與AB(1)求證：△BDF是等邊三角形；(2)求AD?CF的值．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·江蘇徐州·期末）如圖①，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB．將直角三角板如圖放置，使直角頂點(diǎn)D在OC上，60°角的頂點(diǎn)E在OB上，斜邊與OA交于點(diǎn)F（F與O不重合），連接DF．(1)如圖②，若DE⊥OB，求證：△DEF為等邊三角形．(2)如圖③，求證：OD=OE+OF．【題型8探究等邊三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題】【例8】（23-24八年級(jí)·山東棗莊·開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，(1)當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（(2)當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)t【變式8-1】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)（

）s后，可得到等邊△AMNA．3 B．4 C．5 D．不能確定【變式8-2】（23-24八年級(jí)·廣東江門(mén)·期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s，Q以1(1)AB=．(2)求當(dāng)△PBQ是等邊三角形時(shí)對(duì)應(yīng)的t值？(3)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PBQ的形狀不斷發(fā)生變化，當(dāng)t為何值時(shí)，【變式8-3】（23-24八年級(jí)·廣東湛江·期末）如圖，在△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向，在射線BC上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)

(1)當(dāng)∠BAM=__________°時(shí)，AB=2BM；(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：__________，使得△ABC為等邊三角形；(3)在（2）的條件下，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：CN+CM=AC；【題型9探究等邊三角形中線段或角度之間的關(guān)系】【例9】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·期末）如圖1，△ABC是等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BE．(1)若AB是∠DBE的平分線，求∠ABD的度數(shù)；(2)如圖2，連接EA并延長(zhǎng)交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，①求∠F的度數(shù)；②探究EA，AF和BF三者之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·貴州畢節(jié)·期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，分別作BD，CD的垂直平分線EM，F(xiàn)N，分別交BC于點(diǎn)M，N，則MN與△ABC邊長(zhǎng)的關(guān)系是（

）A．MN=12BCC．MN=14【變式9-2】（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到折痕AM，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G，H，展平紙片，連結(jié)BG，BH，則∠ABH與∠GAM的關(guān)系是．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·重慶綦江·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF.（1）如圖1，當(dāng)DE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交，且點(diǎn)C，F(xiàn)在直線DE的同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB，DG交BC于點(diǎn)G，求證：CF=（2）如圖2，當(dāng)DE的反向延長(zhǎng)線與AB的反向延長(zhǎng)線相交，且點(diǎn)C，F(xiàn)在直線DE的同側(cè)時(shí)，求證：CD=CE+CF；（3）如圖3，當(dāng)DE的反向延長(zhǎng)線與線段AB相交，且點(diǎn)C，F(xiàn)在直線DE的異側(cè)時(shí)，猜想CD、CE、CF之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【題型10等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題判斷正誤】【例10】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤

A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【變式10-1】（23-24八年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CD，分別交AE、AB于點(diǎn)F、G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD交BD于點(diǎn)H，EH=1，則下列結(jié)論：①∠ACD=15°；②△AFG是等腰三角形；③△ADF≌△BAH；④DF=2．其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式10-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB且∠EBD=∠CBD，連接DE、CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有（A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-3】（23-24八年級(jí)·重慶璧山·期中）如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，EC的延長(zhǎng)線交AP于點(diǎn)M，連接BM；下列結(jié)論：①AP=CE；②∠PME=60°；③BM平分∠AME；④AM+MC=BM，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)專題13.5等邊三角形【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 4【題型3利用等邊三角形的性質(zhì)求最值】 8【題型4證明等邊三角形】 13【題型5探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問(wèn)題】 19【題型6探究等邊三角形中的折疊問(wèn)題】 30【題型7探究等邊三角形中的三角板問(wèn)題】 39【題型8探究等邊三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題】 45【題型9探究等邊三角形中線段或角度之間的關(guān)系】 50【題型10等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題判斷正誤】 57知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例1】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，則∠BPD=度．【答案】30【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，作AB的垂直平分線，證明AB的垂直平分線必過(guò)C、D兩點(diǎn)，然后證明△BDC≌【詳解】解：作AB的垂直平分線，∵AD=BD，∴△ABD為等腰三角形，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，∴AB的垂直平分線必過(guò)C、D兩點(diǎn)，∠BCE=30°，∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BDC≌∴∠BPD=∠BCE=30°．故答案為：30．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）等邊三角形兩條中線相交所成銳角度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理等知識(shí)．先求出∠ABC=∠ACB=60°，再根據(jù)“等邊三角形三線合一”得到BE、CD也是等邊△ABC的角平分線，即可求出∠FBC=30°,∠FCB=30°，從而求出∠DFB=60°．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BE、CD是等邊△ABC的中線，∴BE、CD也是等邊△ABC的角平分線，∴∠FBC=1∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=60°．故選：D【變式1-2】（23-24八年級(jí)·福建莆田·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊對(duì)等角求角度、垂線的定義，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠ACB=60°，由垂線的定義可得∠BCD=90°，從而得出∠ACD=150°，由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合等邊對(duì)等角可得∠CAD=∠D=15°，即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=180°?∠ACD∴∠BAD=∠BAC?∠CAD=60°?15°=45°，故選：B．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·遼寧本溪·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上，且DE=12BC，則∠AFE【答案】105°/105度【分析】本題考查等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，由△ABC是等邊三角形，可得∠B=60°，由AD是BC邊上的中線，可得BD=CD=12BC，AD⊥BC，由DE=12BC，ED=CD【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，AB=AC，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=12BC，∵DE=1∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故答案為：105°．【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例2】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點(diǎn)D恰好落在BC上，則線段AP的長(zhǎng)是（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，由題意得出當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)，OD=OP，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠C=60°，證明△AOP≌△CDOAAS，可得AP=OC=AC?OA【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)，OD=OP，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠C=60°，∴∠COD+∠ODC=180°?∠C=120°，∵∠DOP=60°，∴∠COD+∠AOP=180°?∠DOP=120°，∴∠ODC=∠AOP，在△AOP和△CDO中，∠ODC=∠AOP∠C=∠A∴△AOP≌△CDOAAS∴AP=OC，∵AC=9，OA=3，∴AP=OC=AC?OA=9?3=6，故選：C．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·河南漯河·期末）如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OE+OF的值為（

）A．0.5 B．1 C．2 D．不確【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等面積法求高，掌握等邊三角形的性質(zhì)，等面積法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．如圖所示，連接OA，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=1，根據(jù)S△ABC【詳解】解：如圖所示，連接OA，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=1，∵S△ABO∴12∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴12∴OE+OF=AD=1，故選：B．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8cm，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，且點(diǎn)A1在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為【答案】24【分析】本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對(duì)稱變換所得的等量關(guān)系．根據(jù)折疊可得AE=A1E，AD=【詳解】解：將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1所以AE=A1E則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為：BC+BD+CE+=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=8+8+8=24cm故答案為：24．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（

）A．95 B．2 C．115 【答案】B【分析】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，過(guò)P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=1【詳解】解：過(guò)P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDC∴△PFD≌△QCD（AAS）∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=∵AC=4，∴DE=2．故選：B．【題型3利用等邊三角形的性質(zhì)求最值】【例3】（2024·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)．若BD=8,CD=6，連接AD，則AD的最大值與最小值的差為．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則AD的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AD是邊BC上的中線，且AD=6，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，BE+EF的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，連接CE，由等邊三角形的性質(zhì)可得AD垂直平分BC，得出BE=CE，進(jìn)而得出BE+EF=CE+EF，當(dāng)點(diǎn)C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，BE+EF的值最小，最小值為CF，由F是邊AB的中點(diǎn)，得出CF⊥AB，進(jìn)而得出CF=AD=6，即可得解．【詳解】解：如圖，連接CE，CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是中線，∴AD垂直平分BC，∴BE=CE，∴BE+EF=CE+EF，∴當(dāng)點(diǎn)C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，BE+EF的值最小，最小值為CF，∵F是邊AB的中點(diǎn)，∴CF⊥AB，∴CF=AD=6，∴BE+EF的最小值為6，故選：B．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP?PE的最大值是．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，BP?PE=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊△ABC中，AB=6，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴BP?PE=CP-PE，∵在△CPE中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是AC邊的中點(diǎn)，∴BP?PE的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到BP?PE=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，在DP的下方作等邊三角形DPE，連接CE，則CE最小值是（

）A．3 B．2 C．1.5 D．1【答案】B【分析】以CD為邊作等邊三角形CDF，連接EF，由題意易得∠PDC=∠EDF，PD=DE，進(jìn)而可得△PCD≌△DFE，則有∠PCD=∠EFD=90°，然后可得點(diǎn)E是在EF所在直線上運(yùn)動(dòng)，所以CE的最小值為CE⊥EF時(shí)，最后問(wèn)題可求解．【詳解】如圖，CD為邊作等邊三角形CDF，連接EF，∵△PDE，△CDF是等邊三角形，∴PD=ED，CD=FD，∠PDE=∠CDF=60°，∵∠CDE是公共角，∴∠PDC=∠EDF，∴△PCD≌△EFDSAS∴∠EFD=∠PCD=90°，∴∠CFE=30°，∵D是AC中點(diǎn)，∴CD=CF=1∴點(diǎn)E在EF所在直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CF⊥EF時(shí)，CE取的最小值，∴CE=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【題型4證明等邊三角形】【例4】（23-24八年級(jí)·天津?qū)幒印て谥校┤鐖D所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)求證：AD=CE(3)求∠DFC的大小．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)∠DFC=60°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)．（1）根據(jù)等邊三角形的判定解答即可；（2）求出∠B=∠CAE，AC=AB，根據(jù)SAS證出（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出∠DFC=∠BAC，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠CAE=∠ACB=60°，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠B=∠CAE∴△ABD≌△CAESAS∴AD=CE．（3）∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠CAE=60°．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·重慶豐都·期末）如圖，點(diǎn)E在△ABC的外部，點(diǎn)D在BC上，DE交AC于點(diǎn)F，∠2=∠3，AE=AC，DE=BC．(1)求證：△ABC≌(2)若∠2=60°，猜想△ABD的形狀并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等邊三角形，見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)△ABC≌△ADE，得出AB=AD，∠B=∠ADE，求出【詳解】（1）證明：∵∠2+∠AFE+∠E=180°，∴∠E=180°?∠2?∠AFE，∵∠3+∠CFD+∠C=180°，∴∠C=180°?∠3?∠CFD，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C，在△ABC和△ADE中，AC=AE∠C=∠E∴△ABC≌（2）解：△ABD是等邊三角形，理由如下：∵∠3=∠2=60°，∴∠BDE=180°?∠3=120°，∵△ABC≌∴AB=AD，∠B=∠ADE，∴∠B=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE，∴∠ADB=1∴△ABD是等邊三角形．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，點(diǎn)O、點(diǎn)P分別在射線AD、BA上運(yùn)動(dòng)，且保證∠OCP=60°，連接OP．(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，如圖1，求AP的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，如圖1，試判斷△OPC的形狀并證明；(3)當(dāng)點(diǎn)O在射線AD其它地方運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPC還滿足（2）的結(jié)論嗎？請(qǐng)用圖2說(shuō)明理由．【答案】(1)2(2)等邊三角形，證明見(jiàn)詳解(3)滿足，理由見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與等邊三角形的判定等等：（1）證明△ACD≌△ACP，得到AD=AP，然后求AD即可；（2）根據(jù)（1）可得：DC=CP=OC，即可得出△OPC為等邊三角形；（3）過(guò)C作CE⊥AP于E，證得△OCD≌△PCE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∵∠OCP=60°，∴∠ACP=30°，∵∠CAP=180°?∠BAC=60°，∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠DAC=∠BAD=60°，在△ADC與△APC中，∠PAC=∠DACAC=AC∴△ACD≌△ACPASA∴AD=AP，∵AC=4，∠ACD=30°，∴AD=1∴AP=2；（2）解：△OPC是等邊三角形．證明如下：∴△ACD≌△ACP，∴DC=CP=OC，∵∠OCP=60°，∴△OPC是等邊三角形．（3）解：△OPC還滿足（2）的結(jié)論，理由如下：過(guò)C作CE⊥AP于E，∵∠CAD=∠EAC=60°，AD⊥CD，∴CD=CE，∴∠DCE=360°?90°?90°?2×60°=60°=∠OCP，∴∠OCD=∠PCE，在△OCD與△PCE中，∠PEC=∠ODC=90°∠OCD=∠PCE∴△OCD≌△PCEAAS∴OC=PC，∴△OPC是等邊三角形．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC與BD相交于點(diǎn)E，∠ABD=∠ADB．(1)填空：AC與BD的位置關(guān)系為_(kāi)_________，BE與DE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；(2)過(guò)點(diǎn)B作BF∥CD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且①求證：△BCD是等邊三角形；②若點(diǎn)G，H分別是線段AC，線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)GH+AH的值最小時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)H的位置，并求出GH與CH之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AC⊥BD；BE=DE(2)①證明見(jiàn)解析；②點(diǎn)H的位置見(jiàn)解析，CH=2GH．【分析】（1）AC與BD的位置關(guān)系為：AC⊥BD；BE與DE的數(shù)量關(guān)系為：BE=DE．根據(jù)等角對(duì)等邊得到AB=AD，證明Rt△ABC≌Rt△ADCHL，得到CB=CD，繼而得到（2）①如圖，設(shè)∠F=α，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)得到∠BAC=2α，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得到∠BCE=∠DCE，繼而得到∠DCE=∠F=α，∠BCE=∠DCE=α，∠BCE+∠BAC=90°，可得α=30°，∠DCB=2∠BCE=60°，即可得證；②如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)A'，使DA'=DA，則點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于直線CD軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)A'作A'G⊥AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，連接AH，則【詳解】（1）解：AC與BD的位置關(guān)系為：AC⊥BD；BE與DE的數(shù)量關(guān)系為：BE=DE．理由：∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴△ABC和△ADC都是直角三角形，在Rt△ABC和RtAB=ADAC=AC∴Rt△ABC≌∴CB=CD，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，BE=DE，故答案為：AC⊥BD；BE=DE；（2）①證明：如圖，設(shè)∠F=α，∵AB=AF，∴∠ABF=∠F=α，∵∠BAC是△ABF的外角，∴∠BAC=∠F+∠ABF=α+α=2α，由（1）知，AC⊥BD，CB=CD，∴∠BCE=∠DCE，∵BF∥∴∠DCE=∠F=α，∴∠BCE=∠DCE=α，∵∠ABC=90°，∴∠BCE+∠BAC=90°，即α+2α=90°，解得：α=30°，∴∠DCB=2∠BCE=60°，∵CB=CD，∴△BCD是等邊三角形；②解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)A'，使D∵CD⊥AD，∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于直線CD軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)A'作A'G⊥AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)∴AH=A∴AH+GH=A'H+GH=由①知，∠DCE=30°，即∠GCH=30°，∵A'G⊥AC，即∴在Rt△GCH中，∠GCH=30°∴CH=2GH，∴當(dāng)GH+AH的值最小時(shí)，點(diǎn)H的位置如圖所示，GH與CH的數(shù)量關(guān)系是CH=2GH．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，30°角的直角三角形，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)．掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型5探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問(wèn)題】【例5】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,4(1)如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：AB=2OE；(3)如圖3，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，△ACD是等邊三角形，連接OD，若∠AOD=30°，求B點(diǎn)坐標(biāo)【答案】(1)7,3(2)見(jiàn)解析(3)2,0【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，證明△AOB≌△BDCAAS，得到OA=DB，OB=DC（2）延長(zhǎng)OE至F點(diǎn)，使得EF=OE，連接FB，證明△AOE≌△BFESAS，得到OA=FB，∠AOE=∠F，證出OA∥BF，求出∠AOB=∠FBO，再證明△AOB≌△FBO（3）在OB的延長(zhǎng)線上截取OF=OD，連接DF,CF，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OF，證得△DOF是等邊三角形，得到∠ODF=60°，DO=DF，證明△ADO≌△CDFSAS，推出AO=CF，∠AOD=∠CFD=30°，求出CF=2CE，得到AO=2CE【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠AOB=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∵CD⊥x軸，∴∠BDC=90°=∠AOB，在△AOB和△BDC中∠AOB=∠BDC∴△AOB≌△BDCAAS∴OA=DB，∵點(diǎn)A為0,4，點(diǎn)B為3,0，∴DB=4，∴OD=7，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為7,3；（2）證明：延長(zhǎng)OE至F點(diǎn)，使得EF=OE，連接FB，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴EA=EB，在△AOE和△BFE中EA=EB∴△AOE≌△BFESAS∴OA=FB，∴OA∥∴∠AOB+∠FBO=180°，∵∠AOB=90°，∴∠FBO=90°，∴∠AOB=∠FBO，在△AOB和△FBO中AO=FB∴△AOB≌△FBOSAS∴AB=OF，∵EA=EB，∴OE=AE=EB，∴AB=2OE；（3）解：在OB的延長(zhǎng)線上截取OF=OD，連接DF,CF，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OF，∵∠AOD=30°，∴∠DOF=60°，∵OD=OF，∴△DOF是等邊三角形，∴∠ODF=60°，∵△ADC為等邊三角形，∴∠ADC=60°，∴∠ADO+∠ODC=∠ODC+∠CDF，∴∠ADO=∠CDF，在△ADO和△CDF中DA=DC∴△ADO≌∴AO=CF，∵△DOF是等邊三角形，

∴∠DFO=60°，∴∠CFE=60°?30°=30°，∵CE⊥BF，

∴CF=2CE，∵AO=CF，∴AO=2CE由（1）得CE=OB，∴OA=2OB，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為0,4，∴OA=4，

∴OB=2，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為2,0【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·遼寧錦州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形A1B1C1D1（記為第1個(gè)正方形）的頂點(diǎn)A1與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)D1在x軸上，點(diǎn)C1在第一象限內(nèi)，以C1為頂點(diǎn)作等邊△C1A2B2，使得點(diǎn)A2落在x軸上，A2B2⊥x軸，再以A2B2為邊向右側(cè)作正方形A2B2C2D2（記為第2個(gè)正方形），點(diǎn)D2在x軸上，以C2為頂點(diǎn)作等邊△C2A3B3，使得點(diǎn)A3落在x軸上，A3B3⊥x軸，若按照上述的規(guī)律繼續(xù)作正方形，則第2021個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】2【分析】通過(guò)正方形和等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，依次求得第2個(gè)正方形、第3個(gè)正方形、第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再總結(jié)規(guī)律求得第2021個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：∵正方形A1∴C1D1＝1，∵C1A2B2為等邊三角形，∵∠B2A2C1＝60°，∵A2B2⊥x軸，∴∠C1A2D1＝30°，∴A2同理得A3A4…由上可知第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2n?1∴第2021個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：22021?1故答案為：22020【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形以及直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)B在y軸上且位于A點(diǎn)上方，以BP為邊向BP的右側(cè)作等邊△PBC，連接CA，并延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)E．(1)求證：OB=AC；(2)判斷AP是否平分∠OAC？(3)在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△AEQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)AP平分∠OAC(3)存在，Q(0，3)，(0，?1)【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出∠OPB=∠APC，證出△PBO≌△PCA即可；（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，根據(jù)∠BAC=∠BPC=60°，求出∠CAP=60°，即可得出結(jié)論；（3）∠EAO=60°，求出∠AEO=30°，得出AE=2AO=2，分四種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）證明：∵△BPC和△AOP是等邊三角形，∴OP=AP，BP=PC，∠∴∠APO+即∠OPB=在△PBO和△PCA中，OP=AP∠OPB=∠APC∴△PBO≌△PCA(SAS∴OB=AC；（2）解：AP平分∠OAC，理由如下：由（1）知∠PBO=∠PCA，∴∠BAC=∠BPC=60°，又∵∠OAP=60°，∴∠CAP=60°=∠OAP，∴AP平分∠OAC；（3）存在，理由如下：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，∴AO=1，∵∠EAO=∠BAC=60°，∠AOE=90°，∴∠AEO=30°，∴AE=2AO=2，①當(dāng)AQ=AE=2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，∴OQ=AE+AO=3，∴Q(0，3)，②當(dāng)AQ=AE=2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，點(diǎn)Q在y軸的負(fù)半軸上，∴OQ=AQ?AO=1，∴Q(0，?1)，③當(dāng)EQ=AE=2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，∴OQ=AO=1，∴Q(0，?1)；④當(dāng)QA=QE時(shí)，如圖所示：∵∠OAE=90°?30°=60°，∴△AEQ是等邊三角形，∴AQ=AE=2，∴OQ=AQ?OA=1，∴Q(0，?1)；綜上所述：在y軸上存在點(diǎn)Q，使得△AEQ為等腰三角形，Q(0，3)，(0，?1)．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·天津和平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B在x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,12)，∠BAC的平分線交y軸于點(diǎn)D．

(1)如圖①，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)如圖②，E為x軸上一點(diǎn)，以CE為邊，在第一象限內(nèi)作等邊△CEF，連接FB并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)G．求OG的長(zhǎng)；(3)如圖③，在（1）的條件下，M為y軸正半軸上D點(diǎn)上方的任意一點(diǎn)，在BM右上方作∠BMN=60°交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，求證：DN?DM是定值．【答案】(1)D(0,4)(2)GO=12(3)證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到∠ACB=∠CAB=60°，AC=BC，Rt△AOD中∠3=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得到AD=2OD，求出OD（2）證明△ACE≌△BCF(SAS（3）在DN上截取BE=DM，連接BD，證明△MNE≌△MBD(ASA)，得到EN=DN?DE，【詳解】（1）解：∵等邊△ABC，∴∠ACB=∠CAB=60°，AC=BC，∵AC=BC，CO⊥AB，∴∠1=1∵∠1=∠2，∴CD=AD，Rt△AOD中∠3=30°∴AD=2OD，∴CD=2OD，∵CO=CD+OD=12，∴3OD=12，∴OD=4，∴D(0,4)；

（2）解：∵等邊△ABC，∴∠CBA=∠CAB=∠ACB=60°，CA=CB，∵等邊△CEF，∴∠ECF=60°，CE=CF，∵∠ACE=∠ACB+∠2=60°+∠2，∠BCF=2∠1+∠2=60°+∠2，∴∠CAE=∠BCF，在△ACD和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCF∴△ACE≌△BCF(SAS∴∠CAE=∠3，∴∠3=60°，∵G、B、F三點(diǎn)共線，∠3+∠4+∠5=180°，∴∠5=60°，Rt△BOG中∠5+∠6=90°∴∠6=30°，∴∠BCO=1∴∠BCO=∠6=30°，∴CB=GB，∵BO⊥CG，∴CO=GO，∴GO=12；

（3）在DN上截取BE=DM，連接BD，

證：已證∠1=30°，Rt△AOD中，∠1+∠2=90°∴∠2=60°，∵∠2=∠3，∴∠3=60°，∵DE=DM，∴△DEM為等邊△，∴MD=ME，∠DME=60°，∠MED=60°，∵∠4=∠DME?∠5=60?∠5，∠6=∠BMN?∠5，∠BMN=60°，∴∠6=80?∠5，∴∠4=∠6，∵∠MED+∠MEN=180°，∴∠MEN=120°，∵M(jìn)O為AB垂直平分線，∴AD=BD，∵OD⊥AB，∠ADB=∠BDO=60°，∴∠OBD+∠MDB=180°，∴∠MDB=120∴∠MEN=∠MDE=120°，在△MND和△MBD中，∠6=∠4ME=MD∴△MNE≌△MBD(ASA∴BD=EN，∵EN=DN?DE，BD=DN?DM，∴BD=AD=2OD=8．【題型6探究等邊三角形中的折疊問(wèn)題】【例6】（23-24八年級(jí)·廣西賀州·期末）如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合）．過(guò)點(diǎn)A折疊△ABC，使點(diǎn)B與C重合，得折痕AF交BC于F，然后展開(kāi)；再過(guò)點(diǎn)D折疊△ABC，折痕DE交AC于點(diǎn)E，使點(diǎn)A落在折痕AF所在的直線上，記為點(diǎn)P，兩折痕AF與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：DE∥(2)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE始終是等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)連接DP、BP，當(dāng)△BDP為直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是，見(jiàn)解析(3)AD=1或AD=2【分析】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)證明∠AFB=90°，∠AOD=90°，即可證明DE∥BC；（2）由DE∥BC，推出∠ADE=∠ABC=60°，（3）分∠BPD=90°或∠DBP=90°兩種情況，利用直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，△ABF與△ACF關(guān)于直線AF成軸對(duì)稱，∴∠AFB=90°，又∵△ADE與△PDE關(guān)于直線DE成軸對(duì)稱，∴∠AOD=90°，∴∠AFB=∠AOD，∴DE∥BC；（2）解：點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE始終是等邊三角形，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°．由（1）可知，DE∥∴∠ADE=∠ABC=60°，∴∠ADE=∠AED=∠BAC=60°，∴△ADE為等邊三角形；（3）解：∵△ADE始終為等邊三角形，∴∠ADE=∠EDP=∠BDP=60°，∴分∠BPD=90°或∠DBP=90°兩種情況，①當(dāng)∠BPD=90°時(shí)，∵∠BDP=60°，∴∠PBD=30°，∴PD=1∵AD=PD，∴AD=1即AD=1②當(dāng)∠DBP=90°時(shí)，同理可得BD=1即AD=2綜上所述，當(dāng)△BDP是直角三角形時(shí)，AD=1或AD=2．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖1，△ABD是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作∠DPE=∠DAB=60°，PE交射線DA于點(diǎn)E，點(diǎn)O是線段AE，PE垂直平分線的交點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)O在AB邊上時(shí)，∠ADP=______．（2）①當(dāng)點(diǎn)P，B重合時(shí)，作AO'⊥DE，交PE的垂直平分線于點(diǎn)O②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，或AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠OPD的度數(shù)是否為定值？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)，并選擇點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，把等邊三角形△ABD沿著B(niǎo)D折疊，得到△BDC，且點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接AC．當(dāng)PE//AC時(shí)，證明AP平分∠DPE，并在△DPE內(nèi)確定一點(diǎn)T，使點(diǎn)T到【答案】（1）30°；（2）①90°；②∠OPD=90°，理由見(jiàn)詳解；（3）見(jiàn)詳解【分析】（1））由題意可得如圖，由題意易得∠ADB=∠A=∠B=60°，AO=EO=OP，進(jìn)而可得∠AOE=60°，∠APE=1（2）①由題意可作如圖，由（1）得∠ADB=∠A=∠B=60°，∠DAO'=90°②連接OA、OE、OP，由題意易得AO=EO=OP，則有∠EAO=∠AEO,∠OPE=∠OEP,∠OAP=∠OPA，設(shè)∠APE=y,∠OAP=∠OPA=x，進(jìn)而可得60°+x+x+y+y+60°=180°，然后問(wèn)題可求解；（3）由題意易得∠DAC=∠CAB=12∠DAB=30°，進(jìn)而可得∠APE=∠DAB?∠E=30°，然后可得∠APE=∠DPA=30°，則問(wèn)題可證，由題意可得點(diǎn)T【詳解】解：（1）由題意可得如圖所示：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=∠A=∠B=60°，∵點(diǎn)O是線段AE，PE垂直平分線的交點(diǎn)，∴AO=EO=OP，∴△AEO是等邊三角形，∴∠AOE=60°，∴∠APE=1∴∠A+∠APE=90°，即∠AEP=90°，∴∠DEP=90°，∵∠DPE=∠DAB=60°，∴∠ADP=30°；故答案為30°；（2）①由題意可作如圖所示：∵AO∴∠DAO由（1）得∠ADB=∠A=∠B=60°，∴∠BAO∵CO'垂直平分∴AO∴∠BAO∴∠O故答案為90°；②∠OPD的度數(shù)是定值，為90°，理由如下：連接OA、OE、OP，如圖所示：∵點(diǎn)O是線段AE，PE垂直平分線的交點(diǎn)，∴AO=EO=OP，∴∠EAO=∠AEO,∠OPE=∠OEP,∠OAP=∠OPA，設(shè)∠APE=y,∠OAP=∠OPA=x，∴∠EAO=∠AEO=60°+x,∠OPE=∠OEP=x+y，在△AEP中，由三角形內(nèi)角和定理可得：∠AEP+∠EAP+∠APE=180°，即60°+x+x+y+y+60°=180°，∴x+y=30°，∴∠OPE=x+y=30°，∵∠DPE=∠DAB=60°，∴∠OPD=∠OPE+∠DPE=90°，（3）證明：∵等邊三角形△ABD沿著B(niǎo)D折疊，得到△BDC，∴△BDC≌△ABD，∴AC與BD互相垂直且平分，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB=1∵PE//∴∠DAC=∠E=30°，∴∠APE=∠DAB?∠E=30°，∵∠DPE=∠DAB=60°，∴∠DPA=∠DPE?∠APE=30°，∴∠APE=∠DPA=30°，∴AP平分∠DPE，若要在△DPE內(nèi)確定一點(diǎn)T，使點(diǎn)T到△DPE三邊的距離相等，則可知點(diǎn)T是△DPE內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理與判定及軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理與判定及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·廣東中山·期末）已知△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ABE沿DE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn).(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，求證：△BDF是等邊三角形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在△ABC內(nèi)，且DF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，CF=EF，求∠A的大小；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在△ABC外，DF交BC于點(diǎn)G，連接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析（2）40°（3）3【分析】（1）根據(jù)DE∥BC，∠B=60°得到∠ADE=∠B=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠FDE=∠ADE=60°，從而得到△BDF是等邊三角形（2）根據(jù)CF=EF，設(shè)∠FCE=∠FEC=x，則∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x，根據(jù)折疊得到∠A=∠DFE=2x，再由（1）同理可得到△BDC是等邊三角形，再利用△ABC內(nèi)角和即可列出方程求解（3）同（1）可得△BDG是等邊三角形，根據(jù)BF⊥AB得到∠BFD=30°，得BD=12DF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DF=AD，故BD=12AD=13【詳解】（1）證明：∵DE∥BC，∠B=60°∴∠ADE=∠B=60°∵△ADE沿DE折疊得到△DEF∴∠FDE=∠ADE=60°∴∠BDF=180°-60°-60°=60°

在△BDF中，∠B=∠BDF=60°∴△BDF是等邊三角形.（2）解：∵CF=EF∴設(shè)∠FCE=∠FEC=x，則∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x∵△ADE沿DE折疊得到△DEF∴∠A=∠DFE=2x同（1）可得△BDC是等邊三角形∴∠BCD=60°在△ABC中，∠A+∠B+∠BCA=180°∴2x＋60°＋（60°＋x）=180°解得：x=20°∴∠A=2x=40°.（3）解：同（1）可得△BDG是等邊三角形∴∠BDG=60°，BG=BD∵BF⊥AB∴∠DBF=90°∴∠BFD=90°－60°=30°∴BD=12DF又∵△ADE沿DE折疊得到△DEF∴DF=AD∴BD=12AD=13AB=∴BG=3.【點(diǎn)睛】此題主要考查等邊三角形與折疊的綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)定理.【變式6-3】（23-24八年級(jí)·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）在學(xué)習(xí)完等腰三角形之后，某興趣小組開(kāi)展了如下數(shù)學(xué)活動(dòng)：如圖，正方形紙片ABCD，①先對(duì)折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點(diǎn)A落在EF的點(diǎn)H上，沿BH和CH剪下△BCH，小組成員得到了如下結(jié)論：①∠BHF=30°；②BF=12CH；③△BCH是等邊三角形；④∠ABG=15°；⑤四邊形ABHE和四邊形DCHE

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)可得BH=BC，因?yàn)镋F是BC的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)，可得BH=CH，又根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BH=AB，故BH=CH=BC，可得△BHC是正三角形，可得∠HBC=60°，從而計(jì)算出∠ABG，∠BHF，得到BF=12BH，等量代換可得BF=12【詳解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，由折疊可知：AB=BH，∠ABG=∠HBG，∴BH=BC，∵EF是BC的垂直平分線，∴BH=CH，∠BFH=90°，∴BH=CH=BC，∴△BHC是正三角形，故③正確；∴∠HBC=60°，∴∠ABG=∠HBG=1∠BHF=30°，故①正確；∴BF=∵BH=CH，∴BF=1由折疊可知：AE=DE，∵∠BHF=∠CHF=30°，∠ABH=∠DCH=30°，∠A=∠D=∠AEH=∠DEH=90°，又AB=CD，BH=CH，EH=EH，∴四邊形ABHE和四邊形DCHE全等，故⑤正確；∴正確的有5個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，全等圖形的判定，掌握正三角形的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．【題型7探究等邊三角形中的三角板問(wèn)題】【例7】（23-24八年級(jí)·河北保定·期中）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，將含30°角的三角板中60°角的頂點(diǎn)D放在邊AB上移動(dòng)，使這個(gè)60°角的兩邊與△ABC的邊AC，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE始終與AB垂直，連接EF．(1)△BDF是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖1，若AE=8，求CF的長(zhǎng)．(3)如圖2，當(dāng)EF∥AB時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)△BDF是直角三角形，見(jiàn)解析(2)CF=7(3)AE=4【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和、等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30度的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及含30度的直角三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可得出答案；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)易證△CEF為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段的和差得出AE=BF，然后根據(jù)（2）中的AD=12AE【詳解】（1）△BDF是直角三角形．理由：∵DE⊥AB，∴∠EDB=90°．∵∠EDF=60°，∴∠FDB=30°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60∴∠FDB+∠B=90°，∴△BDF是直角三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=1∴BD=AB?AD=10?4=6．∵∠FDB=30°，△BDF是直角三角形，∴BF=1∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AB=10，∴CF=BC?BF=10?3=7．（3）∵EF∥AB．∴∠CEF=∠A=60°，∠CFE=∠B=60°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠C=60°，∴△CEF為等邊三角形．∴CE=CF．∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，∴AC?CE=BC?CF，∴AE=BF．由（2）知，AD=12AE∴AB=AD+BD=1∴AE=4．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α=60°，點(diǎn)B，點(diǎn)C表示的刻度分別為1cm,3cm，則△ABC的周長(zhǎng)為【答案】6【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出∠ACB=60°是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACB=60°，進(jìn)而可得△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵直尺的兩邊平行，∴∠ACB=∠α=60°，又∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm∴BC=2cm∴AB=BC=AC=2cm∴△ABC的周長(zhǎng)為6cm，故答案為：6．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·安徽銅陵·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．將三角板中30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng)，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且使DE始終與AB(1)求證：△BDF是等邊三角形；(2)求AD?CF的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AD?CF=1【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)．（1）由ED⊥AB，∠EDF=30°，得到∠FDB=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠B和∠BFD，即可求解；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=2BC=2，根據(jù)△BDF是等邊三角形可得BD=BF=1?CF，最后根據(jù)線段的和差即可求解．【詳解】（1）解：∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=90°?30°=60°，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=90°?∠A=90°?30°=60°，∴∠BFD=180°?60°?60°=60°，∴∠BFD=∠B=∠BDF，∴△BDF是等邊三角形；（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵△BDF是等邊三角形，∴BD=BF=1?CF，∴AD=AB?BD=2?(1?CF)=1+CF，∴AD?CF=1．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·江蘇徐州·期末）如圖①，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB．將直角三角板如圖放置，使直角頂點(diǎn)D在OC上，60°角的頂點(diǎn)E在OB上，斜邊與OA交于點(diǎn)F（F與O不重合），連接DF．(1)如圖②，若DE⊥OB，求證：△DEF為等邊三角形．(2)如圖③，求證：OD=OE+OF．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可求∠OEF=30°，由角平分線的定義可得∠EOD=60°，可得CO⊥EF，根據(jù)三角形內(nèi)角的定義可知∠EFO=30°，可得∠OEF=∠EFO，推出EO=FO，可得OC是EF的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得EF=DF，即可證明△DEF為等邊三角形；（2）在OC上取點(diǎn)M使得OM=OE，易證△OEM為等邊三角形，推出∠OEM=60°，OE=EM，可得∠DEM=∠OEF，根據(jù)ASA證明△DEM?△FEO，得出DM=OF，根據(jù)等量關(guān)系可得OD=OE+OF．【詳解】（1）設(shè)OC與EF交于點(diǎn)G，∵60°角的頂點(diǎn)E在OB上，∴∠DEF=60°，∵DE⊥OB，∴∠DEO=90°，∴∠OEF=∠DEO?∠DEF=90°?60°=30°，∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，∴∠BOD=60°，∴∠OGE=90°，∵∠OFE=180°?∠AOB?∠OEF=30°，∴∠OEF=∠EFO，∴EO=FO，∴OC是EF的垂直平分線，∴EF=DF，∴△DEF為等邊三角形（2）在OC上取點(diǎn)M使得OM=OE，∵∠BOD=60°，∴△OEM為等邊三角形，∴∠OEM=∠EMO=60°，OE=EM，∴∠OEM=∠DEF=60°，∠EMD=120°，∴∠EMD=∠EOF=120°，∴∠OEM?∠FEM=∠DEF?∠FEM，∴∠DEM=∠OEF，在△DEM和△FEO中∠DEM=∠OEFEM=EO∴△DEM?△FEO(ASA∴MD=OF，∴OD=MO+DM=EO+OF【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【題型8探究等邊三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題】【例8】（23-24八年級(jí)·山東棗莊·開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，(1)當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（(2)當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)t【答案】(1)△BPQ是等邊三角形，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s或4s時(shí)，△BQP是直角三角形【分析】（1）分別求出BP、BQ的長(zhǎng)可知BP=BQ，再由等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，即可證明（2）分當(dāng)∠PQB=90°時(shí)和當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)兩種情況利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可，本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握直角三角形含30度角的性質(zhì)是關(guān)鍵．【詳解】（1）解：△BPQ是等邊三角形，理由如下；由題意得，當(dāng)t=2時(shí)，AP=2cm，∴BP=AB?AP=4cm∴BP=BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60∴△BPQ是等邊三角形；（2）解；∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts∴AP=tcm，∴BP=AB?AP=6?t如圖1所示，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∵∠B=60∴∠BPQ=90°?∠B=30°，∴BP=2BQ，∴6?t=2t，解得t=2；如圖2所示，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得∠BQP=30°，∴BQ=2BP，∴26?t解得t=4；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s或4s時(shí)，△BQP是直角三角形．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)（

）s后，可得到等邊△AMNA．3 B．4 C．5 D．不能確定【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，得到等邊三角形AMN，表示出AM，AN的長(zhǎng)，根據(jù)∠A=60°，只要AM=AN，三角形AMN就是等邊三角形．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，得到等邊三角形AMN，如圖所示，則AM=t，BN=2t，∵AB=BC=AC=12，∴AN=AB?BN=12?2t，∵△AMN是等邊三角形，∴AM=AN，即t=12?2t，解得t=4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，得到等邊三角形AMN．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意分析出AM=AN時(shí)得到等邊三角形AMN是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·廣東江門(mén)·期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s，Q以1(1)AB=．(2)求當(dāng)△PBQ是等邊三角形時(shí)對(duì)應(yīng)的t值？(3)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PBQ的形狀不斷發(fā)生變化，當(dāng)t為何值時(shí)，【答案】(1)36(2)t=12(3)當(dāng)t為9或725時(shí)，△PBQ【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）求出∠B=60°，得出要使△PBQ是等邊三角形，則有PB=BQ，由題意表示出BQ=tcm，BP=36?2tcm（3）求出∠B=60°，由題意表示出BQ=tcm，BP=36?2tcm，由△PBQ是直角三角形結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BP=2BQ【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18∴AB=2BC=36cm（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴∠B=90°?∠A=60°，∴要使△PBQ是等邊三角形，則有PB=BQ，由題意得：AP=2tcm，BQ=tcm，則∴36?2t=t，解得：t=12，∴當(dāng)△PBQ是等