第五章數(shù)列復(fù)習(xí)課課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第1課時數(shù)列復(fù)習(xí)課人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊知識梳理構(gòu)建體系知識網(wǎng)絡(luò)

要點(diǎn)梳理

1.什么是數(shù)列?數(shù)列的分類有哪些?什么是數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式?什么是數(shù)列的前n項(xiàng)和?數(shù)列與函數(shù)之間具有怎樣的關(guān)系?請完成下表:概念含義數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)按照

一定次序

排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的

每一個數(shù)

都稱為這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的分類項(xiàng)數(shù)

有限

的數(shù)列稱為有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)

無限

的數(shù)列稱為無窮數(shù)列遞增數(shù)列:an+1>an;遞減數(shù)列:an+1<an;常數(shù)列:an+1=an,其中n∈N+概念含義數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地,如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用

an=f(n)來表示,其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的表達(dá)式,則稱上述關(guān)系式為這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個公式來表示,則稱這個公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱為遞推公式或遞歸公式)數(shù)列的前n項(xiàng)和一般地,給定數(shù)列{an},稱Sn=a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.由數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求其通項(xiàng)公式an=數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系事實(shí)上,數(shù)列{an}可以看成定義域?yàn)檎麛?shù)集的子集的函數(shù)2.什么是等差數(shù)列?什么是等差中項(xiàng)?等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是什么?等差數(shù)列有哪些常用性質(zhì)?請完成下表:等差數(shù)列的定義一般地,如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于

同一個常數(shù)d,即an+1-an=d恒成立,則稱{an}為等差數(shù)列,其中d稱為等差數(shù)列的公差等差中項(xiàng)如果x,A,y是等差數(shù)列,那么稱A為x與y的等差中項(xiàng),即2A=x+y通項(xiàng)公式一般地,如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,那么它的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,其前n項(xiàng)和等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak+al=am+an.(3)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為

2d.(4)若數(shù)列{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.(5)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為

md的等差數(shù)列.(6)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…構(gòu)成等差數(shù)列.

3.什么是等比數(shù)列?什么是等比中項(xiàng)?等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是什么?等比數(shù)列有哪些常用性質(zhì)?請完成下表.等比數(shù)列的定義一般地,如果數(shù)列{an}從第

2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于

同一個常數(shù)

,即

恒成立,則稱{an}為等比數(shù)列,其中q稱為等比數(shù)列的

公比等比中項(xiàng)如果x,G,y成等比數(shù)列,那么稱

G為x與y的等比中項(xiàng).即G是x與y的等比中項(xiàng)?x,G,y成等比數(shù)列?G2=xy通項(xiàng)公式一般地,如果等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公比是q,那么它的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1前n項(xiàng)和公式設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和4.數(shù)學(xué)歸納法一個與自然數(shù)有關(guān)的命題,如果(1)當(dāng)n=n0時,命題成立;(2)在假設(shè)n=k(其中k≥n0)時命題成立的前提下,能夠推出n=k+1時命題也成立.那么,這個命題對大于等于n0的所有自然數(shù)都成立.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(2)在數(shù)列{an}中,若滿足an+1=an,則數(shù)列an為常數(shù)列.(√)(3)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對?n∈N+,都有an+1=Sn+1-Sn.(√)(4)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=20.(√)(5)在等差數(shù)列中,Sn是其前n項(xiàng)和,則有S2n-1=(2n-1)an.(√)(6)在公比為q的等比數(shù)列{an}中,當(dāng)q>1時,該數(shù)列為遞增數(shù)列.(×)(7)等比數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和為2n-2.(×)(8)若Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,則S3,S6,S9成等比數(shù)列.(×)(9)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan時,只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.(×)(10)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由n=k到n=k+1時,項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).(×)專題歸納核心突破專題整合

專題一

由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.形如an+1=an+f(n),求an.【例1】

已知在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:由an+1-an=3n-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),……a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.當(dāng)n≥2時,以上n-1個等式兩端分別相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],2.形如an+1=anf(n),求an.3.形如an+1=ban+d(其中b,d為常數(shù),b≠0,且b≠1),求an.【變式訓(xùn)練3】

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3,又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1.反思感悟由遞推公式求通項(xiàng)公式的常見類型與方法

專題二

數(shù)列求和【例5】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=kcn-k(其中c,k為常數(shù)),且a2=4,a6=8a3,(1)求an;(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.

因?yàn)閍2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,所以an=2n.當(dāng)n=1時,a1=S1=2.綜上所述,an=2n(n∈N+).(2)由題意知,nan=n·2n,則Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,兩式作差得,-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.因此Tn=2+(n-1)·2n+1.數(shù)列求和的常用方法(1)公式法.(2)分組求和法.將數(shù)列通項(xiàng)變形后,每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),重新分組,將一般數(shù)列求和化歸為特殊數(shù)列求和.(3)倒序求和法.(4)錯位相減求和法.(5)裂項(xiàng)相消法.把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.(6)并項(xiàng)求和法.反思感悟?qū)ｎ}三

“分析——猜想——?dú)w納——證明”型的數(shù)列問題

(1)求a2,a3,a4;(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式,并證明.(1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3;(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明.(2)猜想:an=n.證明如下:①當(dāng)n=1時,猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時,猜想成立,即ak=k,那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk所以當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.根據(jù)①②知,對任意n∈N+,都有an=n.高考體驗(yàn)

考點(diǎn)一

等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和1.(2023·全國甲高考)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(

)A.25 B.22

C.20

D.15答案:C2.(2023·天津高考)已知{an}為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an+1=2Sn+2,則a4的值為(

)A.3 B.18

C.54

D.152解析:由題意可得:當(dāng)n=1時,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①當(dāng)n=2時,a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②聯(lián)立①②可得a1=2,q=3,則a4=a1q3=2×33=54.故選C.答案:C3.(2020·全國Ⅱ高考)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=-2,a2+a6=2,則S10=

.

解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.答案:25答案:B5.(2021·全國甲高考)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知an>0,a2=3a1,且數(shù)列{}是等差數(shù)列.證明:{an}是等差數(shù)列.即Sn=n2a1.當(dāng)n≥2時,Sn=n2a1,Sn-1=(n-1)2a1,則an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當(dāng)n=1時,由an=(2n-1)a1得a1=(2×1-1)a1=a1,∴an=(2n-1)a1,n∈N*,∴{an}是等差數(shù)列.6.(2022·全國新高考Ⅱ)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù).(1)證明:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得證.(2)解:由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,得2k-1=2m.∵1≤m≤500,∴2≤2k-1≤1

000.∴2≤k≤10.又k∈Z,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù)為9.考點(diǎn)二

等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和7.(2023·全國甲高考)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,S5=5S3-4,則S4=(

)答案:C8.(2020·全國Ⅰ高考)設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=(

)A.12 B.24

C.30

D.32解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.答案:D9.(2021·全國甲高考)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=(

)A.7 B.8

C.9

D.10解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意知q≠1.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故選A.答案:A10.(2023·全國甲高考)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若8S6=7S3,則{an}的公比為

.

解析:已知{an}為等比數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,若q=1,則Sn=na1.有8S6=48a1,7S3