2023-2024學(xué)年甘肅省白銀市高一下學(xué)期5月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2甘肅省白銀市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以．故選：A.2.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（）A. B. C.8 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以的?shí)部與虛部之和為．故選：B.3.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，解得．故選：A.4.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由及正弦定理，得，因?yàn)?，所以，反之亦成立，所以“”是“”的充要條件．故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗D〖解析〗對(duì)于AC，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上先增后減，A，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，而，則的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確．故選：D.6.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，，又，所以．故選：C.7.如圖，某同學(xué)為測(cè)量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點(diǎn)Q處（O，Q，N三點(diǎn)共線且在同一水平面上）測(cè)得建筑物MN的頂部M的仰角為，測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，在建筑物MN的頂部M處測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，則該觀光塔的高OP為（）A.80米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗由題意可得，米，，則，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故選：A.8.若．則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，，即，所以，可得．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知某市2017年到2022年常住人口（單位：萬）變化圖如圖所示，則（）A.該市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬B.該市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)C.該市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬D.該市2017年到2022年這6年的常住人口的平均數(shù)大于718萬〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，該市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，則極差為萬，故A正確；對(duì)于B，由圖可知，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以第60百分位數(shù)為730.50萬，故C正確；對(duì)于D，平均數(shù)為萬，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10.若，，，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，D．若四邊形ABCD為平行四邊形，則（）A. B.C. D.為純虛數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗如圖，由題意得，，，由于,則，，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確．故選：ABD.11.若△ABC的內(nèi)心與外心分別為N，O，且，，，則（）A.B.點(diǎn)N到AB的距離為C.向量在向量上的投影向量為D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)△ABC的外接圓、內(nèi)切圓的半徑分別為R，r．因?yàn)?，且，所以，則，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椤鰽BC的面積，而，所以，所以點(diǎn)N到AB的距離為，B正確；對(duì)于C，向量在向量上的投影向量為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，所以，則，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若．則______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗為：.13.已知向量，的夾角為，，，，，則______，_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以；又因?yàn)?，則，解得．故〖答案〗為：.14.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，得．設(shè)函數(shù)，作出的大致圖象，如圖所示：函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，m的取值范圍是．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．（1）求的〖解析〗式與最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得，最小正周期．（2）因，，所以，所以，．16.人工智能發(fā)展迅猛，在各個(gè)行業(yè)都有應(yīng)用．某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個(gè)性化服務(wù)，某用戶提出：“請(qǐng)統(tǒng)計(jì)我早上開車從家到公司的紅燈等待時(shí)間，并形成統(tǒng)計(jì)表．”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時(shí)間詳細(xì)統(tǒng)計(jì)出來，將數(shù)據(jù)分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)該用戶紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時(shí)間低于85秒的次數(shù)．解：（1）因?yàn)楦鹘M頻率之和為1，組距為10，所以，解得.（2）因?yàn)椋?，所以中位?shù)位于第三組中，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以該用戶紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值為79.3.（3）由題紅燈等待時(shí)間低于85秒的頻率為，故估計(jì)該用戶在接下來的10次中紅燈等待時(shí)間低于85秒的次數(shù)為次.17.已知函數(shù)．（1）證明：的定義域與值域相同．（2）若，，，求m的取值范圍．解：（1）證明：由，得，所以的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以的值域?yàn)?，所以的定義域與值域相同．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，因，，，所以，即m的取值范圍為．18.如圖，在△ABC中，，，其中，CP的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)F．已知，，．（1）若，請(qǐng)用向量，表示向量，并求的值；（2）若，，證明：．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以，所?（2）（方法一）由三點(diǎn)共線，可設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，由?）得，所以，所以，以.（方法二）因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)镃，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，即．19.養(yǎng)魚是現(xiàn)在非常熱門的養(yǎng)殖項(xiàng)目，為了提高養(yǎng)殖效益，養(yǎng)魚戶們會(huì)在市場(chǎng)上購買優(yōu)質(zhì)的魚苗，分種類、分區(qū)域進(jìn)行集中養(yǎng)殖．如圖，某養(yǎng)魚戶承包了一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的菱形魚塘（記為菱形）進(jìn)行魚類養(yǎng)殖，為了方便計(jì)算，將該魚塘的所有區(qū)域的深度統(tǒng)一視為2米．某養(yǎng)魚戶計(jì)劃購買草魚苗、鯉魚苗和鯽魚苗這三種魚苗進(jìn)行分區(qū)域養(yǎng)殖，用不銹鋼網(wǎng)將該魚塘隔離成，，三塊區(qū)域，圖中是不銹鋼網(wǎng)露出水面的分界網(wǎng)邊，E在魚塘岸邊上（點(diǎn)E與D，C均不重合），F(xiàn)在魚塘岸邊．上（點(diǎn)F與B，C均不重合）．其中△的面積與四邊形的面積相等，△為等邊三角形．（1）若測(cè)得EC的長(zhǎng)為80米，求的長(zhǎng)．（2）已知不銹鋼網(wǎng)每平方米的價(jià)格是20元，為了節(jié)約成本，試問點(diǎn)E，F(xiàn)應(yīng)如何設(shè)置，才能使得購買不銹鋼網(wǎng)所需的花費(fèi)最少？最少約為多少元？（安裝費(fèi)忽略不計(jì)，取）解：（1）依題意得平方米，由米，得平方米，解得米，即CF的長(zhǎng)為62.5米.（2）設(shè)米，米，，，在△ECF中，由余弦定理可得，因?yàn)槠椒矫?，所以米，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)E，F(xiàn)分別在DC，DB上距離C點(diǎn)70.7米時(shí)，EF最短，此時(shí)購買的不銹鋼網(wǎng)面積最小，花費(fèi)最小，當(dāng)時(shí)，不銹鋼網(wǎng)的面積為平方米，所需的花費(fèi)最少為元．甘肅省白銀市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以．故選：A.2.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（）A. B. C.8 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋缘膶?shí)部與虛部之和為．故選：B.3.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，解得．故選：A.4.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由及正弦定理，得，因?yàn)?，所以，反之亦成立，所以“”是“”的充要條件．故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗D〖解析〗對(duì)于AC，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上先增后減，A，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，而，則的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確．故選：D.6.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，，又，所以．故選：C.7.如圖，某同學(xué)為測(cè)量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點(diǎn)Q處（O，Q，N三點(diǎn)共線且在同一水平面上）測(cè)得建筑物MN的頂部M的仰角為，測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，在建筑物MN的頂部M處測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，則該觀光塔的高OP為（）A.80米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗由題意可得，米，，則，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故選：A.8.若．則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，，即，所以，可得．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知某市2017年到2022年常住人口（單位：萬）變化圖如圖所示，則（）A.該市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬B.該市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)C.該市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬D.該市2017年到2022年這6年的常住人口的平均數(shù)大于718萬〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，該市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，則極差為萬，故A正確；對(duì)于B，由圖可知，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以第60百分位數(shù)為730.50萬，故C正確；對(duì)于D，平均數(shù)為萬，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10.若，，，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，D．若四邊形ABCD為平行四邊形，則（）A. B.C. D.為純虛數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗如圖，由題意得，，，由于,則，，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確．故選：ABD.11.若△ABC的內(nèi)心與外心分別為N，O，且，，，則（）A.B.點(diǎn)N到AB的距離為C.向量在向量上的投影向量為D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)△ABC的外接圓、內(nèi)切圓的半徑分別為R，r．因?yàn)?，且，所以，則，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椤鰽BC的面積，而，所以，所以點(diǎn)N到AB的距離為，B正確；對(duì)于C，向量在向量上的投影向量為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，所以，則，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，即，D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若．則______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗為：.13.已知向量，的夾角為，，，，，則______，_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以；又因?yàn)?，則，解得．故〖答案〗為：.14.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，得．設(shè)函數(shù)，作出的大致圖象，如圖所示：函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，m的取值范圍是．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．（1）求的〖解析〗式與最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得，最小正周期．（2）因，，所以，所以，．16.人工智能發(fā)展迅猛，在各個(gè)行業(yè)都有應(yīng)用．某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個(gè)性化服務(wù)，某用戶提出：“請(qǐng)統(tǒng)計(jì)我早上開車從家到公司的紅燈等待時(shí)間，并形成統(tǒng)計(jì)表．”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時(shí)間詳細(xì)統(tǒng)計(jì)出來，將數(shù)據(jù)分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)該用戶紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時(shí)間低于85秒的次數(shù)．解：（1）因?yàn)楦鹘M頻率之和為1，組距為10，所以，解得.（2）因?yàn)?，，所以中位?shù)位于第三組中，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以該用戶紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值為79.3.（3）由題紅燈等待時(shí)間低于85秒的頻率為，故估計(jì)該用戶在接下來的10次中紅燈等待時(shí)間低于85秒的次數(shù)為次.17.已知函數(shù)．（1）證明：的定義域與值域相同．（2）若，，，求m的取值范圍．解：（1）證明：由，得，所以的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以的值域?yàn)?，所以的定義域與值域相同．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，因，，，所以，即m的取值范圍為．18.如圖，在△ABC中，，，其中，CP的延長(zhǎng)線