2024屆廣東省揭陽市高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3廣東省揭陽市2024屆高三下學期二模考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，所以，則.故選：B.2.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的圖象對稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C.3.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該橢圓的長軸長為，短軸長為，由題意得，則，故選：D.4.把函數(shù)的圖象向左平移個最小正周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得的最小正周期為，則所求函數(shù)為.故選：C5.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗如圖，當時，與可相交也可平行，故A錯；當時，由平行性質(zhì)可知，必有，故B對；如圖，當時，或，故C錯；當時，可相交、平行，故D錯.故選：B.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量,需要用復合函數(shù)的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B7.如圖，正四棱臺容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.已知變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，在研究變量x與y之間的關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為，且，則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的，的平均數(shù)分別為，，剔除兩對數(shù)據(jù)后的，的平均數(shù)分別為，，因為，所以，則，因為兩對數(shù)據(jù)為和，所以，所以，所以，解得.故選：C.二、選擇題9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對于A，顯然，故A正確；對于B，，則，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，，或，則，故D正確.故選：ACD10.已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；，當且僅當時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)的周期為2D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為的圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，故的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對B，，，又，故.即，故的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對C，由A，，且，又因為，故，即，故，即.由B，，故，故周期為4，故C錯誤；對D，由，的圖象關(guān)于點對稱，且定義域為R，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.智慧農(nóng)機是指配備先進信息技術(shù)，傳感器?自動化和機器學習等技術(shù)，對農(nóng)業(yè)機械進行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動育秧機和自動插秧機.正值春耕備耕時節(jié)，某智慧農(nóng)場計劃新購2臺自動育秧機和3臺自動插秧機，現(xiàn)有6臺不同的自動育秧機和5臺不同的自動插秧機可供選擇，則共有__________種不同的選擇方案.〖答案〗150〖解析〗第一步從6臺不同的自動育秧機選2臺，第二步從5臺不同的自動插秧機選3臺，由乘法原理可得選擇方案數(shù)為，故〖答案〗為：150.13.已知，則______，______.〖答案〗0或21或〖解析〗依題意，，即或，所以或2；所以或.故〖答案〗為：0或2；1或14.已知分別是雙曲線的左?右焦點，是的左支上一點，過作角平分線的垂線，垂足為為坐標原點，則______.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的實半軸長為，延長交直線于點，由題意有，，又是中點，所以，故〖答案〗為：2.四、解答題15.在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.（1）求；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：.（1）解：設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．（2）證明：由（1）得，所以．16.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）由圖可知，，解得，該村村民成績的平均數(shù)約為；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績在的村民有人，成績在的村民有4人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，如圖，因為四邊形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中點，所以，，從而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，，所以，所以平面平面；（2）解：設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，所以．18.設(shè)拋物線的焦點為，已知點到圓上一點的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)是坐標原點，點是拋物線上異于點的兩點，直線與軸分別相交于兩點（異于點），且是線段的中點，試判斷直線是否經(jīng)過定點.若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由.解：（1）點到圓上點的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點縱坐標為，代入拋物線方程可得點橫坐標為，則點坐標為,同理可得點坐標為,因此直線的斜率為,代入點坐標可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過定點.19.已知函數(shù).（1）當時，證明：是增函數(shù).（2）若恒成立，求取值范圍.（3）證明：（，）.（1）證明：當時，，定義域為，則.令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故在上恒成立，是增函數(shù).（2）解：當時，等價于，令，則，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以.所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則，所以，即，故的取值范圍為.（3）證明：由（2）可知，當時，有，則，所以，…，，故.廣東省揭陽市2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題一、選擇題1.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，所以，則.故選：B.2.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的圖象對稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C.3.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該橢圓的長軸長為，短軸長為，由題意得，則，故選：D.4.把函數(shù)的圖象向左平移個最小正周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得的最小正周期為，則所求函數(shù)為.故選：C5.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗如圖，當時，與可相交也可平行，故A錯；當時，由平行性質(zhì)可知，必有，故B對；如圖，當時，或，故C錯；當時，可相交、平行，故D錯.故選：B.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量,需要用復合函數(shù)的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B7.如圖，正四棱臺容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.已知變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，在研究變量x與y之間的關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為，且，則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的，的平均數(shù)分別為，，剔除兩對數(shù)據(jù)后的，的平均數(shù)分別為，，因為，所以，則，因為兩對數(shù)據(jù)為和，所以，所以，所以，解得.故選：C.二、選擇題9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對于A，顯然，故A正確；對于B，，則，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，，或，則，故D正確.故選：ACD10.已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；，當且僅當時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)的周期為2D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為的圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，故的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對B，，，又，故.即，故的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對C，由A，，且，又因為，故，即，故，即.由B，，故，故周期為4，故C錯誤；對D，由，的圖象關(guān)于點對稱，且定義域為R，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.智慧農(nóng)機是指配備先進信息技術(shù)，傳感器?自動化和機器學習等技術(shù)，對農(nóng)業(yè)機械進行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動育秧機和自動插秧機.正值春耕備耕時節(jié)，某智慧農(nóng)場計劃新購2臺自動育秧機和3臺自動插秧機，現(xiàn)有6臺不同的自動育秧機和5臺不同的自動插秧機可供選擇，則共有__________種不同的選擇方案.〖答案〗150〖解析〗第一步從6臺不同的自動育秧機選2臺，第二步從5臺不同的自動插秧機選3臺，由乘法原理可得選擇方案數(shù)為，故〖答案〗為：150.13.已知，則______，______.〖答案〗0或21或〖解析〗依題意，，即或，所以或2；所以或.故〖答案〗為：0或2；1或14.已知分別是雙曲線的左?右焦點，是的左支上一點，過作角平分線的垂線，垂足為為坐標原點，則______.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的實半軸長為，延長交直線于點，由題意有，，又是中點，所以，故〖答案〗為：2.四、解答題15.在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.（1）求；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：.（1）解：設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．（2）證明：由（1）得，所以．16.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）由圖可知，，解得，該村村民成績的平均數(shù)約為；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績在的村民有人，成績在的村民有4人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點.（1）證明：平面平面.（2）