2024屆廣西桂林市、來賓市高三下學(xué)期第三次聯(lián)合模擬考試（三模）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣西桂林市、來賓市2024屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)合模擬考試（三模）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，故選：B．2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A．3.若，則（）A.18 B.-18 C.12 D.-12〖答案〗C〖解析〗由題意可知，展開式的通項，令，則，所以展開式中系數(shù)為；展開式的通項，令，則，所以展開式中系數(shù)為；所以.故選：C．4.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)（，，2，…，5），其經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.40 B.32 C.8 D.12.8〖答案〗A〖解析〗由題意得，，因為點在回歸直線上得，所以．故選：A.5.某校組織社會實踐活動，將參加活動的3名老師與6名同學(xué)分成三組，每組1名老師與2名同學(xué)，不一樣的分法共有（）A.45種 B.90種 C.180種 D.270種〖答案〗B〖解析〗先將6名同學(xué)平均分成3組，有種分法，再將3名老師分成3組，有種分法，所以共有種分法故選：B.6.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中點，連接，如圖所示：∵分別為的中點，則且，∴異面直線與所成的角為或其補角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，則,故選:C．7.已知橢圓C：的右焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，其中點A在x軸上方且，則B點的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：，可知，設(shè)，，則，因為，可得，整理得，將代入方程可得，解得，可知B點的橫坐標(biāo)為.故選：D．8.已知函數(shù)在上有最小值沒有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，當(dāng)時，，若在上有最小值沒有最大值，則，所以.故選：D二、選擇題9.在中，，，，則（）A. B.C.的面積為 D.外接圓的直徑是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，由A選項知，由余弦定理得故，故B正確；對于C，由于在中，，故，所以，所以，故C錯誤；對于D，設(shè)外接圓半徑為R，則由正弦定理得，故D正確.故選：ABD10.某校高二年級在一次研學(xué)活動中，從甲地的3處景點、乙地的4處景點中隨機選擇一處開始參觀，要求所有景點全部參觀且不重復(fù).記“第站參觀甲地的景點”為事件，，2，…，7，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可得A正確；，故B正確；由于，C錯誤；,所以D錯誤.故選：AB.11.如圖，已知圓錐PO的底面半徑為，高為，AB為底面圓的直徑，點C為底面圓周上的動點，則（）A.當(dāng)C為弧AB的三等分點時，△PAC的面積等于或B.該圓錐可以放入表面積為的球內(nèi)C.邊長為的正方體可以放入到該圓錐內(nèi)D.該圓錐可以放入邊長為正方體中〖答案〗ABD〖解析〗對于A，取AC的中點D，連接OD，PD，OC，則，，如圖1，當(dāng)C為弧AB的三等分點時，或，當(dāng)時，，所以，，，所以△PAC的面積為；當(dāng)時，，所以，，所以△PAC的面積為，故A正確；對于B，因為圓錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的外接球球心在圓錐內(nèi)部，設(shè)圓錐外接球的半徑為R，過點A的軸截面如圖2，為外接球球心，則，解得，外接球的表面積為，，故B正確；對于C，設(shè)放入圓錐內(nèi)最大的正方體邊長為a，沿著正方體對角面的軸截面如圖3，因為圓錐的底面半徑為，高為，所以，所以，所以，，因為，所以C錯誤；對于D，過正方體一邊的中點作與體對角線垂直的平面，如圖4，此平面到頂點P的距離為體對角線的一半，即為，平面截正方體得到邊長為2的正六邊形，該正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，以該圓作為圓錐的底面，點P為頂點即可得到圓錐．故D正確．故選：ABD．三、填空題12.拋物線C：經(jīng)過點，則點P到C的焦點的距離為________．〖答案〗2〖解析〗把代入得，所以C的焦點為，所以．故〖答案〗為：213.在中國傳統(tǒng)文化中，“九”被視為至尊之?dāng)?shù)，象征長壽、福氣和完美，若直線l與圓C相切，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為9，圓C的半徑為9，點C到x軸的距離為9，則圓C的一個方程為________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意可得直線l的方程為，設(shè)，由直線l與圓C相切，得，所以或，所以圓C的一個方程可以為．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.若對任意的恒成立，則k的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又時，所以，即，得，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，即，解得．故〖答案〗為：四、解答題15.年菜一詞指舊俗過年時所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費者對年菜開支的接受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計了1000名消費者對年菜開支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計這1000名消費者對年菜開支接受區(qū)間都在內(nèi)（單位：百元），按照，，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費者對年菜開支接受價格的分位數(shù)（精確到0.1）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費者對年菜開支接受價格X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．用樣本估計總體，求所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率．參考數(shù)據(jù)：若,則,．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得，，所以這1000名消費者對年菜開支接受價格的75%分位數(shù)是．（2）由，所以，所以，故所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率為0.16．16.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列前n項和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為，當(dāng)時，得，即，①，當(dāng)時，②，由①-②得，，又也滿足，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，即，則，故．由，得，即，依題意，不等式恒成立，因為隨著n增大而減小，所以，即的取值范圍為．17.如圖，在直三棱柱中，，，三棱錐的體積為，點D為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求直線CD與平面所成角正弦值．（1）證明：在直三棱柱中，，因為，，平面，所以平面，又平面，所以.由，得．在矩形中，，，所以，又，所以，所以，又，平面ACD，所以平面ACD，又平面，所以平面平面．（2）解：因為AB，AC，兩兩垂直，以點A為坐標(biāo)原點，以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則有，得，取，得，設(shè)直線CD與平面所成角為，則，所以直線CD與平面所成角的正弦值為．18.雙曲線C：的左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線為，過且傾斜角為的直線為，已知，之間的距離為．（1）求C的方程；（2）若過點的直線l與C的左、右兩支分別交于兩點（點不在x軸上），判斷是否存在實數(shù)k使得．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)，因為，之間的距離為，所以，，則，所以C的方程為．（2）由（1）知，易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程組，消去x，得，所以，因為，所以，同理．因為直線l過點且與C的左、右兩支分別交于M，N兩點，所以M，N兩點在x軸同側(cè)，∴，此時，即．所以，所以．所以存在，使得．19.已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若且有2個極值點，，求證：．（1）解：的定義域為，由題可得，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，若，則，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；若，則時，，單調(diào)遞減，或時，，單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞增；若，則時，，單調(diào)遞減，或時，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）知時，恒有2個極值點，，且，，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以．廣西桂林市、來賓市2024屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)合模擬考試（三模）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，故選：B．2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A．3.若，則（）A.18 B.-18 C.12 D.-12〖答案〗C〖解析〗由題意可知，展開式的通項，令，則，所以展開式中系數(shù)為；展開式的通項，令，則，所以展開式中系數(shù)為；所以.故選：C．4.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)（，，2，…，5），其經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.40 B.32 C.8 D.12.8〖答案〗A〖解析〗由題意得，，因為點在回歸直線上得，所以．故選：A.5.某校組織社會實踐活動，將參加活動的3名老師與6名同學(xué)分成三組，每組1名老師與2名同學(xué)，不一樣的分法共有（）A.45種 B.90種 C.180種 D.270種〖答案〗B〖解析〗先將6名同學(xué)平均分成3組，有種分法，再將3名老師分成3組，有種分法，所以共有種分法故選：B.6.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中點，連接，如圖所示：∵分別為的中點，則且，∴異面直線與所成的角為或其補角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，則,故選:C．7.已知橢圓C：的右焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，其中點A在x軸上方且，則B點的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：，可知，設(shè)，，則，因為，可得，整理得，將代入方程可得，解得，可知B點的橫坐標(biāo)為.故選：D．8.已知函數(shù)在上有最小值沒有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，當(dāng)時，，若在上有最小值沒有最大值，則，所以.故選：D二、選擇題9.在中，，，，則（）A. B.C.的面積為 D.外接圓的直徑是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，由A選項知，由余弦定理得故，故B正確；對于C，由于在中，，故，所以，所以，故C錯誤；對于D，設(shè)外接圓半徑為R，則由正弦定理得，故D正確.故選：ABD10.某校高二年級在一次研學(xué)活動中，從甲地的3處景點、乙地的4處景點中隨機選擇一處開始參觀，要求所有景點全部參觀且不重復(fù).記“第站參觀甲地的景點”為事件，，2，…，7，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可得A正確；，故B正確；由于，C錯誤；,所以D錯誤.故選：AB.11.如圖，已知圓錐PO的底面半徑為，高為，AB為底面圓的直徑，點C為底面圓周上的動點，則（）A.當(dāng)C為弧AB的三等分點時，△PAC的面積等于或B.該圓錐可以放入表面積為的球內(nèi)C.邊長為的正方體可以放入到該圓錐內(nèi)D.該圓錐可以放入邊長為正方體中〖答案〗ABD〖解析〗對于A，取AC的中點D，連接OD，PD，OC，則，，如圖1，當(dāng)C為弧AB的三等分點時，或，當(dāng)時，，所以，，，所以△PAC的面積為；當(dāng)時，，所以，，所以△PAC的面積為，故A正確；對于B，因為圓錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的外接球球心在圓錐內(nèi)部，設(shè)圓錐外接球的半徑為R，過點A的軸截面如圖2，為外接球球心，則，解得，外接球的表面積為，，故B正確；對于C，設(shè)放入圓錐內(nèi)最大的正方體邊長為a，沿著正方體對角面的軸截面如圖3，因為圓錐的底面半徑為，高為，所以，所以，所以，，因為，所以C錯誤；對于D，過正方體一邊的中點作與體對角線垂直的平面，如圖4，此平面到頂點P的距離為體對角線的一半，即為，平面截正方體得到邊長為2的正六邊形，該正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，以該圓作為圓錐的底面，點P為頂點即可得到圓錐．故D正確．故選：ABD．三、填空題12.拋物線C：經(jīng)過點，則點P到C的焦點的距離為________．〖答案〗2〖解析〗把代入得，所以C的焦點為，所以．故〖答案〗為：213.在中國傳統(tǒng)文化中，“九”被視為至尊之?dāng)?shù)，象征長壽、福氣和完美，若直線l與圓C相切，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為9，圓C的半徑為9，點C到x軸的距離為9，則圓C的一個方程為________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意可得直線l的方程為，設(shè)，由直線l與圓C相切，得，所以或，所以圓C的一個方程可以為．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.若對任意的恒成立，則k的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又時，所以，即，得，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，即，解得．故〖答案〗為：四、解答題15.年菜一詞指舊俗過年時所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費者對年菜開支的接受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計了1000名消費者對年菜開支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計這1000名消費者對年菜開支接受區(qū)間都在內(nèi)（單位：百元），按照，，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費者對年菜開支接受價格的分位數(shù)（精確到0.1）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費者對年菜開支接受價格X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．用樣本估計總體，求所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率．參考數(shù)據(jù)：若,則,．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得，，所以這1000名消費者對年菜開支接受價格的75%分位數(shù)是．（2）由，所以，所以，故所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率為0.16．16.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列前n項和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為，當(dāng)時，得，即，①，當(dāng)時，②，由①-②得，，又也滿足，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，即，則，故．由，得，即，依題意，不等式恒成立，因為隨著n增大而減小，所以，即的取值范圍為．17.如圖，在直三棱柱中，，，三棱錐的體積為，點D為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求直線CD與平面所成角正弦值．（1）證明：在直三棱柱中，，因為，，平面，所以平面，又平面，所以.由，得．在矩形中，，，所以，又，所以，所以，又，平面ACD，所以平面ACD，又平面，所以平面平面