2024屆黑龍江省名校聯(lián)盟高考模擬測試數(shù)學(xué)試題及答案

黑龍江名校聯(lián)盟2024屆高三模擬測試數(shù)學(xué)試卷（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.?一選擇題：本題共個(gè)小題，每小題分，共8540分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.z2z3izz（1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則D.3xy0，且2xy2）A.2B.2C.32.已知A.1，則4x2y的最小值為（）B.2C.2D.223.已知集合，若，且AB2，則集合B可以為（）,BA∣xx1?3xA.2x?0∣B.x2C.∣y2xD.∣y2x…x,x043fx4.已知函數(shù)ff（2，則）,(x0)xA.2B.-2C.-4D.41m,bn,2a共線且方1，且ab與向量aa5.已知，向量b在向量方向上的投影向量為2向相反，則（）m1B.mn2A.nC.mn2D.1ABC的三個(gè)內(nèi)角，則sinAsinB是）6.若分別為“”“的（AAC,B,C0”A.充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件ABCDABCD7.若正四棱柱與以正方形ABCD的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓1111柱的側(cè)面積之比為（）A.B.2C.D.28.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若aa3，且…nN4S都有nSn10，則annS*Sn1n12（）n1aA.S2Snn1是等比數(shù)列B.n2n1n2…n1aS485C.D.n2nn2…?二多選題：本題共個(gè)小題，每小題分，共4520分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.S202409.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若S2023，則下列結(jié)論正確的是（）annSnA.是遞增數(shù)列aB.10131012anS?SSD.1015100821C.n1fx10.關(guān)于函數(shù)2x的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（）24x的一條對(duì)稱軸fxA.是函數(shù)88的一個(gè)對(duì)稱中心fx,0B.是函數(shù)1ysin2xy個(gè)單位可得到曲線fxC.將曲線向左平移28,021,42D.函數(shù)在fx的值域?yàn)?11.已知直線l:axy22a0與圓C:(x4)(yr(r0)相交于不同的兩點(diǎn)M,N,O為坐標(biāo)222原點(diǎn)，則（）A.直線l過定點(diǎn)2rB.4,6C.當(dāng)r3時(shí)，D.當(dāng)r5時(shí)，CMCN最小值為-25ABCDABCD,AAABE,FAB,1的中點(diǎn)，記1EF三點(diǎn)12.在正四棱柱中分別為棱為過11111所作該正四棱柱的截面，則下列判斷正確的是（）2A.異面直線EF與直線所成角的余弦值為13B.與平面的交線與1B平行11C.截面為五邊形817D.D點(diǎn)到截面的距離為17?三填空題：本題個(gè)小題，每小題分，共4520分.13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，…0fxfxRfxxx1__________.ABADR,2,14.在平行四邊形ABCD中，3BEED,CE__________.15.已知球O的體積為，其內(nèi)接三棱錐D的底面ABC為直角三角形，且ACB90，則三棱3錐D的體積的最大值為__________.x216.已知為函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，且定義域均為，若函數(shù)Rfxx與都是偶函數(shù)，寫出fxf1fx函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為__________；xf1f2f2f3f3f4f2023f202411111111__________.?四解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.?17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列公差與等比數(shù)列公比相同，31236.abnn（1）求和的通項(xiàng)公式；abnn（2）記數(shù)列是將數(shù)列和中的項(xiàng)從小到大依次排列而成的新數(shù)列，求數(shù)列前60項(xiàng)的和canbncnnS60.18.（本小題滿分12分）fxe,xR已知函數(shù)x.（1）求函數(shù)fxex單調(diào)區(qū)間；（2）若過點(diǎn)PttR可以作曲線yfxt的3條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分12分）在四棱錐P中，PBAD,CDA45,AD∥BC，且22，14.（1）證明：平面PCD平面；（2）求平面PCD與平面PBC夾角的余弦值.20.（本小題滿分12分）已知圓C:x（1）證明：圓C過定點(diǎn)；（2）當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)P為直線2y222mym1mR.xyl:1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊63形PACB面積最小值，并寫出此時(shí)直線AB的方程.21.（本小題滿分12分）某校高中“數(shù)學(xué)建模”實(shí)踐小組欲測量某景區(qū)位于“觀光湖”內(nèi)兩處景點(diǎn)A，C之間的距離，如圖，B處為碼頭入口，D處為碼頭，BD為通往碼頭的棧道，且100m，在B處測得,CBD，在46D處測得BDC,ADC,B,C,D（均處于間一測量的水平面內(nèi)）34,C（1）求兩處景點(diǎn)之間的距離；（2）棧道BD所在直線與22.（本小題滿分12分）,C兩處景點(diǎn)的連線是否垂直？請(qǐng)說明理由.xfxexa,a0.已知函數(shù)2ae的極值；fx（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)2fx2aa…0.（2）證明：a參考答案與解析1.【答案】Bzxi,x,yRzxiz2z3xi3i，所以，所以【解析】依題意，令，則xy1，即z1i2.【答案】A，所以z(222，故選B.【解析】因?yàn)閤y0，所以4x2y22x2y222x2y222xy1，當(dāng)且僅當(dāng)22x2y，即2xy1時(shí)，等號(hào)成立，故選A.3.【答案】Dlog3x1，所以0x3，所以集合A0,3，對(duì)于選項(xiàng)，不等式2A4的解為【解析】因?yàn)閤x20xxAB20等價(jià)于，所以選項(xiàng)不合題意；對(duì)于選項(xiàng)，不等式AB，解得0x2xx2B2，所以選項(xiàng)不合題意；對(duì)于選項(xiàng)，CB0,2,AB∣y2x,AB2，所以C選項(xiàng)不合題意；對(duì)于選項(xiàng)，D∣y2x,2,AB2，符合題意，故選D.4.【答案】C431122f,f4【解析】依題意，33321，2故選C5.【答案】Aaban2ma1an2m1m122①，又ab與向量1共【解析】依題意，所以aa1m1m2221n2m20②，由①②聯(lián)立，ab1n,m2線，解得，所以m1m7n11或，又ab與向量方向相反，n11m7m1，故選A所以n11舍去，所以n16.【答案】C【解析】依題意可知，在ABC中，由正弦定理可知ab，若sinAsinB，則ab，于是sinAsinB0,yx在0,AB，且,B上單調(diào)遞減，所以cosAcosB，又，函數(shù)AC，則ACB，所以滿足充分性；且以上過程可逆，因此也滿足必cosBA要性，故選C.7.【答案】BABCDABCDah的底面邊長為，高為，圓柱的高為，則圓柱的底面1h【解析】依題意，設(shè)正四棱柱111122h122221ah，整理得半徑為a，則有a，正四棱柱與圓柱的側(cè)面積之比22224ah122，故選B.ah228.【答案】D4SS【解析】依題意，因?yàn)镾n10，nn1即又,n2，S2S2S4S2S2Sn1nnn1nn1S2Saa230S2S,n2Sa3，又，11，所以2112nn1所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以S32n1，所以nSnn1n,Saaaaa336122448，故選D.32n2,n25123459.【答案】AC20231202310120，所以10120，【解析】依題意，S2023210132024a20242024aS2024110120，所以101210130，22所以所以的公差大于0，且a，所以數(shù)列a1012010131012，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)不正確；1013nS1012SS，所以C選項(xiàng)正確；1012n最小，即101510081015101410131012101110101009710120，所以選項(xiàng)不正確，故選AC.D10.【答案】ABD121412214fx【解析】依題意，因?yàn)?x2x211242x2x24k2xk,kZ,x,kZk0x時(shí)，令，當(dāng)，4288xfx的一條對(duì)稱軸，所以A選項(xiàng)正確（另解：因?yàn)樗允呛瘮?shù)81214112時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以是f2x，即當(dāng)fxx828288函數(shù)的一條對(duì)稱軸）；fxk72xk,kZ,x,kZkx,0令，當(dāng)，所以842288是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以選項(xiàng)正確（另解：因?yàn)閒xB81214818，即是函數(shù)的零點(diǎn)，所以是函數(shù)f20xfx,02228的一個(gè)對(duì)稱中心）.fx對(duì)于C選項(xiàng)，141141fx2x因?yàn)閟in2xsin2xsin2x2242228123141ysin2xysin2xsin2x又將曲線向左平移個(gè)單位可得到曲線C，所以選2882項(xiàng)不正確；121411fx2x因?yàn)?x2x，42242212444x,02x,fx的值域?yàn)?42，則，所以函數(shù)，所以當(dāng)D選項(xiàng)正確，故選11.【答案】CDaxy22a0，可化為ax2y2，即直線l過定點(diǎn)0【解析】由直線P2，所以A選項(xiàng)不正確；因?yàn)橹本€l與圓C有總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得點(diǎn)(24)(2r2，解得r5，所以B不正確；(x4)(y9，可得圓心C，又P2長的最小值為2r2P2在圓C內(nèi)部，22所以當(dāng)r3時(shí)，圓C的方程為22CP5|CP225，4，最大值即為直徑6，所以C選項(xiàng)正確；則，可得當(dāng)r5時(shí)，圓C的方程為(x4)2(y2CMCNCMCNcosMCNMCN則當(dāng)直線l過圓心，此時(shí)MCN1，可得的最小值-1，C4,1所以CMCN的最小值為-25故選CD.12.【答案】ACD【解析】如圖，對(duì)于A選項(xiàng)，異面直線EF與直線所成的角，即為直線EF與直線CCEC所成角，連接，則111EFC即為直線與直線CC所成的角，在RtEFC中，CC2，1EF12233，所以ECEB2BC5，則222，所以A選項(xiàng)正確；延長交1F延長線于，連接H交BC于于I，，延長交DA延長線于K，連接1K交J111B1EFFI則五邊形即為平面截該四棱柱得到的截面.即截面為五邊形，所以選項(xiàng)正確；CFI∥1K∥,1KD1，所以不平FI與1與平面的交線即為，則，又1111行，所以B選項(xiàng)不正確；FC1對(duì)于D選項(xiàng)，由于，所以CD2，211AEKAKE1423KA又，所以，HDKDKH824KD1KH4KFKHFHKD1H213,DH42,KDH為等腰三角形，311322234，31283S的面積為1HKF223417所以1H23設(shè)D點(diǎn)到截面的距離為h，則1DHKV，D1KH11321Sh11KH31183231817817178171744h即，解得h，即D點(diǎn)到截面的距離為，33所以D選項(xiàng)正確，故選ACD.13.【答案】fxxx1xxfxxx1，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，fx【解析】當(dāng)Rfxfxxx1，解得所以fxxx1，又f00cos010xfxxcosx1.，所以當(dāng)5414.【答案】CDCB4CECB【解析】依題意，可知BD4BE，則，14341434CECDCBBABC整理得，34154CEABAD2所以42568115.【答案】【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為O，四面體ABCD的外接球的球心為O，1因?yàn)锳CB90，所以O(shè)1ACB為外接圓的圓心，即點(diǎn)O為四面體ABCD,B,C的外接球過三點(diǎn)的截面圓的圓心，1圓Or的半徑為，則AB2r，1因?yàn)锳C2BC2AB24r2，11ACACBC2BC2Sr2，所以ABC222當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)ACB為等腰直角三角形時(shí)，ACB的面積最大，連接O并延長交球面于一點(diǎn)，若使得四面體ABCDDO的體積最大，則該交點(diǎn)應(yīng)為點(diǎn)D，即為四面體1ABCD的高，設(shè)x,x0,2，1x2r2DO1x2則有則V，11311248x24xx2xSr223xx，2四面體ABCD31333331324383x3x2(0x2)fxx令則當(dāng)，3441fxx2x23x2，x3332320xfx0，當(dāng)x2fx0時(shí)，，時(shí)，32323所以在fx,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2256f(x)f所以381，25681所以三棱錐D的體積的最大值為.25681故答案為.16.【答案】；【解析】依題意，因?yàn)?0,1fxfxfxx，即fxxfxx2，為偶函數(shù)，所以xxfxfxhxhx2hx0,1令hx，則，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為xx，0,1x2x2x1fx，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線ff1f1x1對(duì)稱，因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以2即f1x，f1x,f2xfxfxxfxx又因?yàn)?，所以fx1fx1，所以，fxfx22，f2xfxf4xf2x所以f4xfx，即函數(shù)fx是周期為4的周期函數(shù)，f41f3f1,f0f4f1，即f1f21f1f2f2f2f2f2，所以f3f1f0f41，2，所以所以f2f42所以fx1fx也是周期為4的周期函數(shù)，f1f2f2f3f3f4111111f20231f20241f1f2f1f21f2f3f2f311f3f4f3f4f2023f2024f2023f20241f1f2f2f3f2023f20244f1f20242023506f1f2f2f3f3f4f4f5f2024f2025f1f20242023506f1f2f2f3f3f4f4f5f0f1f1f02023506f1f3f2f4f0f1f1f0202350622f1f1f02023017.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為，anbtt0nt1tbabtat3，即3，解得t2，因?yàn)樗?621n22n.a12n12nn22n（2）數(shù)列中的項(xiàng)從小到大依次為bn，aa119而5060依題意可知新數(shù)列的前60項(xiàng)中，數(shù)列的項(xiàng)只有前6項(xiàng)，數(shù)列有54項(xiàng)，cnbnanS135710724816326460所以54110712623042.18.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)閒xR，fxexxexex1x，令的單調(diào)遞增區(qū)間是fx0，解得x1，所以函數(shù)fx令x1，所以函數(shù)fx，解得的單調(diào)遞減區(qū)間是,1fx0（2）由題意可得fxx1ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x,y0，則切線斜率k01ex，x00y0e0x1e0x0，所以切線方程為0將代入得te00012.Pt有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，因?yàn)榇嬖谌龡l切線，即方程te0001201的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，則方程te00201有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)yt,ye002gxx設(shè)2x1exgxx1x2ex，則，x2,1時(shí)，gxgx單調(diào)遞增；當(dāng)5在,2和上，gxgx單調(diào)遞減，2，ge215150，xgx時(shí)，當(dāng)x或22gxx畫出2x1ex的圖象如圖，的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，需yt,ye00201g2t0，要使函數(shù)55t0t,02即，即實(shí)數(shù)的取值范圍，e2e19.【解析】（1）連接BD，因?yàn)?,4，45,162242cos4510，所以由余弦定理可得BD10，214,10，在PBD中，PBBD2，所以，2則PD2PBAD,ADBDD又所以底面ABCD，依題意可知ABCD為等腰梯形，AB2，可得BC2，取中點(diǎn)H，連接，則∥DH，所以四邊形BCDH為平行四邊形，∥BHABBHPB,PBABB又BHBA2,AH2，所以，又所以平面，所以平面，又平面PCD，所以面PCD平面.（2）解法1：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，B0,0,0,C2,2,0,D22,2,0,P0,0,22,2,0PC2,2,2,2,0,0,BC，mx,y,z，設(shè)平面PCD法向量為則PCm2x2y2zm2x0，1，得m2,1取zna,b,c，則同理，設(shè)面PBC法向量為PCm2ab2cBCn2ab0，取a1，得n0，mn23cos,n由題意，|m||n|3233設(shè)平面PCD與平面PCB的夾角為，則cos|,n|，3ABCD,PBCPBC平面ABCD，解法2：由（1）可知，平面平面平面過D作BC，則平面過H作PC的垂線，垂足為E，連，PBC垂足為H,PC平面PBCPC，則，PC,PC,H,HE,由于平面，所以PC平面,平面，故PCDE，則DEH為所求二面角夾角的平面角.PBBCABCD2，所以BCP，42CDsinCHHCsin，4422323cos323所以平面PCD與平面PBC夾角的余弦值為20.【解析】.3（1）依題意，將圓C的方程x2y222mym10化為x2y24y11x2ym0令1x2y0，即x12y，則2y)y4y10恒成立，22xy0，即圓C0過定點(diǎn)解得（2）當(dāng)m0時(shí)，圓C:x2(y2)5，2xyl:1直線631設(shè)，依題意四邊形PACB的面積，Ps,tS2S252PACB的面積最小，當(dāng)又取得最小值時(shí)，四邊形PA|PC|25，即當(dāng)PCPACB最小時(shí)，四邊形的面積最小，xy圓心C2到直線l:1的距離即為PC的最小值，63046PC25,PA(25)2515即5S15553PACB面積最小值為53，，即四邊形此時(shí)直線PC與直線l垂直，y2x2所以直線PC的方程為，與直線l聯(lián)立，解得，以PCxx2為直徑的圓的方程為P2,2y2y24y10，2x4y300即x2y22x40，又圓C:x2y2兩式作差可得直線AB方程21.【解析】（1）由題意可知，在BCD中，CBD,,BD10063所以BCD，所以BCD為等腰三角形，所以100，366BAD在ABD中，ABD,,，434121246100ADBDAD100，由正弦定理：，即122，解得AD100