江蘇省泰州市姜堰區(qū)勵才實驗學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期競賽數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年江蘇省泰州市姜堰區(qū)勵才實驗學(xué)校八年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（24分）1．（4分）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm2．（4分）化簡（a﹣1）?的結(jié)果是（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（4分）已知如圖，長方形ABCD，AB＝8，BC＝6，若將長方形頂點A、C重合折疊起來，則折痕PQ長為（）A． B．7 C．8 D．4．（4分）若直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有（）A．a(chǎn)b＝h2 B． C． D．a(chǎn)2+b2＝2h25．（4分）a、b、c是三個大于3的質(zhì)數(shù)，則下列判斷中一定正確的是（）A．a(chǎn)+b+c是偶數(shù) B．a(chǎn)2+b2+c2是偶數(shù) C．a(chǎn)+b+c是3的倍數(shù) D．a(chǎn)2+b2+c2是的倍數(shù)6．（4分）設(shè)[x]表示最接近x的整數(shù)（x≠n+0.5，n為整數(shù)），則+[]+…+[]＝（）A．132 B．146 C．161 D．666二、填空題（30分）7．（5分）在不大于100的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的平方和比所有奇數(shù)的平方和大．8．（5分）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△ABC的周長為15cm，AB＝7cm，則它的“優(yōu)美比”k＝．9．（5分）若三個質(zhì)數(shù)x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，則x+y+z的值是或．10．（5分）如圖，在鋼架AB、AC中，從左至右順次焊上6根相等長度的鋼P1P2，P2P3、P3P4…來加固鋼架，且AP1＝P1P2，則∠BAC的最大值為．11．（5分）如圖，∠AOB＝45°，點M、N分別在射線OA、OB上，MN＝6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動點，點P關(guān)于OA對稱的點為P1，點P關(guān)于OB對稱的點為P2，當(dāng)點P在直線NM上運動時，△OP1P2的面積最小值為．12．（5分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于．三、簡答題（請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)13．（12分）若a、b均為整數(shù)，當(dāng)時，代數(shù)x2+ax+b的值為0，求ab的算術(shù)平方根．14．（12分）已知實數(shù)a、b滿足：，且|b|+b＞0，求的值．15．（12分）給定一個5×5方格網(wǎng)，規(guī)定如下操作：每次可以把某行（或列）中的連續(xù)3個小方格改變顏色（把白格變黑格，把黑格變白格），如果開始時所有25個小方格均為白色，請問：能否經(jīng)過8次這樣的操作，使得5×5方格網(wǎng)恰好變?yōu)楹诎紫嚅g（如圖所示），且任何一個小方格在前4次操作中至多變色1次？如果能，請給出一種操作方案（直接畫出第4，5，6，7次操作后的方格網(wǎng)顏色）；如果不能，請給出證明．16．（12分）一筐蘋果，若分給全班同學(xué)每人3個，則還剩下25個；若全班同學(xué)一起吃，其中5個同學(xué)每人每天吃1個，其他同學(xué)每人每天吃2個，則恰好用若干天吃完，問筐內(nèi)最多共有多少個蘋果．17．（12分）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的數(shù)字，+＝2023，求×的最大值．18．（16分）已知：△ABC中，AB＝AC，點D為AC上一點，連接BD并延長至點E，連接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝60°時，求證：AE+CE＝BE；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出結(jié)論：；（3）如圖3，在（2）的條件下，在BE上截取BF＝CE，連接CF，點G在EF上，連接AG，且∠EAG＝75°，∠BAG＝∠ACF，，求AG的長．19．（20分）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。@個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°時，則PA+PB+PC取得最小值．（1）如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．（2）如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費馬點．（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．

2023-2024學(xué)年江蘇省泰州市姜堰區(qū)勵才實驗學(xué)校八年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（24分）1．（4分）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進行討論．【解答】解：當(dāng)腰是3cm時，則另兩邊是3cm，7cm．而3+3＜7，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去．當(dāng)?shù)走吺?cm時，另兩邊長是5cm，5cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．【點評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．2．（4分）化簡（a﹣1）?的結(jié)果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】代數(shù)式（a﹣1）?有意義，必有1﹣a＞0，由a﹣1＝﹣（1﹣a），把正數(shù)（1﹣a）移到根號里面．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故選：D．【點評】本題考查了根據(jù)二次根式性質(zhì)的運用．當(dāng)a≥0時，a＝，運用這一性質(zhì)可將根號外面的因式“移”到根號里面．3．（4分）已知如圖，長方形ABCD，AB＝8，BC＝6，若將長方形頂點A、C重合折疊起來，則折痕PQ長為（）A． B．7 C．8 D．【分析】由長方形頂點A、C重合折疊可知，AC與PQ相互垂直平分，不妨設(shè)AC與PQ相交于點O，再證得△POC相似△ADC，進一步利用三角形相似的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，AC與PQ相交于點O，OC＝AC＝＝5，∵頂點A、C重合，∴AC與PQ相互垂直平分，∴∠POC＝90°，而∠D＝90°，∠OCP＝∠DCA，∴△POC∽△ADC，∴，即PO＝＝，得，因此．故選：A．【點評】此題主要利用矩形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)解決問題．4．（4分）若直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有（）A．a(chǎn)b＝h2 B． C． D．a(chǎn)2+b2＝2h2【分析】根據(jù)三角形的面積求法，可將斜邊的高h用兩直角邊表示出來．【解答】解：∵ab＝ch∴h＝∴＝∴＝＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查勾股定理和直角三角形的面積求法．5．（4分）a、b、c是三個大于3的質(zhì)數(shù)，則下列判斷中一定正確的是（）A．a(chǎn)+b+c是偶數(shù) B．a(chǎn)2+b2+c2是偶數(shù) C．a(chǎn)+b+c是3的倍數(shù) D．a(chǎn)2+b2+c2是的倍數(shù)【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，整除的定義，舉反例判斷即可得到結(jié)論．【解答】解：∵a、b、c是三個大于3的質(zhì)數(shù)，∴其和一定是奇數(shù)，它們的平分和也一定是奇數(shù)，∴A，B不符合題意；∵對于質(zhì)數(shù)5，7，11，5+7+11＝23不是3的倍數(shù)，∴C不符合題意，故只能選D，事實上，非3的倍數(shù)的平分除以3余1，故三個大于3的質(zhì)數(shù)的平方和必是3的倍數(shù)，故選：D．【點評】本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，熟練掌握質(zhì)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（4分）設(shè)[x]表示最接近x的整數(shù)（x≠n+0.5，n為整數(shù)），則+[]+…+[]＝（）A．132 B．146 C．161 D．666【分析】先計算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出[]，[]，[]…[]中有2個1，4個2，6個3，8個4，10個5，6個6，從而可得出答案．【解答】解：1.52＝2.25，可得出有2個加數(shù)為1；2.52＝6.25，可得出有4個加數(shù)為2；3.52＝12.25，可得出有6個加數(shù)為3；4.52＝20.25，可得出有8個加數(shù)為4；5.52＝30.25，可得出有10個加數(shù)為5；則剩余6個數(shù)全為6．故[]+[]+[]+…+[]＝1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6＝146．故選：B．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，難度較大，注意根據(jù)題意找出規(guī)律是關(guān)鍵．二、填空題（30分）7．（5分）在不大于100的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的平方和比所有奇數(shù)的平方和大5050．【分析】根據(jù)題意，得出式子1002﹣992+982﹣972+……+22﹣12，然后根據(jù)平方差公式變形計算即可．【解答】解：由題意，得1002﹣992+982﹣972+……+22﹣12．＝（100﹣99）（100+99）+（98﹣97）（98+97）+……+（4﹣3）（4+3）+（2﹣1）（2+1）＝199+195+191+……+7+3＝＝＝5050，∴所有偶數(shù)的平方和比所有奇數(shù)的平方和大5050．故答案為：5050．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，平方差公式，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則，平方差公式是解題的關(guān)鍵．8．（5分）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△ABC的周長為15cm，AB＝7cm，則它的“優(yōu)美比”k＝或．【分析】分兩種情況：AB為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k．【解答】解：當(dāng)AB腰時，則底邊＝15﹣2×7＝1cm；此時，優(yōu)美比k＝；當(dāng)AB為底邊時，則腰為（15﹣7）÷2＝4cm；此時，優(yōu)美比k＝；故答案為或．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（5分）若三個質(zhì)數(shù)x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，則x+y+z的值是21或26．【分析】先判斷出，x，y，z中必有一個是11，令x＝11，進而確定出y＝1+，進而求出z＝2或3或4或5，再求出y的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵三個質(zhì)數(shù)x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，∴x，y，z中必有一個是11，令x＝11，則11yz＝11（11+y+z），即：y（z﹣1）＝11+z，∴y＝1+，∵y是質(zhì)數(shù)，∴z﹣1＝1或2或3或4，∴z＝2或3或4或5，∵z是質(zhì)數(shù)，∴z＝4不符合題意，舍去，當(dāng)z＝2時，y＝13，∴x+y+z＝11+13+2＝26，當(dāng)z＝3時，y＝7，∴x+y+z＝11+7+3＝21，當(dāng)z＝5時，y＝4，y不是質(zhì)數(shù)，舍去，即：x+y+z的值是21或26，故答案為：21，26．【點評】此題主要考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，整除問題，確定出z＝2或3或4或5是解本題的關(guān)鍵．10．（5分）如圖，在鋼架AB、AC中，從左至右順次焊上6根相等長度的鋼P1P2，P2P3、P3P4…來加固鋼架，且AP1＝P1P2，則∠BAC的最大值為12°．【分析】設(shè)∠BAC＝x，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AP6P7，∠AP7P6，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式進行計算即可得解．【解答】解：設(shè)∠BAC＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P6P7，∴∠A＝∠AP2P1＝x，∴∠P2P1P3＝2x，∴∠P3P2P4＝3x，…，∠P7P8P6＝7x，∴7x＜90°且8x≥90°，則11.25°≤∠BAC＜（）°，故∠BAC的最大值約為12°．故答案為：12°．【點評】本題考查了等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，規(guī)律探尋題，難度較大．11．（5分）如圖，∠AOB＝45°，點M、N分別在射線OA、OB上，MN＝6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動點，點P關(guān)于OA對稱的點為P1，點P關(guān)于OB對稱的點為P2，當(dāng)點P在直線NM上運動時，△OP1P2的面積最小值為8．【分析】連接OP，過點O作OH⊥MN交NM的延長線于H，先利用三角形的面積公式求出OH，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2，從而可得∠P1OP2＝90°，然后利用三角形的面積公式可得△OP1P2的面積為，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)點P與點H重合時，OP取得最小值，△OP1P2的面積最小，由此即可得．【解答】解：如圖，連接OP，過點O作OH⊥MN交NM的延長線于H，∵，且MN＝6，∴OH＝4，∵點P關(guān)于OA對稱的點為P1，點P關(guān)于OB對稱的點為P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，∴△OP1P2的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點P與點H重合時，OP取得最小值，最小值為OH＝4，∴△OP1P2的面積的最小值為，故答案為：8．【點評】本題考查了軸對稱、垂線段最短等知識點，掌握軸對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．12．（5分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于12．【分析】過F作FN⊥AM于N，通過證明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面積×3，依此即可求解．【解答】解：過F作FN⊥AM于N，設(shè)EF與AM交于點K，連接PF，∴∠FNA＝90°＝∠ABC，∴∠FAN+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FAN，又∵AF＝AB，∴Rt△ANF≌Rt△BCA（HL），∴FN＝AC，同理可求Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝SRt△ABC．由Rt△NFK≌Rt△CAT可得：FK＝AT，∠FKN＝∠ATC，∴KE＝FT，∠FTP＝∠MKE，又∵∠FPT＝∠M＝90°，Rt△FPT≌Rt△EMK（AAS），∴S3＝S△FPT，同理可得Rt△AQF≌Rt△ACB，Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，∵Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S4＝SRt△ABC，∴S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC＝SRt△ABC×3＝×2×4×3＝12．故答案為：12．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．三、簡答題（請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)13．（12分）若a、b均為整數(shù)，當(dāng)時，代數(shù)x2+ax+b的值為0，求ab的算術(shù)平方根．【分析】把x的值代入代數(shù)式，使其值為0，根據(jù)a，b均為整數(shù)，求出a與b的值，代入原式計算，求出結(jié)果即可．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時，代數(shù)式x2+ax+b的值為0，可得4﹣2+（﹣1）a+b＝0，即（a﹣2）+4﹣a+b＝0，∵a，b均為整數(shù)，∴a﹣2＝0，4﹣a+b＝0，解得：a＝2，b＝﹣2，則ab＝2﹣2＝，∴ab的算術(shù)平方根為．【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．14．（12分）已知實數(shù)a、b滿足：，且|b|+b＞0，求的值．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出a﹣2≥0，2﹣a≥0，求出a＝2，進而得出b2＝1，再根據(jù)已知|b|+b＞0，進而得出b＝1，然后把a，b的值代入代數(shù)式，找出規(guī)律進行計算即可．【解答】解：由題意，得a﹣2≥0，2﹣a≥0，∴a≥2，a≤2，即a＝2，∴b2＝1，又∵|b|+b＞0，∴b＞0，∴b＝1，∴……+＝＝＝＝＝＝2024．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，分式的加減運算，數(shù)式規(guī)律問題，實數(shù)的運算，熟練掌握二次根式有意義的條件，分式的加減運算，實數(shù)的運算，找出分式中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．15．（12分）給定一個5×5方格網(wǎng)，規(guī)定如下操作：每次可以把某行（或列）中的連續(xù)3個小方格改變顏色（把白格變黑格，把黑格變白格），如果開始時所有25個小方格均為白色，請問：能否經(jīng)過8次這樣的操作，使得5×5方格網(wǎng)恰好變?yōu)楹诎紫嚅g（如圖所示），且任何一個小方格在前4次操作中至多變色1次？如果能，請給出一種操作方案（直接畫出第4，5，6，7次操作后的方格網(wǎng)顏色）；如果不能，請給出證明．【分析】從8次操作后的圖形倒推來看，能否形成5×5白色方格圖形．【解答】解：可以，操作如下：（1）經(jīng)過4次操作可染成如下：（2）繼續(xù)操作，所以經(jīng)過8次操作可以變成如圖所示的圖形．【點評】本題主要考查了染色問題，掌握其基本原理是解題的關(guān)鍵．16．（12分）一筐蘋果，若分給全班同學(xué)每人3個，則還剩下25個；若全班同學(xué)一起吃，其中5個同學(xué)每人每天吃1個，其他同學(xué)每人每天吃2個，則恰好用若干天吃完，問筐內(nèi)最多共有多少個蘋果．【分析】設(shè)全班共有x個同學(xué)，全班同學(xué)恰好n天吃完，利用蘋果的總個數(shù)＝全部同學(xué)每天吃蘋果的個數(shù)×吃的天數(shù)，可得出（2x﹣5）n＝3x+25，變形后，可得出n＝+×，結(jié)合n為正整數(shù)，可得出x的最大值，再將其代入（3x+25）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)全班共有x個同學(xué)，則蘋果共有（3x+25）個，∵5個同學(xué)每人每天吃1個，其他同學(xué)每人每天吃2個，∴全班同學(xué)每天吃1×5+2（x﹣5）＝（2x﹣5）個，設(shè)全班同學(xué)恰好n天吃完，∴（2x﹣5）n＝3x+25，∴n＝＝+×，∵n為正整數(shù)，∴為奇數(shù)，∴要使x最大，則＝1，∴x＝35，∴筐內(nèi)最多共有3x+25＝3×35+25＝130（個）蘋果．答：筐內(nèi)最多共有130個蘋果．【點評】本題考查了列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出吃的天數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．（12分）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的數(shù)字，+＝2023，求×的最大值．【分析】已知+＝2023，因為兩個數(shù)的和一定時，兩個數(shù)越接近，乘積越大；兩個數(shù)的差越大，乘積越?。炞CE＝9，8時均無解，當(dāng)E＝7時，＝1246，＝777，此時符合題意且積最大，再把它們相乘即可求解．【解答】解：首先，×的和一定時，差越小積越大，所以越大，×的乘積越大，驗證E＝9，8時均無解，當(dāng)E＝7時，＝1246，＝777，此時符合題意且積最大，此時積為1246×777＝968142．∴×的最大值為968142．【點評】本題考查了整數(shù)問題的綜合運用，根據(jù)兩個數(shù)的和一定時，兩個數(shù)越接近，乘積越大；兩個數(shù)的差越大，乘積越小，推出它們乘積的最大值與最小值，然后計算它們的差即可得解．18．（16分）已知：△ABC中，AB＝AC，點D為AC上一點，連接BD并延長至點E，連接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝60°時，求證：AE+CE＝BE；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出結(jié)論：；（3）如圖3，在（2）的條件下，在BE上截取BF＝CE，連接CF，點G在EF上，連接AG，且∠EAG＝75°，∠BAG＝∠ACF，，求AG的長．【分析】（1）在BE上截取BH＝CE，連接AH，證明△ABH≌△ACE（SAS），得出∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，證明△HAE為等邊三角形，得出AE＝HE，即可證明結(jié)論；（2）在BE上截取BH＝CE，連接AH，證明△ABH≌△ACE（SAS），得出∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，證明△HAE為等腰直角三角形，得出，即可證明結(jié)論；（3）連接AF，過點A作AM⊥EF于點M，根據(jù)解析（2）的證明得出△ABF≌△ACE（SAS），∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，證明△FAE為等腰直角三角形，求出∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝60°，∠FCE＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出，最后在Rt△AGM中根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出結(jié)果即可．【解答】（1）證明：在BE上截取BH＝CE，連接AH，如圖1所示：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABH＝∠ACE，∵AB＝AC，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝60°，∴△HAE為等邊三角形，∴AE＝HE，∴BE＝BH+HE＝CE+AE，即AE+CE＝BE；（2）解：（1）中結(jié)論不成立；，理由如下：在BE上截取BH＝CE，連接AH，如圖2所示：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABH＝∠ACE，∵AB＝AC，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝90°，∴△HAE為等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：；（3）解：連接AF，過點A作AM⊥EF于點M，如圖3所示：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△FAE為等腰直角三角形，∴，∵∠EAG＝75°，∴∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝60°，∴∠ABG＝∠ACE，∠BAG＝∠ACF，∴∠ABG+∠BAG＝∠ACE+∠ACF，即∠ABG+∠BAG＝∠FCE，∵∠ABG+∠BAG＝∠AGE＝60°，∴∠FCE＝60°，∵∠BFC＝∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣60°＝30°，∴，∴，∵△FAE為等腰直角三角形，AM⊥EF，∴，∵∠AGM＝60°，∠AMG＝90°，∴∠GAM＝90°﹣60°＝30°，∴，∵AG2＝AM2+GM2，∴，解得：或（舍去），∴AG的長為．【點評】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明△ABH≌△ACE．19．（20分）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。@個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°時，則PA+PB+PC取得最小值．（1）如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝150°；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．（2）如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費馬點．（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP′＝AP＝3，CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，∠CAP′＝∠BAP，再證△PAP′是等邊三角形，得∠AP′P＝60°，PP′＝AP＝3，然后證∠CP′P＝90°，進而得出結(jié)論；（2）在CB'上取點P，使∠BPC＝120°，連接AP，再在PB'上截取PE＝PB，連接BE．由此可以證明△PBE為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PB＝BE，∠PBE＝60°，∠BEB'＝120°，而△ABB'為正三角形，由此也可以得到AB＝B'B，∠ABB'＝60°，現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明△ABP≌△B'BE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；（3）將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A'P'B處，連接PP'，證△PBP′是等邊三角形，得PB＝PP′，∠P′PB＝∠P