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江蘇省蘇州市吳江高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題文試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線(xiàn)圖如圖所示:根據(jù)該折線(xiàn)圖可知,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元2.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客(單位:萬(wàn)人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2014年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次最少B.后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì)C.這6年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)大于13340萬(wàn)人次D.前3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差3.已知函數(shù)的一條切線(xiàn)為,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.146.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則()A. B.C. D.7.已知集合A,則集合()A. B. C. D.8.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.10.已知空間兩不同直線(xiàn)、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于11.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組,,可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個(gè)小組的概率為()A.B.C.D.12.某單位去年的開(kāi)支分布的折線(xiàn)圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開(kāi)支(單位:萬(wàn)元)如圖2所示,則該單位去年的水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,且,則的最小值是______.14.已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___15.已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為,過(guò)作軸的垂線(xiàn)與相交于兩點(diǎn),與軸相交于.若,則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)________.16.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在角中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).18.(12分)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿(mǎn)足:對(duì)任意正整數(shù)總成立,則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”.(1)證明:等比數(shù)列是“數(shù)列”;(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.19.(12分)已知等差數(shù)列滿(mǎn)足,公差,等比數(shù)列滿(mǎn)足,,.求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿(mǎn)足,求的前項(xiàng)和.20.(12分)某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng),同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線(xiàn)性相關(guān)).年份年份代號(hào)年利潤(rùn)(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn);(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由(Ⅰ)中線(xiàn)性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí),稱(chēng)該年為級(jí)利潤(rùn)年,否則稱(chēng)為級(jí)利潤(rùn)年.將(Ⅰ)中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年,求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式:,.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.22.(10分)[選修45:不等式選講]已知都是正實(shí)數(shù),且,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬(wàn)元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說(shuō)法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說(shuō)法正確;月總收益萬(wàn)元,月總收益萬(wàn)元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說(shuō)法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬(wàn)元,所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
ABD可通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論,C可通過(guò)計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計(jì)圖可知:2014年入境游客萬(wàn)人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計(jì)圖可知:后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì),故正確;C.入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬(wàn)次,故正確;D.由統(tǒng)計(jì)圖可知:前年的入境游客萬(wàn)人次相比于后年的波動(dòng)更大,所以對(duì)應(yīng)的方差更大,故錯(cuò)誤.故選:D.本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對(duì)中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能通過(guò)所給統(tǒng)計(jì)圖,分析出對(duì)應(yīng)的信息,對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力有一定要求.3.A【解析】
求導(dǎo)得到,根據(jù)切線(xiàn)方程得到,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計(jì)算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設(shè),,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.本題考查函數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.4.D【解析】
首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿(mǎn)足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫(huà)出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.5.A【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
當(dāng)時(shí),最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫(huà)函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時(shí),,得;最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng),即時(shí),,在,上遞增,最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;當(dāng),即時(shí),令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn);根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn),在,上有2個(gè)零點(diǎn),如圖:且,解得,,.故選.遇到此類(lèi)問(wèn)題,不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類(lèi)討論,這一過(guò)程中有可能分類(lèi)不全面、不徹底.7.A【解析】
化簡(jiǎn)集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.9.D【解析】
畫(huà)出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫(huà)出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類(lèi)思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.10.C【解析】因答案A中的直線(xiàn)可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線(xiàn)也成立,故不正確;答案C中的直線(xiàn)可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線(xiàn)也有可能垂直于直線(xiàn),故不正確.應(yīng)選答案C.11.A【解析】依題意,基本事件的總數(shù)有種,兩個(gè)人參加同一個(gè)小組,方法數(shù)有種,故概率為.12.A【解析】
由折線(xiàn)圖找出水、電、交通開(kāi)支占總開(kāi)支的比例,再計(jì)算出水費(fèi)開(kāi)支占水、電、交通開(kāi)支的比例,相乘即可求出水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比.【詳解】水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為.故選:A本題考查折線(xiàn)圖與柱形圖,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.8【解析】
利用的代換,將寫(xiě)成,然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)),所以最小值為.已知,求解()的最小值的處理方法:利用,得到,展開(kāi)后利用基本不等式求解,注意取等號(hào)的條件.14.【解析】
利用絕對(duì)值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡(jiǎn)不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡(jiǎn)不等式有,即而當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意,解得或所以答案為本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問(wèn)題和絕對(duì)值不等式,要注意到絕對(duì)值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來(lái)解答本題,注意去絕對(duì)值時(shí)的分類(lèi)討論化簡(jiǎn)15.【解析】
由已知可得,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可知,結(jié)合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.本題考查了雙曲線(xiàn)的定義,考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系,分析出.關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題,一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì),可大大減少計(jì)算量.16.1【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由切線(xiàn)方程得切線(xiàn)斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得.【詳解】由題意,∵函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,∴,解得,∴.故答案為:1.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ),三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)1.【解析】
(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長(zhǎng)的值.【詳解】(1)由題意,在中,因?yàn)?,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因?yàn)?,可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長(zhǎng)a+b+c=5+7=1.本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)證明見(jiàn)詳解;(2)證明見(jiàn)詳解【解析】
(1)由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:即可證明.(2)既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,,則對(duì)于任意都成立,則成等比數(shù)列,設(shè)公比為,驗(yàn)證得答案.【詳解】(1)證明:由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:等比數(shù)列是“數(shù)列”.(2)證明:既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,()(),()可得:對(duì)于任意都成立,即成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,設(shè),()數(shù)列是“數(shù)列”時(shí),由()可得:時(shí),由()可得:,可得,同理可證成等比數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列本題是一道數(shù)列的新定義題目,考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等基本知識(shí),考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力,屬于難題.19.,;.【解析】
由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進(jìn)而求出數(shù)列,的通項(xiàng)公式;當(dāng)時(shí),由,所以,當(dāng)時(shí),由,,可得,進(jìn)而求出前項(xiàng)和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.?dāng)?shù)列的公比,其通項(xiàng)公式.當(dāng)時(shí),由,所以.當(dāng)時(shí),由,,兩式相減得,所以.故所以的前項(xiàng)和,.又時(shí),,也符合上式,故.本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,方程思想,分類(lèi)討論思想,應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.20.(Ⅰ),該公司年年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進(jìn)而可求得關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程,然后將代入回歸直線(xiàn)方程,可得出該公司年年利潤(rùn)的估計(jì)值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線(xiàn)方程計(jì)算出從年至年這年被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的年數(shù),然后利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算可得,,,又,,,關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤(rùn)的
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