專題08一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)2種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題08一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母系數(shù)的值題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值題型3：已知用方程兩根表示的代數(shù)式的值，求字母系數(shù)的值題型4：根據(jù)一元二次方程的兩根確定一元二次方程題型5：根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合題型6：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的直接應(yīng)用考法2：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能利用根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程的兩根之和、兩根之積及與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值。2.能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程一個(gè)根求另一個(gè)根或由一元二次方程的根確定一元二次方程?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（難點(diǎn)）韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【例1】如果，是方程的兩個(gè)根，那么=_____________；=_______________．【變式1】（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)校考階段練習(xí)）設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為和，則（）A． B．2 C． D．3【變式2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）若一元二次方程的兩根分別為，，則代數(shù)式________．【方法二】實(shí)例探索法題型1：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母系數(shù)的值1.若方程：的一個(gè)根為，則k=________；另一個(gè)根為________．2．（2023·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？家荒＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程的兩根分別記為，若，則______．3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）已知一元二次方程的一個(gè)根為2，則它的另一個(gè)根為________．題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值4.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．5.已知的值．6.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．題型3：已知用方程兩根表示的代數(shù)式的值，求字母系數(shù)的值7．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，則______．8．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，若，則m的值為______．題型4：根據(jù)一元二次方程的兩根確定一元二次方程9.寫出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是，．題型5：根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合10．（2023·湖北荊門·統(tǒng)考一模）已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．11．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）實(shí)數(shù)使關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)給出的兩個(gè)值，使方程的根是整數(shù)．題型6：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題12.已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)恰好是方程：兩個(gè)根，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)．13.已知關(guān)于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．14.已知方程：的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求a的取值范圍．15．（2023春·湖北黃石·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若一元二次方程的兩個(gè)根為，則，．材料2：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)、分別滿足，，且．求的值．16．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則___________，___________．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足，，且，求的值．17．（2023春·福建南平·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為（其中），若y是m的函數(shù)，且，求這個(gè)函數(shù)的解析式．(3)若m為正整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，a與分別是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根．求代數(shù)式的值．18．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)專題練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，因此，所以有；我們記“”即時(shí)，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：(1)若是倍根方程，求的值；(2)關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，且點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，求此倍根方程的表達(dá)式．19．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個(gè)方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．20．（2023春·湖北黃石·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．21．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）關(guān)于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．(1)求證此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)根是、，且，求．【方法三】差異對(duì)比法22.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正整數(shù)根，求整數(shù)k和p的值．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的直接應(yīng)用23．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則_________．24．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)是方程的兩根，則______．25．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1?x2＝_____．考法2：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用26．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．27．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為________．28．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．29．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．30．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是______．【方法五】成功評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A． B．4 C． D．32．（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)?？计谀┰O(shè)方程的兩個(gè)根為與，則（

）A．1 B． C．2 D．3．（2022秋·湖南衡陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程的兩根為，，則的值（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20225．（2022秋·湖南永州·九年級(jí)?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根為，，下列說法：①若a，c異號(hào)，則方程一定有實(shí)數(shù)根；②若，則方程一定有實(shí)數(shù)根；③若，，，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)6．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知、為一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．9．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知m，n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則的值為（）A． B． C．0 D．10．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（

）個(gè)①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，那么，．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根是3，則此方程的另一個(gè)根是．12．（2021春·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┮阎欠匠痰囊粋€(gè)解，方程的另一個(gè)解為，則．13．（2022秋·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知方程的兩根為，則．14．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，且，則m的值為．15．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知、，滿足等式：，則．16．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）若方程的兩根為，，則的值為．17．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知不等式的解集是，其中，則不等式的解集．18．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個(gè)根為、，則b－2c＝，的最大值是．三、解答題19．（2022秋·甘肅定西·九年級(jí)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)a、b滿足，，求的值．20．（2023秋·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，求m的值．21．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（2022秋·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍；(2)當(dāng)方程的兩個(gè)根滿足時(shí)，求的值．23．（2022秋·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)，另兩邊、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．24．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．25．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）材料一：法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)于1615年在著作《論方程的識(shí)別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出一