專題03 一元二次方程的應用（一）（解析版）

專題三一元二次方程的應用（一）【專題導航】目錄【考點一傳播速度問題】8【考點二增長率問題】【考點三數(shù)字問題】【考點四圖形面積問題】【考點五營銷問題】【聚焦考點1】傳播問題：設(shè)每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共(1+x)人傳染，第二輪傳染后共[1+x+x(x+1)]傳染，a人經(jīng)過兩輪傳染a（1+x）2=m【典例剖析1】【典例1-1】一人患了流感，兩輪傳染后共有121人感染了流感．按這樣的傳染速度，若2人患了流感，第一輪傳染后患流感的人共有(

)人A．20 B．22 C．60 D．61【答案】B【分析】設(shè)每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共(1+x)人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x(x+1)]人患流感，列出方程進行計算即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共(1+x)人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x(x+1)]人患流感，根據(jù)題意得：1+x+x(x+1)=121，解得：x1=10，∴2(1+x)=22．故選：B．【點評】考查一元二次方程的應用，讀懂題目，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【典例1-2】如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒1人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有361人感染．（1）平均每人每輪感染多少人？（2）第二輪傳播后，人們加強防范，使病毒的傳播力度減少到原來的a%，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的10倍，求a的值．【分析】（1）設(shè)平均每人每輪感染x人，根據(jù)有一種病毒1人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有361人感染．列出一元二次方程，解方程即可；（2）根據(jù)病毒的傳播力度減少到原來的a%，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的10倍，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)平均每人每輪感染x人，由題意得：1+x+x（x+1）＝361，解得：x1＝18，x2＝﹣20（不符合題意，舍去），答：平均每人每輪感染18人；（2）由題意得：361+361×18×a%＝10×361，解得：a＝50，答：a的值為50．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．針對訓練1【變式1-1】去年8月以來，非洲豬瘟疫情在某國橫行，今年豬瘟疫情發(fā)生勢頭明顯減緩．假如有一頭豬患病，經(jīng)過兩輪傳染后共有64頭豬患病．（1）每輪傳染中平均每頭患病豬傳染了幾頭健康豬？（2）如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的豬會不會超過500頭？【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每頭豬傳染了x頭健康豬，根據(jù)一頭豬患病經(jīng)過兩輪傳染后共有64頭豬患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)第三輪又被感染的豬的只數(shù)＝經(jīng)過兩輪感染后患病的豬的只數(shù)×7，即可求出結(jié)論，再進行比較即可．【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每頭豬傳染了x頭健康豬，依題意，得：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每頭豬傳染了7頭健康豬．（2）64×7＝448（頭）．∴448+64＝512＞500，∴患病的豬會超過500頭，答：患病的豬會超過500頭．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】今年下半年以來，豬肉價格不斷上漲，主要是由非洲豬瘟疫情導致．非洲豬瘟疫情發(fā)病急，蔓延速度快．某養(yǎng)豬場第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病，兩天后發(fā)現(xiàn)共有192頭生豬發(fā)病．（1）求每頭發(fā)病生豬平均每天傳染多少頭生豬？（2）若疫情得不到有效控制，按照這樣的傳染速度，3天后生豬發(fā)病頭數(shù)會超過1500頭嗎？【答案】（1）7頭；（2）會超過1500頭【分析】（1）設(shè)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染x頭生豬，根據(jù)“第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病，兩天后發(fā)現(xiàn)共有192頭生豬發(fā)病”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)3天后生豬發(fā)病頭數(shù)=2天后生豬發(fā)病頭數(shù)×（1+7），即可求出3天后生豬發(fā)病頭數(shù)，再將其與1500進行比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染x頭生豬，依題意，得3(1+x)解得：x1=7，答：每頭發(fā)病生豬平均每天傳染7頭生豬．（2）192×(1+7)=1536（頭)，1536>1500．答：若疫情得不到有效控制，3天后生豬發(fā)病頭數(shù)會超過1500頭．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【能力提升1】傳播速度問題【提升1-1】.有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【分析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，由題意：有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，依題意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，解得：x1＝﹣17（不符合題意舍去），x2＝15，答：每輪傳染中平均每人傳染了15人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【提升1-2】某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)【答案】6【分析】設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，依題意得：1+x+x整理得：x2解得：x1=?7（不合題意，舍去），故答案為：6．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【聚焦考點2】增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．【典例剖析2】增長率問題【典例2-1】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，據(jù)調(diào)查，某快遞公司今年九月份與十一月份的投遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件，該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同．求該快遞公司投遞總件數(shù)的月增長率．【分析】設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可．【解答】解：設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得10（1+x）2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合題意舍去）．答：該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為10%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【典例2-2】電影《流浪地球2》講述了太陽即將毀滅，人類在地球表面建造出巨大的推進器，以便尋找新的家園．然而宇宙之路危機四伏，為了拯救地球，流浪地球時代的年輕人再次挺身而出，展開爭分奪秒的生死之戰(zhàn)的故事．2023年元宵節(jié)，某電影院開展“弘揚家國情懷，彰顯中華氣魄”系列活動，對團體購買《流浪地球2》電影票實行優(yōu)惠，決定在原定零售票價基礎(chǔ)上每張降價20元，這樣按原定零售票價需花費3000元購買的門票，現(xiàn)在只花費了1800元．（1）求每張電影票的原定零售票價；（2）為了促進消費，該影院決定對網(wǎng)上購票的個人也采取優(yōu)惠，原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32元，求平均每次降價的百分率．【分析】（1）設(shè)每張門票的原定票價為x元，則降價后的價格為（x﹣20）元，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合按原定票價需花費3000元購買的門票張數(shù)現(xiàn)在只花費了1800元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)原定票價平均每次的降價率為y，根據(jù)原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．．【解答】解：（1）設(shè)每張門票的原定票價為x元，則降價后的價格為（x﹣20）元，依題意，得：，解得：x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意．答：每張門票的原定票價為50元．（2）設(shè)原定票價平均每次的降價率為y，依題意，得：50（1﹣y）2＝32，解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合題意，舍去）．答：原定票價平均每次的降價率為20%．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．針對訓練2【變式2-1】“早黑寶”葡萄品種是山西省農(nóng)科院研制的優(yōu)質(zhì)新品種，在山西省被廣泛種植．某市某葡萄種植基地到2018年年底已經(jīng)種植“早黑寶”100畝，到2020年年底“早黑寶”的種植面積達到196畝．（1）求該基地這兩年“早黑寶”種植面積的年平均增長率；（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當“早黑寶”的售價為20元/千克時，每天能售出200千克，銷售單價每降低1元，每天可多售出50千克，為了減少庫存，該基地決定降價促銷．已知該基地“早黑寶”的平均成本為12元/千克，若使銷售“早黑寶”每天可獲利1750元，則銷售單價應降低多少元？【分析】（1）設(shè)該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長率為x，根據(jù)題意得關(guān)于x的一元二次方程，解方程，然后根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可；（2）設(shè)售價應降低y元，根據(jù)每千克的利潤乘以銷售量，等于1750，列方程并求解，再結(jié)合問題的實際意義作出取舍即可．【解答】（1）設(shè)該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長率為x，根據(jù)題意得100（1+x）2＝196，解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合題意，舍去），答：該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長率為40%．（2）設(shè)售價應降低y元，則每天可售出（200+50y）千克，根據(jù)題意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理得，y2﹣4y+3＝0，解得y1＝1，y2＝3，∵要減少庫存，∴y1＝1不合題意，舍去，∴y＝3．答：售價應降低3元．【點評】本題考查了一元二次方程在增長率問題和銷售問題中的應用，根據(jù)題目正確列出方程，是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】隨著新能源汽車配套設(shè)施的不斷普及，新能源汽車的銷售量逐年增加．某小區(qū)物業(yè)統(tǒng)計2023年春節(jié)小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量正好是2021年春節(jié)小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量的1.96倍．（1）求這兩年小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量的平均增長率；（2）若2023年春節(jié)小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量為490輛，且增長率保持不變，請估計到2024年春節(jié)該小區(qū)停放新能源汽車的數(shù)量．【分析】（1）設(shè)2022年與2021年這兩年小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量的平均增長率為x，根據(jù)2023年春節(jié)小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量正好是2021年春節(jié)小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量的1.96倍．列出一元二次方程，解方程即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果列式計算即可．【解答】解：（1）設(shè)2022年與2021年這兩年小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量的平均增長率為x，則（1+x）2＝196，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣24（舍去），答：這兩年小區(qū)內(nèi)停放新能源汽車數(shù)量的平均增長率為40%；（2）490×（1+40%）＝686（輛），答：估計到2024年春節(jié)該小區(qū)停放新能源汽車的數(shù)量約為686輛．【點評】本題考查了一元二次方程應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【能力提升2】增長率問題【提升2-1】兩年前生產(chǎn)1噸某種藥品的成本是5000元，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸這種藥品的成本是3200元，這種藥品成本的年平均下降率是多少？【分析】等量關(guān)系為：2年前的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率）2＝現(xiàn)在的生產(chǎn)成本，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【解答】解：設(shè)這種藥品成本的年平均下降率是x，根據(jù)題意得：5000（1﹣x）2＝3200，解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合題意，舍去）．答：該藥品成本的年平均下降率是20%．【點評】本題考查一元二次方程的應用；得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．另外還要注意解的合理性，從而確定取舍．【提升2-2】某樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售，求平均每次下調(diào)的百分率．【分析】設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率為x，利用預訂每平方米銷售價格×（1﹣每次下調(diào)的百分率）2＝開盤每平方米銷售價格列方程解答即可．【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分率是x，根據(jù)題意列方程得，5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝10%，x2＝（不合題意，舍去）；答：平均每次降價的百分率為10%．【點評】此題考查基本數(shù)量關(guān)系：預訂每平方米銷售價格×（1﹣每次下調(diào)的百分率）2＝開盤每平方米銷售價格?！揪劢箍键c3】十位數(shù)字為x，個位數(shù)字y，這個兩位數(shù)為10x+y.連續(xù)奇數(shù)，連續(xù)偶數(shù)都是相差2【典例剖析3】【典例3-1】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小3，如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是___．【答案】63【分析】根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可，等量關(guān)系為：原來的兩位數(shù)-新兩位數(shù)=27，把相關(guān)數(shù)值代入計算可得各位上的數(shù)字，根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x2－3，由題意得10(x2－3)＋x－(10x＋x2－3)＝27，整理得x2?x?6=0，解得∴十位數(shù)字為32則原來的兩位數(shù)為63故答案為：63【點評】本題考查了列一元二次方程解應用題，弄清已知中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【典例3-2】兩個奇數(shù)，其中一個為另一個的平方，較大奇數(shù)與較小奇數(shù)的差為110，兩個奇數(shù)分別為，．【分析】設(shè)較小奇數(shù)為x，則較大奇數(shù)為x2，根據(jù)“較大奇數(shù)與較小奇數(shù)的差為110”列方程x2﹣x＝110，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)較小奇數(shù)為x，則較大奇數(shù)為x2，根據(jù)題意得x2﹣x＝110解之得x1＝11，x2＝﹣10（不合題意，舍去）所以較大奇數(shù)為x2＝121．【點評】找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．針對訓練3【變式3-1】有三個連續(xù)偶數(shù)，第三個數(shù)的平方等于前兩個數(shù)的平方和，則這三個數(shù)分別為________．【分析】如果設(shè)最小的偶數(shù)為x，那么另外兩個可表示為x+2，x+4，根據(jù)“第三個數(shù)的平方等于前兩個數(shù)的平方和”作為相等關(guān)系可得出方程為（x+4）2＝x2+（x+2）2解方程即可求解．【解答】解：設(shè)最小的偶數(shù)為x，根據(jù)題意得（x+4）2＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣2．當x＝6時，x+2＝8，x+4＝10；當x＝﹣2時，x+2＝0，x+4＝2因此這三個數(shù)分別為6，8，10或﹣2，0，2．故答案為6，8，10或﹣2，0，2．【點評】找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-2】兩個相鄰正偶數(shù)的積是168，則這兩個相鄰正偶數(shù)中較小的數(shù)是．【分析】這兩個相鄰正偶數(shù)中較小的數(shù)是x，則較大的數(shù)是（x+2），根據(jù)兩個數(shù)之積為168，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這兩個相鄰正偶數(shù)中較小的數(shù)是x，則較大的數(shù)是（x+2），依題意得：x（x+2）＝168，整理得：x2+2x﹣168＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合題意，舍去），∴這兩個相鄰正偶數(shù)中較小的數(shù)是12．故答案為：12．【點評】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【能力提升3】數(shù)字問題【提升3-1】兩個相鄰的偶數(shù)的積是80，這兩個偶數(shù)是．【分析】設(shè)這兩個相鄰偶數(shù)中較大的數(shù)是x，則較小的數(shù)是（x﹣2），根據(jù)兩個數(shù)之積為80，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)這兩個相鄰偶數(shù)中較大的數(shù)是x，則較小的數(shù)是（x﹣2），依題意得：x（x﹣2）＝80，整理得：x2﹣2x﹣80＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣8，當x＝10時，x﹣2＝8；當x＝﹣8時，x﹣2＝﹣10；即這兩個偶數(shù)是10和8或﹣8和﹣10．故答案為：10和8或﹣8和﹣10．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【提升3-2】兩個連續(xù)奇數(shù)的積是143，求這兩個連續(xù)奇數(shù)．【分析】設(shè)較小的奇數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)連續(xù)奇數(shù)相差2得到較大的奇數(shù)，根據(jù)兩個數(shù)的積是143列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)為x，x+2，根據(jù)題意x（x+2）＝143，∴x1＝11，x2＝﹣13，∴當x＝11時，x+2＝13；當x＝﹣13時，x+2＝﹣11．答：兩個連續(xù)奇數(shù)為11，13或﹣13，﹣11．【點評】考查一元二次方程的應用；得到兩個奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點；根據(jù)兩個數(shù)的積得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【聚焦考點4】形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．【典例剖析4】圖形面積問題【典例4-1】如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)BC＝柵欄總長﹣2AB，再利用矩形面積公式即可求出；（2）把S＝650代入（1）中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可．【解答】解：（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根據(jù)題意，得x（72﹣2x）＝640，化簡，得x2﹣36x+320＝0解得x1＝16x2＝20，當x＝16時，72﹣2x＝72﹣32＝40；當x＝20時，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為644m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，化簡，得x4﹣366+322＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×335＝﹣4＜0，∴一元二次方程沒有實數(shù)根．∴羊圈的面積不能達到650m2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找到周長等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【典例4-2】如圖，矩形綠地的長為8m，寬為6m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了32m2，求綠地長、寬增加的長度．?【分析】設(shè)綠地的長、寬增加的長度為xm，由題意：將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了32m2，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)綠地的長、寬增加的長度各為xm，由題意得：（8+x）（6+x）＝8×6+32，整理得：x2+14x﹣32＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣16（不符合題意，舍去），答：綠地長、寬增加的長度各為2m．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．針對訓練4【變式4-1】如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒．若紙盒的體積是1500cm3，則長方形硬紙板的寬為多少？【分析】設(shè)長方形硬紙板的寬為xcm，根據(jù)紙盒的體積是1500cm3可列出方程（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，求解即可．【解答】解：設(shè)長方形硬紙板的寬為xcm，根據(jù)題意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：長方形硬紙板的寬為20cm．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意、找準相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】園林部門計劃在某公園建一個長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計了一個正方形的網(wǎng)紅打卡點和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．?（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；（2）求出網(wǎng)紅打卡點的面積．【分析】（1）設(shè)AB＝x米，根據(jù)三邊所用木欄總長120米，列方程求解即可；（2）設(shè)網(wǎng)紅打卡點的邊長為m米，根據(jù)空白的面積＝長方形花圃的面積﹣花卉種植面積，列一元二次方程，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，根據(jù)題意，得2x+x+x＝120，解得x＝30，∴AB＝30米，BC＝60米，答：長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；（2）設(shè)網(wǎng)紅打卡點的邊長為m米，根據(jù)題意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），∴網(wǎng)紅打卡點的面積為4×4＝16（平方米），答：網(wǎng)紅打卡點的面積為16平方米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【能力提升4】面積問題【提升4-1】在一幅長8分米，寬6分米的矩形風景畫（如圖①）的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖（如圖②）．如果要使整個掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬．【分析】設(shè)金色紙邊的寬為x分米，關(guān)鍵題意列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：設(shè)金色紙邊的寬為x分米，方程為（8+2x）（6+2x）＝80，解方程得：x＝﹣8或x＝1，經(jīng)檢驗x＝﹣8或1都是所列方程的解，但是寬不能為負數(shù)，即x＝1，答：金色紙邊的寬是1分米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，能根據(jù)題意列出方程是解此題的關(guān)鍵．【提升4-2】如圖所示，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊試驗田，要使試驗田的面積為570m2，道路應為多寬？【分析】設(shè)道路寬為x米，根據(jù)耕地的面積﹣道路的面積＝試驗田的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意得：32×20﹣（32+20×2）x+2x2＝570，解得：x1＝1，x2＝35．∵35＞20，∴x＝35舍去．答：道路寬為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)耕地的面積﹣道路的面積＝試驗田的面積，列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【聚焦考點5】營銷問題解決此類問題首先要清楚幾個名稱的意義，如成本價、售價、標價、打折、利潤、利潤率等以及它們之間的等量關(guān)系.此類問題常見的等量關(guān)系是：總利潤＝總售價－總成本或總利潤＝每件商品的利潤×銷售數(shù)量，利潤率＝eq\f(售價－進價,進價)×100%【典例剖析5】營銷問題【典例4-1】百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）現(xiàn)在每件童裝降價5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？（2）要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？【分析】（1）根據(jù)每件童裝降價1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童裝降價5元，每天可售出20+5×2＝30件，再根據(jù)每件盈利40元，即可得出每天的盈利；（2）設(shè)每件應降價x元，每天可以多銷售的數(shù)量為2x件，每件的利潤為（40﹣x），由總利潤＝每件的利潤×數(shù)量建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）∵每件童裝降價1元，平均每天就可多售出2件，∴每件童裝降價5元，每天可售出20+5×2＝30件；∴每天可盈利：（40﹣5）×30＝1050（元）；（2）設(shè)每件應降價x元，由題意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20，則每件童裝應降價10元或20元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．【典例4-2】某經(jīng)銷商經(jīng)銷的學生用品，他以每件280元的價格購進某種型號的學習機，以每件360元的售價銷售時，每月可售出60個，為了擴大銷售，該經(jīng)銷商采取降價的方式促銷，在銷售中發(fā)現(xiàn)，如果每個學習機降價10元，那么每月就可以多售出50個．（1）降價前銷售這種學習機每月的利潤是多少元？（2）經(jīng)銷商銷售這種學習機每月的利潤要達到7200元，且盡可能讓利于顧客，求每個學習機應降價多少元？（3）在2銷售過程中，銷量好，經(jīng)銷商又開始漲價，漲價后每月銷售這種學習機的利潤能達到10580元嗎？若能，請求出漲多少元；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意列出算式，計算即可求出值；（2）設(shè)每個學習機應降價x元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；（3）設(shè)應漲y元每月銷售這種學習機的利潤能達到10580元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）由題意得：60×（360﹣280）＝4800（元），則降價前商場每月銷售學習機的利潤是4800元；（2）設(shè)每個學習機應降價x元，由題意得：（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x＝8或x＝60，由題意盡可能讓利于顧客，x＝8舍去，即x＝60，則每個學習機應降價60元；（3）設(shè)應漲y元每月銷售這種學習機的利潤能達到10580元，根據(jù)題意得：（360﹣60+y﹣280）[5（60﹣y）+60]＝10580，方程整理得：y2﹣52y+676＝0，解得：y1＝y(tǒng)2＝26，則應漲26元每月銷售這種學習機的利潤能達到10580元．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．針對訓練5【變式5-1】某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？【分析】（1）設(shè)每次降價的百分率為a，（1﹣a）2為兩次降價的百分率，50降至32就是方程的平衡條件，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據(jù)題意確定其值．【解答】解：（1）設(shè)每次下降的百分率為a，根據(jù)題意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率為20%；（2）設(shè)每千克應漲價x元，由題意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因為要盡快減少庫存，所以x＝5符合題意．答：該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價5元．【點評】此題主要考查了一元二次方程應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到蘊含的相等關(guān)系，列出方程，解答即可．【變式5-2】某商店經(jīng)銷一批小商品，每件商品的成本為8元．據(jù)市場分析，銷售單價定為10元時，每天能售出200件；現(xiàn)采用提高商品售價，減少銷售量的辦法增加利潤，若銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件．設(shè)銷售單價定為x元．據(jù)此規(guī)律，請回答：（1）商店日銷售量減少件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）針對這種小商品的銷售情況，該商店要保證每天盈利640元，同時又要使顧客得到實惠，那么銷售單價應定為多少元？【分析】（1）根據(jù)題目的條件：銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件，填空即可；因為每件商品的成本為8元，所以每件商品盈利（x﹣8）元；（2）由利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）∵銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件，∴商店日銷售量減少20（x﹣10）件，∵每件商品的成本為8元．∴每件商品盈利為（x﹣8）元，故答案為：20（x﹣10）（x﹣8）；（2）由題意可得：（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，解得：x1＝12x2＝16（舍）．答：該商店要保證每天盈利640元，同時又要使顧客得到實惠，銷售單價應定為12元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是設(shè)售價，分別表示每件利潤和銷售量，根據(jù)求利潤的公式列出方程．【能力提升5】營銷問題【提升5-1】某汽車銷售公司2月份銷售某廠汽車，在一定范圍內(nèi)，每輛汽車的進價與銷售量有如下關(guān)系：若當