2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題05 圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型（原卷版）

專題05圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型模型1、內(nèi)切圓模型【模型解讀】?jī)?nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時(shí)稱這個(gè)多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。例1．（2022秋·天津河西·九年級(jí)校考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，若，則．例2．（2023·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，截三邊所得的弦長(zhǎng)相等，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》卷九中記載：“今有勾三步，股四步，問勾中容圓徑幾何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角邊）長(zhǎng)為3步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為4步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的半徑是多少步？”如圖是示意圖，根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的半徑為．例4．（2023秋·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知三角形的周長(zhǎng)為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例5．（2023·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7例6．（2023·福建福州·九年級(jí)校考期末）如圖，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點(diǎn)D、E，過劣?。ú话ǘ它c(diǎn)D、E）上任一點(diǎn)P作的切線，與、分別交于點(diǎn)M、N，，，則的周長(zhǎng)為．例7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為．

例8．（2023·江蘇宿遷·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與，，相切于點(diǎn)，，，已知，，，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對(duì)一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形，若一個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓，此時(shí)圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）。【常見模型及結(jié)論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結(jié)論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結(jié)論：①；；②。例1．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數(shù)是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°例2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·湖北武漢·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.例4．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，．，I是的內(nèi)心，則線段的值為（

）A．1 B． C． D．例5．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，，．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．例6．（2023安徽中考數(shù)學(xué)一模卷）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APB=∠CPB=60°．(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)證明：PA+PC=PB．例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設(shè)PA，BC交于點(diǎn)M，若AB=4，PC=2，求CM的長(zhǎng)度．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC=124°，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，則∠CDE的度數(shù)為（）A．56° B．62° C．68° D．78°2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD落到對(duì)角線AC上時(shí)，點(diǎn)E恰與圓心O重合，已知AE＝6，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BC+DE＝ACB．⊙O的半徑是2C．∠ACB＝2∠DCED．AE＝CE3．（2023·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF中，P、Q兩點(diǎn)分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心．若AF=2，則PQ的長(zhǎng)度為何？（）A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣24．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)點(diǎn)為的內(nèi)心，且于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（

）A．163 B．164 C．165 D．1665．（2023秋·天津河北·九年級(jí)?？计谀┤糁苯侨切蔚膬芍苯沁叿謩e為6和8，則這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023春·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內(nèi)心，O是外心，則∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．1257．（2034·浙江杭州·三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（）A．∠EDF＝∠B B．2∠EDF＝∠A+∠CC．2∠A＝∠FED+∠EDF D．∠AED+∠BFE+∠CDF＞180°8．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為直徑，C為圓上一點(diǎn)，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（

）

A． B． C． D．59．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．410．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．11．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，則；④．其中，一定正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．（2022秋·江蘇·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖，內(nèi)接于，若為的內(nèi)心，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為、交點(diǎn)，連結(jié)、，以下結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則．以上結(jié)論正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)13．（2023春·四川南充·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③；④若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，其中一定正確的序號(hào)是．14．（2023·湖南岳陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為外接圓的直徑，點(diǎn)M為的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，①若，的直徑為4，則扇形的面積為；②若，，則．15．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，點(diǎn)是內(nèi)心，若，則的度數(shù)為．16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則∠BOC的度數(shù)是．17．（2023·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖，是一個(gè)小型花園，陰影部分為一個(gè)圓形水池，且與的三邊相切，已知，，．若從天空飄落下一片樹葉恰好落入花園里，則落入水池的概率為（取3）18．（2023廣東九年級(jí)上期中）已知中，，則它的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為．19．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，是邊E上的高，分別是的內(nèi)切圓，則與的面積比為．20．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)地任務(wù)：萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則.如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過程（部分）：延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)圓周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任務(wù)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：，(用含R，d的代數(shù)式表示)；(2)請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)請(qǐng)觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)(1)，(2)的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(4)應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

21．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知，如圖，為⊙O的直徑，內(nèi)接于⊙O，，點(diǎn)P是的內(nèi)心，延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)已知⊙O的半徑是3，，求的長(zhǎng)．22．（2023山東德州九年級(jí)期中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是劣弧BC上任意一點(diǎn)（不與C重合），連接，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：如圖1，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，可得P、B、Q三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：(1)根據(jù)小明的思路，請(qǐng)你完成證明；(2)若圓的半徑為4，則的最大值為__________；(3)【類比遷移】如圖2，等腰內(nèi)接于圓O，，點(diǎn)P是弧BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），連接，若圓的半徑為4，試求周長(zhǎng)的最大值．23．（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模數(shù)學(xué)試題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻在上的移動(dòng)，并始終保持．(1)請(qǐng)判斷的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：是______三角形；(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵佋谏系囊苿?dòng)時(shí)，線段、、三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻同時(shí)隨著螞蟻的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）．24．（2023·天津北辰·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）尺規(guī)作圖，如圖作出△ABC的外接圓⊙O；（2）若AB=AC=10,BC=12,則△ABC的外接圓半徑R=,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=．25．（2023秋·成都市九年級(jí)上期中）如圖，⊙O是GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、H，切線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，分別交PA、PB于點(diǎn)E、F．（1）若△PEF的周長(zhǎng)為12，求線段PA的長(zhǎng)；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．26．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）問題提出：蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問題：1．如圖（1），在的內(nèi)接四邊形中，是的直徑．與、與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？2．如圖（2），若圓心不在的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線上，問題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（1）小明發(fā)現(xiàn)問題1中的與、與都滿足互補(bǔ)關(guān)系，請(qǐng)幫助他完善問題1的證明：∵是的直徑，∴__________________，∴，∵四邊形內(nèi)角和等于，∴__________________．（2）