正弦定理和余弦定理的基本應用專題講義高三數(shù)學一輪復習

25屆高三備考中解三角形中的基本結(jié)論與應用一．基本結(jié)論1.正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有，(為的外接圓的半徑).2.正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；④.3.余弦定理：在中，有，推論：；變形：.4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解決以下類型：（1）知道兩邊及其一邊所對角，正弦定理解另一角，再用內(nèi)角和定理解最后那個角，然后正弦（余弦）解最后那個邊，且需注意以下情形的討論：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解（2）知道兩邊及其夾角，余弦定理解第三邊后再用正弦定理解角；（3）知道兩角一邊，先內(nèi)角和定理解第三個角，再正弦定理逐次解邊.5.三角形面積公式：．6.解三角形所涉及的其它知識（1）三角形內(nèi)角和定理（2）三角形邊角不等關系：.6.誘導公式在中的應用（1）；（2）二．典例分析例1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理））在中內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．解析：因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.例2．在中，，M是中點，，則___________，___________．解析:由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得(負值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案為；．例3.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A. B.2 C.4 D.8解析：設，故選：C例4．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．解析：由題意，，所以，所以，解得(負值舍去)．故答案為：．例5.如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．解析：，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案為：．例6．(2018年全國3卷)的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．解析：由余弦定理可得，所以由，所以，而，所以，故選C．例7．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，，則的面積為．解析：由余弦定理得，所以，即，解得(舍去)，所以，例8.(2022年浙江省卷)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．解析:（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．(2)因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．例9．(2022新高考全國2卷)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求面積；(2)若，求b．解析：(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；(2)由正弦定理得：，則，則，．例10．(2022年高考全國乙卷)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．解析：（1）因為，所以，所以，即，所以；（2）因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為．三．習題演練1．在中，角所對的邊長分別為.若，則（

）A． B． C．或 D．或【詳解】因為，則，所以，由正弦定理得，所以，所以或.故選：D.2．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則（

）A．1 B． C． D．2【詳解】因為，兩邊同時乘以得：，由余弦定理可得，則，所以有，又，所以，又因為，所以.故選：A3．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，則等于（

）A． B． C． D．【詳解】∵，∴，結(jié)合即可求得．由余弦定理可得.又∵，∴．故選：D4．在中，，，，則（

）A． B．4 C． D．【詳解】，，，所以，解得，，因為，所以，.故選：C.5.在中，若，則（）A． B． C． D．解析：根據(jù)正弦定理，可知，，，代入原式可得,又，，則，，，得.故選：B6．在中，，，，點在線段上．若，則，．【解析】由題可得，，由正弦定理得，解得，所以．7．在中，其內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為________.【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案為：38．的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則_____.【詳解】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因為，即，即，因為，則，因為，故.故答案為：9．△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為_________【詳解】（方法1）邊化角因為，由正弦定理得，因為，所以．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.（方法2）角化邊因為，由正弦定理得，即，又，所以，．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.10.如圖，在△ABC所在平面內(nèi)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABEF和正方形BCHG．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，則FH＝．解析：，，由已知有，又，所以，則．11．在中，角、、所對的邊長分別為、、，，．．(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解析:(1)因為，則，則，故，，，所以，銳角，則，因此，；(2)顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故．12.在中，角，，所對的邊分別為，，，，.（1）求外接圓的面積；（2）若，，求的周長.解析：（1）∵，∴，由正弦定理得：，因為，所以，得，又，故，∴外接圓的半徑，∴外接圓的面積為.（2）由及得：，，∵，則為銳角，∴，故.如圖所示，在中，由余弦定理得，，解得，則的周長為.13.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．解析：（1）已知，代入余弦定理，，化簡得：，所以．（2）由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此時，，，則的面積.14.在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求的值；（2）若，，求的周長.解析：（1）由為在方向上的投影向量，則，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得.（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，，，由（1）可知，，則，由，則，解得，，根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.15.(2020年新高考全國Ⅰ卷)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解析：由可得：，不妨設，則：，即．選擇條件①的解析：據(jù)此可得：，，此時．選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：．選擇條件③的解析：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在．16．在中，角的對邊分別為．(1)若，求的值；(2)若，求的值．解析：(1)因為由余弦定理，得，即.所以.(2)因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.17．(2018年高考數(shù)學天津卷)在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．(1)求角的大??；(2)設，求和的值．解析：(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得．(2)在中，由余弦定理及，，有，故．由，可得．因為，故．因