人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題18.5直角三角形斜邊的中線五大題型(學(xué)生版+解析)

專題18.5直角三角形斜邊的中線五大題型【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)直角三角形斜邊的中線五大題型的理解！【題型1直角三角形斜邊的中線的證明】1．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC的兩條高為BE、CF，M、N分別為BC、EF的中點(diǎn)．判斷：MN與EF的位置關(guān)系并證明．2．（2023春·湖南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分別是斜邊AB上的中線和高線，F(xiàn)是CD

(1)求CD的長(zhǎng)；(2)證明：△EDF為等邊三角形．3．（2021秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）證明命題“30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”是真命題并應(yīng)用．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求證：BC=1(2)點(diǎn)P，Q分別是Rt△ABC邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從B向C運(yùn)動(dòng)．P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，若AB＝4，當(dāng)t為多少秒時(shí)，△PQB是直角三角形．4．（2023春·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，研究圖形性質(zhì)就是研究其要素以及相關(guān)要素之間的關(guān)系.按照這一思路，小穎發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形有如下性質(zhì)；等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，請(qǐng)根據(jù)圖形補(bǔ)全已知、求證中空缺的內(nèi)容，并證明這一性質(zhì)．已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC求證：______．

5．（2022春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與探究題問(wèn)題：直角三角形除了三邊之間、兩個(gè)銳角之間有特殊的關(guān)系外，斜邊上的中線有什么性質(zhì)呢？麗麗同學(xué)利用直角三角形紙片進(jìn)行了如下的折疊實(shí)驗(yàn)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)①觀察麗麗同學(xué)的折疊實(shí)驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)線段CD與AB之間有何數(shù)量關(guān)系？在圖（1）所示的Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上中線．請(qǐng)根據(jù)圖（1）證明你的猜想．②根據(jù)上面的探究，總結(jié)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．(2)拓展應(yīng)用：如圖（2），CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，若CD＝5，則Rt△ABC面積的最小值等于______．6．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┲苯侨切斡幸粋€(gè)非常重要的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB中點(diǎn)，則CD=AD=BD=如圖2，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；(1)求證：PM=PN；(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖4，∠BAC=90°，a旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，E為AB上一點(diǎn)且AE=AC，EN⊥a于N，連接EC，取EC中點(diǎn)P，連接PM，PN，求證：PM⊥PN．7．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)校考期中）如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC與AD、DE分別交于點(diǎn)F、H，AC和DE交于點(diǎn)G，連接(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度數(shù)；(2)如圖（2）延長(zhǎng)BD，EC交于點(diǎn)M，①證明：A，②若BC=2CM，證明：BD=HD．【題型2利用直角三角形斜邊的中線求線段長(zhǎng)度】1．（2023春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，E是BD的中點(diǎn)，若AD=4，則CE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．52 C．2 2．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AE⊥BC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（

A．1 B．32 C．3 3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．若AB=11，AC=10，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為（）A．10.5 B．21 C．30 D．424．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，且AB=AC，∠BCD=20°，分別連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是

5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點(diǎn)G，若AB=4，則線段FG的長(zhǎng)為．6．（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD=AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF=7，求AC的長(zhǎng)．

7．（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD=AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF=7，求AC的長(zhǎng)．8．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AC、BD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥BD；(2)當(dāng)∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM時(shí)，求MN【題型3利用直角三角形斜邊的中線求角度】1．（2023春·湖北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜邊AB的中點(diǎn)，則∠ECD的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．22.5° D．60°2．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=25°，O為斜邊中點(diǎn)，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a0°<α<A．80° B．65° C．50°3．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖所示，CD是△ABC的中線，∠A=30°，∠BDC=45°，則∠B=．4．（2023春·寧夏固原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，DE⊥AB，DE與CB交于點(diǎn)E．若∠B=25°，則∠CDE的度數(shù)為．

5．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直線m經(jīng)過(guò)斜邊AB的中點(diǎn)D和直角頂點(diǎn)C

6．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，且AB=AC，∠BCD=20°，分別連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是

7．（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是BC中點(diǎn)，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，則∠DCB=．

8．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，∠QPC=40°，M為PQ的中點(diǎn)，∠AMC=100°，則∠PCM=°；∠BAM=

9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知AE、BD相交于點(diǎn)C，AC=AD，BC=BE，F(xiàn)、G、H分別是DC、CE、AB的中點(diǎn)．(1)求證：HF=HG；(2)∠FHA與∠ABC間有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)∠D=40°，請(qǐng)直接寫出∠FHG的度數(shù)．【題型4直角三角形斜邊的中線與折疊的綜合運(yùn)用】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，EF．若MF=CD，則∠DAF的度數(shù)為（

）A．15° B．16° C．18° D．20°2．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，將△DCE沿DE折疊至△DFE，AB與FE，F(xiàn)D分別交于G，H兩點(diǎn)．若已知AB的長(zhǎng)，則可求出下列哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)（

）

A．△AGE B．△FHG C．四邊形DHGE D．四邊形BDEG3．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠AA．60° B．45° C．30° D．25°4．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期中）在如圖所示的Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿著CD折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE．若AE∥DC，∠B=α，則∠EACA．α B．90°?α C．12α 5．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直角三角形ABC紙片中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，連接CD，將△ACD沿CD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，此時(shí)恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的長(zhǎng)為．

6．（2021春·北京海淀·八年級(jí)北理工附中期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若將△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C與邊AB的中點(diǎn)E恰好重合，則四邊形BCDE的周長(zhǎng)為．7．（2015春·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期末）操作：準(zhǔn)備一張長(zhǎng)方形紙，按下圖操作：（1）把矩形ABCD對(duì)折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿線段EA折疊，得到另一條折痕EF，展開后可得到△EBF．探究：△EBF的形狀，并說(shuō)明理由．8．（2022春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與探究題問(wèn)題：直角三角形除了三邊之間、兩個(gè)銳角之間有特殊的關(guān)系外，斜邊上的中線有什么性質(zhì)呢？麗麗同學(xué)利用直角三角形紙片進(jìn)行了如下的折疊實(shí)驗(yàn)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)①觀察麗麗同學(xué)的折疊實(shí)驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)線段CD與AB之間有何數(shù)量關(guān)系？在圖（1）所示的Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上中線．請(qǐng)根據(jù)圖（1）證明你的猜想．②根據(jù)上面的探究，總結(jié)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．(2)拓展應(yīng)用：如圖（2），CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，若CD＝5，則Rt△ABC面積的最小值等于______．【題型5利用直角三角形斜邊的中線探究線段之間的關(guān)系】1．（2020春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)?？计谥校?）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系為_______，AE、BD所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請(qǐng)判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2022秋·重慶·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)D、點(diǎn)E分別為線段AC、AB上的點(diǎn)，且DC=EA，連接MD、ME，求證：ME⊥MD；(2)如圖2，若點(diǎn)D為線段AC上的點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DC=EB，∠AED=30°，連接ED，交BC于點(diǎn)N，EF是∠AED的角平分線，交AM于點(diǎn)F，連接AN、FD，探究線段AN、FD、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．3．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF＝90°，則AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．【類比應(yīng)用】（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF＝60°，試探究AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直線AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足CE＝1，∠EDF＝60°，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)．4．（2019秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC與△CEF均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，連接AE，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，連接BG和GF．（1）如圖1，當(dāng)△CEF中E、F落在BC、AC邊上時(shí)，探究FG與BG的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)△CEF中F落在BC邊上時(shí)，探究FG與BG的關(guān)系．5．（2021秋·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）已知，如圖1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求證：CD=1（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．試用該定理解決以下問(wèn)題：已知：點(diǎn)P是任意△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)Q是邊AB的中點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B向直線CP作垂線垂足分別為E，F(xiàn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，探究QE和QF的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合時(shí)，探究QE和QF的數(shù)量關(guān)系．

6．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC．

(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出△ABC的中線CD；②延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)如圖2，若∠ACB=90°,CD是中線．試探究CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若∠ACB=45°,AC=BC,CD是△ABC的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，連接DE．若CF=4，求DE的長(zhǎng)．7．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM．(1)如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；(2)如圖2，若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；(3)若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系．8．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，等腰△ACB，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∠MDN=90°，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MDN的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），寫出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D為AB的中點(diǎn)，∠MDN=60°，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MDN的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），直接寫出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為______；（3）【拓展延伸】如圖③，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若CB=6，DC=2，則BE的長(zhǎng)為．專題18.5直角三角形斜邊的中線五大題型【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)直角三角形斜邊的中線五大題型的理解！【題型1直角三角形斜邊的中線的證明】1．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC的兩條高為BE、CF，M、N分別為BC、EF的中點(diǎn)．判斷：MN與EF的位置關(guān)系并證明．【答案】MN⊥EF，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接EM、FM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM＝FM＝12BC【詳解】解：MN⊥EF．理由：連接ME，MF．∵CF是AB邊的高，∴CF⊥AB，∴∠BFC=90°．∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，MF=1同理，ME=1∴ME=MF．又∵點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，∴MN⊥EF．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造成等腰三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分別是斜邊AB上的中線和高線，F(xiàn)是CD

(1)求CD的長(zhǎng)；(2)證明：△EDF為等邊三角形．【答案】(1)2(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)可得AB=4，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=DB=AD=12AB，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得∠CDA=60°，含30度的直角三角形的性質(zhì)可得DE=12【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2∴AB=2AC=2×2=4，∵CD是斜邊上的中線，∴CD=1（2）證明：∵CD是斜邊上的中線，∴CD=DB=AD=1∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠CDA=60°，∵CE⊥AD，∴AE=DE，∠ECD=30°，∴DE=1∵F是CD的中點(diǎn)，∴EF=1∴EF=DF，∴△EDF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．3．（2021秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）證明命題“30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”是真命題并應(yīng)用．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求證：BC=1(2)點(diǎn)P，Q分別是Rt△ABC邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從B向C運(yùn)動(dòng)．P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，若AB＝4，當(dāng)t為多少秒時(shí)，△PQB是直角三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1秒或者85【分析】（1）證明取AB中點(diǎn)D并連接CD．證明△BCD是等邊三角形，即可得證；（2）根據(jù)題意有：AP=2t，BQ＝t，AB=4，即BP＝AB-AP=4－2t，分當(dāng)∠PQB＝90°，∠BPQ＝30°時(shí)，和當(dāng)∠QPB＝90°，∠PQB＝30°時(shí)，兩種情況討論，運(yùn)用（1）的結(jié)論即可作答．（1）證明：取AB中點(diǎn)D并連接CD．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD是斜邊AB的中線，∴在Rt△ABC中，CD=BD=1∴△BCD是等邊三角形，∴BC=CD=1（2）根據(jù)題意有：AP=2t，BQ＝t，AB=4，即BP＝AB-AP=4－2t，當(dāng)∠PQB＝90°，∠BPQ＝30°時(shí)，如圖，即BP＝2BQ，4－2t＝2t，解得t＝1；當(dāng)∠QPB＝90°，∠PQB＝30°時(shí)，2BP＝BQ，24?2t解得t=8綜上：當(dāng)t為1秒或者85秒時(shí)，△PBQ【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及斜邊的中線等于斜邊的一半的知識(shí)以及動(dòng)點(diǎn)幾何的問(wèn)題，題目不難，注意分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，研究圖形性質(zhì)就是研究其要素以及相關(guān)要素之間的關(guān)系.按照這一思路，小穎發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形有如下性質(zhì)；等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，請(qǐng)根據(jù)圖形補(bǔ)全已知、求證中空缺的內(nèi)容，并證明這一性質(zhì)．已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC求證：______．

【答案】點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD=1【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，∠B=45°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=12∠BAC=45°，因此∠B=∠BAD，得到AD=BD，而BD=【詳解】解：已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC求證：AD=1證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∵BD=1∴AD=1∴等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．故答案為：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD=1【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是由等腰直角三角形的性質(zhì)推出AD=BD．5．（2022春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與探究題問(wèn)題：直角三角形除了三邊之間、兩個(gè)銳角之間有特殊的關(guān)系外，斜邊上的中線有什么性質(zhì)呢？麗麗同學(xué)利用直角三角形紙片進(jìn)行了如下的折疊實(shí)驗(yàn)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)①觀察麗麗同學(xué)的折疊實(shí)驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)線段CD與AB之間有何數(shù)量關(guān)系？在圖（1）所示的Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上中線．請(qǐng)根據(jù)圖（1）證明你的猜想．②根據(jù)上面的探究，總結(jié)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．(2)拓展應(yīng)用：如圖（2），CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，若CD＝5，則Rt△ABC面積的最小值等于______．【答案】(1)①CD=1(2)25【分析】（1）通過(guò)折疊△ABC,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，再展開得到BD=AD,由折疊△BDC使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合得到BD=CD，從而得到CD=BD=AD=12AB，倍長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，連接BE，先證△CDA≌△EDB，由全等的性質(zhì)得到∠DCA=∠DEB,BE=AC，再進(jìn)一步證明△ACB≌△EBC，證得CE=AB,從而證得CD（2）由垂線段最短知：AB邊上中線長(zhǎng)CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ABC面積的最小等價(jià)于AB最小，求得面積的最小值為25【詳解】（1）解：①由折疊知：CD=BD=AD=12下圖中，倍長(zhǎng)CD至點(diǎn)E得CD=DE，連接BE，在△BDE和△ADC中，BD=AD∴△CDA≌△EDB∴∠DCA=∠DEB,BE=AC∵∠DCA+∠BCE=90°∴∠BCE+∠BEC=90°∴∠EBC=∠BCA=90°在△BCA和△CBE中，BE=CA∴△ACB≌△EBC∴CE=AB∴CD=12②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）由垂線段最短知：AB邊上中線長(zhǎng)CE≥CD=5∵AB=2CE∴AB≥10,當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，即Rt△ABC為等腰直角三角形時(shí)，面積最小為：12【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻折變換，通過(guò)折疊去猜想直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，再通過(guò)全等三角形去證明，很好的考查了推理論證的能力．6．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)校考期末）直角三角形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB中點(diǎn)，則CD=AD=BD=如圖2，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；(1)求證：PM=PN；(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖4，∠BAC=90°，a旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，E為AB上一點(diǎn)且AE=AC，EN⊥a于N，連接EC，取EC中點(diǎn)P，連接PM，PN，求證：PM⊥PN．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)成立；證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）如圖2中，延長(zhǎng)NP交BM的延長(zhǎng)線于G.只要證明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可證明；（2）結(jié)論：PM=PN.延長(zhǎng)NP交BM于G，證明方法類似（1）；（3）如圖4中，延長(zhǎng)NP交BM于G.先證明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再證明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因?yàn)锳N=CM，所以MG=MN，即可證明PM⊥PN．【詳解】（1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)NP交BM的延長(zhǎng)線于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，∠PCN=∠PBG∠CPN=∠GPB∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（2）解：結(jié)論：PM=PN．如圖3中，延長(zhǎng)NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，∠PCN=∠PBG∠CPN=∠GPB∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（3）解：如圖4中，延長(zhǎng)NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，∴∠EAN=∠ACM，在△EAN和△CAM中，∠ENA=∠AMC=90°∠EAN=∠ACM∴△EAN≌△CAM，∴EN=AM，AN=CM，∵EN⊥AM，CM⊥AM，∴EN∥CG，∴∠ENP=∠CGP，在△ENP和△CGP中，∠ENP=∠CGP∠EPN=∠CPG∴△ENP≌△CGP，∴EN=CG=AM，PN=PG，∵AN=CM，∴MG=MN，∵PN=PG，∴PM⊥PN．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．7．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)校考期中）如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC與AD、DE分別交于點(diǎn)F、H，AC和DE交于點(diǎn)G，連接(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度數(shù)；(2)如圖（2）延長(zhǎng)BD，EC交于點(diǎn)M，①證明：A，②若BC=2CM，證明：BD=HD．【答案】(1)40°(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）①連接BE，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)分別證明△ABC≌△ADE、△ABD≌△AEC、△DBH≌△CEH、△MDE≌△MCB得到ME=MB，BH=EH，根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證的結(jié)論；②根據(jù)鄰補(bǔ)角定義和四邊形的內(nèi)角和為360°證得∠BMC=90°，取BC中點(diǎn)O，連接MO，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到∠MCB=60°=∠MDE，∠MBC=30°，再利用三角形的外角性質(zhì)得到∠DBH=∠DHB，根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)論正確．【詳解】（1）解：∵AB=AD，∠BDA=65°，∴∠ABD=∠BDA=65°，∴∠BAD=180°?2×65°=50°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=90°?50°=40°；（2）解：連接BE，在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=EA，∴△ABC≌△ADESAS∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，BC=DE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又AB=AC=AD=EA，∴△ABD≌△AECSAS∴BD=CE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，∴∠DBH=∠CEH，又∠DHB=∠CHE，∴△DBH≌△CEHAAS∴BH=EH，∵∠MDE+∠ADB+∠ADE=180，∠MCB+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠MDE=∠MCB，又DE=BC，∠MED=∠MBC，∴△MDE≌△MCBASA∴ME=MB，又AB=AE，BH=EH，∴A，M，∴A，②由①知，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ACM=180°，∴∠ABD+∠ACM=180°，∵∠ABM+∠ACM+∠BAC+∠BMC=360°，∠BAC=90°，∴∠BMC=90°，取BC中點(diǎn)O，連接MO，則MO=OC=OB=1∵BC=2CM，∴MO=OC=CM，∴△MOC是等邊三角形，∴∠MCB=60°=∠MDE，則∠MBC=30°，∵∠MDE=∠DBH+∠DHB，∴∠DHB=60°?30°=30°，∴∠DBH=∠DHB，∴BD=HD．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，是解答的關(guān)鍵【題型2利用直角三角形斜邊的中線求線段長(zhǎng)度】1．（2023春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，E是BD的中點(diǎn)，若AD=4，則CE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．52 C．2 【答案】C【分析】先證明∠ABD=∠A，根據(jù)等角對(duì)等邊得到BD=AD=4，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=90°?∠ABC=30°，∵BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，∴∠ABD=1∴∠ABD=∠A，∴BD=AD=4，在△ABC中，∠ACB=90°，E是BD的中點(diǎn)，∴CE=1故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AE⊥BC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（

A．1 B．32 C．3 【答案】B【分析】先求出AB，再根據(jù)中線求出AD、BD，然后利用等腰三角形性質(zhì)即可得出．【詳解】解：在Rt△ABC∵∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，∴AB=1∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=1∴△ABD為等邊三角形，∵AE⊥BC，∴DE=1故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理、等腰三角形三線合一等知識(shí)點(diǎn)，直角三角形性質(zhì)定理的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．若AB=11，AC=10，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為（）A．10.5 B．21 C．30 D．42【答案】B【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=12AB，DF=12【詳解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE=12AB=112，DF=∴四邊形的周長(zhǎng)=AE+DE+DF+AF=21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．4．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，且AB=AC，∠BCD=20°，分別連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是

【答案】25°【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三線合一可得DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出∠BED=∠ECD+∠EDC=40°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接DE，

∵點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，∴DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，則DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD∵∠BCD=20°，∴∠BED=∠ECD+∠EDC=40°∴∠AED=∠AEB+∠BED=130°∴∠DAE=1故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三線合一，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點(diǎn)G，若AB=4，則線段FG的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】延長(zhǎng)BF交AC于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AB=4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF=∠AFG，得到AG=FG，推出FG=1【詳解】解：延長(zhǎng)BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵AF=AF，∴△ABF?△AEF（ASA），∴AE=AB=4，∵FG∥AB，∴∠BAF=∠AFG，∴∠GAF=∠GFA，∴AG=FG，∵∠FAG+∠AEF=∠AFG+∠EFG=90°，∴∠GFE=∠GEF，∴FG=GE，∴FG=GE=AG，∴FG=1故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理，繼而正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD=AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF=7，求AC的長(zhǎng)．

【答案】14．【分析】連接AF，證明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC【詳解】連接AF，

∵AB=AD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，∴AF⊥BD，∴∠AFB=∠AFD=90°，在Rt△AFC中，E為AC∴EF=1∴AC=14．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記以上概念并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD=AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF=7，求AC的長(zhǎng)．【答案】14【分析】連接AF，證明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC【詳解】解：連接AF，∵AD=AB，∴△ABD是等腰三角形，又F是BD的中點(diǎn)，∴AF是△ABD的中線，∴AF也是△ABD的高，即∠AFC=90°又∵E是AC的中點(diǎn)，∴EF是Rt△AFC∴EF=12AC∴AC=2EF=2×7=14．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記以上概念并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AC、BD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥BD；(2)當(dāng)∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM時(shí)，求MN【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2.5【分析】（1）連接BM、DM．由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得（2）由∠BCA=15°及BM=CM=12AC可得∠BMA=30°，再由OB=OM得∠OBM=∠BMA=30°，在Rt【詳解】（1）證明：如圖，連接BM、∵∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是邊AC、BD的中點(diǎn)，∴BM=12AC∴BM=DM=1∵N是BD的中點(diǎn)，∴MN是BD的垂直平分線，∴MN⊥BD．（2）解：∵∠BCA=15°，BM=CM=1∴∠BCA=∠CBM=15°，∴∠BMA=30°，∵OB=OM，∴∠OBM=∠BMA=30°，∵AC=10cm，BM=∴BM=5cm在Rt△BMN中，∠BNM=90°∴MN=1答：MN的長(zhǎng)是2.5cm【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，其中連接BM、【題型3利用直角三角形斜邊的中線求角度】1．（2023春·湖北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜邊AB的中點(diǎn)，則∠ECD的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．22.5° D．60°【答案】B【分析】由題意可求出∠ACD=34∠ACB=67.5°，即∠ACE+∠ECD=67.5°．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得出CE=AE，從而可證∠ACE=∠A．再根據(jù)CD⊥AB，即得出∠ACD+∠A=90°，即∠ECD+∠ACE+∠A=90°，進(jìn)而可求出∠ACE=∠A=22.5°【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=34∠ACB=67.5°∵E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE=AE,∴∠ACE=∠A．∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，即∠ECD+∠ACE+∠A=90°，∴67.5°+∠A=90°，∴∠ACE=∠A=22.5°，∴∠ECD=67.5°?∠ACE=45°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=25°，O為斜邊中點(diǎn)，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a0°<α<A．80° B．65° C．50°【答案】A【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得OC=OA=OB，再證明△BOC≌POC，得∠BOC=【詳解】解：∵∠ACB=90°，O∴OC=OA=OB，∴∠OBC=∴∠BOC=130°由旋轉(zhuǎn)知OA=OP，∴OB=OP，∵CB=CP，CO=CO，∴△BOC≌POC（SSS），∴∠BOC=∴α=∠BOC+∠POC?180°=80°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角形全等．3．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖所示，CD是△ABC的中線，∠A=30°，∠BDC=45°，則∠B=．【答案】105°【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連接HD，根據(jù)垂直定義可得∠AHB=∠CHB=90°，從而可得∠ABH=60°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得DH=BD，從而可得△BHD是等邊三角形，進(jìn)而可得HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，最后利用三角形外角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系求出∠ACD=∠HDC=15°，從而可得HD=HC，進(jìn)而可得HB=HC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠HBC=∠HCB=45°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連接HD，∴∠AHB=∠CHB=90°，∵∠A=30°，∴∠ABH=90°?∠A=60°，∵DH是斜邊AB上的中線，∴DH=BD=1∴△BHD是等邊三角形，∴HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，∵∠BDC=45°，∴∠HDC=∠HDB?∠BDC=15°，∵∠ACD=∠BDC?∠A=15°，∴∠ACD=∠HDC=15°，∴HD=HC，∴HB=HC，∴∠HBC=∠HCB=45°，∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=105°，∴∠ABC的度數(shù)為105°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·寧夏固原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，DE⊥AB，DE與CB交于點(diǎn)E．若∠B=25°，則∠CDE的度數(shù)為．

【答案】40°【分析】由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得CD=BD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DCB=∠B=25°，由垂線的定義可得∠EDB=90°，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∵DE⊥AB，∴∠EDB=90°，∵∠DCB+∠B+∠CDE+∠EDB=180°，∴∠CDE=180°?∠DCB?∠B?∠EDB=180°?25°?25°?90°=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、垂線的定義、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、垂線的定義、三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直線m經(jīng)過(guò)斜邊AB的中點(diǎn)D和直角頂點(diǎn)C

【答案】150°【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得BD=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)∠B=∠BCD=60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：Rt△ABC中，D為斜邊AB∴BD=1∴∠B=∠BCD，又∠B=60∴∠BCD=60°，又∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，∵m∥∴∠ACD+∠CEF=180°，∴∠CEF=150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，且AB=AC，∠BCD=20°，分別連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是

【答案】25°【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三線合一可得DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出∠BED=∠ECD+∠EDC=40°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接DE，

∵點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，∴DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，則DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD∵∠BCD=20°，∴∠BED=∠ECD+∠EDC=40°∴∠AED=∠AEB+∠BED=130°∴∠DAE=1故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三線合一，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是BC中點(diǎn)，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，則∠DCB=．

【答案】75°【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OB=OC=OA=OD=12BC，再利用BC=2AD可得△OAD是等邊三角形，從而得到∠AOD=60°，利用等腰三角形的性質(zhì)三線合一可得∠AOB=90°，從而得到∠COD=30°，再利用OC=OD【詳解】解：∵O是BC中點(diǎn)，∠BAC=∠BDC=90°∴OB=OC=OA=OD=1又∵BC=2AD，即AD=1∴OA=OD=AD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∵O是BC中點(diǎn)，AB=AC∴∠AOB=90°，(三線合一)∴∠COD=180°?∠AOB?∠AOD=30°，又∵OC=OD，∴∠DCB=180°?∠COD故答案是：75°．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)定理求出∠COD是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，∠QPC=40°，M為PQ的中點(diǎn)，∠AMC=100°，則∠PCM=°；∠BAM=

【答案】4015【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義和直角三角形的性質(zhì)可得MC=12PQ=MP=QM，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PCM=∠QPC=40°；由余角的性質(zhì)可得∠ACM=∠ACB?∠MCP=50°，進(jìn)而說(shuō)明∠QMC=80°，則∠QMA=20°；再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠AQM=130°，運(yùn)用三角形內(nèi)角和可得∠QAM=30°【詳解】解：∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴MQ=MP，∵∠ACB=90°，∴MC=1∴∠PCM=∠QPC=40°；∴∠ACM=∠ACB?∠MCP=50°，∵M(jìn)C=QM，∴∠CQM=∠MCQ=50°，∴∠QMC=180°?∠CQM?∠MCQ=80°，∵∠AMC=100°，∴∠QMA=∠AMC?∠CMQ=20°，∵∠AQM=∠ACB+∠QPC=130°，∴∠QAM=180°?∠AQM?∠AMQ=30°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∴∠BAM=∠CAB?∠QAM=15°．故答案為①40；②15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)定，靈活運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知AE、BD相交于點(diǎn)C，AC=AD，BC=BE，F(xiàn)、G、H分別是DC、CE、AB的中點(diǎn)．(1)求證：HF=HG；(2)∠FHA與∠ABC間有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)∠D=40°，請(qǐng)直接寫出∠FHG的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠FHA=2∠ABC，理由見(jiàn)解析(3)100°【分析】（1）連接AF、BG，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求出∠FHA+∠GHB=80°，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接AF、BG，∵AC=AD，BC=BE，F(xiàn)、G分別是DC、CE的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，BG⊥AE，∴∠AFB=∠BGA=90°，∵H是AB的中點(diǎn)，∴HF=12AB∴HF=HG．（2）解：∠FHA=2∠ABC，理由如下：由（1）可知，HF=BH，∴∠HFB=∠ABC，∵∠FHA是△BHF的外角，∴∠FHA=∠HFB+∠ABC=2∠ABC．（3）解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠D=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ACD=40°，由（2）可知，∠FHA=2∠ABC，同理：∠GHB=2∠BAC，∴∠FHA+∠GHB=2∠ABC+2∠BAC=2∠ABC+∠BAC∴∠FHG=180°?∠FHA+∠GHB故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4直角三角形斜邊的中線與折疊的綜合運(yùn)用】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，EF．若MF=CD，則∠DAF的度數(shù)為（

）A．15° B．16° C．18° D．20°【答案】C【分析】連接DM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AM=DM=CM，從而得到∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD，再由折疊的性質(zhì)可得DF=CD，從而得到∠DFC=∠DCF，進(jìn)而得到MF=FD，繼而得到∠FMD=∠FDM，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，從而得到∠DFC=4∠FAD，設(shè)∠DAF=x，則∠ADM=x，∠CDM=∠DCF=∠DFC=4x，再由∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，即可求解．【詳解】解：如圖，連接DM，在長(zhǎng)方形ABCD中，∠ADC=90°，∵點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AM=DM=CM，∴∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD，∵△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，∴DF=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵M(jìn)F=CD，∴MF=FD，∴∠FMD=∠FDM，∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，∴∠DFC=2∠FMD，∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，∴∠DMC=2∠FAD，∴∠DFC=4∠FAD，設(shè)∠DAF=x，則∠ADM=x，∠CDM=∠DCF=∠DFC=4x，∵∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，∴x+4x=90°，解得：x=18°，即∠DAF=18°．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，三角形的內(nèi)角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，將△DCE沿DE折疊至△DFE，AB與FE，F(xiàn)D分別交于G，H兩點(diǎn)．若已知AB的長(zhǎng)，則可求出下列哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)（

）

A．△AGE B．△FHG C．四邊形DHGE D．四邊形BDEG【答案】A【分析】先作出輔助線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角的數(shù)量關(guān)系得出GA=GF即可求解．【詳解】如圖，連接AD，AF，∵三角形ABC是等腰直角三角形，且D為斜邊的中點(diǎn)，

∴DA=DC=DB，∠DAG=∠DAC=∠B=∠C=45°，由折疊可得DA=DC=DB=DF，∴∠DAF=∠DFA，∵∠DAG=∠DFG=∠C=45°，∴∠GFA=∠GAF，∴GA=GF，∴C△AEG故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和折疊，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩個(gè)底角是45°和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，折疊前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．3．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠AA．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【分析】先根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出BC=CE，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出CE=AE=BE，進(jìn)而可判斷出△BEC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△BCD沿CD折疊，∴BC=CE，∵E為AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠A=90°?60°=30°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期中）在如圖所示的Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿著CD折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE．若AE∥DC，∠B=α，則∠EACA．α B．90°?α C．12α 【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知CD=BD=AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=α，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出∠AED=∠EDC，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求得∠EAD的度數(shù)，最后∠EAC=∠EAD-∠CAD即可求出．【詳解】∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，△ABC為直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折疊得到，∴△CDE≌△CDB，則CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=α，∴∠EDC=180°-2α，∵AE∥∴∠AED=∠EDC=180°-2α，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2α，∵∠B=α，△ABC為直角三角形，∴∠CAD=90°-α，∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=180°-2α-（90°-α）=90°-α，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形兩個(gè)銳角互余，熟練地掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直角三角形ABC紙片中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，連接CD，將△ACD沿CD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，此時(shí)恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的長(zhǎng)為．

【答案】1【分析】如圖，設(shè)CE交AB于點(diǎn)O，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD，∠A=∠ACD，由翻折的性質(zhì)可知∠ACD=∠DCE，再根據(jù)CE⊥AB，可證明∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，可得∠B=60°，從而得到△BCD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)CE交AB于點(diǎn)O，∵∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠ACD，由翻折的性質(zhì)可知∠ACD=∠DCE，∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠B=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠BCE=∠A，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，∴∠B=90°?∠BCE=90°?30°=60°，∵CD=BD，∴△BCD是等邊三角形，∵CB=1，∴CD=CB=1，∴折痕CD的長(zhǎng)為1．故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)．6．（2021春·北京海淀·八年級(jí)北理工附中期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若將△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C與邊AB的中點(diǎn)E恰好重合，則四邊形BCDE的周長(zhǎng)為．【答案】24【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到DE＝BE=12AB＝6，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得到四邊形【詳解】解：∵BD⊥AD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE=BE=12由折疊可得：CB=BE，CD=ED，∴四邊形BCDE的周長(zhǎng)為6×4=24．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．7．（2015春·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期末）操作：準(zhǔn)備一張長(zhǎng)方形紙，按下圖操作：（1）把矩形ABCD對(duì)折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿線段EA折疊，得到另一條折痕EF，展開后可得到△EBF．探究：△EBF的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】△EBF為等邊三角形．【詳解】試題分析：（1）把矩形ABCD對(duì)折，可得M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，（2）把A折向MN，可得BE=2AP，再由（3）沿線段EA折疊，可得BF=2AP，從而可得出BE=BF，因此∠1=∠2，由角的關(guān)系求出∠1=60°，即可證出△EBF為等邊三角形．試題解析：△EBF是等邊三角形；理由如下：如圖所示：由操作（1）得：M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，∴在Rt△ABE中，P為BE的中點(diǎn)，AP是斜邊上的中線，∴AP=BP=12在△EBF中，A是EF的中點(diǎn)，∴AP=12∴BE=BF，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴△EBF為等邊三角形．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）．8．（2022春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與探究題問(wèn)題：直角三角形除了三邊之間、兩個(gè)銳角之間有特殊的關(guān)系外，斜邊上的中線有什么性質(zhì)呢？麗麗同學(xué)利用直角三角形紙片進(jìn)行了如下的折疊實(shí)驗(yàn)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)①觀察麗麗同學(xué)的折疊實(shí)驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)線段CD與AB之間有何數(shù)量關(guān)系？在圖（1）所示的Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上中線．請(qǐng)根據(jù)圖（1）證明你的猜想．②根據(jù)上面的探究，總結(jié)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．(2)拓展應(yīng)用：如圖（2），CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，若CD＝5，則Rt△ABC面積的最小值等于______．【答案】(1)①CD=1(2)25【分析】（1）通過(guò)折疊△ABC,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，再展開得到BD=AD,由折疊△BDC使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合得到BD=CD，從而得到CD=BD=AD=12AB，倍長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，連接BE，先證△CDA≌△EDB，由全等的性質(zhì)得到∠DCA=∠DEB,BE=AC，再進(jìn)一步證明△ACB≌△EBC，證得CE=AB,從而證得CD（2）由垂線段最短知：AB邊上中線長(zhǎng)CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ABC面積的最小等價(jià)于AB最小，求得面積的最小值為25【詳解】（1）解：①由折疊知：CD=BD=AD=12下圖中，倍長(zhǎng)CD至點(diǎn)E得CD=DE，連接BE，在△BDE和△ADC中，BD=AD∴△CDA≌△EDB∴∠DCA=∠DEB,BE=AC∵∠DCA+∠BCE=90°∴∠BCE+∠BEC=90°∴∠EBC=∠BCA=90°在△BCA和△CBE中，BE=CA∴△ACB≌△EBC∴CE=AB∴CD=12②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）由垂線段最短知：AB邊上中線長(zhǎng)CE≥CD=5∵AB=2CE∴AB≥10,當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，即Rt△ABC為等腰直角三角形時(shí)，面積最小為：12【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻折變換，通過(guò)折疊去猜想直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，再通過(guò)全等三角形去證明，很好的考查了推理論證的能力．【題型5利用直角三角形斜邊的中線探究線段之間的關(guān)系】1．（2020春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)校考期中）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系為_______，AE、BD所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請(qǐng)判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)H，AH交BC于點(diǎn)O．只要證明△ACE≌△BCDSAS（2）由△ACE≌△BCD，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)H，AH交BC于點(diǎn)O，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCDSAS∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案為：AE=BD，AE⊥BD．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由如下：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°?∠CED=135°，由（1）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC?∠CDE=135°?45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．2．（2022秋·重慶·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)D、點(diǎn)E分別為線段AC、AB上的點(diǎn)，且DC=EA，連接MD、ME，求證：ME⊥MD；(2)如圖2，若點(diǎn)D為線段AC上的點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DC=EB，∠AED=30°，連接ED，交BC于點(diǎn)N，EF是∠AED的角平分線，交AM于點(diǎn)F，連接AN、FD，探究線段AN、FD、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2AC=2AN+FD，見(jiàn)解析【分析】（1）連接AM，證明△MEA?△MDCSAS，根據(jù)等角的余角相等即可證明∠EMD=∠AMC=90°，進(jìn)而可得ME⊥MD（2）過(guò)D作DG⊥AC，交BC于點(diǎn)G，過(guò)F分別作FP⊥AD，F(xiàn)H⊥ED，F(xiàn)Q⊥AB，垂足分別為P、H、Q，證明△EBN?△DGNAAS，進(jìn)而證明DF是∠ADE的角平分線，EF是∠AED的角平分線，可得FH=FP=FQ，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD，進(jìn)而可得(1)證明：連接AM，∵點(diǎn)M為等腰直角△ABC為斜邊BC上的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，AM=MC，∠MAE=∠MCD=45°，∵DC=EA，∴△MEA?△MDC∴∠EMA=∠DMC∴∠EMA+∠AMD=∠DMC+∠AMD即∠EMD=∠AMC=90°，∴ME⊥MD(2)過(guò)D作DG⊥AC，交BC于點(diǎn)G，過(guò)F分別作FP⊥AD，F(xiàn)H⊥ED，F(xiàn)Q⊥AB，垂足分別為P、H、Q∵在等腰直角△ABC中，∠C=45°，且DG⊥AC，∴△GDC為等腰直角三角形，∴GD=CD，∵DC=EB，∴GD=EB，∵∠BAC=90°∴BA⊥AC∴DG∴∠BEN=∠GDN又∠ENB=∠DNG∴△EBN?△DGN∴EN=DN，∴ED=2AN，∵EF是∠AED的角平分線，而∠MAB=∠MAD=45°，∴DF是∠ADE的角平分線，在Rt△ADE中，∠EAD=90°，∠AED=30°∴∠ADE=60°∴∠FDH=30°∵FP⊥AD，F(xiàn)H⊥ED，F(xiàn)Q⊥AB，∴FH=FP=FQ，EH=EQ，AP=AQ，DP=DH，∴2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD=HE+HF+HF+HD=DE+2HF=2AN+FD.即2AC=2AN+FD.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF＝90°，則AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．【類比應(yīng)用】（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF＝60°，試探究AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直線AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足CE＝1，∠EDF＝60°，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)．【答案】（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB，理由見(jiàn)解析；（3）32【分析】（1）證明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，從而證明AB＝AF+AE；（2）取AB中點(diǎn)G，連接DG，利用ASA證明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，同理證明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，從而求解．【詳解】（1）如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDF＝∠ADE，∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE，∴AB＝AF+BF＝AF+AE；故答案為：AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB如圖2，取AB中點(diǎn)G，連接DG，∵點(diǎn)G是Rt△ADB斜邊中點(diǎn)，∴DG＝AG＝BG＝12AB∵AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠GDF＝∠ADE，∵DG＝AG，∠BAD＝60°，∴△ADG為等邊三角形，∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，∴△GDF≌△ADE（ASA），∴GF＝AE，∴AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF∴AE+AF＝12AB（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，如圖3，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，當(dāng)AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°時(shí)，AE＝4，此時(shí)F在BA的延長(zhǎng)線上，同（2）可得：△ADF≌△HDE（ASA），∴AF＝HE，∵AH＝CH＝12AC＝52，∴AF=HE=CH?CE=5當(dāng)點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，同理可得：AF=HE=CH+CE=5綜上：AF的長(zhǎng)為32或7【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合問(wèn)題，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4．（2019秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC與△CEF均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，連接AE，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，連接BG和GF．（1）如圖1，當(dāng)△CEF中E、F落在BC、AC邊上時(shí)，探究FG與BG的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)△CEF中F落在BC邊上時(shí)，探究FG與BG的關(guān)系．【答案】(1)FG=BG，F(xiàn)G⊥BG；證明見(jiàn)詳解；（2）FG=BG，F(xiàn)G⊥BG；證明見(jiàn)詳解；【分析】（1）由∠AFE=∠ABE=90°，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，則GF=AG=12AE（2）過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接DG，CG，根據(jù)題意，找出相應(yīng)的條件證明△GFE≌△GBD（SAS），得到FG=BG，與（1）證法一樣，證明∠CGD=90°，通過(guò)等量代換即可得到∠FGB=90°.【詳解】解：（1）FG=BG，F(xiàn)G⊥BG；如圖1，∵∠ABC＝∠CFE＝90°，∴△ABE和△AFE是直角三角形，∵點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，∴GF=AG=12AE∴GF=BG.，∠GAF=∠GFA，∠GAB=∠GBA，∴∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，∵∠BAC=∠FAG+∠BAG=45°∴∠BGF=∠FGE+∠BGE=2（∠FAG+∠BAG）=90°，即FG⊥BG；（2）GF=BG，GF⊥BG；過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接DG，CG，∵△ABC與△CEF均為等腰直角三角形，ED⊥AB，∴∠FBD=∠BFE=∠EDB=90°，∴四邊形BFED是矩形，∴BD=EF，在直角三角形ADE和直角三角形ACE中，G是AE中點(diǎn)，∴DG=GE=AG=CG=12∴∠GED=∠GDE，∴∠FEG=∠BDG，∴△GFE≌△GBD（SAS），∴GF=GB，CF=BD，∵DG=AG=CG，∴△CGF≌△DGB，∠CAG=∠ACG，∠DAG=∠ADG，∴∠CGF=∠DGB，∵∠CAG+∠DAG=45°，∠CGE