2022高中數(shù)學所有公式全

2022高中數(shù)學必背：高中數(shù)學所有公式全匯總

小編老師特意整理出2022高中數(shù)學必背之高中數(shù)學所有公式，希望能夠為

廣大考生提供幫助。

【集合】

一、常用符號

e------屬于0------不屬于

G——包含于￡——真包含于

?——包含2——真包含

0一一空集符號=一一集合相等符號

n——交集符號u——并集符號

u---全集符號Cu一一補集符號

N一一自然數(shù)集Z——整數(shù)集

N+(N")——正整數(shù)集Q——有理數(shù)集

R——實數(shù)集CRQ——無理數(shù)集

【基本初等函數(shù)I】【函數(shù)應用】

+%2=，

(3)根與系數(shù)的關(guān)系12ca

產(chǎn)1牝=

三、常用定理

1.零點存在定理

一般地，我們有：如果函數(shù)3，=〃乃在區(qū)間［Q,可上的圖象是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有/3)-/(幼〈0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)有零點，即存在cE(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方

程“幻=0的根。

2.二分法的操作步驟

給出精確度￡,用二分法求函數(shù)在區(qū)間［Q,可上零點近似值的步

驟如下：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗證f(a)?f(b)V0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(a,b)的中點c；

(3)計算f(c)；

①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點；

②若f(a)?/(c)<0，則令b=c(此時零點凡￡(a,c))；

③若f(c)<0,則令Q=c(此時零點無06(c,b))；

一、概念與符號

1.函數(shù)的零點

對于函券3=/(%),我們把使fQ)=0的實數(shù)%叫做函數(shù)y=f(x)的零

點(zero)

2.二分法

對于在區(qū)間小可上的連續(xù)不斷且"a)"(b)V0的函數(shù)y=f。)，

通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二「更區(qū)間的兩個端

點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection)o

二、常用公式

L二次函數(shù)式：

2ax

/(%)=ax+bx+c=a(x—%2)=C一九乃+k(其中QH

0,h=-3土=如±).

2a4a/

2.二次函數(shù)圖象在黑軸上兩點間的距離：

r---------------------\/b2-4ac

1^1—X2I=V+X2)2—4%1%2=---------------

3.方程ax?+b%+c=0(a=0)：

(1)判別式A=b2-4ac；

(2)求根公式2=自四S20)；

x42a

(4)判斷是否達到精確度即若|a-b|V￡,則得到零點近似值

Q(或。)；否則重復(2)~(4)。

3.7(%)=/(2Q-％)=/(a+%)=/(a-%)=>f(x)的圖象關(guān)于直

線X=Q對稱.

4.f(m4-%)=f(n-%)=>f(x)的圖象關(guān)于直線久=^對稱.

當?1為偶數(shù)時，府=|a|=fa，a-0,

、一Q,a<0.

(3)規(guī)定：an=>0,m,nGNM,且？i>1)；

=-m(a>0,m,nENx,且n>1)；

a五

a0=l(a^0).

2.對數(shù)恒等式

a】ogaN=N,logaa=1,logal=0.(其中N>0,a>0,且QH1)

3.對數(shù)運算法則

設a>0,且QHLM>0,N>0,貝！J

loga(MN)=logaM+logaN,

lOgaO=1嗚M-10gaN,

n

10gaN=nlogaN

4.對數(shù)換底公式

10gcfeir

logab=-----(&>0且。工1；00且。61；h>0)

【空間幾何體】

一、常用公式

S圓柱全=2nr(r4-Z),%=S九；

S圓錐=7rr(r+Z),曝=?九；

S國臺=n(r，2+r2+憶=1(S+VsT+SQ/i；

S球=4兀R?,

二、常用定理

(1)用一個平面去截一個球，截面是圓面.

(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面.

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面關(guān)系：

r=^R2-d2.

(4)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截

面截得的圓叫做小圓.

(5)在球面上兩點之間連線的最短長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在

這兩點間的一段劣弧的長度，這個弧長叫做兩點間的球面距離.

【點、直線和平面的位置關(guān)系】

一、概念與符號

平面a、0、y,

直線a、b、c>

點A、B、C.

Aea——點4在直線Q上或直線a經(jīng)過點4

aua---直線a在平面a內(nèi).

ar\p=a---平面a、/?的交線是a.

a(p----平面a、0平行.

ply----平面4與平面y垂直.

二、常用定理

1.異面直線判斷定理

過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面

直線.

2.線與線平行的判定定理

(1)平行于同一直線的兩條直線平行.

(2)垂直于同一平面的兩條直線平行.

(3)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平

面相交，那么這條直線和交線平行.

(4)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平

行.

(5)如果一條直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個

平面的交線.

3.線與線垂直的判定

若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線.

4.線與面平行的判定

(1)平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平

行.

(2)若兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另

一個平面.

【空間向量與立體幾何】

一、常用公式

1.ci=(Qj,，a2,Q?)，b=(bj_,b?,b?),4(,E1,,zj,

B(%2,V1fZ2)9則

⑴|Q|=JQ：+a'+畛

⑵COS〈Q,b)=I氏"+a當+。迪.；

Jal+a2+aS'Jb^+b2+bS

⑶|阿=J(%—%2)2+(71—%)2+31-Z2)2.

2.中點坐標公式

已知4。1，y\,Zi),B(%2，出，Z2),若M(x,y,z)是線段4B的中

點，則有久=』，y=3,z=g.

222

3.異面直線所成的角

設異面直線48、CD所成角為氏則

cos。=\cos(AB,CD)\=落禺.

4.直線與平面所成的角

如圖，已知P4為平面a的一條斜線，ri為平面a的一個法向量，過P作

設異面直線48、CD間的值離為d,則

|BC-n|\BD-n\

|n|

=野=0（其中-滿足71?荏=0,且。?而=0）.

InlIni

注意：異面直線間的距離問題在新課標中有所淡化，此公式僅作了解

即可.要注意體會點到平面的距離公式與該公式的聯(lián)系，從而體會點

面之距、異面直線之距間的相互轉(zhuǎn)化.

二、常用定理

1?澄LQ=（%］，，Z［）,b=（%29，Z2），則

Xj=A%2，

y［=Xy2，

{Z1=XZ2；

⑵若％2y2Z2工。，貝！J。II6?—=—=—;

42%Z2

zz

（3）a1b=%1%2++i2=0.

2.共面向量定理：如果兩個向量。、b不共線，則向量c與向量a、b共

面的充要條件是存在唯一的一對有序?qū)崝?shù)%、y,使c=xQ+3由.

(4)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平

行.

(5)如果一條直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個

平面的交線.

3.線與線垂直的判定

若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線.

4.線與面平行的判定

(1)平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平

行.

(2)若兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另

一個平面.

【直線與方程】

一、概念與符號

L傾斜角

在平面直角坐標系中，對于一條與X軸相交的直線，如果把%軸繞著交

點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為e那么a

就叫做直線的傾斜角，當直線和刀軸平行或重合時，規(guī)定其傾斜角為0’,

因此，傾斜角的取值范圍是O'Wav1800.

2.斜率

傾斜角不是90’的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，常

用k表示，即士=tana,常用斜率表示傾斜角不等于90,的直線對于％軸

的傾斜程度.

34到%的角

^依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與％重合時所轉(zhuǎn)的角.

4.k和%所成的角

%和相交構(gòu)成的四個角中不大于直角的角叫這兩條直線所成的角，

簡稱夾角.

二、常用公式

L斜率公式

J

(1)P1(%1,%),P2(%2^2)?則“PiP2=D(無1*%2).

(2)若1的傾斜角為a,則憶=tana(aH；).

2.“到角”及“夾角”公式

設k：y=Zi%+%，l2：y=k2x-^b2^

⑴當1+kk2#0時，k到%的角為伍則36=三露。與％的夾

11+k工

角為a,則tana=I；2'^?

\l+k1k2

⑵當1+的心=0時，兩直線夾角為90：

3.點到直線的距離公式

點P(%o，%)到1:4尤+By+C=0的距離：

._3o+Byo+Cl

="+s2?

4.平行線間的距離公式

兩平行線4t+8y+G=0與4工+5丫+。2=0之間的距離為：

dJFI

三、常用定理

兩直線位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理如下：

(1)當k：y=如％：y=七%+%

平行，k1=k2,且％￥b2

垂直；的心=一1

相交：k^k2

【圓與方程】

犬=Q+Rcos0

（。為參數(shù)，0<8<2兀）.

y=b+Rsin0

4.直線與圓的位置關(guān)系

設直線心4x+By+C=0,圓C：（第一Q）2+（y—b）2=產(chǎn).圓心

C（Q,b）到I的距離為d="湍;J

則d>r與圓C相離;

d=丁=］與圓C相切;

dvrol與圓C相交.

5.圓與圓的位置關(guān)系

設圓C/。一%）2+°，一瓦）2=/，圓（%—。2）2+。，一%）2=

R2.設兩圓的圓心距為d,

則當d>R+r時，兩圓外離；

當日=7?十丁時，兩圓外切；

當|R—丁|Vd<R+丁時，兩圓相交;

當d=|R-r|時，兩圓內(nèi)切；

當dV|R-r|時，兩圓內(nèi)含.

【圓錐曲線與方程】

4,雙曲線《一《=1(。>0,/?>0)與其共聊雙曲線\一卷=1的離

心率分別為名、/，則5+5=1.

%02

三、拋物線

1.焦半徑公式；設F是拋物線*=2p、(p>0)的焦點，P(x0,%)是

拋物線上任一點，則|PF|=%0+*

2.F為拋物線丫2=29、0>0)的焦點，】為其準線，弦48過焦點F,

且助4a],%),B(X2,y2),48所在直線的傾斜角為氏貝J

GP22

①=771-y2=-p?

②14-=%+1|BF|=M+3|43|=汽]+孫+7=需了?特別

地，當時8=/弦長MB|=2p,此時即為拋物線的通徑長.

③SRAOB=七?

吊+匕=2

\AF\IBF!p

⑤過B作BC〃無軸，點C在準線上，貝以、B、F三點共線=4、0、C三

點共線.

四、直線與圓錐曲線的關(guān)系

2

1.弦長公式：\AB|=Vl+/el%i-x21=11+點|%一%1-

2.拋物線的焦點弦|4例=%+第z+P?

3.拋物線的通徑|4B|=2p.

一、橢圓

1,橢圓弓+《=l{a>b>O),c2=a2-b2(c>0),焦距I&F2I=2c.

5-3-11

橢圓會+氤=1(。>b>0)的離心率有：e=：=Jl_..

二、雙曲線

1.雙曲線W—q=l(a>0,b>0),有c2=?2+爐，焦距

az

IF/2I=2c.

2.雙曲線《一《=l(a>0,b>0)的離心率有形式：e=：=

3.等軸雙曲線：實軸和虛軸等長的雙曲線，即。=匕的雙曲線，雙曲

線是等軸雙曲線的充要條件，是兩條漸近線垂直(或離心率e=&).

【算法初步】

5.循環(huán)語句

(1)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

IX)

循環(huán)體

L(X)PU\TIL條件

(2)當型循環(huán)結(jié)構(gòu)

WlilLE條件

循環(huán)體

Wl：\l)

【統(tǒng)計】

一、常用符號

%一一平均數(shù),S2—一方差,S一—標準差,E一一求和符號

二、常用公式

2

元=；（%i+牝+…+工麓），s?=:E21a—%）

s==賽言署，式=歹一放

回歸方程

y=a+bx

其中

c2之1（%一元）?一y）2之1陽見一位?T

h=?...1=????,?,

2

EN1a一元）2E%*-nx

zs

a=y—bx.

相關(guān)系數(shù)

「2-n元?9

J。％：_九.2）.（2乂2一城2）

【概率】

【離散型隨機變量的分布列】

(1)若X服從兩點分布，則E(X)=p

(2)若X?B@,p),貝！JE(X)=np

(3)E(aX+b)=aE(X)+b

7.離散型隨機變量X的方差：

22

D(X)=[%i-E(Z)]2Pl+[x2-E(Z)]Pi+…+[xn-E(Z)]pn.

特別地：

(1)若X服從兩點分布，則D(X)=p(l—p)

⑵若X~Bgp),則。(幻=7ip(l-p)

(3)D(jaX+b)=a2D(X)

8,正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式：

!(父-”)2

/(%)=-==e202,%eR,

其中〃，。是參數(shù)，且?！?,-oo<[i<4-OO,式中4和CF分別是正態(tài)

變量的數(shù)學期望和標準差.期望為小標準差為。的正態(tài)分布通常記作

N@,a2).

當〃=0,。=1時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)分布，記作N(0,1).

標準正態(tài)分布的函數(shù)表示式是

#2

/3)=看2-三，%6R.

【三角函數(shù)】

一、常用概念

1.角的概念及推廣

(1)一條射線由原來的位置。4繞著它的端點。按逆(順)時針方向

旋轉(zhuǎn)到另一位置08,就形成角a.旋轉(zhuǎn)開始時的射線。/稱為角a的始

邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線08稱為角a的終邊，射線的端點。稱為角a的

頂點(如圖).

(2)逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角稱為正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成

的角稱為負角，當射線沒有旋轉(zhuǎn)時，稱為零角.

2.弧度及弧度制

長度等于半徑長的弧稱為一弧度的弧，一弧度的弧所對的圓心角是一

弧度的角，這種度量角的制度稱為弧度制.

3.三角函數(shù)的定義

X

sinxCOSTtanx

tf+k-2n(k€Z)sinacosaUna

ir+a-sina-cosaUna

-a-sinacosa-Una

ff-asina-cosa-tana

JT

2~acosasina

n

2+ccosa-slna

三、常用結(jié)論

1.一些特殊角的集合表示

⑴與a終邊相同的角的集合：｛00=2土兀+a,kEZ｝；

⑵終邊在第一、三，二、四象限的平分線上的角的集合:

｛a|a=Z兀+：,kGzj,

｛例。=kn一彳,kez）；

⑶終邊在坐標軸上的角的集合：｛a|a=y,kez）；

⑷終邊在四個象限的平分線上的角的集合，

{a|a=V+4,4￡z}.

2,度與弧度的換算及特殊角的三角函數(shù)值

度0,30?45,60490,180,270,360*

nnnn

笈度0ff2n

6462

正弦0生史10-10

1

統(tǒng)1史口0-101

~2T2

正桃01G-0-0

T

【三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

一、常用圖形

1?

二、常用性質(zhì)

函數(shù)名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

解析式y(tǒng)=sin%y=cosxy=tanx

[x\x6R且X7T+￡,k€z]

定義域RR

值域[-1，1][f1]R

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

有界性有界函數(shù)有界函數(shù)

周期性T=27rT=2TTT=n

增區(qū)間增區(qū)間增區(qū)間

rnTTI[2kn-7T,2kn\

\2kit--,2kir+(/nr-g,kjr+j)

(keZ)

單調(diào)性城區(qū)間減區(qū)間(fceZ)

[2kn,2kn4-TT]

\「2kn+n2,2而+亍3x]1

fteZ)

(fcez)

三、常用公式

1.正弦函數(shù)y=Asin（3%+?）和余弦函數(shù)y=Acos（a）x+口）的周期

12n

2.正切函數(shù)y=4tan（3第+0）的周期為T=百

【三角恒等變換】

一、常用公式

1.兩角和（差）公式

sin(a±/?)=sinacos(i±cosasm/?；

cos(a±/?)=cosacos/?干sinasin0；

tana+tan0

tan(a±0)=

1+tanatan6

2.倍角公式:

sin2a=2sinacosa；

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；

2tana

tan2a=

1-tan2a

3.倍角公式的逆用:

sina1+cosa

【解三角形】

一、常用公式

1.三角形面積公式

Ss=土底X高=-absinC=-besin?l=-acsinB=—

ABC22224點

其中R為A4BC的外接圓半徑.

二、常用定理

1.正弦定理：

—=—=—=2/?.

sinAsinBsinC

2.余弦定理：

a12=b2+c2-2becosA,

Z>2=a2+c2—2accosB,

c2=a2+b2—2abcosC.

3.求角公式

222222222

.b+c-ana+c-b「a+b-c

COS/=-----------------,COSB=-------,COSC=-------.

2bc2aclab

三、常用結(jié)論

在銳角448。中,

1.4+8+。=兀；

2C.s.m-A-+-B=cosC-；

22

CA+B.C

3.cos----=sm-；

22

4.cos(i4+B)=—cosC；

5.sin(2i44-2B)=-sin2C；

6.cos(2i4+2B)=cos2C；

7.A>B>貝(Jsin4>sinB.

【平面向量】

8.三角形重心坐標公式:

（4+M+%3

「=3，

yi+y+y

y=------2-----3，

V3

其中（％1，%），（叼，丫2），。3，丫3）為三角形三頂點的坐標?

9.長度公式

(1)|a|=y/x2+y2,其中a=(x,y)；

(2)畫=-七)2+仇一。2/，其中4ai，%),B(%2，”)?

10.角度公式：

cosd=七42+尸1尸2其中8為a與b的夾角.

二、常用定理

L平面向量基本定理

如果電、?是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的

任一向量Q,有且只有一對實數(shù)%、％,使。=入送1+”?2.

2.兩向量共線定理

向量b與非零向量。共線的充要條件是有且僅有有個實數(shù)九使b=Aa.

3.兩向量垂直定理

向量Q與向量b垂直的充琴條件是Q6=0.

【數(shù)列】

一、常用公式

1.等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

an+l

定義=d一q

%

a=%+(n-l)d,%=%qf

通項公式n

%=%+(n—m)d外=a”/

d=Q(…}q"T=，

a

公差(比)i

j°”一q"F=&

d=(fnwm)、

n-inam

n(at+an)s苦心=手叫)，

S*2nl-q1-q5，

前加頁和公式

n(n-l)s=nai(Q=1)

=吟+2dn

Q+b

中項公式A=----G=±y[ab(ab>0)

2

7n+n"+%=Qp+aqaman=a/q

=p+q

2.在等差數(shù)列｛冊｝中：

(Dan=m,am=n,m=^n,貝!1。舊十八=0；

⑵若Sn=m,Sm=n,m^n,則5小+九=-(?n+n)；

⑶若=Sm,m^n,則Sm+n=0.

3,若｛QJ與燈｝均為等差數(shù)列，且前幾項和分別為S八與Z,則詈=沔.

4.項數(shù)為271(716N")偶數(shù)的等差數(shù)列｛Q/有：

【不等式】

1.不等式的性質(zhì)

①Q(mào)>bQbVa

②Q>b,b>c=>a>c

③a>b=a+c>b+c

④Q>b,c>0=>ac>be；a>b,c<0=>ac<be

⑤a>b,c>d=>a+c>b+d

⑥a>h>0,c>d>0=>ac>bd

?a>b>0=>an>bn(neN,n>2)

⑧Q>匕>0=宣>V&(neN,nN2)

2.一元二次不等式：

ax2+&%+c>0(a0),設工1、七是方程。產(chǎn)+"+。=。的解，

且/<%2,若a>0,貝！I

A>0,{x\x<%1,或x〉％2}；

(b

A=0,]x%GR,Hx:

I2a)

A<0,%6R.

3.基本不等式:

,—Q+b

4ab<

(其中Q>0,h>0,當且僅當Q=b時取

【常用邏輯用語】

一、常用符號

pVq------p或q,pAq------p且q,-yp----非p

V——任意產(chǎn)——存在

A=B一一人是8成立的充分條件

BnA——力是B成立的必要條件

A=B——4是8成立的充要條件

二、常用結(jié)論

1.

2.在p或q命題中，一真為真.

3.在p且q命題中，一假為假.

4.在非p命題中，與p的真假相反.

5.全稱命題p：VxEM,p(x),它的否定叩：3x6M,?p(x).

【導數(shù)及其應用】

①如果在不附近的左側(cè)尸(乃＞0,右側(cè)尸(盼＜0,那么fQo)是極大

值；

②如果在%。附近的左側(cè)尸(%)＜0,右側(cè)尸(盼＞0,那么是極小

值；

3.一般地，求函數(shù)y=/Q)在［Q,可上的最大值與最小值的步驟如

下：

①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)的極值；

②將函數(shù)y=f。)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),/(b)比較，其中

最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

4.微積分基本定理

如果FG)=f3),且了⑴在［a,b］上可積,則

=F(%)|：=F(b)一F(a),其中FQ)叫做f(x)的一個原函

數(shù).

【復數(shù)】

一、常用公式

1.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

(a+bi)—(c+di)=(a—c)4-(b—d)i,

(a+bi)(c+di)=(ac—b(T)+(ad+bc)i,

a+bi空^+亭吟心+山/0）（以上。、氏c、deR）.

c+dicz+d，+d^

2?Z]±z2=Z1±z?，

Z1?Z2=Z]?z2,

1)=卻2X