九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練（滬教版）第03講 三角形一邊的平行線（解析版）

第03講三角形一邊的平行線【知識梳理】1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點和點，那么．2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．如圖，點、分別在的邊、上，，那么．3、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍．4、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點和點，如果那么//．6、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．BBCDEFG7、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．【考點剖析】一．三角形的重心（共13小題）1．（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）A．三角形三條角平分線的交點 B．三角形三條中線的交點 C．三角形三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條高的交點【分析】根據(jù)三角形的重心概念作出回答，結(jié)合選項得出結(jié)果．【解答】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點．故選：B．【點評】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點；三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點．2．（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AD＝6，那么線段DG的長是2．【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍，直接求得結(jié)果．【解答】解：∵三角形的重心到頂點的距離是其到對邊中點的距離的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案為：2．【點評】本題考查的是三角形的重心，熟知心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關鍵．3．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的長為12．【分析】延長AG交BC于點D，根據(jù)重心的性質(zhì)可知點D為BC的中點，且AG＝2DG＝4，則AD＝6，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解．【解答】解：如圖，延長AG交BC于點D．∵點G是△ABC的重心，AG＝4，∴點D為BC的中點，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊的中線，∴BC＝2AD＝12．故答案為12．【點評】本題考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．同時考查了直角三角形的性質(zhì)．4．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，點G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足為E，如果CB＝10，則線段GE的長為（）A． B． C． D．【分析】因為點G是△ABC的重心，根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點以及重心的性質(zhì)：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2：1，可知點D為BC的中點，，根據(jù)GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，進而證得△AEG∽△ACD，從而得到，代入數(shù)值即可求解．【解答】解：如圖，連接AG并延長交BC于點D．∵點G是△ABC的重心，∴點D為BC的中點，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的定義及其性質(zhì)，熟練運用三角形重心的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】連接AG延長交BC于點D，由G是重心可得D是BC的中點，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，則2S△BGD＝S△ABG，進而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：連接AG延長交BC于點D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中點，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故選：B．【點評】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面積的特點求解是解題的關鍵．6．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為6，則PQ的長為1．【分析】連接DE，由G是△ABC的重心，可證DE是△ABC的中位線，從而可求出DE的長．延長EP交BC于F點，連接DF，利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再證明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：連接DE，延長EP交BC于F點，連接DF，如圖，∵G是△ABC的重心，∴D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴．∵P點是△BCE的重心，∴F點為BC的中點，EP＝2PF，∵Q點是△BCD的重心，∴點Q在中線DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案為：1．【點評】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，設點E、F分別是△ABC和△ACD的重心，則兩重心E與F之間的距離是．【分析】取AC中點O，連接OB、OD、BD、EF．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后證明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如圖，取AC中點O，連接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等邊三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵點E、F分別是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形重心的定義與性質(zhì)，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關鍵．8．（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝1：3．【分析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，由此即可計算．【解答】解：延長AG交BC于D，∵點G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案為：1：3．【點評】本題考查三角形的重心，關鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)．9．（2023?金山區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1為△ABC的重心，E為線段AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE（點D在直線BC的上方），G2為Rt△CDE的重心，設G1、G2兩點的距離為d，那么在點E運動過程中d的取值范圍是0≤d≤．【分析】分別求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范圍．【解答】解：當E與B重合時，G1與G2重合，此時d最小為0，當E與A重合時，G1G2最大，連接并延長AG1交BC于H，連接并延長DG2交AC于K，連接HK，過G2作G2T⊥AH于T，如圖：∵G1為等腰直角三角形ABC的重心，∴H為BC中點，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是為等腰Rt△CDE的重心，∴K為AC中點，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共線，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值為，∴G1G2的范圍是0≤G1G2≤，故答案為：0≤d≤．【點評】本題考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及應用，解題的關鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)．10．（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC，P是邊BC上一點，△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，那么的值為．【分析】由重心的性質(zhì)：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面積：△ADE的面積＝4：9，而△ADE的面積＝×△ABC的面積，即可解決問題．【解答】解：延長AG1交PB于D，延長AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中點，E是PC中點，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面積：△ADE的面積＝4：9，∵D是PB中點，E是PC中點，∴△ADE的面積＝×△ABC的面積，∴的值為．故答案為：．【點評】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)．11．（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的長為2．【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵．12．（2018?寶山區(qū)校級自主招生）G為重心，DE過重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并證明結(jié)論．【分析】設AD＝mAB，AE＝nAC，由G為△ABC重心得＝3，再由當＝＝時，有最大值，則mn有最小值，而無論D、E任何移動，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值為，最小值為．證明：假設△ABC面積為S1，△ADE面積為S2，設AD＝mAB，AE＝nAC，∵G為△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD?AE?sinA＝mAB?nAC?sinA＝mnS1，當＝＝時，有最大值，則mn有最小值，而無論D、E任何移動，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值為，最小值為．【點評】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，解決此題的關鍵是根據(jù)G為△ABC重心得到＝3．13．（2019秋?嘉定區(qū)校級月考）如圖，點G是△ABC的重心，過點G作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的長．【分析】如果連接AG并延長，交BC于點P，由三角形的重心的性質(zhì)可知AG＝2GP，則AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根據(jù)相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，從而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，結(jié)合EF+BC＝7.2cm來求BC的長度．【解答】解：如圖，連接AG并延長，交BC于點P．∵G為△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF過點G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【點評】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．三角形三邊的中線相交于一點，這點叫做三角形的重心．重心到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似．相似三角形的三邊對應成比例．二．平行線分線段成比例（共19小題）14．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必須等于6．【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使DE∥AC，必須即可得出BE的長．【解答】解：∵在△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使DE∥AC，必須是解決問題的關鍵．15．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、C、E和點B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A． B． C． D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的長．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．16．（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．【分析】如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴當時，，∴DE∥BC，故A選項能夠判斷DE∥BC；而C，B，D選項不能判斷DE∥BC．故選：A．【點評】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，能夠熟練掌握并運用．17．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果點H、G分別在△DEF中的邊DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DE C．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：A、當DH：EH＝DG：GF，即＝時，HG∥EF，本選項不符合題意；B、當HG：EF＝DH：DE，不能判定HG∥EF，本選項符合題意；C、當EH：DE＝GF：DF，即＝時，HG∥EF，本選項不符合題意；D、當DE：DF＝DH：DG，即＝時，HG∥EF，本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．18．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a∥b∥c，若，則下面結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】已知a∥b∥c，根據(jù)平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合題意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合題意；根據(jù)已知條件得不出＝，故C符合題意；由＝，得＝＝，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．19．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列結(jié)論正確的是（）A．BD：DF＝2：3 B．AB：CD＝2：3 C．CD：EF＝3：5 D．DF：BF＝2：5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A選項錯誤，不符合題意；AB：CD的值無法確定，B選項錯誤，不符合題意；CD：EF的值無法確定，C選項錯誤，不符合題意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D選項正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．20．（2023?長寧區(qū)一模）如圖，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的長等于12．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，從而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如圖：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案為：12．【點評】本題考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理，列出比列式．21．（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么線段EF的長是．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案為：．【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關鍵．22．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．23．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）證明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD?AG＝AF?AB．【點評】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關鍵．24．（2023?崇明區(qū)一模）四邊形ABCD中，點F在邊AD上，BF的延長線交CD的延長線于E點，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)各個選項中的條件和圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定，可以判斷哪個選項符合題意．【解答】解：當時，無法判斷AD∥BC，故選項A不符合題意；當＝時，∠AFB＝∠DFE，則△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但無法判斷AD∥BC，故選項B不符合題意；當時，無法判斷AD∥BC，故選項C不符合題意；當時，∠FED＝∠BEC，則△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判斷判斷AD∥BC，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查平行線分線段成比例、平行線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的長等于（）A．4 B． C． D．8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例；熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是本題的關鍵．26．（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本選項符合題意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本選項不符合題意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本選項不符合題意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．27．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，已知直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE＝8．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案為：8．【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．掌握平行線分線段成比例是解題關鍵．28．（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定方法解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴四邊形ADFE是菱形；（2）如圖，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【點評】本題主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關鍵．29．（2021秋?楊浦區(qū)校級月考）如圖，點D為△ABC中內(nèi)部一點，點E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當，求的值．【分析】（1）先根據(jù)相似比的性質(zhì)得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對應邊的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．30．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長，即可得出AC的長．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．31．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理求解；（2）過點A作AK∥DF交BE于點J，交CF于點K，則AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如圖，過點A作AK∥DF交BE于點J，交CF于點K，則AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．32．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，已知點A、C、E和點B、F、D分別是∠O兩邊上的點，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于點M，CD、EF交于點N．（1）求證：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求線段DN的長．【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DE得到OA?OD＝OE?OB，由BC∥EF得到OC?OF＝OE?OB，所以OA?OD＝OC?OF，即＝，于是可判斷AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，則可設OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接著由FN∥BC得到＝＝，于是可設DN＝3a，則CN＝2a，然后證明四邊形MFNC為平行四邊形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a從而得到DN的長．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴＝，即OA?OD＝OE?OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC?OF＝OE?OB，∴OA?OD＝OC?OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，設OB＝5x，則BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，設DN＝3a，則CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四邊形MFNC為平行四邊形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．【過關檢測】一、單選題1．（2023·上?！ば？家荒＃┤鐖D，已知，，，那么的長等于（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．故選：C【點睛】本題考查了平行線分線段成比例；熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是本題的關鍵．2．（2022秋·上海浦東新·九年級?？计谥校┰谥校?、分別在的邊、上，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、，不能判定，故A符合題意；B、∵，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，故C不符合題意；D、∵，∴，故D不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行線的判定，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．3．（2022秋·九年級單元測試）在中，點E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果，，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目的已知條件畫出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可．【詳解】如圖：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴∴∵，∴故選：B【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例這個基本事實是解題的關鍵．4．（2021秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，點D、點F在的邊上，點E在邊上，，且，要使得，還需添加一個條件，這個條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，則可以推出當，即時，．【詳解】解：，，，當時，，此時，故A選項符合題意；B，C，D選項均不能得出．故選A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是掌握“如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊”．5．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┤鐖D，點、分別在、上，以下能推得的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或延長線，所得的對應線段成比例．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．【詳解】解：設，那么，選項A、B、D、不符合平行線分段成比例定理．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．∵，∴．故選：C．【點睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解答此題的關鍵的是明確哪些對應線段成比例．學生初學，容易出錯．6．（2022秋·上海崇明·九年級?？计谥校┰谥?，點D、E分別在邊、上，如果，，那么由下列條件能夠判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊可對各選項進行判斷即可．【詳解】當或時,,當時，可得，當時，可得，即或.所以B選項是正確的，故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．二、填空題7．（2022秋·上海嘉定·九年級?？计谥校┰谥?，點、分別在線段、的延長線上，平行于，，，，那么___________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段陳比例定理求解即可．【詳解】∵∴∵，，，∴∴故答案為：8．【點睛】此題考查了平行線分線段陳比例定理，解題的關鍵是掌握平行線分線段陳比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年級?？计谥校┤鐖D，中，E是邊的中點，交對角線于點F，那么的值為____．【答案】/0.2【分析】證明，推出，設，則，，求出四邊形的面積，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵E是邊的中點，∴，∴，∴，設，則，，∴，∴，；故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．9．（2022秋·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期中）如圖，、相交于點O，點E、F分別在、上，，如果，，，，那么___________．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理得到，，求得，即可解決問題.【詳解】解：∵，，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：10．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．10．（2022秋·上海奉賢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD中，，如果，則的長是________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，求出，即可得出答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，正確得出比例線段是解題的關鍵．11．（2022秋·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）在中，點、分別在直線、上，如果，，，，那么________．【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段陳比例定理求解即可．【詳解】解：作如下圖：∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，故答案為：4．【點睛】此題考查了平行線分線段陳比例定理，解題的關鍵是掌握平行線分線段陳比例定理．12．（2022秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）在中，點分別在邊上，，，當______時，．【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判定即可．【詳解】解：∵，，∴當時，．∴，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，解題的關鍵是能夠熟練掌握并運用平行線分線段成比例定理．13．（2022秋·上海長寧·九年級校考期中）如圖，點D、F在線段上，點E、G在線段上，，，如果，那么的長為________．【答案】12【分析】根據(jù)，，得到，得到即，代入計算即可．【詳解】因為，，所以，所以，所以，因為，所以．故答案為：12．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．14．（2022秋·上海奉賢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知為角平分線，，如果，，那么______．【答案】【分析】由可得，再根據(jù)題干條件，即可求解．【詳解】解：∵，，又，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵．15．（2017秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，直線，直線與這三條平行線分別交于點和點．若，則的長為__________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式解答即可．【詳解】∵，∴，∵，則∴，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，找準對應線段是解題的關鍵．16．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，對角線相較于點O，已知的面積為2，的面積為4，那么_____________．【答案】【分析】根據(jù)的面積為2，的面積為4，得出，根據(jù)，得出即可．【詳解】解：∵的面積為2，的面積為4，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是根據(jù)同高的兩個三角形的面積之比等于兩個三角形的底之比求出．17．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，如果，，，則的長是__________．【答案】//【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，求出，即可得出答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，正確得出比例線段是解題的關鍵．18．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，，那么的長等于______．【答案】12【分析】根據(jù)平行線分線段對應成比例，列式計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例，是解題的關鍵．三、解答題19．（2019秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）已知：如圖，點、在上，點在邊上，且，．求證：．【答案】見解析【分析】通過相似三角形的性質(zhì)求得，即可得證．【詳解】證明：∵，∴∴，又∵，∴，∴∵∠A=∠A∴∴∴．【點睛】此題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握有關性質(zhì)是解題的關鍵．20．（2021秋·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得再代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）由，可得可得結(jié)合，從而可得答案.【詳解】解（1），AB＝3，BC＝6，DE＝4，經(jīng)檢驗：符合題意；（2），而DE：EF＝2：3，【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“兩條直線被一組平行線所截的對應線段成比例”是解題的關鍵.21．（2022秋·上海寶山·九年級?？茧A段練習）我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．【答案】(1)燈桿AB的高度