2024屆山東省日照市高三下學期校際聯(lián)考（二模）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3山東省日照市2024屆高三下學期校際聯(lián)考（二模）數(shù)學試題一、選擇題1.已知冪函數(shù)圖象過點，則函數(shù)的〖解析〗式為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設冪函數(shù)的〖解析〗式為，由于函數(shù)過點，故，解得，該冪函數(shù)的〖解析〗式為；故選：B.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)在定義域上單調遞增，所以由推得出，故充分性成立；由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C3.已知，若，則（）A1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，且，可得，解得.故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以,故選：B.5.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則（）A. B. C.1 D.9〖答案〗A〖解析〗因為數(shù)列各項均為正數(shù)，首項，則，又數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，故，故選：A.6.已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則的最大值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，當為直徑時，，所以最大值為.故選：B.7.已知是定義域為的偶函數(shù)，，，若是偶函數(shù)，則（）A. B. C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，即，即，所以.所以關于點中心對稱.又是定義域為的偶函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為4.所以，所以.故選：D.8.如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為．四面體以所在的直線為軸旋轉弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內正投影面積看成關于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時平面與平面所成角分別為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設過且平行于平面的平面為，由題意知，四面體在平面的上方時和下方時完全對稱，故函數(shù)的周期為．取中點E，連接CE、D+E，如圖，，，，，，，則，而，故，，所以到的距離為，又，，平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，又，所以直線與平面所成的角為，，E為AB中點，，又在平面內，則面CDE，又面CDE，則DE，，在平面內，則面ABC，又面ABD，則面ABD面ABC，設在平面的投影為，可得．下面討論一個周期內的情形：當時，如圖，，，，則，故．當時，如圖，到的距離為，，當時等號成立，，即．綜上所述，，此時，又直線與平面所成的角為，所以平面與平面所成的角為．故選：D．二、選擇題9.同時投擲甲、乙兩枚質地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（）A.與相互獨立 B.與互斥 C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，依題意，，，所以事件與事件相互獨立，故A正確；對于B，由題意可知，事件與事件有可能同時發(fā)生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件與事件不是互斥事件，故B錯誤；對于C、D，，因為，所以，所以，故C正確，D錯誤．故選：AC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在上單調遞減C.函數(shù)的圖象向左平移個單位后關于直線對稱D.若圓的半徑為，則〖答案〗ACD〖解析〗A選項，由對稱性可知點的橫坐標為，設的最小正周期為，則，解得，A正確；B選項，因為，所以，點在圖象上，即點在圖象上，將其代入函數(shù)〖解析〗式得，又，故，解得，故，當時，，又，在上不單調，故函數(shù)在上不單調遞減，B錯誤；C選項，函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，其中，故關于直線對稱，C正確；D選項，若圓的半徑為，即，又，故，解得，所以將代入中得，，解得，則，D正確.故選：ACD11.已知是曲線上不同的兩點，為坐標原點，則（）A.的最小值為3B.C.若直線與曲線有公共點，則D.對任意位于軸左側且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在兩點處的切線垂直〖答案〗BCD〖解析〗當時，原方程即，化簡為，軌跡為橢圓，將代入，解得，則此時，即此部分為橢圓的一半，當時，原方程即，化簡得，將代入，解得或，則此時，即此部分為圓的一部分，作出曲線的圖形如下：選項A：當時，，當時取最小值3，當時，，當時取最小值1，則的最小值為1，故A錯誤；選項B：因為表示點與點和點的距離之和，當時，點和點為橢圓的焦點，由橢圓定義可知=4，當時，點為圓的圓心，點在圓上，所以=當點P在或時最大，且為2，所以，即，故B正確；選項C：直線過定點，當直線經過或時，直線斜率，聯(lián)立，化簡得，因直線與曲線有公共點，即，解得或，所以直線與曲線有公共點時，故C正確；選項D：當點P在橢圓上時，對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P，則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零正實數(shù)，曲線C在y軸右側橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零負實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，同理，當點P在圓上時，對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P，則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零負實數(shù)，曲線C在y軸右側圓部分切線斜率也可以取到任何非零正實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，所以對任意位于軸左側且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在兩點處的切線垂直，故D正確；故選：BCD.三、填空題12.設為虛數(shù)單位．若集合，，且，則______．〖答案〗〖解析〗由集合，，因為，當時，此時，方程組無解；當時，此時，解得，綜上可得，實數(shù)的值為.故〖答案〗為：.13.已知軸為函數(shù)的圖像的一條切線，則實數(shù)的值為___________.〖答案〗〖解析〗由，得，設切點為，，則，消去并整理，得，則．．故〖答案〗為：．14.“序列”在通信技術中有著重要應用，該序列中的數(shù)取值于或1.設是一個有限“序列”，表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，得到新的有序實數(shù)組.例如：，則.定義，，若中1的個數(shù)記為，則的前10項和為______.〖答案〗〖解析〗因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，設中有項為0，1和的項數(shù)相同都為，所以，，從而①，因為表示把中每個都變?yōu)椋總€0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，得到新的有序實數(shù)組，則②，①②得③，所以④，④③得，所以當為奇數(shù)且時，，經檢驗，當時符合，所以(為奇數(shù))，當偶數(shù)，則為奇數(shù)，又因為，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以的前10項和為.故〖答案〗為：四、解答題15.的內角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．（1）求角；（2）若，，求．（1）解：由分別以為邊長的正三角形的面積依次為，則，可得，由余弦定理得，因為，所以.（2）解：設（其中為銳角），在和中，由正弦定理可得且，于是，又因為，所以，化簡得，根據同角三角函數(shù)的基本關系式，可得，因為，聯(lián)立方程組，解得，即.16.在三棱錐中，，平面，點在平面內，且滿足平面平面，．（1）求證：；（2）當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．（1）解：作交于，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，且平面，所以，又因為，，且平面，，所以平面，因為平面，所以.（2）解：以為原點，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標，如圖所示，則，設，因，所以，因為，所以，即，又由，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，又因為為平面的一個法向量，設二面角的平面角為，則，因為，解得（舍去）或，所以點或，所以三棱錐的體積為.17.某公司為考核員工，采用某方案對員工進行業(yè)務技能測試，并統(tǒng)計分析測試成績以確定員工績效等級．（1）已知該公司甲部門有3名負責人，乙部門有4名負責人，該公司從甲、乙兩部門中隨機選取3名負責人做測試分析，記負責人來自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值：（2）該公司統(tǒng)計了七個部門測試的平均成績（滿分100分）與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據數(shù)據繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經計算得，（?。┮阎巢块T測試的平均成績?yōu)?0分，估計其績效等級優(yōu)秀率；（ⅱ）根據統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經計算，求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于的概率．參考公式與數(shù)據：①．②線性回歸方程中，，．③若隨機變量，則，，．解：（1）依題意，隨機變量服從超幾何分布，且的可能取值為，，，，則，，，．由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值為；（2）（?。┮李}意，兩邊取對數(shù)，得，即，其中，由提供的參考數(shù)據，可知，又，故，所以，由提供的參考數(shù)據，可得，故，當時，，即估計其績效等級優(yōu)秀率為；（ⅱ）由（ⅰ）及提供的參考數(shù)據可知，，，又，即，可得，即．又，且，由正態(tài)分布的性質，得，記“績效等級優(yōu)秀率不低于”為事件，則，所以績效等級優(yōu)秀率不低于的概率等于．18.在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓相切，與圓相交于兩點，設為圓上任意一點，求的面積最大時直線的斜率．解：（1）由題橢圓的左焦點為，即①；當時，，又過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以②，由①②得：，所以橢圓的標準方程為：.（2）當斜率存在時，設直線方程為,與聯(lián)立，消去并整理得：已知直線與橢圓相切，所以，化簡得：；又O到直線的距離為，設P到直線的距離為，則，則的面積，令,得,當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，取得極大值也是最大值,當斜率不存在時，可得，此時的面積，因為，所以，綜上：的面積最大值為，此時故的面積最大時直線的斜率為.19.已知函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由；（2）函數(shù)在區(qū)間上的所有極值之和為，證明：對于．（1）解：因為函數(shù)，所以，當時，，所以，在上單調遞減，且，所以在上無零點；當時，，所以，在上單調遞增，且，，所以在上有唯一零點；當時，，，在上單調遞減，且，，所以在上有唯一零點；綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點．（2）證明：因為，所以，由（1）知，在無極值點，在有極小值點，記為，在有極大值點，記為，同理可得，在有極小值點，，在有極值點，由，得，因為，，所以，所以，因為，，所以，所以，，因為，所以，由函數(shù)在上單調遞增，得．所以，因為在內單調遞減，所以，所以，同理，，，，因為在上單調遞減，所以，所以，且，；當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，綜上知，對，．山東省日照市2024屆高三下學期校際聯(lián)考（二模）數(shù)學試題一、選擇題1.已知冪函數(shù)圖象過點，則函數(shù)的〖解析〗式為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設冪函數(shù)的〖解析〗式為，由于函數(shù)過點，故，解得，該冪函數(shù)的〖解析〗式為；故選：B.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)在定義域上單調遞增，所以由推得出，故充分性成立；由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C3.已知，若，則（）A1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，且，可得，解得.故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以,故選：B.5.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則（）A. B. C.1 D.9〖答案〗A〖解析〗因為數(shù)列各項均為正數(shù)，首項，則，又數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，故，故選：A.6.已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則的最大值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，當為直徑時，，所以最大值為.故選：B.7.已知是定義域為的偶函數(shù)，，，若是偶函數(shù)，則（）A. B. C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，即，即，所以.所以關于點中心對稱.又是定義域為的偶函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為4.所以，所以.故選：D.8.如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為．四面體以所在的直線為軸旋轉弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內正投影面積看成關于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時平面與平面所成角分別為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設過且平行于平面的平面為，由題意知，四面體在平面的上方時和下方時完全對稱，故函數(shù)的周期為．取中點E，連接CE、D+E，如圖，，，，，，，則，而，故，，所以到的距離為，又，，平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，又，所以直線與平面所成的角為，，E為AB中點，，又在平面內，則面CDE，又面CDE，則DE，，在平面內，則面ABC，又面ABD，則面ABD面ABC，設在平面的投影為，可得．下面討論一個周期內的情形：當時，如圖，，，，則，故．當時，如圖，到的距離為，，當時等號成立，，即．綜上所述，，此時，又直線與平面所成的角為，所以平面與平面所成的角為．故選：D．二、選擇題9.同時投擲甲、乙兩枚質地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（）A.與相互獨立 B.與互斥 C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，依題意，，，所以事件與事件相互獨立，故A正確；對于B，由題意可知，事件與事件有可能同時發(fā)生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件與事件不是互斥事件，故B錯誤；對于C、D，，因為，所以，所以，故C正確，D錯誤．故選：AC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在上單調遞減C.函數(shù)的圖象向左平移個單位后關于直線對稱D.若圓的半徑為，則〖答案〗ACD〖解析〗A選項，由對稱性可知點的橫坐標為，設的最小正周期為，則，解得，A正確；B選項，因為，所以，點在圖象上，即點在圖象上，將其代入函數(shù)〖解析〗式得，又，故，解得，故，當時，，又，在上不單調，故函數(shù)在上不單調遞減，B錯誤；C選項，函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，其中，故關于直線對稱，C正確；D選項，若圓的半徑為，即，又，故，解得，所以將代入中得，，解得，則，D正確.故選：ACD11.已知是曲線上不同的兩點，為坐標原點，則（）A.的最小值為3B.C.若直線與曲線有公共點，則D.對任意位于軸左側且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在兩點處的切線垂直〖答案〗BCD〖解析〗當時，原方程即，化簡為，軌跡為橢圓，將代入，解得，則此時，即此部分為橢圓的一半，當時，原方程即，化簡得，將代入，解得或，則此時，即此部分為圓的一部分，作出曲線的圖形如下：選項A：當時，，當時取最小值3，當時，，當時取最小值1，則的最小值為1，故A錯誤；選項B：因為表示點與點和點的距離之和，當時，點和點為橢圓的焦點，由橢圓定義可知=4，當時，點為圓的圓心，點在圓上，所以=當點P在或時最大，且為2，所以，即，故B正確；選項C：直線過定點，當直線經過或時，直線斜率，聯(lián)立，化簡得，因直線與曲線有公共點，即，解得或，所以直線與曲線有公共點時，故C正確；選項D：當點P在橢圓上時，對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P，則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零正實數(shù)，曲線C在y軸右側橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零負實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，同理，當點P在圓上時，對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P，則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零負實數(shù)，曲線C在y軸右側圓部分切線斜率也可以取到任何非零正實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，所以對任意位于軸左側且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在兩點處的切線垂直，故D正確；故選：BCD.三、填空題12.設為虛數(shù)單位．若集合，，且，則______．〖答案〗〖解析〗由集合，，因為，當時，此時，方程組無解；當時，此時，解得，綜上可得，實數(shù)的值為.故〖答案〗為：.13.已知軸為函數(shù)的圖像的一條切線，則實數(shù)的值為___________.〖答案〗〖解析〗由，得，設切點為，，則，消去并整理，得，則．．故〖答案〗為：．14.“序列”在通信技術中有著重要應用，該序列中的數(shù)取值于或1.設是一個有限“序列”，表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，得到新的有序實數(shù)組.例如：，則.定義，，若中1的個數(shù)記為，則的前10項和為______.〖答案〗〖解析〗因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，設中有項為0，1和的項數(shù)相同都為，所以，，從而①，因為表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)椋總€1都變?yōu)?，1，得到新的有序實數(shù)組，則②，①②得③，所以④，④③得，所以當為奇數(shù)且時，，經檢驗，當時符合，所以(為奇數(shù))，當偶數(shù)，則為奇數(shù)，又因為，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以的前10項和為.故〖答案〗為：四、解答題15.的內角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．（1）求角；（2）若，，求．（1）解：由分別以為邊長的正三角形的面積依次為，則，可得，由余弦定理得，因為，所以.（2）解：設（其中為銳角），在和中，由正弦定理可得且，于是，又因為，所以，化簡得，根據同角三角函數(shù)的基本關系式，可得，因為，聯(lián)立方程組，解得，即.16.在三棱錐中，，平面，點在平面內，且滿足平面平面，．（1）求證：；（2）當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．（1）解：作交于，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，且平面，所以，又因為，，且平面，，所以平面，因為平面，所以.（2）解：以為原點，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標，如圖所示，則，設，因，所以，因為，所以，即，又由，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，又因為為平面的一個法向量，設二面角的平面角為，則，因為，解得（舍去）或，所以點或，所以三棱錐的體積為.17.某公司為考核員工，采用某方案對員工進行業(yè)務技能測試，并統(tǒng)計分析測試成績以確定員工績效等級．（1）已知該公司甲部門有3名負責人，乙部門有4名負責人，該公司從甲、乙兩部門中隨機選取3名負責人做測試分析，記負責人來自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值：（2）該公司統(tǒng)計了七個部門測試的平均成績（滿分100分）與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據數(shù)據繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經計算得，（?。┮阎巢块T測試的平均成績?yōu)?0分，估計其績效等級優(yōu)秀率；（ⅱ）根據統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經計算，求某個部門績效等