2024屆上海市高考模擬測數(shù)學試卷01（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3上海市2024屆高考數(shù)學模擬測試卷01一、填空題1．已知集合，則．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為2．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的為，則.〖答案〗〖解析〗由題意，∴，故〖答案〗為：．3．已知正實數(shù)x、y滿足，則的最小值為.〖答案〗8〖解析〗因正實數(shù)x、y滿足，故當且僅當時，等號成立，由解得：即時，取最小值8.故〖答案〗為：8.4．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)．〖答案〗2〖解析〗由正態(tài)分布的對稱性，得，所以.故〖答案〗為：25．若是奇函數(shù)，且當時，，則當時，．〖答案〗〖解析〗當時，，，又為奇函數(shù)，，當時，.故〖答案〗為：.6．已知向量，滿足，，，則等于．〖答案〗〖解析〗因為向量，滿足，，，所以，解得，所以，故〖答案〗為:.7．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為．〖答案〗2〖解析〗直線的斜率為則跟直線垂直的雙曲線的漸近線的斜率為，所以，所以，故〖答案〗為：2.8．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若他們的平均數(shù)相等，則圖中的值是．

〖答案〗〖解析〗因為,解得，故〖答案〗為：.9．已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且其圖像關于點對稱，則的值為．〖答案〗或〖解析〗因為，則，函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，所以，即；又因為的圖像關于點對稱，則（），則（），所以（），解得（），結合，所以或.故〖答案〗為：或.10．已知點在圓C：（）內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則．〖答案〗〖解析〗由點在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得，故〖答案〗為：11．已知定義在上的函數(shù)，且，則函數(shù)的零點個數(shù)為．〖答案〗643〖解析〗當時，無解，故沒有零點，當時，，當時，，則，當時，，則，以此類推，，而，當有1個交點，以后每個周期內(nèi)有2個交點，在區(qū)間無交點，所以共有個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為個.故〖答案〗為：64312．設是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，已知，，數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，若對于中任意序數(shù)不同的兩項和，在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得，則的最小值為.〖答案〗〖解析〗因為數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，，所以，又是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，所以或，當時，，此時，這與在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得矛盾，所以，類似地，必有，，，，由得前6項任意兩項之和小于等于3時，均符合，要最小，則每項盡可能小，且值要盡量小，則，，同理，，，…，，當中間各項為公差為1的等差數(shù)列時，可使得值最小，且滿足已知條件.由對稱性得最后6項為，，則的最小值.二、選擇題13．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.14．已知、分別為隨機事件A、B的對立事件，，，則下列等式錯誤的是（

）A． B．C．若A、B獨立，則 D．若A、B互斥，則〖答案〗A〖祥解〗〖解析〗對A，由，故選項A錯誤；對B，根據(jù)條件概率的乘法公式得，故B正確；對C，若、獨立，則,，故C正確；對D，若、互斥，則，，D正確.故選：A15．如圖，四棱錐中，底面是矩形，，平面，下列敘述中錯誤的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面〖答案〗C〖解析〗對于選項A：在矩形中，∥，平面，平面，∥平面，故選項A正確；對于選項B：平面，平面，，在矩形中，，，平面，所以平面，而平面，，故選項B正確；對于選項C：因為平面，而平面，所以，所以，而，，在一般矩形中，與不垂直，所以，即，與不垂直，故選項C不正確；對于選項D：平面，平面，所以平面平面，故選項D正確．綜述：只有選項C不正確．故選：C.16．數(shù)學中的數(shù)形結合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線：為四葉玫瑰線，下列結論正確的有（

）

(1)方程，表示的曲線在第二和第四象限；(2)曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過；(3)曲線構成的四葉玫瑰線面積大于；（4）曲線上有個整點橫、縱坐標均為整數(shù)的點.A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(1)(2)（4） D．(1)(3)（4）〖答案〗A〖解析〗對于(1)：因為，所以x與y異號，故圖象在第二和第四象限，正確；對于(2)：因為，所以，所以，所以，正確；對于(3)：以O為圓點，2為半徑的圓O的面積為，結合(2)知然曲線C圍成的區(qū)域的面積小于圓O的面積，錯誤；對于（4）：將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點，，，，點的位置是圖中的點M，

由曲線的對稱性可知，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點即可，把，和代入曲線C的方程驗證可知，等號不成立，所以曲線C在第一象限內(nèi)不經(jīng)過任何整點，再結合曲線的對稱性可知，曲線C只經(jīng)過整點，錯誤.故選：A.三、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小;(2)若，求b和c的值.解：(1)，∴可得，化簡得，∴解得:，，；(2)由題意可得：，可得：，又由可得：，可得：，解得或所以或.18．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，.(1)證明：平面；(2)求二面角的大小.(1)證明：依題意，為等邊三角形，設圓錐底面半徑為1，則，，則，又為等邊三角形，有，，即，同理，又，平面，所以平面.(2)解：過O作交于點，則，由平面，得直線兩兩垂直，以O為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，于是，二面角為銳角，其大小為，所以二面角的大小.19．為了調(diào)查居民對垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會從A小區(qū)與B小區(qū)各隨機抽取300名社區(qū)居民（分為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名，假設兩個小區(qū)中每組人數(shù)相等）參與問卷測試，分為比較了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并將問卷得分不低于60分的人數(shù)繪制頻數(shù)分布表如下分組A小區(qū)頻數(shù)B小區(qū)頻數(shù)18-40歲人群603041-70歲人群8090其他人群3050假設用頻率估計概率，所有居民的問卷測試結果互不影響．(1)從小區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試，估計其對垃圾分類比較了解的概率；(2)從、小區(qū)41-70歲人群中各隨機抽取一名居民，記其對垃圾分類比較了解的居民人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．解：(1)設從小區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試其對垃圾分類比較了解為事件，則.(2)依題意可知小區(qū)比較了解的概率為，小區(qū)比較了解的概率為，則的可取取值為，，，所以，，，則的分布列為所以.20．如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當、、成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼曲線”.若貓眼曲線過點，且、、的公比為.

(1)求貓眼曲線的方程；(2)任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為，交橢圓所得弦的中點為，直線、直線的斜率分別為、，試問：是否為與無關的定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由；(3)若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，，為橢圓上的任意一點（點與點，不重合），求面積的最大值.解：(1)由于在軸上，所以，又，∴，∴曲線的方程為：，：(2)設斜率為的直線交橢圓于點，線段中點為，則，由，可得，因為存在且，∴，，∴，即同理，∴；故是與無關的定值；

(3)設直線的方程為聯(lián)立，得.∵，∴，則，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨?。?，與橢圓聯(lián)立，得，得，設，，則，，于是需求橢圓上一點到直線：距離的最大值.方法1：設，可得點到直線：的距離，其中，∴，面積的最大值為方法2：數(shù)形結合，求與平行，且與橢圓相切的距離最遠的直線.設與平行的直線與橢圓：相切，聯(lián)立方程得：，由，解得，若距離最大，則對應的平行線方程取，兩平行線間距離為從而面積的最大值為

21．設函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；(2)設，求證：存在無窮多條“切線”；(3)設，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”(1)解：記，則，設切點為，由切線方程為知，則，解得．所以切點為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得．記，則，當時，當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)只有一個零點，故是一條“切線”；(2)證明：因為，所以，則點處的切線方程為，將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個零點（此時，一個對應一條“切線”），顯然是的零點，故只要沒其它零點，此時，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故此時為唯一的極小值點（也是最小值點），而，故無其他零點，故直線為“切線”，因為的任意性，故函數(shù)存在無窮多條“切線”，(3)證明：因為，則，設點在函數(shù)的圖象上，則點的切線為，與聯(lián)立得：，由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，則或，若，則是方程的唯一解（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標為上的任意值）．若，則（此時只有一條“切線”，切點的橫坐標為）或（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標為上的任意值），綜上，，即證．上海市2024屆高考數(shù)學模擬測試卷01一、填空題1．已知集合，則．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為2．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的為，則.〖答案〗〖解析〗由題意，∴，故〖答案〗為：．3．已知正實數(shù)x、y滿足，則的最小值為.〖答案〗8〖解析〗因正實數(shù)x、y滿足，故當且僅當時，等號成立，由解得：即時，取最小值8.故〖答案〗為：8.4．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)．〖答案〗2〖解析〗由正態(tài)分布的對稱性，得，所以.故〖答案〗為：25．若是奇函數(shù)，且當時，，則當時，．〖答案〗〖解析〗當時，，，又為奇函數(shù)，，當時，.故〖答案〗為：.6．已知向量，滿足，，，則等于．〖答案〗〖解析〗因為向量，滿足，，，所以，解得，所以，故〖答案〗為:.7．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為．〖答案〗2〖解析〗直線的斜率為則跟直線垂直的雙曲線的漸近線的斜率為，所以，所以，故〖答案〗為：2.8．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若他們的平均數(shù)相等，則圖中的值是．

〖答案〗〖解析〗因為,解得，故〖答案〗為：.9．已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且其圖像關于點對稱，則的值為．〖答案〗或〖解析〗因為，則，函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，所以，即；又因為的圖像關于點對稱，則（），則（），所以（），解得（），結合，所以或.故〖答案〗為：或.10．已知點在圓C：（）內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則．〖答案〗〖解析〗由點在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得，故〖答案〗為：11．已知定義在上的函數(shù)，且，則函數(shù)的零點個數(shù)為．〖答案〗643〖解析〗當時，無解，故沒有零點，當時，，當時，，則，當時，，則，以此類推，，而，當有1個交點，以后每個周期內(nèi)有2個交點，在區(qū)間無交點，所以共有個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為個.故〖答案〗為：64312．設是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，已知，，數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，若對于中任意序數(shù)不同的兩項和，在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得，則的最小值為.〖答案〗〖解析〗因為數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，，所以，又是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，所以或，當時，，此時，這與在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得矛盾，所以，類似地，必有，，，，由得前6項任意兩項之和小于等于3時，均符合，要最小，則每項盡可能小，且值要盡量小，則，，同理，，，…，，當中間各項為公差為1的等差數(shù)列時，可使得值最小，且滿足已知條件.由對稱性得最后6項為，，則的最小值.二、選擇題13．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.14．已知、分別為隨機事件A、B的對立事件，，，則下列等式錯誤的是（

）A． B．C．若A、B獨立，則 D．若A、B互斥，則〖答案〗A〖祥解〗〖解析〗對A，由，故選項A錯誤；對B，根據(jù)條件概率的乘法公式得，故B正確；對C，若、獨立，則,，故C正確；對D，若、互斥，則，，D正確.故選：A15．如圖，四棱錐中，底面是矩形，，平面，下列敘述中錯誤的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面〖答案〗C〖解析〗對于選項A：在矩形中，∥，平面，平面，∥平面，故選項A正確；對于選項B：平面，平面，，在矩形中，，，平面，所以平面，而平面，，故選項B正確；對于選項C：因為平面，而平面，所以，所以，而，，在一般矩形中，與不垂直，所以，即，與不垂直，故選項C不正確；對于選項D：平面，平面，所以平面平面，故選項D正確．綜述：只有選項C不正確．故選：C.16．數(shù)學中的數(shù)形結合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線：為四葉玫瑰線，下列結論正確的有（

）

(1)方程，表示的曲線在第二和第四象限；(2)曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過；(3)曲線構成的四葉玫瑰線面積大于；（4）曲線上有個整點橫、縱坐標均為整數(shù)的點.A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(1)(2)（4） D．(1)(3)（4）〖答案〗A〖解析〗對于(1)：因為，所以x與y異號，故圖象在第二和第四象限，正確；對于(2)：因為，所以，所以，所以，正確；對于(3)：以O為圓點，2為半徑的圓O的面積為，結合(2)知然曲線C圍成的區(qū)域的面積小于圓O的面積，錯誤；對于（4）：將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點，，，，點的位置是圖中的點M，

由曲線的對稱性可知，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點即可，把，和代入曲線C的方程驗證可知，等號不成立，所以曲線C在第一象限內(nèi)不經(jīng)過任何整點，再結合曲線的對稱性可知，曲線C只經(jīng)過整點，錯誤.故選：A.三、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小;(2)若，求b和c的值.解：(1)，∴可得，化簡得，∴解得:，，；(2)由題意可得：，可得：，又由可得：，可得：，解得或所以或.18．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，.(1)證明：平面；(2)求二面角的大小.(1)證明：依題意，為等邊三角形，設圓錐底面半徑為1，則，，則，又為等邊三角形，有，，即，同理，又，平面，所以平面.(2)解：過O作交于點，則，由平面，得直線兩兩垂直，以O為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，于是，二面角為銳角，其大小為，所以二面角的大小.19．為了調(diào)查居民對垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會從A小區(qū)與B小區(qū)各隨機抽取300名社區(qū)居民（分為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名，假設兩個小區(qū)中每組人數(shù)相等）參與問卷測試，分為比較了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并將問卷得分不低于60分的人數(shù)繪制頻數(shù)分布表如下分組A小區(qū)頻數(shù)B小區(qū)頻數(shù)18-40歲人群603041-70歲人群8090其他人群3050假設用頻率估計概率，所有居民的問卷測試結果互不影響．(1)從小區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試，估計其對垃圾分類比較了解的概率；(2)從、小區(qū)41-70歲人群中各隨機抽取一名居民，記其對垃圾分類比較了解的居民人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．解：(1)設從小區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試其對垃圾分類比較了解為事件，則.(2)依題意可知小區(qū)比較了解的概率為，小區(qū)比較了解的概率為，則的可取取值為，，，所以，，，則的分布列為所以.20．如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當、、成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼曲線”.若貓眼曲線過點，且、、的公比為.

(1)求貓眼曲線的方程；(2)任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為，交橢圓所得弦的中點為，直線、直線的斜率分別為、，試問：是否為與無關的定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由；(3)若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，，為橢圓上的任意一點（點與點，不重合），求面積的最大值.解：(1)由于在軸上，所以，又，∴，∴曲線的方程為：，：(2