2024屆四川省大學考聯(lián)盟高三三模聯(lián)考數(shù)學試題（文）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3四川省大學考聯(lián)盟2024屆高三三模聯(lián)考數(shù)學試題（文）一、選擇題1.已知復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，故，若是純虛數(shù)，則，解得，故，顯然，故B正確.故選：B.2.已知集合則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，令，解得，顯然，故C正確.故選：C.3.已知拋物線C:，則C的準線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗若，則可化為標準形式，故，故C的準線方程為，故A正確.故選：A.4.已知單位向量滿足，則夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，兩邊同時平方得，設夾角為，故，且是單位向量，故化簡可得，，故，則夾角余弦值為，故D正確.故選：D5.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內，則輸入的實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得當時，，當時，，顯然是單調遞增函數(shù)，當時，解得(另一個根舍去)，當時，解得(另一個根舍去)，故，故B正確.故選：B6.在等差數(shù)列中，為其前項和，若，則（）A.10 B.13 C.16 D.81〖答案〗B〖解析〗由等差數(shù)列下標和性質得，故，而，故，且，設公差為，顯然，故，故B正確.故選：B.7.已知表示空間中兩條不同的直線，表示一個平面，且∥，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗如圖，在長方體中，設取為直線，取為平面，取為直線，滿足但，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.已知函數(shù)，則曲線上一點處的切線方程為（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，即，所以，所以，，則，所以曲線上一點處的切線方程為，即.故選：C.9.定義在R上的函數(shù)與的圖象關于直線對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為奇函數(shù)，所以，即，故的對稱中心為，即，由于函數(shù)與的圖象關于直線對稱，且關于對稱點為，故的對稱中心為.故選：D10.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線過定點，函數(shù)，即表示以原點為圓心，為半徑的上半圓，由圖可知，要使直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則，即，所以所求概率為.故選：C.11.已知則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設則在上單調遞增,則有即故，顯然，而，則在上單調遞減，即，故令，顯然，故，而，令，可得，故在上單調遞增，若，則，綜上一定成立，故A正確.故選：A12.已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，若的內心為，連接并延長交軸于點，且，則橢圓的短軸長為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，連接在和中，利用角平分線定理可得由等比定理可得從而.故橢圓的短軸長為，故B正確.故選：B二、填空題13.2024年2月，教育部辦公廳印發(fā)通知，就實施銀齡教師支持民辦教育行動有關工作進行部署.明確組織遴選一批優(yōu)秀退休教師，面向各級各類民辦學校，特別是民辦高校開展支教、支研.某省現(xiàn)有符合條件的退休教師人，隨機編號為，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取人參加對口支教活動，分組后在第一組隨機抽得的編號為，則在第五組中應抽取的編號為______.〖答案〗106〖解析〗在系統(tǒng)抽樣中，首次抽到號，且以后每隔個號抽到下一個人，故抽到號構成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，且設該數(shù)列為，故，顯然.故〖答案〗為：10614.已知函數(shù)對任意的，都有，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗，因為，所以，所以，則，又因為，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，若正四棱臺的外接球的表面積為，則正四棱臺的體積___〖答案〗〖解析〗設外接球的半徑為，則，，設正方形和正方形的中心分別為，外接球的球心為，則在線段上，如圖，在等腰梯形中，，則，所以，即正四棱臺的高為，所以正四棱臺的體積.故〖答案〗為：.16.數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為______.〖答案〗35〖解析〗由得由得兩邊平方得則是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即因為所以那可得則正整數(shù)的最大值為35.故〖答案〗為：35三、解答題（一）必考題17.為了提高某海洋公園的知名度，吸引更多游客游玩.公園管理團隊決定進行自媒體直播，線上與線下同時進行門票銷售，助力該海洋公園的發(fā)展.團隊在前7個月的直播中，門票銷售額如下表所示：時間代碼x（單位：月）1234567.銷售額y（單位：萬元）0.841.372.764.435.497.668.94對數(shù)據(jù)進行處理后，得到如下統(tǒng)計量的值（符合線性回歸關系）：4.5165.2140參考公式：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；（2）若直播當月銷售額超過12萬元，能被相關部門評選為“優(yōu)秀管理團隊”，請預測該團隊在直播后的第幾個月能被評選為“優(yōu)秀管理團隊”.解：（1）由題意，，則（2）由題意可得因為，則第10個月能被評選為“優(yōu)秀管理團隊”.18.正方體的棱長為2，分別是的中點.（1）求證：面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：連接，因為分別是的中點，由中位線定理得，又，所以，所以四點共面，由于是AD的中點，則且那么四邊形為平行四邊形，從而，又面面故面，（2）解：由上問結論知點到平面的距離等于點到平面的距離.易得，利用余弦定理得則設點到平面的距離，利用等體積法，可得，即點到平面的距離為.19.三角形中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若邊上的中線長為2，求的最小值.解：（1）由，得，即，所以，即，又，所以；（2）設的中點為，則，平方得，即，所以，當且僅當時取等號，由余弦定理得，因為，所以，即的最小值為，當且僅當時取等號.20.已知雙曲線的左右焦點分別為，C的右頂點到直線的距離為，雙曲線右支上的點到的最短距離為（1）求雙曲線C的方程；（2）過的直線與C交于M、N兩點，連接交l于點Q，證明：直線QN過x軸上一定點.（1）解：由題意可得，解得，從而，所以雙曲線C的方程為；（2）證明：，直線，當直線的斜率不為零時，設方程為，聯(lián)立，得，則，所以，設，則，直線的方程為，令，則，即，設直線交軸于點，由于三點共線，則，，那么，故，當直線的斜率等于0時，直線與軸重合，必過定點，綜上所述，直線QN過x軸上一定點.21.已知函數(shù).（1）記函數(shù)，求函數(shù)的極大值點;（2）記函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).解：（1），，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，又因為，則當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)的極大值點為；（2），，①當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，又，所以函數(shù)只有一個零點，②當時，令，則，所以函數(shù)在上單調遞減，當時，，則當時，，即，所以函數(shù)在上單調遞增，當時，，即，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，所以函數(shù)只有一個零點，當時，顯然存在唯一的實數(shù)上使得，當時，，即，所以函數(shù)在上單調遞增，當時，，即，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，又當時，，當時，，所以此時函數(shù)必有個零點，綜上所述，當或時，函數(shù)有個零點；當且時，函數(shù)有個零點.（二）選考題[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C圍成的圖形的面積.解：（1）將兩邊同乘得,即,則曲線C的直角坐標方程（2）曲線C圍成的圖形如圖可見，利用對稱性知曲線C圍成的圖形的面積等于的圖形的面積的4倍.而的圖形是圓心在,半徑為的圓在第一象限的部分，則與y軸交于點,而的圖形的面積等于扇形OAB的面積減去三角形OAB的面積.易得且所以曲線C圍成的圖形的面積為[選修4-5:不等式選講]23.已知函數(shù)，且的解集為（1）求的值;（2）設函數(shù)，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意有，解得.（2）如圖，，結合的圖象(虛線)，圖象(實線)，其中為與x軸的交點橫坐標，由圖知的取值范圍為.四川省大學考聯(lián)盟2024屆高三三模聯(lián)考數(shù)學試題（文）一、選擇題1.已知復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，故，若是純虛數(shù)，則，解得，故，顯然，故B正確.故選：B.2.已知集合則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，令，解得，顯然，故C正確.故選：C.3.已知拋物線C:，則C的準線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗若，則可化為標準形式，故，故C的準線方程為，故A正確.故選：A.4.已知單位向量滿足，則夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，兩邊同時平方得，設夾角為，故，且是單位向量，故化簡可得，，故，則夾角余弦值為，故D正確.故選：D5.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內，則輸入的實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得當時，，當時，，顯然是單調遞增函數(shù)，當時，解得(另一個根舍去)，當時，解得(另一個根舍去)，故，故B正確.故選：B6.在等差數(shù)列中，為其前項和，若，則（）A.10 B.13 C.16 D.81〖答案〗B〖解析〗由等差數(shù)列下標和性質得，故，而，故，且，設公差為，顯然，故，故B正確.故選：B.7.已知表示空間中兩條不同的直線，表示一個平面，且∥，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗如圖，在長方體中，設取為直線，取為平面，取為直線，滿足但，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.已知函數(shù)，則曲線上一點處的切線方程為（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，即，所以，所以，，則，所以曲線上一點處的切線方程為，即.故選：C.9.定義在R上的函數(shù)與的圖象關于直線對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為奇函數(shù)，所以，即，故的對稱中心為，即，由于函數(shù)與的圖象關于直線對稱，且關于對稱點為，故的對稱中心為.故選：D10.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線過定點，函數(shù)，即表示以原點為圓心，為半徑的上半圓，由圖可知，要使直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則，即，所以所求概率為.故選：C.11.已知則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設則在上單調遞增,則有即故，顯然，而，則在上單調遞減，即，故令，顯然，故，而，令，可得，故在上單調遞增，若，則，綜上一定成立，故A正確.故選：A12.已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，若的內心為，連接并延長交軸于點，且，則橢圓的短軸長為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，連接在和中，利用角平分線定理可得由等比定理可得從而.故橢圓的短軸長為，故B正確.故選：B二、填空題13.2024年2月，教育部辦公廳印發(fā)通知，就實施銀齡教師支持民辦教育行動有關工作進行部署.明確組織遴選一批優(yōu)秀退休教師，面向各級各類民辦學校，特別是民辦高校開展支教、支研.某省現(xiàn)有符合條件的退休教師人，隨機編號為，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取人參加對口支教活動，分組后在第一組隨機抽得的編號為，則在第五組中應抽取的編號為______.〖答案〗106〖解析〗在系統(tǒng)抽樣中，首次抽到號，且以后每隔個號抽到下一個人，故抽到號構成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，且設該數(shù)列為，故，顯然.故〖答案〗為：10614.已知函數(shù)對任意的，都有，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗，因為，所以，所以，則，又因為，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，若正四棱臺的外接球的表面積為，則正四棱臺的體積___〖答案〗〖解析〗設外接球的半徑為，則，，設正方形和正方形的中心分別為，外接球的球心為，則在線段上，如圖，在等腰梯形中，，則，所以，即正四棱臺的高為，所以正四棱臺的體積.故〖答案〗為：.16.數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為______.〖答案〗35〖解析〗由得由得兩邊平方得則是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即因為所以那可得則正整數(shù)的最大值為35.故〖答案〗為：35三、解答題（一）必考題17.為了提高某海洋公園的知名度，吸引更多游客游玩.公園管理團隊決定進行自媒體直播，線上與線下同時進行門票銷售，助力該海洋公園的發(fā)展.團隊在前7個月的直播中，門票銷售額如下表所示：時間代碼x（單位：月）1234567.銷售額y（單位：萬元）0.841.372.764.435.497.668.94對數(shù)據(jù)進行處理后，得到如下統(tǒng)計量的值（符合線性回歸關系）：4.5165.2140參考公式：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；（2）若直播當月銷售額超過12萬元，能被相關部門評選為“優(yōu)秀管理團隊”，請預測該團隊在直播后的第幾個月能被評選為“優(yōu)秀管理團隊”.解：（1）由題意，，則（2）由題意可得因為，則第10個月能被評選為“優(yōu)秀管理團隊”.18.正方體的棱長為2，分別是的中點.（1）求證：面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：連接，因為分別是的中點，由中位線定理得，又，所以，所以四點共面，由于是AD的中點，則且那么四邊形為平行四邊形，從而，又面面故面，（2）解：由上問結論知點到平面的距離等于點到平面的距離.易得，利用余弦定理得則設點到平面的距離，利用等體積法，可得，即點到平面的距離為.19.三角形中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若邊上的中線長為2，求的最小值.解：（1）由，得，即，所以，即，又，所以；（2）設的中點為，則，平方得，即，所以，當且僅當時取等號，由余弦定理得，因為，所以，即的最小值為，當且僅當時取等號.20.已知雙曲線的左右焦點分別為，C的右頂點到直線的距離為，雙曲線右支上的點到的最短距離為（1）求雙曲線C的方程；（2）過的直線與C交于M、N兩點，連接交l于點Q，證明：直線QN過x軸上一定點.（1）解：由題意可得，解得，從而，所以雙曲線C的方程為；（2）證明：，直線，當直線的斜率不為零時，設方程為，聯(lián)立，得，則，所以，設，則，直線的方程為，令，則，即，設直線交軸于點，由于三點共線，則，，那么，故，當直線的斜率等于0時，直線與軸重合，必過定點，綜上所述，直線QN過x軸上