25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)精練案基礎(chǔ)課36基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積

5也可聯(lián)系第七單元立體幾何基礎(chǔ)課36基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積課時(shí)評(píng)價(jià)·提能基礎(chǔ)鞏固練1.已知圓柱的底面半徑是3，高是4，則圓柱的側(cè)面積是（C）.A.9π B.12π C.24π[解析]由題意設(shè)底面半徑為r，母線為l，圓柱的側(cè)面積為S=2πrl2.下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（A）.A.五棱錐 B.三棱臺(tái) C.三棱柱 D.四棱錐[解析]因?yàn)槲謇忮F有10條棱，三棱臺(tái)有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐，故選A.3.如圖，一個(gè)水平放置的圖形的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形O'A'B'，斜邊長(zhǎng)O'A.2 B.22 C.24 [解析]根據(jù)斜二測(cè)畫法可得原圖形為如圖所示的△OAB，∵△O'A'B'是等腰直角三角形，∴斜二測(cè)畫法可得△OAB為直角三角形，∵O'B'=14.[2024·淮安模擬]用半徑為2的半圓形鐵皮圍成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒的高為（B）.A.1 B.3 C.2 D.6[解析]半圓的弧長(zhǎng)2π等于圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，故底面圓的半徑為1，圓錐母線為2，故高為22?15.某水果盤可以近似看成一個(gè)正六棱臺(tái)，厚度忽略不計(jì)，它的上端是棱長(zhǎng)為8cm的正六邊形開口，下端是棱長(zhǎng)為6cm的正六邊形的封閉底面，側(cè)面是6個(gè)封閉的等腰梯形，水果盤的高為10cm，則該水果盤的容積為（BA.14403cm3 B.7403[解析]由題意可知，正六棱臺(tái)的上底面面積S上=6×12×8×8×326.“三棱錐P?ABC是正三棱錐”的一個(gè)必要不充分條件是（CA.三棱錐P?ABC是正四面體 B.三棱錐C.三棱錐P?ABC有一個(gè)面是正三角形 D.△[解析]由正三棱錐的定義，得三棱錐P?ABC是正三棱錐等價(jià)于“有一個(gè)面是正三角形，其他面是等腰三角形對(duì)于A,因?yàn)槿忮FP?ABC是正四面體等價(jià)于四個(gè)面是全等的正三角形，所以“三棱錐P?ABC是正四面體”是“三棱錐P?ABC是正三棱錐”的充分不必要條件對(duì)于B,因?yàn)橐粋€(gè)正三棱錐可能是正四面體，也可能不是正四面體，所以“三棱錐P?ABC不是正四面體”是“三棱錐P?ABC是正三棱錐”的既不充分也不必要條件，故對(duì)于C,因?yàn)槿忮FP?ABC是正三棱錐等價(jià)于有一個(gè)面是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“有一個(gè)面是正三角形”是“三棱錐P?ABC是正三棱錐”的必要不充分條件，故對(duì)于D,因?yàn)槿忮FP?ABC是正三棱錐等價(jià)于底面ABC是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“△ABC是正三角形且PA=PB=PC”是“三棱錐P?ABC是正三棱錐”的充要條件7.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他最滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)——圓柱容球定理.如圖，這是一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球四周碰邊（即圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑），則圓柱的表面積與球的表面積之比為（C）.A.3:4 B.2:1 C.[解析]設(shè)球的半徑為R，圓柱的表面積為S1，球的表面積為S2，根據(jù)題意可得圓柱的底面半徑為R，高為2R，則S1S2=28.類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、有限與無(wú)限之間有不少結(jié)論，都是先用類比猜想，而后加以證明得出的.已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，則△ABC外接圓的半徑r=a2+A.a2+b2+c23 [解析]如圖，將四面體ABCD還原到長(zhǎng)方體中，可見四面體ABCD的外接球球心即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線交點(diǎn)，顯然四面體ABCD外接球半徑為a2+b2綜合提升練9.（多選題）在正方體ABCD?A1B1C1D1的A.存在四個(gè)點(diǎn)，使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形B.存在四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成正四面體C.不存在這樣的四個(gè)點(diǎn)，使得構(gòu)成的四面體每個(gè)面都是直角三角形D.存在這樣的四個(gè)點(diǎn)，使得構(gòu)成的四面體有三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形[解析]對(duì)于A，如圖1，四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以對(duì)于B，如圖2，四面體A?B1CD1是正四面體對(duì)于C，如圖3，在四面體A?B1BD中，BB1⊥BA,BB1⊥BD對(duì)于D，如圖4，在四面體A?A1BD中，△AA1D，△AA1B故選ABD.10.（多選題）某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與圓柱形包裝盒側(cè)面及上、下底面都相切.如圖，這是平行于底面且過(guò)圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為R，球形巧克力的半徑為r，每個(gè)球形巧克力的體積為V1，包裝盒的體積為V2，則（ADA.R=3r B.R=6r C.[解析]由截面圖可以看出，圓柱的底面直徑是球形巧克力直徑的3倍，即可得R=由題意可知，圓柱的高等于球形巧克力的直徑，設(shè)圓柱的高為?,即?=V1=4πr33，V11.如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體，則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為5:6[解析]如圖,設(shè)原正方體的棱長(zhǎng)為2a，則正方體的體積為2a?2a?2a=8a3，又因?yàn)榻厝サ?個(gè)三棱錐為全等的三棱錐，都有三條互相垂直的棱，棱長(zhǎng)為a，故截去體積為12.(雙空題)(2024·九省適應(yīng)性測(cè)試)已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等,則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是23,圓錐MM'的表面積與球O的表面積的比值是1[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r,球的半徑為R,因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形,所以圓錐的高h(yuǎn)=3r,母線l=2r,由題可知,h=2R,所以球的半徑R=32r所以圓錐的體積V1=13·(π×r2)·3r=33πr球的體積V2=43πR3=43π·32r3=32πr所以V1V2=3圓錐的表面積S1=πrl+πr2=3πr2,球的表面積S2=4πR2=4π×32r2=3πr2,所以S1S2=3π應(yīng)用情境練13.已知一種米斗可盛米10升（1升=1000cm3），該米斗的形狀可看作正四棱臺(tái)，且上口寬為24cm，下口寬為18[解析]根據(jù)題意，設(shè)該棱臺(tái)的高為?cm，該正四棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為18cm，上底面邊長(zhǎng)為24cm，其體積V=10升=1000014.將半徑均為2的四個(gè)球堆成如圖所示的“三角垛”，若該三角垛能放入一個(gè)正四面體容器內(nèi)，則該容器棱長(zhǎng)的最小值為4+46[解析]對(duì)于正四面體A?BCD，若棱長(zhǎng)為a，設(shè)O為正四面體外接球球心，H是正四面體底面三角形的中心，M為CD的中點(diǎn)，如圖所示，則BM=32a設(shè)外接球的半徑為R，則OA=在Rt△BOH中，R2=BH2+AH?R2，解得半徑均為2的四個(gè)球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體，棱長(zhǎng)為4，該三角垛能放入一個(gè)正四面體容器內(nèi)，則當(dāng)該容器棱長(zhǎng)取最小值時(shí)，每個(gè)小球均與正四面體的面相切，任意兩個(gè)小球外切，設(shè)這個(gè)正四面體容器棱長(zhǎng)為l，則有612解得l=4+4創(chuàng)新拓展練15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P[解析]在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥平面PBC,則AA1是四面體P?A1BC以△PBC為底面時(shí)的高.因?yàn)閂三棱錐P?A1BC=V三棱錐A1?PBC=13?16.已知在正六棱臺(tái)ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，AB=4（1）求此正六棱臺(tái)的體積；（2）求R1R[解析]（1）依題意，在正六棱臺(tái)ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，AB=4，A1B1=3，A1（2）設(shè)