25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案磨尖課09蒙日圓的應(yīng)用

磨尖課09蒙日圓的應(yīng)用蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓，所以這個圓又被叫作“蒙日圓”.本課主要介紹蒙日圓的定義、證明及其幾何性質(zhì).一、蒙日圓的定義在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓.如圖，設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=二、蒙日圓的常用結(jié)論【結(jié)論1】過圓x2+y2=【結(jié)論2】過圓x2+y2=【結(jié)論3】過圓x2+y2=【結(jié)論4】過圓x2+y2=a2上任意不同兩點A,B【結(jié)論5】過橢圓x2a2+y2b2=1a【結(jié)論6】過雙曲線x2a2?y2b2=1a其中，結(jié)論1，2，3為蒙日圓的必要性命題，即蒙日圓?切線垂直；結(jié)論4，5，6為蒙日圓的充分性命題，即蒙日圓?切線垂直.磨尖點一求軌跡方程典例1[2024·咸陽模擬]已知橢圓M的方程為x24+y2=1，過平面內(nèi)的點PA.x2+y2=5 B.x[解析]設(shè)點Px0,聯(lián)立x24+y2=1,y兩切線垂直，故其斜率之積為?1，則由根與系數(shù)的關(guān)系知1?y當(dāng)切線斜率不存在或為0時，點P的坐標為2,1或?2,1或?2,?1或1.設(shè)點P的坐標及切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，將判別式為零轉(zhuǎn)化為切線斜率的同解方程，化簡即可，再驗證切線斜率不存在或為0的情況是否符合即可.2.橢圓x2a2+y2b已知雙曲線C：x2a2?y2b2=[解析]由蒙日圓［結(jié)論3]得點E的軌跡方程為x2+y2=a2?b2,即點E在圓x磨尖點二面積的最值典例2[2024·恩施模擬]法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圓方程為x2+A.5 B.8 C.4 D.10[解析]由題意可知，橢圓C的蒙日圓的半徑為a2+b2=a2因為MP?MQ≤MP2+MQ22=2a2故選B.根據(jù)蒙日圓的特征可知，PQ是蒙日圓的直徑，所以MP2+MQ2是定值；利用基本不等式性質(zhì)可知畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圓方程為x2+y2[解析]因為e=ca=c由已知條件可得MP⊥MQ，則PQ為圓由勾股定理可得MP2所以S△當(dāng)且僅當(dāng)MP=因此△MPQ面積的最大值為3磨尖點三參數(shù)的范圍典例3已知橢圓x2a2+y2b2=1a>0,bA.1,9 B.[1,9)[解析]由題意可知，與橢圓x2+y23=1相切的兩條互相垂直的直線的交點P的軌跡為圓P:x2+y2=4，圓心為點0,0故選D.以圓錐曲線和蒙日圓為背景，轉(zhuǎn)化為圓和圓的位置關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為圓心距和半徑的和差的不等式，從而求得范圍.對于圓x2+y2=已知⊙O:x2+y2=1，若在直線y=kA.[1,