圖形的相似-2021年中考數(shù)學(xué)真題分類集訓(xùn)營(yíng)

專題12圖形的相似

考點(diǎn)一比例與比例線段

1.（2020?成都）如圖，直線/I〃/2〃/3，直線AC和力/被12,/3所截，AB=5,BC=6,EF=4,則。E的

長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D送

（答案｝D｛解析｝根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

解：?.?直線11〃12〃13,...竺=叫，VAB=5,BC=6,EF=4,.'.DE=—,故選:D.

BCEF643

2.（2020?哈爾濱）如圖，在△4%'中，點(diǎn)〃在比1邊上，連接49,點(diǎn)少在4c邊上，過(guò)點(diǎn)E作￡尸〃6G交

/〃于點(diǎn)人過(guò)點(diǎn)6作屬〃4?,交a1于點(diǎn)G則下列式子一定正確的是（）

AEEFDEFEGrAFBGnCGAF

EC~CDCD~AB*FD~GCBC~AD

｛答案｝C｛解析｝本題考查了平行線分線段成比例和由平行判定相似，???EF〃BC,?,?而=W，???EF〃BC,

AI7RG

.BGAE二工=會(huì)因此本題選C.

'~GC~~ECFDGC

T~\Q「打

3.（2020?營(yíng)口）如圖，在△ABC中，DE//AB,且巴-=一，則上上的值為（

BD2CA

CECECDCE

｛答案｝A｛解析｝利用平行截割定理求J的值.???□￡〃AB,...——=J=3—,???CE+AE=AC,???——=3-.

CAAEBD2CA5

4.（2020?臨沂）如圖，在AABC中，D,E為邊AB的三等分點(diǎn)，EF//DG//AC,H為AF與DG的

交點(diǎn).若AC=6,則短”=.

1

(答案｝1｛解析｝；D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，ABE=ED=AD=-AB

3

5.(2020?江蘇徐州)我們知道：如圖①，點(diǎn)皮巴線段/兇?成兩部分，如果些="，那么稱點(diǎn)媯線段/C

ABAC

的黃金分割點(diǎn).它們的比值為國(guó).

2

(1)在圖①中，若/020c0，則45的長(zhǎng)為.

(2)如圖②，用邊長(zhǎng)為20c/麻J正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形46勿得折痕“；連接龍，將龍折疊到

CS上，點(diǎn)施勺對(duì)應(yīng)點(diǎn)〃，得折痕CG.試說(shuō)明：函/周勺黃金分割點(diǎn)；

ABV5-1

解：（1）106-10.解：AC2,AC=20,...ABJO6-10.

（2）延長(zhǎng)CG交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,由折疊可知：ZBCG=ZECG,

VAD/7BC,.,.Z>ZBCG=ZECG,；.JE=CE.由折疊可知：E、F為AD、BC的中點(diǎn)，...DE=AE=10,

722

由勾股定理可得：CE=VBFTCD=V1O+2O=1075,EJ=10x/5,.?.AJ=JE-AE/。石10,

AGAJ10x/5-106-1

VAJ/7BC,...△AGJsaBGC,8GBC202,，G是AB的黃金分割點(diǎn).

2

考點(diǎn)二相似三角形的判定與性質(zhì)

6.（2020?銅仁）已知它們的周長(zhǎng)分別為30和15,且FH=6,則E4的長(zhǎng)為（）

A.3B.2C.4D.5

（答案｝A｛解析｝相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，所以AFHB和4EAD的相似比為30：15=2：1,所以

FH：EA=2：1,即6：EA=2：1,解得EA=3.因此本題選A.

7.（2020?內(nèi)江）如圖，在AABC中，￡>、E分別是A8和AC的中點(diǎn)，S四邊形時(shí)中=15,則48c=（）

A.30B.25C.22.5D.20

（答案｝D｛解析｝本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出DE是中位線，從而判斷

△ADEs^ABC,然后掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解本題.首先判斷出

△ADE-AABC,然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出^ABC的面積.

根據(jù)題意，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB和AC的中點(diǎn)，則DE//BC且DE=；BC,故可以判斷出△ADE^AABC,

根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知SMec=l：4,則S四邊形sea：SMBC=3：4,題中

已知S四邊形BCE。=15，故可得SMZ）E=5，S1MBe=20,因此本題選D.

Af7

8.（2020?鹽城）如圖，BC//DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=TO,則空的值為

AC

AEADDE

15.2,解析：：BC〃DE,.?.△ADE^AABC,，ACABBC,設(shè)DE=xJ"AB=10-XVAD

AE4_xAE82

=BC=4,AC10-x4,二兇=8上=2（舍去），AC4,此本題答案為2.

9.（2020?南通）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,△A8C和△￡>￡下的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格

線的交點(diǎn)上，設(shè)aABC的周長(zhǎng)為Ci，△OEF的周長(zhǎng)為C2,則g的值等于▲.

3

｛答案｝當(dāng)

｛解析）由圖形易證aABC與4DEF相似，且相似比為1：J5,所以周長(zhǎng)比為1:拒.故答案為：—.

2

10.（2020?蘇州）如圖，在矩形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，DFLAE,垂足為

(1)求證：A46￡SA￡>E4；

(2)若AB=6,BC=4,求。尸的長(zhǎng).

｛解析｝（1）由兩角相等證明乙鉆石6皿為；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求解.

｛答案｝解：證明：（1）：四邊形ABC。是矩形，.?./B=90°,ADBC.^AEB=ZDAF,

?;DFLAE,/.ZDFA=90°.ZB=ZDFA，:.^ABE^ADFA

AB_AE

解：(2)/\ABE^ADFA,/.DFAD

BE」BC」x4=2

VBC=4,E是BC的中點(diǎn)，22..?.在RQABE中,

AE=y/AB2+BE2=而+*=2M

62麗八口65/10

又??AD—BC—4?DF4?5

*/EF//DG//AC?EF——AC=2DH=—EF=1.

32

11.(2020?杭州)如圖，在中，點(diǎn)、D,E,產(chǎn)分別在AB,BC,AC邊上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：ABDESAEFC.

AF_1

（2）設(shè)

兀二5

8

EC4

①若BC=12,求線段3E的長(zhǎng)；

②若^EFC的面積是20,求AABC的面積.

｛解析｝(1)由平行線的性質(zhì)得到等角，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定得到△BDEs^EFC：(2)①根據(jù)

平行線分線段成比例定理得到比例式求解；②根據(jù)“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)

成的三角形與原三角形相似”得到△EFCaBAC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.

｛答案｝解：(1)VDE/7AC,二NBED=NC.VEF/7AB,，NB=NFEC,/.ABDE^AEFC.

BEAF1BE1_

(2)①：EF〃AB,.,.EC=fC=5.?.?BC=12,.?.12-BE=5,.?.BE=4.

SbEFC（生）21EC2

?VEF^AB,.'.△EFCABAC,/.S&aAC=8c.：EC=2,BC=3.又「△EFC的面積是20,

且（知

:.S&BAC=3，二SZ\ABC=45,即aABC的面積是45.

AD4。

12..(2020?南京)如圖，在aABC和△A，B，C'中，D、D，分別是AB、A，B，上一點(diǎn)，A8=.

⑴當(dāng)CZT=A'C'=AB時(shí),求證：△ABCOQAA,B,C,.

證明的途徑可以用下面的框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚懫渲械目崭?

CDACBC

(2)當(dāng)萬(wàn)萬(wàn)=正=正時(shí)，判斷AABC與是否相似，并說(shuō)明理由.

｛解析｝(1)利用三邊對(duì)應(yīng)成比例證明△ADCS^A，D，CI推理出/A=NA;再利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾

角相等判定△ABCS^A，B，C，

(2)分別點(diǎn)D、D，分別作DE〃BC,D，E，〃BC\利用三分邊成比例先證明△DCES/\D，C'E，，推理出/ACB

,

=再利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等判定△ABCsz；\A，B，C.

CDAC

｛答案｝解：⑴C'。'=A'C'=A'。,ZA=ZA'.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D、D'分別作DE〃BC,DE〃BC,DE交AC于點(diǎn)E,DE交AC于點(diǎn)E,

5

0DE0BC,

00ADE00ABC.

ADDEAE

團(tuán)AB-BC=AC.

—D'E'AE

同理彳萬(wàn)7=BC=同\

ADA'D1

又罰二A'B',

DED'E'

團(tuán)證=

DEBC

出DE=BC.

AEAE

同理AC=A'C\

AC-AEA'C-AEECEC

團(tuán)-AC-=_-,g|jAC=A'C'.

ECAC

團(tuán)？C=AC.

CDACBC

又。。‘=A'C'=BC,

CDDEEC

.??CD'=D'E'=,

/.△DCE^AD,C,E,.

:.ZCED=ZC,E,D,.

???DE〃BC,

.\ZCED+ZACB=180°.

同理NC'E'D'+NA'C'B'=180。.

AZACB=ZA,C,B,.

ACBC

又A'C'=8c

???△ABCSZ\A'B'C'.

考點(diǎn)三相似的實(shí)際應(yīng)用

13.（2020?天水）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿8E高1.5m,

測(cè)得AB=12n,8C=12.8m,則建筑物CQ的高是（）

A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m

6

□

AB

｛答案｝A

BFAR[5]2

(解析｝由題意得EBLAC,DCLAC,從而E8〃OC,所以△4E8SA4￡)C,從而得到而=而;,即右=適訂癡，

解得CD=17.5(cm).因此本題選A.

14.(2020?泰州)如圖，在A48C中，ZC=9O°,AC=3,BC=4,0為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與B、C

不重合)，PD//AB,交AC于點(diǎn)。，連接AP,設(shè)CP=x,AAD尸的面積為S.

CPB

(1)用含x的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；

(2)求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)S隨x增大而減小時(shí)的取值范圍.

3

｛解析｝(1)由DP〃AB,可得△DCPs^ACB,可得CD=—X,然后根據(jù)AD=AC-CD的長(zhǎng)可求得AD的長(zhǎng).

(2)可用S/、ABC-SAABP-SACDP求得S的值，然后配方求出x出的范圍.

｛答案｝解:(1)VDP/7AB

/.△DCP^AACB

.CDCP

.CD

"3

CD=

._3

??AD—3——X

4

(2)?.?△DCPs^ACB,且相似比為x：4.

SADCP!SZ\ACB=X2：16

???S.DCP=-x

8

7

/.S^=-xPBxAC=-(4-x)

22

??S=S/AABC—SAABP—SACDP

=6-(6-

28

當(dāng)2忖，S隨x增大而減少.

15.(2020?涼山州)(7分)如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形A8C,邊BC=120mm,高A￡?=80mm,

把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊

長(zhǎng)是多少？

第20題

｛解析｝利用相似三角形的性質(zhì)，建立關(guān)于正方形邊長(zhǎng)的方程進(jìn)行求解.

｛答案｝解：設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為xmm,則^AEF的邊EF上的高AK=(80—x)mm.

:四邊形EFHG是正方形，；.EF〃GH,即EF〃BC..,.△AEF^AABC.

EFAKx80-x

-----=-----------=---------

:.BCAD,即12080..?.x=48....這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm.

考點(diǎn)四圖形的位似

16.(2020?紹興)如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板的一

邊長(zhǎng)為Son.則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為()

A.20cmB.10cmC.SentD.3.2cm_4

｛答案｝A

｛解析｝本題考查了相似三角形的性質(zhì).相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比等于相似比，所以8

:(投影三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng))=2：5,則投影三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)是20cm.因此本題選A.

17.(2020?嘉興)如圖，在直角坐標(biāo)系中，/XOAB的頂點(diǎn)為O(0,0),A(4,3),B(3,0).以

點(diǎn)。為位似中心,在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為‘的位似圖形△08,則點(diǎn)C坐標(biāo)為()/

44

A.(-1,-1)B.(——,-1)C.(-1,——)D.(-2,-1)

33

｛答案｝B

｛解析｝本題考查了在坐標(biāo)系中，位似圖形點(diǎn)的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫

出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(diǎn)(X,y)對(duì)應(yīng)的位似圖

8

14

形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).由A(4,3),位似比k=§,可得C()因此本題

選B.

18.(2020?重慶4卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△46C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(1,2),6(1,1),C(3,1),

以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△〃漢使△小與減位似圖形，且相似比為2:1,則線段冰的

長(zhǎng)度為()

A.75B.2C.4D.275

｛答案｝D｛解析｝YA(1,2),B(1,1),C(3,1)..，.AB=1,BC=2,AC=?.：Z\DEF與△ABC成位似圖形，且

相似比為2,；.DF=2AB=2.

19.(2020?綏化)在平面直角坐標(biāo)系中，△46C和△464的相似比等于：，并且是關(guān)于原點(diǎn)。的位似圖形,

若點(diǎn)