湖南省特崗教師公開招聘考試小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)知識考試考點背誦資料

2015年湖南省特崗教師公開招聘考試

(小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)知識)所有基礎(chǔ)公式系統(tǒng)復(fù)習(xí)

背誦1集合

一定范圍流，確定的，可以區(qū)別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其

中各事物叫做集合的元素或簡稱元.

元素與集合的關(guān)系：元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。

并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并(集)，記作AUB(或BUA),

讀作“A并B”(或“B并A"),即AUB={xlxWA,或xRB}。

交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作AOB(或BAA),

讀作“A交B”(或“B交A”)，即ADB;{x|x￡A,且x￡B).

集合的運算：

集合交換律：AnB=BAA,AUB=BUAo

集合結(jié)合律：(AriB)nc=An(Bnc),(AUB)UC=AU(BUC)0

集合分配律；An(Buc)=(AnB)u(Anc),AU(Bnc)=(AUB)n(AJC)0

集合德，摩根律；Cu(ADB)=CuAUCuB,Cu(AuB)=CuAnCuB.

背誦2.方程組

1.方程組的有關(guān)概念

方程組的定義：由幾個方程組成的一組方程，叫做方程組。

方程組的解:方程組里各個方程的公共解叫做方程組的解。

解方程組:求方程組解的過程叫做解方程組。

2.二元一次方程組及其解法

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有的未知數(shù)項的次數(shù)都是一，這樣的方程叫做二

元一次方程。

二元一次方程組:把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，組成的方程組叫做二元

一次方程組。

二元一次方程組的解法:代入消元法,加減消元法。

3.三元一次方程組及其解法

三元一次方程:含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一,這樣的方程叫做三元

en一次方程。

三元一次方程組;含有三個相同的未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一,并且一

共有三個方程,這樣的方程組叫做三元一次方程組。

三元一次方程組的解法：代入消元法,加減消元法。即通過代入消元法或加減消元法消去同

一個未知數(shù)得到二元一次方程組，解這個二元一次方程組求出兩個未知數(shù)的值,然后再求第三個

未知數(shù)的值。

背誦3.簡易邏輯

可以判斷真假的語句叫做命題.

“或”、“且“、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。

不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題。

由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命邈。

四種命題的形式：

原命題：若P則Q；

逆命題：若q則P；

否命題;若P則」q；

逆否命題；若」q則1P。

四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系；(原命題O逆否命題)

(1)原命題為真，它的逆命題不一定為真。

(2)原命題為真，它的否命題不一定為其。

(3)原命題為真，它的逆否命題一定為真。

背誦4.不等式

1.不等式的性質(zhì)

(1)同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若〃>b,c>d,則〃+力+d(若

a>b,c<d,則a—c>6—d)，但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不

能相乘：若a>b>0,c>d>0,則(若a>b>O,O<c<d,則@>“)；

cd

(3)左右同正不等式；兩邊可以同時乘方或開方；若“>%>(),則a"或布>揚;

(4)若曲>0,4>匕，則!<1；若ab<0,0〉匕，則

abab

2.不等式的解法

解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要

恒等,

(1)一元二次不等式的解法：

求一般的一元二次不等式加+。>0或仃2+加+。<0(〃>0)的解集，要結(jié)合

這2+歷計c=0的根及二次函數(shù)？=公2十反十c圖象確定解集。對于一元二次方程

.2+bx+c=0(4>0),設(shè)A="L4r,它的解按照A>0,A=0,A<0可分為三種情況.

(2)分式不等式的解法：

分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每

一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但

分母恒為正或恒為負時可去分母。

(3)絕對值不等式的解法：

分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)：

利用絕對值的定義；

數(shù)形結(jié)合。

(4)指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的解法：

7?>o

Mg(x)

當a>1時，a>aof(x)>g(x);logaf(x)>log。g(x)o,g(x)>0。

/W>g(x)

7a)>0

MM

當0<”1時,a>aaf(x)<g(x);logflf(x)>log,g(x)6g(x)>0

fW<g(x)

背誦5.函數(shù)的性質(zhì)

1,單調(diào)性

定義：設(shè)函數(shù)的定義域為I,如果對于屬于定義域【內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個%,%，當

王<%時，都有/(%)</(&)，則稱在這個區(qū)間上是增函數(shù)，如果對于屬于定義域I

內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量如當&時，都有/(百)>/。2)，則稱/(勸在這個

區(qū)間上是減函數(shù)。

2.奇偶性

定義：

(1)偶函數(shù)；

一般地，對于函數(shù)/J)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有/(-?=/(%)，那么/(x)就叫

做偶函數(shù)。

(2)奇函數(shù)：

一般地，對于函數(shù)的定義域的任意一個X,都有/(—#=—力*),那么/。)就叫做

奇函數(shù)6

偶函數(shù)的圖象關(guān)于)'軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致。

背誦6.二次函數(shù)

二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)6二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax2

+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主射平行于y軸的拋物線。

a,b,c為常數(shù)，a^O,且a決定函數(shù)的開口方向°a〉0時，開口方向向上；a<0時，

開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越

小開口就越大,

背誦7.指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a*(a>0且W1)(xGR)o

y=ax(a>l)定義域：R;值域：(0,+oo)；過定點(0,1)；

當x〉0時，y>l；x<0時，0〈y〈l；在(-8,+oo)上是增函數(shù)；

y=ax(0<a<l)定義域：R；值域：(0,+oo)；過定點(0,1)；

當x〉0時,0<y<l?x<0時，y>l：在(-oo,+oo)上是減函數(shù)。

背誦8.對數(shù)函數(shù)

一般地，函數(shù)y二log/,(其中a是常數(shù)，a〉0且a不等于1)叫做對數(shù)函數(shù)。

函數(shù)廠log/,當a>1時，定義域為(0,+8),值域為R,非奇非偶函數(shù)，過定點(1,0),

在(0,+8)上是增函數(shù)：

函數(shù)尸log。X,當0<aV1時，定義域為(0,+8),值域為R,非奇非偶函數(shù)，過定

點(1,0),

在(0,+8)上是減函數(shù)。

性質(zhì)：如果〃>0且〃Wl,M>0,N>0,那么：

log.MN=log“M+Iog“N

log”獷=log.M-log*

log“M”=〃log/(ftwR)

logN

換底公式：log”N二——--(a>0,ah1；m>0,加#1)

嘀〃

對數(shù)恒等式：I=N

背誦9,三角函數(shù)

1?設(shè)a是一個任意角，在a終邊上除原點外任意取一點P(*,外，P與原點。之間的距

離記作+了2>0),

列出六個比值:

—=sina(正弦)—=cosa(余弦)—=tana(正切)

X

y

—=csca(余割)-=seca(正割)-=COta(余切)

yXy

2.三角函數(shù)的定義域

三角函數(shù)定義域

f(x)=sinx{X\XGR}

f(x)=cosx

f(x)=tanx

-x\xekjc+-7r,keZ

2

f(x)=cotx「IxwRflx±br/wZ}

f(x)=secx

-

f(x)=cscx{x|xeRf\.xwkmkeZ}

3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

-s-i-n-a-=tana-c-o-s-ff-=cota

cosasina

tanct-cota=Icscasina=lsecacosa=l

sin2a+cos2?=lsec2a-ian2a=lcsc2a-cot2a=l

4.和差關(guān)系

sin(a+3)=sinacosB+co§asinB

sin(a-B)=sinacosB-cosasinB

cos(a+P)=cosacosB-sinasin0

cos(a—p)=cosacosB+smasinB

tan(a+p)=(tana+tan|3)/(1—tana*tan)

tan(a—p)=(tana-tanP)/(l+tana?tanP)

5,倍半角關(guān)系

sin2a=2sinacosa；

cos"二cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a：

2tga

tg2a=

1一%2a

1-cosa

sin-=±.

22

1+cosa

cos-=土

22

a,l-cos(7sinal-cosa

積萬=±

l+cos(z1+cosasina

背誦10,等差數(shù)列

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就

叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用d表示，其符號語言為:

?！币籊〃T="(〃22,"為常數(shù))。

1.遞推關(guān)系與通項公式

遞推關(guān)系：aBt|-an=d

通項公式:an=￡?,+(n-\)d

推廣；a?=am+(n-m)d

變式！q=an-(n-｝)d;

n-1

,a?-a,?

d二一2_2

n-m

(q+〃”)〃qn(n-\)d

sn=----j-；S"=MZ1I-2—

2.等差中項：

若加成等差數(shù)列，則由與C的等差中項，且匹等；的成等差數(shù)列是

2Z?=〃+C的充要條件a

3.前〃項和公式

(4+%)〃,n(n-\)d

=------------:3?=na.+-----------

"2"?2

特征：S”=:〃2+(q_3〃，

即5"=/(?)=An2+Bn

S“二A/+B〃(AB為常數(shù))

是數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列的充要條件。

4.等差數(shù)列｛4｝的基本性質(zhì)(其中科上PMEN*),

若m+H=p+q,則冊+%=%+&。

背誦11.等比數(shù)列

如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做

等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為q(qHO)。

1.遞推關(guān)系與通項公式：

遞推關(guān)系：an+l=qan

通項公式：an=ax?qZ

推廣：

2.等比中項：若三個數(shù)。，dc成等比數(shù)列，則稱b為。與c的等比中項，且為

b=±灰注：/=4C是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。

3.前〃項和公式：

0=1)

S.二’q(l-r)

%一〃也(夕*i)

1-夕i-q

背誦12,數(shù)學(xué)歸納法

對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性；先證明當n取第

一個值函時命題成立；然后假設(shè)當聯(lián)k(ksMs時命題成立，證明當n=k+l時命題也成立

至種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法，

背誦13.極限

1.幾個常用極限

(1)lim-=O,\iman=O

n->oc〃n->oo

(2)limx=xQ,lim-=—:

XT與x與

/c、￥smx,

(3)lim---=1；

ktOx

(4)lim|1+-^(e=2,718281845-)o

KT8XJ

2.函數(shù)極限的四則運算法則

若limf(x)=a,limg(x)=b,則

XT%XT%

(1)lim[/(x)±g(x)]=a±b；

工T-4

(2)

(3)

XT%>g(x)b

3.數(shù)列極限的pq則運算法則

若lima“=aJim〃r=Z?,則

“TOO

(1)]lim(凡±")二〃±8：

(2)lim(4“也)=〃力；

(3)lim%，佑￥0)；

(4)lim(c-a)=lime-lima=c-a(c是常數(shù))。

背誦14.排列組合

L排列：從n個不同元素中，任取m(m^n)個元素，按照?定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A：.

A：=n(n-l)(n-2)...(n-m+l)=,，LAm<〃)?規(guī)定;0!=1。

(n-mj.

2.組合：從n個不同元素中任取m(m^n)個元素并組成一組，叫做從n個不

同元素中取出n個元素的一個組合，加.組合個數(shù)記兒工

二組=……(〃—〃1+1)二〃！規(guī)定：C”],

A：：ml

組合數(shù)性質(zhì)：

C=cr，C；+CT=C3,C：+C：+??????+C：=2L

背誦15.二項式定理

(a+b)n=Cy+C\an-xb+C；.an'2b2+…+C"",+…+C?”

二項展開式的通項公式：=C；，f/(r=0,l……〃)，C；為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的

系數(shù))。

性質(zhì)：

⑴對稱性；C：=C,rG=0,12,……，〃)

⑵系數(shù)和：C：；+C：+…+C；=2",C；W+…=C；+C；+C：+…=2”，

最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

n

—+I項，二項式系數(shù)為C?〃為奇數(shù)時,(〃+l)為偶數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)最大即第

(2

[n-ln+1

n+\項及第號+1項，其二項式系數(shù)為=c?

背誦16.平面向量

向量的概念：既有大小又有方向的量，向量常用有向線段來表示。

零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0,注意零向量的方向是任意的。

單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與而共線的單位向量是土巫)。

而

平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量:、右叫做平行向量，記作：1〃

規(guī)定零向量和任何向量平行。

平面向量的基本定理：如果。和仍是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任

一向量必有且只有一對實數(shù)4、4，使爐4ei十4@。

1.平面向量的數(shù)量積

(1)兩個向量的夾角：對于非零向量作宿力彳任，￡AOB=0(0<0<^

稱為向量。，否的夾角，當。=0時，a,否同向，當。=不時，a,3反向，當。=巳時，a,

2

X垂直。

(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量Z,b,它們的夾角為。，我們把數(shù)量

|〃||B|cos。叫做。與否的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：a?%,即規(guī)

定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。

(3).在[上的投影為|加cos。，它是一個實數(shù)，但不一定大于仇

(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)；設(shè)兩個非零向量Z,b,其夾角為。，則；

①〃?日二0：

②當4,?同向時，特別地，/=￡?方=邛荊=后"；當〃與各反向

時，—同年當夕為銳角時，%小>0,且不同向，￡2>0是夕為銳角的必要

非充分條件：當。為鈍角時，XAvo,且2、坂不反向，Z石<0是8為鈍角的必要非充分條

③非零向量「，分夾角。的計算公式：3也晶

④，?萬國￡||加o

2.平面向量的運算

（1）幾何運算

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向

量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”；設(shè)麗=以前二九那么向量比叫做￡與

B的和，即2+石=通+前=前；

②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)而二2,近二友那么3-坂二通-近二百，由減

向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。

<2）坐標運算；設(shè)2=（百,%：）,5=（七,%），則；

①向量的加減法運算；alh=（xl±x2ty士丹）。

②實數(shù)與向量的積：Xa=4（g,y）=（2西,）。

③若則A8=（“2一*，丫2一*），即一個向量1勺坐標等于表示這個向

量的有向線段的終點坐標減去起點坐標°

④平面向量數(shù)量積：a9b=xix2^y[y2（,

⑤向量的模：I%|=小d+y?,/=|I『=,+y。

⑥兩點間的距離；若4（百,）[）,8（如必），則IA81="占一四Y十（必一MY

背誦17.空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

共線向量定理：空間任意兩個向量力、b（5x6）,存在實數(shù)3使G="

共面向量定理：如果兩個向量優(yōu)5不共線，力與向量①5共面的條件是存在實數(shù)無），使

p^xa-iyb0

1.空間向量的直角坐標運算律：

（D若a=（%M2M3），B=也，3,則a+U=（q+4,4+4,4+4）,

4-B=（q-%4-&嗎-4），2〃=（四,電,久）（4￡夫），

a~b=〃也+a2h2+a3b3，

a//b<^>a]二獨,/二勸2,%二久（％w尺），

a_1_萬=4][+Oyb2+岫§=0o

⑵若4百,如《），B（x2ty2,z2）f則48=（七一知為一苗"2一百）。

2

模長公式；若Q=（q,a2M），b=（b]9b2,b3）,W'J|a|=\[a7a=y]a^+aa3,

\b|=\]b'b-Jb：+后

2.夾角公式：cos?%）=afy+a2b2+a3b3

OTT&+〃；+TM，6+42

3.兩點間的距離公式：若5■，必，々)，

,222

則|而|=\/^=7(-v2-Al)+(y2-yl)+(22-zl),

或4.8=小(々-%)2+(丫2一)02+(22-21)2。

4.空間向量的數(shù)量積。

(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量在空間任取一點。，作

OA=a~OB-^,則NA08叫做向量。與6的夾角，記作＜。］＞：且規(guī)定00＜。,5＞0乃，

顯然有＜2石＞=〈瓦萬＞；若＜d,B＞=巴,則稱2與5互相垂直，記作：alb.

2

(2)向量的模：設(shè)函=。，則有向線段函的長度叫做向量。的長度或模，記作：團|。

(3)向量的數(shù)量積：已知向量。入則141?癡，＜面＞一叫做q5的數(shù)量積,記作萬萬,

即無5=I升由.cos＜＞?

(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)；

?de=\d\cos＜die＞i

@aLboab=0；

③|肝=不日。

(5)空間向量數(shù)量積運算律：

①(加/)石=〃&步=無(4)；

@a-b=b-a(交換律)：

@a\b+c)=ab-iac(分配律)。

背誦18.導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x),如果自變量x在0處有增量?,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量旬=f(Xo+At)

-f(x0),比值包叫做函數(shù)y=f(x)在x°到x°+Ar之間的平均變化率，即

Ax

包二曲土包匕幽2。如果當Axf0時，包有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點X。處

AxAxAx

可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在點XQ處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或/1、=即。即：f(X。)

..Ay/(x+Ax)-/(x)

二hm--lim----0----------0-o

&TOAX&T。AX

1.基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

C'=0;(C為常數(shù))卜")’二加1;

(sinx)1=cosx(cosx)1=-sinx

(tanx^j=sec2x(cot尤)'=一esc2x

(secx)r=secxtanx(esc1)=-cscxcotx

?)7；(ax)f=axIna

(lnx)'=；(1因xj=Llog〃

-IJC

I]

(arcsinx)-.(arccosx)="7^7

.ii

(arctanx)=——(arccotx)

x2+lx2+i

I”1廠運

2.導(dǎo)數(shù)的運算法則

法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：

(w±V)=W±V.

法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘

以笫二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(I。)‘=若C為常數(shù)，則(C〃)'=CZ+C〃=0+Cu=Cu.

即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(□)'=a'.

法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，

f

再除以分母的平方：J；",(v#0)°

背誦19.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

(1)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，如果f(x)>0,則/(x)在此區(qū)間上為

增函數(shù)：如果f。)<0,則f(x)在此區(qū)間上為減函數(shù)。

(2)如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f(力=0,則/(劃為常數(shù)。

2,極點與極值

曲線在極值點處切線的斜率為0,極值點處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為

正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左惻切線的斜率為負，右側(cè)為正。

3.最值

在區(qū)間區(qū),b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a,b］上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)

連續(xù)函數(shù)f(X)不一定有最大值,例如/(%)=VXG(-U)。

背誦20.點、線、面基本概念

通常用行四邊形來表示平面。平面可以用希臘字母外￡,7來表示，也可以用平行四邊形的

四個頂點來表示，還可以簡單的用對角線的端點字母表示。如平面a,平面ABCD,平面AC等。

(1)點4在平面a內(nèi)，記作Awa；點4在平面a外，記作A區(qū)a>

(2)點P在直線/上，記作Pe/,點尸在直線外，記作尸任

(3)直線/上所有點都在平面a內(nèi)，則直線/在平面a內(nèi)(平面a經(jīng)過直線/),記作/ua；

否則直線就在平面外，記作

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線6

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面,

推論2；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3；經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

背誦21.基本的位置關(guān)系

1.空間直線與直線之間的位置關(guān)系

不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個

角相等。

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。

異面直線所成的角：如圖，己知兩條異面直線經(jīng)過空間任一點0作直線"〃明少〃

b,把d與〃所成的銳角(或直角)叫做異面直線。力所成的角(夾角)。如果兩條異面直線所成

的角是直角，就說這兩條直線互相垂直，記作0_L力。

2.空間直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面位置關(guān)系只有三種：

(1)直線在平面內(nèi)；

(2)直線與平面相交；

(3)直線與平面平行。

直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的..條直線平行，則該直線與此

平面平行。

直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平

面的交線都與該直線平行。

直線和平面垂直判定定理：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂

直于同一個平面。

直線和平面垂直性質(zhì)定理；如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

三垂線定理;在平面內(nèi)的?條直線，如果和穿過這個平面的?條斜線在這個平面內(nèi)的射

影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果立面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條

直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3.平面與平面之間的位置關(guān)系

兩個平面的位置關(guān)系只有兩種：

(1)兩個平面平行一沒有公共點。

(2)兩個平面相交一有一條公共直線。

判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

背誦22.直線與平面所成的角與二面角

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角.

一直線垂直于平面，所成的角是直角6

一直線平行于平面或在平面內(nèi)?所成角為0。角。

直線和平面所成角范圍：[0,y]o

斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。

平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面：從一條直線出發(fā)的

兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面,

過二面角的棱上的一點。分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線0406,則NAOB叫做二

面角。一/一夕的平面角。

一個平面垂直于二面角尸的棱/,且與兩半平面交線分別為。4,。氏。為垂足，則

NAOB也是&-/一￡的平面角。

背誦23.距離

1.點到平面的距離：從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點

到這個平面的距離。

平面a的法向量7,在平面內(nèi)任取一定點4,則平面外一點p到平面a的距離d等于萬

在〃上的射影長，即a=L萼

I?I

2.線線距離

異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離。

分別在直線加、〃上取定向量求與向量仄E都垂直的向量7,分別在加、幾上各取一

個定點A、B,則異面直線小、〃的距離"等于AB在"上的射影長，艮|"=嗎生。

I川

3.線面距離

平行的直線和平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離,

叫做這條直線和平面的距離。

4.面面距離

兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。

5.兩點間的距離

平面內(nèi)兩點/?（七,）?,R（孫必），則兩點間的距離為；IA5|=，（百-七）2+（y-%）?°

6.點到直線的距離及兩平行線距離

|A%二B空C|

（1）點P（%,%）到直線/:Ai+By+C=O的距離公式為4=

JA2+B2

（2）利用點到直線的距離公式，可以推導(dǎo)出兩條平行直線4：Ar+8），+G=0,

Ar+&+C=O之間的距離公式"=單一.」，推導(dǎo)過程為：在直線上任取?點

X/A2+B2'

P（%,%）,則母。@2=0,即4。穹。毛2d這時點P（%,%）到直線（：Ar+為+G=0

的距離為d=內(nèi)產(chǎn)+GI=\^-c2\。

背誦24.棱柱

1.棱柱的基礎(chǔ)知識

有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱柱用表示底面各頂點的字母來表示。棱柱中兩

個互相平行的面，叫做棱柱的底面。棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)

面。棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱。

2.分類

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，畫斜棱柱時，一般將側(cè)棱畫成不與底面垂

直。

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱6面直棱柱時，應(yīng)將側(cè)磁畫成與底面垂直6

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。

平行六面體；底面是平行四邊形的叫棱柱叫做平行六面體。

直平行六面體；側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。

長方體；底面是矩形的平行六面體叫長方體。

正四棱柱：底面是正方形的直平行六面體叫做正四棱柱。

正方體：棱長相等的正四棱柱叫做正方體。

3.棱柱的性質(zhì)

棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形;

正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.

棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。

過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。

4?平行六面體、長方體的性質(zhì)

平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分。

平行六面體的四條對角線的平方和等于各校的平方和。

5.表面積、側(cè)面積、體積

直棱柱側(cè)面積：側(cè)面積=底面周長乂側(cè)棱長。

棱柱的表面積：表面積二側(cè)面積:底面積。

棱柱的體積公式：V=sh（s為底面積，h為高）。

背誦25.棱錐

1.棱錐的基礎(chǔ)知識

棱錐：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這

個多面體叫做棱錐。棱錐中的多邊形叫做棱錐的底面。棱錐中除底面以外的各個面都叫做棱

錐的側(cè)面,棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點6極錐的頂點到底面的距離叫做極

錐的高。

2.棱錐的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面

積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比。

3,正楂錐的性質(zhì)

正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫

做正棱錐的斜高）。

正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、

側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形。

4.表面積、側(cè)面積、體積

棱錐的表面積：表面積二側(cè)面積+底面積。

正棱錐的側(cè)面積：S正極錐側(cè)二l/2ch'（c為底面周長，h'為斜高）。

錐體的體積公式是：v=l/3sh（s為錐體的底面積，h為錐體的商）。

背誦26.球

在空間中到定點的距離等于或小于定長的點的集合叫做球體，簡稱球.半圓以它的直

徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。

用一個平面去截一個球，截面是圓面。

球心和截而圓心的連線垂直于截面。

222

球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系；r=R-d0

球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓。

在球面上，兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣

弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離。

半徑是R的球的體積計算公式是：V=（4/3）nR\

半徑是R的球的表面積計算公式是：S=4JIR2。

背誦27.直線與圓的方程

1.直線

在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把X軸繞著交點按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫那么。就叫做直線的傾斜角。直線傾斜角的取值范

圍是0°Wa<180°e

傾斜角。不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率,常用k表示,即拄tan

a（。力90°傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90’的直線都有斜率，其取

值范圍是（-8,+8）。

2.直線方程的五種形式

（1）直線的點斜式方程一己知直線/經(jīng)過點6（%,X）,且斜率為2,直線的方程；

y-y}二k（x-xj為直線方程的點斜式。

（2）直線的斜截式方程一已知直線/經(jīng)過點P（0,b）,并且它的斜率為k,直線/的方程:

y=去+8為斜截式。

（3）直線方程的兩點式

當玉工勺，必會了2時，經(jīng)過4$,y），B（々,為）的直線的兩點式方程可以寫成:

y—3二工一6。

y2f七一』0

（4）宜線方程的截距式

過A（%0）,B（0,b）（〃，。均不為0）的直線方程＞+上=1叫做直線方程的截距式。

ab

（5）直線方程的?般形式：

點斜式、斜截式、兩點式、截距式四種直線方程均可化成Ar+6y+C=0（其中A、B、C

是常數(shù)，A、B不全為0）的形式，叫做直線方程的一般式。

3.圓

⑴圓心為c（43,半徑為，的圓的標準方程為：a-〃）2+（y-歷2=/。＞0）。特殊地,

當。=b二O時，圓心在原點的圓的方程為：/+

（DE}

（2）圓的一般方程野+尸=0,圓心為點-上「上，半徑

I22）

其中。2+爐-4尸＞0。

（3）二元二次方程++以+或+尸=0,表示圓的方程的充要條件是:

①/項/項的系數(shù)相同且不為0,即A=CH0；

②沒有刈項，即8=0；

@D1+E2-4AF＞0O

（4）圓C：（x—af+U—32=/的參數(shù)方程為y="+rcos*：o為參數(shù)）。特殊地，

y=b+rsinO

X2+/=r2的參數(shù)方程為卜=（0為參數(shù)）。

y=rsin。

（5）圓系方程；過圓G；父-丁十中十砧，十6=0與圓G；八『十E十E2y十鳥=0交

222

點的圓系方程是X+y+D1.v+EJ+￡+2儼+y+D2x+E2y+^=0（不含圓C?）,當4a一1時

圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程。

背誦28.橢圓

平面內(nèi)與兩定點F、F'的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|FF'|）的動點P，勺軌跡叫做橢圓。

1,標準方程及幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

標準方程2222

XVxv

丁方=1(a>b>0)-72=1(4>6>0)

幾范圍\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

頂點坐標(?(0,詢,(0/)QF),(0。),(—40)00)

何

性焦點坐標4(0,-)c,月(O,c)

工/2

質(zhì)準線方程y=--

Cc

對稱軸方

x=0、>=0

程

長短軸橢圓的長半軸長是4,橢圓的短半軸長是人.

離心率e=—(0<e<l)

a

a,b、c關(guān)系a2=Z?2+c2(cz>^>0)

2.焦半徑

22

P是橢圓±r+'=l（Q>b>0）上一點，E、F是左、右焦點，e是橢圓的高心率，則

a"b-

\PE\=d+exP,\PF\=a-exPo

22

P是橢圓4+==1（4>匕>0）上一點，E、F是上、下焦點，c是橢圓的離心率，則

ab

\PE\=a-^pf\PF\=a-^eypo

3.焦點弦

定義：經(jīng)過一個橢圓焦點的弦稱為焦點弦.

設(shè)力（汨,.）,B（X2,㈤，旦過左焦點E,則弦長|陽=|￡力|+|￡5|=（a+exj+（a+

ex2）=2a+e（x\+版）。

4.通徑

通徑：過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦叫做橢圓的通徑，通徑長為2b2/a。

背誦29.雙曲線

平面內(nèi)與兩個定點￡,人的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于怩周）的點的軌跡叫做雙曲

線。

1.標準方程與幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

標準方程

2222

會一方=1(a>0ib>0)、-----1(6(>0,Z?>0)

ab

范圍\x\>a,y^R1川“心尺

頂點坐標(-〃,0),3,0)（0,一項（0,公

焦點坐標「(-c,0)H(c,0)耳(0,—c),鳥(0,c)

幾

準線方程X3

何Cc

漸近線方程,b,a

y=±-xy=±-x

ab

焦半徑|“用=|4+.|