專題04解三角形小題?？碱}型歸類（考題猜想8題型）

專題04解三角形小題一．正余弦定理解三角形1．（2324高一下·江蘇南京·月考）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，即，所以由余弦定理?故選：D2．（2324高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得.故選：A3．（2324高一下·廣東佛山·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，且，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由正弦定理角化邊得，又，所以①，由余弦定理得②，聯(lián)立①②求解得，所以.故選：D4．（2324高一下·湖南·期中）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且，則角（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，由正弦定理，得，或.又.故選：B.5．（2324高一下·重慶萬州·期中）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因?yàn)?，所?故選：A.二．三角形解的個數(shù)問題1．（2324高一下·福建南平·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，已知，則此三角形（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數(shù)不確定【答案】C【解析】由正弦定理，得，解得，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以或，故此三角形有兩?故選：C.2．（2324高一下·福建廈門·月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定【答案】A【解析】由，得，又，，故只能為銳角，即，故該三角形只有一解．故選：A.3．（2324高一下·遼寧·期中）在中，，，，則“恰有一解”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得，方程的判別式，①，解得．當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，解得符合題意；當(dāng)時轉(zhuǎn)化為，解得不符合題意；②，且兩根之積，可得有一正根和一負(fù)根，負(fù)根舍去，此時有一解，此時；③，且兩根之積，解得，當(dāng)時，，解得符合題意；當(dāng)時，解得不符合題意；故若有一解，則或，故“恰有一解”，是“”的必要不充分條件故選：B．4．（2324高一下·浙江寧波·期中）在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，過作于，如下圖示，則，可得時，三角形有兩解.當(dāng)，即時，三角形不存在；當(dāng)或時，△分別對應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個三角形；當(dāng)時，在射線方向上有一個△，而在射線方向上不存在，故此時僅有一個三角形；故選：B5．（2324高一下·河南周口·月考）在中，，，．若利用正弦定理解有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，，過作于，則，以為圓心，為半徑畫圓弧，要使有兩個解，則圓弧和邊應(yīng)該有兩個交點(diǎn)，故且，即，解得．故選：B.三．三角形的形狀判斷1．（2324高一下·浙江·月考）已知，，分別是三內(nèi)角，，的對邊，則“”是“為直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】在中，由正弦定理可得：，由，可得：，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，所以為直角三角形，故“”是“為直角三角形”的充分條件；若為直角三角形，設(shè)，，則，所以，所以，所以“”不是“為直角三角形”的必要條件；即“”是“為直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.2．（2324高一下·山東·期中）在中，若，則這個三角形是（

）A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，化簡可得，即，即，所以或，即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角?故選：A3．（2324高一下·云南麗江·月考）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由及正弦定理可得，得，故（舍去）或，即，又，所以，因，，得，故，故是等邊三角形，故選：B4．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）已知中，角的對邊分別是，若，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，結(jié)合正弦定理可得，所以，又因?yàn)槭堑膬?nèi)角，故，所以是等邊三角形.故選：B.5．（2324高一下·河南安陽·期中）（多選）已知的內(nèi)角所對的邊分別為下列說法錯誤的是（

）A．若，則是等腰三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是直角三角形D．“”是“是等邊三角形”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】對于A項(xiàng)，由和正弦定理，，即，故得或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，因，由余弦定理，，代入化簡得，，即得，故是等邊三角形，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，由和正弦定理，,化簡得，(*)，因,則,代入(*),得，因，，則，故,即C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，若是等邊三角形，則,即必成立，故“”是“是等邊三角形”的必要條件，故D項(xiàng)錯誤.故選：ABD.四．三角形的面積與周長問題1．（2324高一下·云南·月考）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，角是銳角，所以，由余弦定理，，解得，所以的面積.故選：B.2．（2324高一下·浙江麗水·期中）已知在中，三個內(nèi)角的對邊分別為，若，，邊上的高等于，則的面積為（

）A． B．9 C． D．【答案】A【解析】由，即，得，所以.故選：A.3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·二模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【解析】，由正弦定理得，，又，所以，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，所以，由三角形面積公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長為.故選：B4．（2324高一下·廣西欽州·期中）在中，角所對的邊分別為若且的外接圓的半徑為則面積的最大值為．【答案】【解析】在中，由正弦定理得由余弦定理得因?yàn)闉榈膬?nèi)角，則，所以因?yàn)榈耐饨訄A的半徑為由正弦定理得所以由余弦定理得即因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的面積所以面積的最大值為5．（2324高一下·重慶渝中·期中）在中，角對應(yīng)的邊分別為，已知，且，則，的面積為．【答案】/0.5【解析】因?yàn)?，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所以；因?yàn)樵谥?，由正弦定理，即，所以，所以，所以，所以，所以或（舍），因?yàn)榈拿娣e為．五．三角形的外接圓問題1．（2324高一下·江西·月考）在中，，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得的外接圓的半徑，所以的外接圓的面積．故選:．2．（2324高一上·甘肅定西·開學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，若，，，則的半徑是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】中，由余弦定理知，，則，由正弦定理，外接圓半徑為R，則，所以的半徑是.故選：A3．（2324高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，若邊上的中線，則的外接圓面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，又是中點(diǎn)，所以，又，所以，即，解得（負(fù)值舍去），所以，則，所以，即，所以的外接圓面積為，故選：A.4．（2324高一下·浙江·月考）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則．【答案】3【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，從而，又外接圓的半徑為，所以由正弦定理得．5．（2324高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，若，則外接圓半徑為.【答案】【解析】由及正弦定理得，即，即，由，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為.六．解三角形在幾何中的應(yīng)用1．（2324高一下·山西·月考）已知非直角三角形，是的重心，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】因?yàn)槭堑闹匦?，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，即，所?故選：D2．（2324高一下·重慶·期中）內(nèi)角對應(yīng)邊分別為．若，，點(diǎn)在邊上，并且，為的外心，則之長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連結(jié)，因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，則，即，且外接圓半徑，即在中，，，所以，且，在中，，所以.故選：B3．（2324高一下·江西撫州·期中）已知中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得D為BC中點(diǎn)，因?yàn)?，故，在中，由正弦定理，①，在中，由正弦定理，②，兩式相除可得，；設(shè)，而，可得，則.故選：D.4．（2324高一下·重慶·期中）如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，．則當(dāng)取最大值時，的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：.故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，因，故，取得最大值，此時的面積等于.故選：C5．（2324高一下·江蘇·月考）（多選）如圖，的角所對的邊分別為，，且，若點(diǎn)在外，，則下列說法中正確的有（

）A．B．C．四邊形面積的最大值為D．四邊形面積的最大值為【答案】ABC【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，即，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，可得，所以，所以為等邊三角形，可得，，所以A、B正確；設(shè)，在中，由余弦定理得，且，可得，所以四邊形的面積為，當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為，所以C正確，D錯誤.故選：ABC.七．解三角形與向量結(jié)合1．（2324高一下·吉林長春·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，即，由余弦定理可?因?yàn)?，所以，故選：D.2．（2324高一下·吉林白城·月考）在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，向量，向量，且滿足，則角A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，向量，且，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，故選：C.3．（2324高一下·重慶渝中·月考）在中，角、、的對邊分別為、、，若，又的面積，且，則（

）A．64 B．84 C．69 D．89【答案】C【解析】由，得，所以，則，即，即，又，即，又，得，聯(lián)立、、，解得，則，即，由，平方知，所以.故選：C.4．（2324高一下·內(nèi)蒙古赤峰·月考）中，、、分別是內(nèi)角、、的對邊，若且，則形狀是（

）A．有一個角是的等腰三角形 B．頂角是的等腰三角形C．等腰直角三角形 D．不能確定三角形的形狀【答案】C【解析】如圖所示，在邊、上分別取點(diǎn)、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線交于點(diǎn)，則是邊的中點(diǎn)，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：C5．（2324高一下·四川眉山·月考）設(shè)向量滿足，與的夾角為，則的最大值為【答案】4【解析】如圖所示，設(shè)因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，，所以四點(diǎn)共圓,因?yàn)椋?，所以，由正弦定理知，即過四點(diǎn)的圓的直徑為4，所以||的最大值等于直徑4.八．正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2324高一下·湖南·月考）某班同學(xué)利用課外實(shí)踐課，測量兩地之間的距離，在處測得兩地之間的距離是4千米，兩地之間的距離是6千米，且，則兩地之間的距離是（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【解析】由余弦定理可得，則.故選：A2．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）高一年級的全體同學(xué)參加了主題為《追尋紅色足跡，青春在歷練中閃光》的社會實(shí)踐活動.在參觀今世緣酒業(yè)廠區(qū)時，有一個巨大的方鼎雕塑.若在B?C處分別測得雕塑最高點(diǎn)的仰角為30°和20°，且，則該雕塑的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)）A．4.92 B．5.076 C．5.91 D．7.177【答案】C【解析】在中，由正弦定理得：，所以，在中，；故選：C.3．（2324高一下·河南商丘·月考）北京天安門廣場中心屹立著一座中國最大的紀(jì)念碑——人民英雄紀(jì)念碑，它專門為緬懷近現(xiàn)代英雄而建，它不僅僅是一個簡單的建筑，更是民族精神的象征.某學(xué)生為測量該紀(jì)念碑的高度，選取與碑基在同一水平面內(nèi)的兩個測量點(diǎn).現(xiàn)測得米，在點(diǎn)處測得碑頂?shù)难鼋菫?，則紀(jì)念碑高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．故選：A4．（2324高一下·遼寧·期中）2023年下半年開始，某市加快了推進(jìn)“5G+光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè).如圖，某市區(qū)域地面有四個5G基站A，B，C，D.已知C，D兩個基站建在江的南岸，距離為，基站A，B在江的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（

）A． B． C．40km