高中數(shù)學(xué)公式及知識點大全（二）復(fù)數(shù)立體幾何空間向量2025年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)公式和知識點大全（北師大版2019）

高中數(shù)學(xué)公式及知識點速記（二）七、復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念①復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是a，虛部是b．②復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)（a＝0，b≠0），,非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.))))③復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?共軛復(fù)數(shù)：a＋bi④復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作z或a＋bi，即|z|＝|a＋bi|＝r＝2．復(fù)數(shù)的幾何意義①復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\f(→,\s\up6(一一對應(yīng))))復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．②復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量3．復(fù)數(shù)的運算（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1①加法：z②減法：z③乘法：z④除法：z（2）復(fù)數(shù)加法的運算定律、結(jié)合律對任何z1,z2八、立體幾何1、基本事實文字語言圖形語言符號語言基本事實1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l推論1：一條直線和直線外一點確定一平面推論2：兩條平行線確定一個平面推論3：兩條相交線確定一個平面基本事實4平行于同一直線的兩條直線平行a//b，b//c基本事實5（等角定理）空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．AB//?∠CAB=或∠2、空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直線：相交、平行異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a'//a，b'//b直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)3、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)l∥a，a?α，l?α?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥b4、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b定義如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線，平行于另外一個平面α∥β，a?α，?a∥β5、直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直a，性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行a定義若一條直線和平面垂直，則該直線垂直平面內(nèi)的任何一條直線l⊥6、平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直l性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直a⊥7、證明線線平行的思路證明線線垂直的思路（1）中位線定理（等分點定理）（1）勾股定理（2）平行四邊形定理（2）線面垂直的定義（線面垂直，線線垂直）（3）線面平行的性質(zhì)定理（線面平行，線線平行（3）三垂線定理（垂直投影等價于垂直斜線）（4）面面平行的性質(zhì)定理（面面平行，線線平行）（4）其他平面幾何性質(zhì)（菱形對角線、正△底高垂直……）（5）a//b，b//c?a//c（6）線面垂直的性質(zhì)定理（a⊥（7）其他平面幾何性質(zhì)（同位角、內(nèi)錯角相等……）8、證明線面平行的思路證明線面垂直的思路（1）線面平行的判定定理（線線平行，線面平行）（1）線面垂直的判定定理（線線垂直，線面垂直）（2）面面平行的定義（面面平行，線面平行）（2）面面垂直的性質(zhì)定理（面面垂直，線面垂直）（3）a//b，b//β，a?β?a//9、證明面面平行的思路證明面面垂直的思路（1）面面平行的判定定理（線面平行，面面平行）（1）面面垂直的判定定理（線面垂直，面面垂直）（2）a//α，α//β?α（3）a⊥α，b⊥β，a//b10、線線//←←←←←←←←←←←11、線線⊥←←←←←←←←←←←→→→→→→→→→→→12．柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積幾何體面積體積幾何體面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR313．幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和九、空間向量1、向量的相關(guān)定理①空間中任意兩個非零向量AB,BC，不一定共線，但一定共面若BC≠0，存在實數(shù)λ使AB=λBC，則若平面內(nèi)存在點O使OA=λOB+μOC(②空間中任意三個非零向量AB,BC,CD，不一定共面若BC,CD非零不共線，存在實數(shù)對x,y使AB=xBC+yCD，則AB,(共面向量定理)(平面向量基本定理)若空間內(nèi)存在一點O使OA=xOB+yOC+zOD(四點共面定理)2、平面、空間向量基本定理①平面向量基本定理：若平面內(nèi)存在兩個非零不共線的向量e1,e則平面內(nèi)任意一個向量a都有a=x常用結(jié)論：在平行四邊形ABCD中AC=AB+AD，若M②空間向量基本定理：若平面內(nèi)存在三個非零不共面的向量e1,e2,則平面內(nèi)任意一個向量a都有a=xe1+ye2+z常用結(jié)論：在平行六面體ABCD?A1B1C1D則AM3、空間向量的運算律①加減法a+b②數(shù)乘運算λμa=λμ③數(shù)量積a?b=b4、a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a5、平面向量的坐標(biāo)運算①設(shè)a=x1,y1,z1,②設(shè)a=x1,y1,z1,③設(shè)a=x,y,z，λ∈R，則λ④設(shè)a=x1,y1,z6、向量的模①設(shè)a=x,y,z，則a②設(shè)Ax1,y17、兩向量的夾角公式設(shè)a=x1,y1,z1,8、向量的平行與垂直設(shè)=x1,y1,z1,=①a//bb=λax2=λx1y2=λy19、投影向量設(shè)OA=a，OB=則b在a方向上的投影數(shù)量（投影）為b則b在a方向上的投影向量O則b在a方向上的投影向量的模為O10、方向向量與法向量①直線的方向向量：設(shè)A、B是直線l上任意兩點，則②平面的法向量：若向量n所在的直線與平面α垂直，則n為平面的法向量③平面法向量的求法：設(shè)A、B、第一步：設(shè)平面的法向量為n第二步：將A、B、C，n的坐標(biāo)代入第三步：令x,y,z中的其中一個量為1，代入方程組計算出另外兩個量，從而得到法向量（注意，平面的法向量有很多個，我們只要能算出其中一個就行）④直線的向量表示式（直線的參數(shù)方程）：設(shè)A，B為直線l上的定點，P為直線l上的動點，則AP=λAB為直線l若給出定點Ax1則x?x1=λx2?x1y?y1=⑤平面的向量表示式（平面的方程）：設(shè)A為平面α上的定點，P為平面α上的動點，n為平面α的法向量，則AP?n=0為平面α若給出定點Ax0,y0,z0，法向量11、用空間向量證明平行、垂直問題①證線線平行：設(shè)a,b分別為直線a,b的方向向量，則a②證線面平行：設(shè)l為直線l的方向向量，n為平面α的法向量，則l?n③證面面平行：設(shè)n1,n2分別為平面α④證線線垂直：設(shè)a,b分別為直線a,b的方向向量，則a⑤證線面垂直：設(shè)l為直線l的方向向量，n為平面α的法向量，則l=λ⑥證面面垂直：設(shè)n1,n2分別為平面α12、用空間向量求夾角①兩直線的夾角：設(shè)a,b分別為直線a,b的方向向量，兩直線的夾角為θ②直線與平面的夾角：設(shè)l為直線l的方向向量，n為平面α的法向量