第三章　第一節(jié)　函數(shù)的概念及其表示

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示【課標解讀】【課程標準】1.了解構成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),理解函數(shù)圖象的應用.3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法高考命題常以基本初等函數(shù)為載體,考查函數(shù)的表示法、定義域、值域.分段函數(shù)是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預測預計2025年高考在函數(shù)的定義域、值域、解析式仍會出題,一般在選擇題或填空題中出現(xiàn),對分段函數(shù)的考查比較靈活,各種題型都可能涉及.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.函數(shù)的概念概念一般地,設A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應關系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應關系y=f(x),x∈A定義域x的取值范圍A值域與x的值相對應的y值的集合{f(x)|x∈A}2.同一個函數(shù)(1)前提條件:①定義域相同;②對應關系完全一致.(2)結論:這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示法(1)解析法:就是把兩個變量之間的對應關系用一個等式來表示,這個等式叫做函數(shù)的解析式.(2)列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.(3)圖象法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.微點撥①在函數(shù)定義中,集合B不一定是函數(shù)的值域,它包含了函數(shù)的值域,即值域是集合B的子集.②兩函數(shù)的值域與對應關系相同,但兩函數(shù)不一定相同,如y=x2(x≥0)與y=x2.4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的子集上,因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).微點撥分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù),分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)的值域的并集.常用結論1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個交點.2.特殊函數(shù)的定義域:(1)分式型函數(shù),分母不為零的實數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù),被開方式非負的實數(shù)集合.(3)f(x)為對數(shù)式時,函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.(4)若f(x)=x0,則定義域為{x|x≠0}.(5)正切函數(shù)y=tanx的定義域為{x|x≠kπ+π2,k∈Z}基礎診斷·自測類型辨析改編易錯題號1231.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y=1與y=x0是同一個函數(shù).(×)提示:函數(shù)y=1的定義域為R,而y=x0的定義域為{x|x≠0},其定義域不同,故不是同一個函數(shù).(2)對于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B.(×)提示:值域是集合B的子集.(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其對應是從A到B的函數(shù).(×)提示:集合A中的元素0在集合B中無元素與之對應.(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域分別相同,則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).(×)提示:只有兩個函數(shù)的定義域,對應關系分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).2.(必修第一冊P65例2·變形式)函數(shù)f(x)=x+3+1x+2,若f(a)=133,則a【解析】由a+3+1a+2=133,化簡得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a均符合題意,所以a=1或-53答案:1或-5【加練備選】(2023·上海高考)已知函數(shù)f(x)=2x,x>01,x【解析】當x>0時,f(x)=2x>1,當x≤0時,f(x)=1,所以f(x)的值域為1,答案:13.(忽視新元的范圍致誤)若函數(shù)f(2x)=4x-2x,則f(x)=.

【解析】由題意,f(2x)=4x-2x=(2x)設t=2x,則f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0.答案:x2-x(x>0)【核心考點·分類突破】考點一函數(shù)的概念1.設集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四個圖象中,能表示集合M到集合N的函數(shù)關系的是()A.①②③④ B.①②③C.②③ D.②【解析】選C.對于①,定義域為{x|0≤x≤1},不符合題意;對于④,集合M中有的元素在集合N中對應兩個值,不符合函數(shù)定義;②③符合題意.2.(多選題)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的為()A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1B.f(x)=x-1,g(x)=xC.f(x)=x2,g(x)=D.f(x)=-x3,g(x)=【解析】選AC.同一個函數(shù)應滿足①定義域相同;②對應關系完全一致,只有A,C滿足.3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列從P到Q的各對應關系f不是函數(shù)的是.(填序號)

①f:x→y=12x;②f:x→y=13x;③f:x→y=23x;④f:x→y【解析】③中,f:x→y=23x,x∈[0,4]時,y=23x∈[0,83]?答案:③4.以下給出的同組函數(shù)中,是否表示同一個函數(shù)?為什么?①f1:y=xx;f2:y=1;f3:y=x0②f1:y=x2;f2:y=(x)2;f3:y=③f1:y=1f2:xx≤11<x<2x≥2y123f3:【解析】①不是.f1(x)與f3(x)的定義域為{x∈R|x≠0},f2(x)的定義域為R.②不是.f1(x)的定義域為R,f2(x)的定義域為{x∈R|x≥0},f3(x)的定義域為{x∈R|x≠0}.③是同一個函數(shù).x與y的對應關系完全一致且定義域相同,它們是同一個函數(shù)的不同表示方法.解題技法(1)函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應,即可以“多對一”,不能“一對多”,而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.(2)構成函數(shù)的三要素中,定義域和對應關系相同,則值域一定相同.考點二函數(shù)的定義域[例1](1)函數(shù)y=4-x2A.[-2,2]B.(-1,2]C.(-1,0)∪(0,2]D.(-1,1)∪(1,2]【解析】選C.由已知可得4解得-1<x<0或0<x≤2,因此函數(shù)y=4-x2ln(2)已知函數(shù)f(x)=3x-1ax2+A.(13,+∞) C.(-12,0) D.(-∞,13【解析】選B.由題意可知ax2+ax-3≠0對任意實數(shù)x都成立.當a=0時,顯然成立;當a≠0時,需Δ=a2+12a<0,解得-12<a<0.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(-12,0].(3)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2025],則函數(shù)g(x)=f(x+1②若函數(shù)f(x-1)的定義域為[0,2025],則函數(shù)g(x)=f(x+1【解析】①使函數(shù)f(x+1)有意義,則0≤x+1≤2025,解得-1≤x≤2024,故函數(shù)f(x+1)的定義域為[-1,2024].所以函數(shù)g(x)有意義的條件是-解得-1≤x<1或1<x≤2024.故函數(shù)g(x)的定義域為[-1,1)∪(1,2024].②由函數(shù)f(x-1)的定義域為[0,2025],得函數(shù)y=f(x)的定義域為[-1,2024],則-1≤x+1≤2024,所以函數(shù)g(x)的定義域為[-2,1)∪(1,2023].答案:①[-1,1)∪(1,2024]②[-2,1)∪(1,2023]解題技法1.由函數(shù)解析式求定義域已知函數(shù)的解析式,其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合,求解時只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可.2.求抽象函數(shù)的定義域的策略(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出;(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.對點訓練1.函數(shù)f(x)=ln(4x-x2)+1x-2A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)【解析】選C.使函數(shù)有意義,需滿足4解得0<x<2或2<x<4.2.已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)g(x)=f(2x)+1-2xA.[0,1] B.[-1,0]C.[-12,1] D.[-1【解析】選D.由題意得-1≤2x≤2,1-3.已知函數(shù)f(x)=2x-a的定義域為[2,+∞),則a【解析】由題意可知,不等式2x-a≥0的解集為[2,+∞),則22-a=0,解得a=4.當a=4時,由2x-4≥0,可得2x≥4=22,解得x≥2,符合題意.答案:4【加練備選】已知函數(shù)f(x)=ln(ax2+x+1)的定義域為R,則a的取值范圍為.

【解析】由條件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,當a=0時,x+1>0,x>-1,不滿足條件,故a>0,Δ<0,答案:(14解題技法求函數(shù)解析式的四種方法考點三函數(shù)的解析式[例2](1)(一題多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,則f(x)=.

【解析】方法一(換元法)令2x+1=t(t∈R),則x=t-12,所以f(t)=4(t-1t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法二(配湊法)因為f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法三(待定系數(shù)法)因為f(x)是二次函數(shù),所以設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.因為f(2x+1)=4x2-6x+5,所以4a=4,4a+2b=-6,a+b+c=5答案:x2-5x+9(x∈R)(2)已知f(x+1)=x+2x,則f(x)=.

【解析】方法一:設t=x+1,則x=(t-1)2,t≥1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1.方法二:因為x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,所以f(x+1)=(x+1)2-1,x+1≥1,即f(x)=x2-1,x≥1.答案:x2-1(x≥1)(3)f(x)滿足2f(x)+f(1x)=3x-1,則f(x)=【解析】(構造方程組法)已知2f(x)+f(1x)=3x-1①以1x代替①中的x(x≠0),得2f(1x)+f(x)=3x-1①×2-②,得3f(x)=6x-3x-1,故f(x)=2x-1x-13(答案:2x-1x-13(對點訓練1.已知f(4x+1)=2x2-3x,則f(2)=(A.-1 B.1 C.2 D.3【解析】選A.令4x+1=2,則所以f(2)=2-3=-1.2.已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)=.

【解析】因為f(x)是一次函數(shù),可設f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+5a+b=2x+17,所以a=2,所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7.答案:2x+73.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)=2f(1x)·x-1,則f(x)=【解析】在f(x)=2f(1x)·x-1中,將x換成1則得f(1x)=2f(x)·1x由f解得f(x)=23x+答案:23x4.設函數(shù)f(x)對x≠0的一切實數(shù)均有f(x)+2f(2023x)=3x,則f【解析】因為f(x)+2f(2023x所以f(2023x)+2f(x聯(lián)立得-3f(x)=3x-3×2×2所以f(x)=-x+2×2所以f(2023)=-2023+2=-2021.答案:-2021考點四分段函數(shù)及其應用考情提示一手考情:分段函數(shù)作為考查函數(shù)知識的載體,因其考查函數(shù)知識較全面而成為高考命題的熱點,重點考查求值、解方程與不等式,涉及函數(shù)的零點、圖象及性質等.角度1分段函數(shù)求值[例3](1)(2023·三明模擬)已知函數(shù)f(x)=3x,x≤0,log【解析】f(f(-2))=f(3-2)=log33答案:-2(2)已知函數(shù)f(x)=2x-1,x≤0,x1【解析】由題意可知2m-1=3,m≤0答案:9解題技法“分段函數(shù)——分段看”,遇到分段函數(shù)要時刻盯住自變量的范圍,并根據(jù)自變量的范圍選擇合適的解析式代入.(1)求函數(shù)值:當出現(xiàn)f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值.(2)求自變量的值:先假設所求的值在分段函數(shù)定義域區(qū)間的各段上,然后求出相應自變量的值,切記要代入檢驗.對點訓練1.設函數(shù)f(x)=3x-b,x<1,2x,xA.1 B.78 C.34 【解析】選D.f(56)=3×56-b=52-b,若52-b<1,即則f(f(56))=f(52-b)=3(52-b解得b=78,不合題意舍去若52-b≥1,即b≤32時,則252-2.已知f(x)=f(x-1),【解析】因為f(x)=f所以f(2024)=f(2023)=f(2022)=…=f(1),又f(1)=f(1-1)=f(0),f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1,所以f(2024)=1.答案:1角度2分段函數(shù)與方程、不等式問題[例4](1)已知函數(shù)f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0.A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】選A.因為f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2.當a≤0時,f(a)=a+1=-2,所以a=-3;當a>0時,f(a)=2a=-2,方程無解.綜上,a=-3.(2)(一題多法)設函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x【解析】方法一:當x>12時,2x+2x-12當0<x≤12時,2x+x-12+1>1,即2x+x>12恒成立,所以0<x當x≤0時,x+1+x-12+1>1,解得-14<綜上,x的取值范圍是(-14,+∞)方法二:將不等式f(x)+f(x-12)>1變形為f(x-12)>1-f(令y1=f(x-12),y2=1-f(x由圖象可知,滿足f(x-12)>1-f(x)的x的取值范圍是(-14答案:(-14解題技法解分段函數(shù)的方程、不等式當自變量取值不確定時