第八章　第一節(jié)　基本立體圖形及幾何體的表面積與體積

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第一節(jié)基本立體圖形及幾何體的表面積與體積【課標解讀】【命題說明】【課程標準】1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形,認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征,能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及簡單組合體)的直觀圖.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理.考向考法高考命題常以空間幾何體及其組合體為載體,考查表面積、體積的求法.與球相關的問題是高考的熱點.常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預測高考會考查基本立體圖形的展開圖或截面圖,會繼續(xù)考查空間幾何體的體積,涉及空間幾何體的結構特征、直觀圖等內(nèi)容,要求考生要有較強的空間想象能力和計算能力,主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側棱平行且相等相交于一點,但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形微點撥(1)棱柱概念中的“側棱平行且相等”要特別關注;(2)棱臺概念中的“上下兩底相似”要特別關注.2.旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面相交于一點延長線交于一點-軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環(huán)-3.直觀圖(1)畫法:常用斜二測畫法.(2)規(guī)則:①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側=2πrlS圓錐側=πrlS圓臺側=π(r'+r)l微點撥(1)S直棱柱側=ch(c為底面周長,h為高).(2)S正棱錐側=12ch'(c為底面周長,h'為斜高)(3)S正棱臺側=12(c'+c)h'(c',c分別為上、下底面周長,h'為斜高)(4)圓臺、圓柱、圓錐的轉化:當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時,得到圓柱;當圓臺的上底面半徑為零時,得到圓錐.S圓柱側=2πrlS圓臺側=π(r+r')lS圓錐側=πrl.V圓柱=S底·hV圓臺=13h(S上+S下+S上S下)V圓錐=13S常用結論原圖形與直觀圖面積的關系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系:(1)S直觀圖=24S(2)S原圖形=22S直觀圖基礎診斷·自測類型辨析改編高考題號12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(×)(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(×)(3)菱形的直觀圖仍是菱形.(×)(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.(×)提示:(1)反例:由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件,但不一定是棱柱.(2)反例:如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.(3)用斜二測畫法畫水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形,但鄰邊不一定相等.(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的立方.2.(必修第二冊P120T3·變形式)現(xiàn)有一個封閉的棱長為2的正方體容器,當按如圖所示水平放置時,水面的高度正好為棱長的一半.若將正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉,則容器中水面的最大高度為()A.1 B.2 C.3 D.22【解析】選B.因為正方體的面對角線的長為22,故將正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉的最大高度是22.又因為容器里水的體積正好是容器體積的一半,所以容器里水面的最大高度是面對角線長度的一半,即容器中水面的最大高度為2.3.(必修第二冊P119例4·變形式)如圖所示,以圓柱的下底面為底面,并以圓柱的上底面圓心為頂點作圓錐,則該圓錐與圓柱等底等高.若圓錐的軸截面是一個正三角形,則圓柱的側面積與圓錐的側面積之比為.

【解析】設圓錐的底面半徑為r,由題意圓錐的軸截面是一個正三角形,可知圓錐的側面積為πr·2r=2πr2,圓柱的側面積為2πr·3r=23πr2,所以圓柱的側面積與圓錐的側面積之比為23πr答案:34.(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為.

【解析】方法一:由棱臺性質可知,上下兩個底面邊長的相似比為1∶2,故截后棱臺的高為3,上底面為邊長為2的正方形,下底面為邊長為4的正方形,代入棱臺體積公式得:V=13×3×(22+42+22方法二:由題意易求正四棱錐高為6,V棱臺=V大四棱錐-V小四棱錐=13×4×4×6-13答案:28【核心考點·分類突破】考點一基本立體圖形考情提示基本立體圖形作為考查空間想象能力的載體,因特殊幾何體的概念貫穿于立體幾何的考查中,成為高考題熱點,涉及相關的概念及性質.角度1直觀圖[例1]在平面直角坐標系中水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知O為坐標原點,A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二測畫法畫出的它的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'的周長為()A.8 B.10C.5+22 D.6+22【解析】選D.如圖,畫出直觀圖,過點A'作A'D⊥O'C',垂足為D.因為O'C'=12OC=3,∠C'O'A'=∠B'A'x'所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,C'D=1=A'B',則A'D=B'C'=2,故四邊形O'A'B'C'的周長為O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.角度2側面展開圖[例2]一個圓錐的側面展開圖是圓心角為2π3,弧長為2π的扇形,則該圓錐的體積等于(A.423π B.22π C.223π 【解析】選C.設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,則2π=2π3l,解得l=3,又2πr=2π,解得r所以圓錐的高為h=l2-r所以圓錐的體積是V=13×πr2×h=22解題技法空間幾何體結構特征判斷技巧(1)說明一個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可;(2)斜二測畫法中,平行于x軸、z軸的線段平行性不變,長度不變,平行于y軸的線段平行性不變,長度減半.(3)在解決空間折線(段)最短問題時,一般考慮其展開圖,采用化曲為直的策略.對點訓練1.如圖所示,在四邊形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,則四邊形OABC水平放置時,用斜二測畫法得到的直觀圖面積為()A.52 B.5 C.52 D.【解析】選C.如圖所示,O'A'B'C'為OABC的直觀圖,根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'軸,所以該圖形的面積為S=12×3+2×2×22=2.已知圓錐的側面積(單位:cm2)為2π,且它的側面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是.

【解析】如圖,設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,則圓錐的側面積S側=πrl=2π,即rl=2.由于側面展開圖為半圓,可知12πl(wèi)2=2π,可得l因此r=1.答案:1【加練備選】如圖,正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,側棱AB=2,BD平行于過點C的截面CB1D1,則截面CB1D1與正三棱錐A-BCD側面交線的周長的最小值為()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】選D.把正三棱錐A-BCD的側面展開,兩點間的連接線CC'即是截面周長的最小值.正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周長的最小值是22.考點二空間幾何體的表面積與側面積[例3](1)如圖,位于西安的大雁塔,是我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個正四棱錐,其側棱與底面所成的角為45°,則該正四棱錐的一個側面與底面的面積之比為()A.32 B.22 C.33 【解析】選D.塔頂是正四棱錐P-ABCD,如圖,PO是正四棱錐的高,設底面邊長為a,則底面積為S1=a2,AO=22a,又因為∠PAO所以PA=2×22a=a,則△PAB是正三角形,面積為S2=34a2,所以S2(2)設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱的長都為a,且a=1,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為()A.5π B.π C.113π D.7【解析】選D.由三棱柱所有棱的長a=1,可知底面為正三角形,底面三角形的外接圓直徑2r=1sin60°=233,所以r=則有R2=r2+(a2)2=13+14所以該球的表面積S=4πR2=73π解題技法空間幾何體表面積的求解策略1.旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用,并弄清底面半徑、母線長、與對應側面展開圖中邊的關系.2.多面體的表面積是各個面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處理.對點訓練如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為16,當細沙全部在上面的圓錐內(nèi)時,其高度為圓錐高度的12(中間銜接的細管長度忽略不計).當細沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此沙堆的側面積為(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】選D.細沙在上部圓錐內(nèi)時的體積V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設高為h1,則13×π×82·h1=128π3,所以h1=2,下部圓錐形沙堆的母線長l=故此沙堆的側面積S側=π×8×217=1617π.考點三空間幾何體的體積考情提示空間幾何體的體積問題是高考命題熱點,試題常以數(shù)學文化、生活實踐等為命題情境.考查的數(shù)學素養(yǎng)有直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等,題型基本為選擇題或填空題.角度1直接利用公式法求體積[例4](1)已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為4的半圓,則該圓錐的體積是()A.423π B.42π C.43π D.【解析】選D.由題意,知該半圓的弧長為4π.又該半圓的弧長為圓錐的底面周長,設圓錐的底面半徑為r,所以4π=2πr,所以r=2.由題意可知,該圓錐的母線長為4,則圓錐的高h=42-22=23,所以該圓錐的體積V=13πr2h=13×π×22(2)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為()A.20+123 B.282C.563 D.【解析】選D.易求得該棱臺的高h=2,下底面面積S1=16,上底面面積S2=4,所以該棱臺的體積V=13h(S1+S2+S1S2)=13×2(3)(2024·婁底模擬)一實心圓柱的軸截面是邊長為2的正方形,在圓柱內(nèi)挖去兩個半球,這兩個半球是以圓柱的兩個底面圓的圓心為球心,底面圓的半徑為半徑的半球,則剩余幾何體的體積為()A.π3 B.π2 C.2π3 【解析】選C.剩余幾何體的體積為π×12×2-4π3×13×12×2=角度2等積法求體積[例5](2020·新高考Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱BB1,AB的中點,則三棱錐A1-D1MN的體積為.

【解析】如圖,由正方體棱長為2及M,N分別為BB1,AB的中點,得S△A1MN=2×2-2×12又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高,且D1A1=2,所以VA1=13S△A1MN·D1A1答案:1角度3割補法求體積[例6]如圖,一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi),容器與地面所成的角為30°,液面呈橢圓形,橢圓長軸上的頂點M,N到容器底部的距離分別是10和16,則容器內(nèi)液體的體積是()A.36π B.39π C.42π D.45π【解析】選B.將含液體部分的幾何體補成如圖所示的圓柱,過M作底面的平行平面,與過N的母線交于點S,連接MS,由題意知∠MNS=30°,則MS=6×33=23,故圓柱底面的半徑為3,則容器內(nèi)液體的體積為12×解題技法求空間幾何體體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積,直接利用公式求解割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,特別是三棱錐的體積對點訓練1.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3【解析】選C.由已知得該棱臺的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺的體積V=13×9×(140+140×180+180)×10=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).2.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,