第八章　第一節(jié)　基本立體圖形及幾何體的表面積與體積

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第一節(jié)基本立體圖形及幾何體的表面積與體積【課標(biāo)解讀】【命題說(shuō)明】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形,認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.考向考法高考命題常以空間幾何體及其組合體為載體,考查表面積、體積的求法.與球相關(guān)的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn).常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)高考會(huì)考查基本立體圖形的展開(kāi)圖或截面圖,會(huì)繼續(xù)考查空間幾何體的體積,涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖等內(nèi)容,要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力,主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn),但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形微點(diǎn)撥(1)棱柱概念中的“側(cè)棱平行且相等”要特別關(guān)注;(2)棱臺(tái)概念中的“上下兩底相似”要特別關(guān)注.2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)-軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)-3.直觀圖(1)畫(huà)法:常用斜二測(cè)畫(huà)法.(2)規(guī)則:①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r'+r)l微點(diǎn)撥(1)S直棱柱側(cè)=ch(c為底面周長(zhǎng),h為高).(2)S正棱錐側(cè)=12ch'(c為底面周長(zhǎng),h'為斜高)(3)S正棱臺(tái)側(cè)=12(c'+c)h'(c',c分別為上、下底面周長(zhǎng),h'為斜高)(4)圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化:當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱;當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐.S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r+r')lS圓錐側(cè)=πrl.V圓柱=S底·hV圓臺(tái)=13h(S上+S下+S上S下)V圓錐=13S常用結(jié)論原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系:(1)S直觀圖=24S(2)S原圖形=22S直觀圖基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編高考題號(hào)12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(×)(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(×)(3)菱形的直觀圖仍是菱形.(×)(4)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方.(×)提示:(1)反例:由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件,但不一定是棱柱.(2)反例:如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形,但鄰邊不一定相等.(4)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的立方.2.(必修第二冊(cè)P120T3·變形式)現(xiàn)有一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器,當(dāng)按如圖所示水平放置時(shí),水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器中水面的最大高度為()A.1 B.2 C.3 D.22【解析】選B.因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線的長(zhǎng)為22,故將正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn)的最大高度是22.又因?yàn)槿萜骼锼捏w積正好是容器體積的一半,所以容器里水面的最大高度是面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半,即容器中水面的最大高度為2.3.(必修第二冊(cè)P119例4·變形式)如圖所示,以圓柱的下底面為底面,并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐,則該圓錐與圓柱等底等高.若圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形,則圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,由題意圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形,可知圓錐的側(cè)面積為πr·2r=2πr2,圓柱的側(cè)面積為2πr·3r=23πr2,所以圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為23πr答案:34.(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為.

【解析】方法一:由棱臺(tái)性質(zhì)可知,上下兩個(gè)底面邊長(zhǎng)的相似比為1∶2,故截后棱臺(tái)的高為3,上底面為邊長(zhǎng)為2的正方形,下底面為邊長(zhǎng)為4的正方形,代入棱臺(tái)體積公式得:V=13×3×(22+42+22方法二:由題意易求正四棱錐高為6,V棱臺(tái)=V大四棱錐-V小四棱錐=13×4×4×6-13答案:28【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一基本立體圖形考情提示基本立體圖形作為考查空間想象能力的載體,因特殊幾何體的概念貫穿于立體幾何的考查中,成為高考題熱點(diǎn),涉及相關(guān)的概念及性質(zhì).角度1直觀圖[例1]在平面直角坐標(biāo)系中水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的它的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'的周長(zhǎng)為()A.8 B.10C.5+22 D.6+22【解析】選D.如圖,畫(huà)出直觀圖,過(guò)點(diǎn)A'作A'D⊥O'C',垂足為D.因?yàn)镺'C'=12OC=3,∠C'O'A'=∠B'A'x'所以O(shè)'C'∥A'B',O'D=A'D=2,C'D=1=A'B',則A'D=B'C'=2,故四邊形O'A'B'C'的周長(zhǎng)為O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.角度2側(cè)面展開(kāi)圖[例2]一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為2π3,弧長(zhǎng)為2π的扇形,則該圓錐的體積等于(A.423π B.22π C.223π 【解析】選C.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,則2π=2π3l,解得l=3,又2πr=2π,解得r所以圓錐的高為h=l2-r所以圓錐的體積是V=13×πr2×h=22解題技法空間幾何體結(jié)構(gòu)特征判斷技巧(1)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只要舉出一個(gè)反例即可;(2)斜二測(cè)畫(huà)法中,平行于x軸、z軸的線段平行性不變,長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段平行性不變,長(zhǎng)度減半.(3)在解決空間折線(段)最短問(wèn)題時(shí),一般考慮其展開(kāi)圖,采用化曲為直的策略.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖所示,在四邊形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,則四邊形OABC水平放置時(shí),用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖面積為()A.52 B.5 C.52 D.【解析】選C.如圖所示,O'A'B'C'為OABC的直觀圖,根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'軸,所以該圖形的面積為S=12×3+2×2×22=2.已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2π,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位:cm)是.

【解析】如圖,設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,則圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πrl=2π,即rl=2.由于側(cè)面展開(kāi)圖為半圓,可知12πl(wèi)2=2π,可得l因此r=1.答案:1【加練備選】如圖,正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,側(cè)棱AB=2,BD平行于過(guò)點(diǎn)C的截面CB1D1,則截面CB1D1與正三棱錐A-BCD側(cè)面交線的周長(zhǎng)的最小值為()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】選D.把正三棱錐A-BCD的側(cè)面展開(kāi),兩點(diǎn)間的連接線CC'即是截面周長(zhǎng)的最小值.正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周長(zhǎng)的最小值是22.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與側(cè)面積[例3](1)如圖,位于西安的大雁塔,是我國(guó)現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐,其側(cè)棱與底面所成的角為45°,則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為()A.32 B.22 C.33 【解析】選D.塔頂是正四棱錐P-ABCD,如圖,PO是正四棱錐的高,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則底面積為S1=a2,AO=22a,又因?yàn)椤螾AO所以PA=2×22a=a,則△PAB是正三角形,面積為S2=34a2,所以S2(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為a,且a=1,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A.5π B.π C.113π D.7【解析】選D.由三棱柱所有棱的長(zhǎng)a=1,可知底面為正三角形,底面三角形的外接圓直徑2r=1sin60°=233,所以r=則有R2=r2+(a2)2=13+14所以該球的表面積S=4πR2=73π解題技法空間幾何體表面積的求解策略1.旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用,并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)、與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中邊的關(guān)系.2.多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處理.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為16,當(dāng)細(xì)沙全部在上面的圓錐內(nèi)時(shí),其高度為圓錐高度的12(中間銜接的細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).當(dāng)細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此沙堆的側(cè)面積為(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】選D.細(xì)沙在上部圓錐內(nèi)時(shí)的體積V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設(shè)高為h1,則13×π×82·h1=128π3,所以h1=2,下部圓錐形沙堆的母線長(zhǎng)l=故此沙堆的側(cè)面積S側(cè)=π×8×217=1617π.考點(diǎn)三空間幾何體的體積考情提示空間幾何體的體積問(wèn)題是高考命題熱點(diǎn),試題常以數(shù)學(xué)文化、生活實(shí)踐等為命題情境.考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等,題型基本為選擇題或填空題.角度1直接利用公式法求體積[例4](1)已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4的半圓,則該圓錐的體積是()A.423π B.42π C.43π D.【解析】選D.由題意,知該半圓的弧長(zhǎng)為4π.又該半圓的弧長(zhǎng)為圓錐的底面周長(zhǎng),設(shè)圓錐的底面半徑為r,所以4π=2πr,所以r=2.由題意可知,該圓錐的母線長(zhǎng)為4,則圓錐的高h(yuǎn)=42-22=23,所以該圓錐的體積V=13πr2h=13×π×22(2)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為()A.20+123 B.282C.563 D.【解析】選D.易求得該棱臺(tái)的高h(yuǎn)=2,下底面面積S1=16,上底面面積S2=4,所以該棱臺(tái)的體積V=13h(S1+S2+S1S2)=13×2(3)(2024·婁底模擬)一實(shí)心圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形,在圓柱內(nèi)挖去兩個(gè)半球,這兩個(gè)半球是以圓柱的兩個(gè)底面圓的圓心為球心,底面圓的半徑為半徑的半球,則剩余幾何體的體積為()A.π3 B.π2 C.2π3 【解析】選C.剩余幾何體的體積為π×12×2-4π3×13×12×2=角度2等積法求體積[例5](2020·新高考Ⅱ卷)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱BB1,AB的中點(diǎn),則三棱錐A1-D1MN的體積為.

【解析】如圖,由正方體棱長(zhǎng)為2及M,N分別為BB1,AB的中點(diǎn),得S△A1MN=2×2-2×12又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高,且D1A1=2,所以VA1=13S△A1MN·D1A1答案:1角度3割補(bǔ)法求體積[例6]如圖,一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi),容器與地面所成的角為30°,液面呈橢圓形,橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分別是10和16,則容器內(nèi)液體的體積是()A.36π B.39π C.42π D.45π【解析】選B.將含液體部分的幾何體補(bǔ)成如圖所示的圓柱,過(guò)M作底面的平行平面,與過(guò)N的母線交于點(diǎn)S,連接MS,由題意知∠MNS=30°,則MS=6×33=23,故圓柱底面的半徑為3,則容器內(nèi)液體的體積為12×解題技法求空間幾何體體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積,直接利用公式求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法,特別是三棱錐的體積對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3【解析】選C.由已知得該棱臺(tái)的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺(tái)的體積V=13×9×(140+140×180+180)×10=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).2.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,