8.2一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)單元2

一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道,根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù),可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系,是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān),以及線(xiàn)性相關(guān)程度的強(qiáng)弱,等等.如果能像建立函數(shù)模型刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣,通過(guò)建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系,那么我們就可以利用這個(gè)模型研究?jī)蓚€(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系,并通過(guò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).一元線(xiàn)性回歸模型是描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的最簡(jiǎn)單的回歸模型.當(dāng)兩個(gè)變量之間具有顯著的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系時(shí),可以建立一元線(xiàn)性回歸模型刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量間的關(guān)系,并通過(guò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè),建立一元線(xiàn)性回歸模型的基礎(chǔ)是成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析.通過(guò)對(duì)散點(diǎn)圖的直觀觀察,可以大致確定變量間是否存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)可以分析線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.在此基礎(chǔ)上建立一元線(xiàn)性回歸模型,用最小二乘法估計(jì)線(xiàn)性回歸模型的參數(shù),得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并利用殘差及利用殘差構(gòu)建的指標(biāo)對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和改進(jìn),使模型不斷完善,最后根據(jù)模型進(jìn)行預(yù)測(cè),幫助決策.本學(xué)習(xí)單元的主要內(nèi)容有一元線(xiàn)性回歸模型的含義、用最小二乘法估計(jì)回歸模型的參數(shù)、殘差分析和決定系數(shù)R2的意義、一元線(xiàn)性回歸模型的應(yīng)用.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)是:能結(jié)合具體實(shí)例,了解一元線(xiàn)性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,了解最小二乘法原理;掌握一元線(xiàn)性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì);掌握殘差分析的方法,理解決定系數(shù)R2的意義;針對(duì)實(shí)際問(wèn)題,會(huì)用一元線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).在建立一元線(xiàn)性回歸模型過(guò)程中,如方程的建立、參數(shù)的估計(jì)、模型有效性分析等,認(rèn)真感悟,體會(huì)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念,會(huì)通過(guò)殘差分析判斷線(xiàn)性回歸模型的擬合效果.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象)2.了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用.(數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

一元線(xiàn)性回歸模型

我們稱(chēng)該式為Y關(guān)于x的一元線(xiàn)性回歸模型.其中,Y稱(chēng)為因變量或響應(yīng)變量,x稱(chēng)為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱(chēng)為截距參數(shù),b稱(chēng)為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.知識(shí)點(diǎn)2

一元線(xiàn)性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心2.殘差與殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱(chēng)為觀測(cè)值,通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱(chēng)為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值所得的差稱(chēng)為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果,通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱(chēng)為殘差分析.在殘差圖中,當(dāng)殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說(shuō)明殘差比較符合一元線(xiàn)性回歸模型的假定.微思考在回歸分析中,利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值一定是真實(shí)值嗎?為什么?提示

不一定是真實(shí)值.利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值,在很多時(shí)候只是預(yù)測(cè)值,例如,人的體重與身高存在一定的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,但體重除了受身高的影響外,還受其他因素的影響,如飲食、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1一般來(lái)說(shuō),父親的身高較高時(shí),兒子的身高通常也較高,但父親的身高卻不能唯一確定兒子的身高.也就是說(shuō),兩者只是相關(guān)關(guān)系,但不是確定關(guān)系,那么兩者的相關(guān)程度如何?問(wèn)題2當(dāng)兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系時(shí),我們希望用經(jīng)驗(yàn)回歸方程

來(lái)擬合兩者的關(guān)系,從而起到預(yù)測(cè)的作用.如何使得經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合程度最好?探究點(diǎn)一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程問(wèn)題3我們將

稱(chēng)為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法,其原理是什么?如何根據(jù)公式求經(jīng)驗(yàn)回歸方程?B(2)某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得下表數(shù)據(jù):x681012y2356①請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;②請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;③試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.解

①散點(diǎn)圖如圖.

③由②中經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知,當(dāng)x=9時(shí),=0.7×9-2.3=4.故預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4.規(guī)律方法

1.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程的應(yīng)用(1)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè):把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程判斷正、負(fù)相關(guān):決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是探究點(diǎn)二回歸分析問(wèn)題4散點(diǎn)圖、殘差、殘差圖、決定系數(shù)、經(jīng)驗(yàn)回歸方程均是我們做回歸分析常用的工具,根據(jù)定義,如何做一次完整的數(shù)據(jù)回歸分析?【例2】

(1)某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y的數(shù)據(jù)如下:次數(shù)x3033353739444650成績(jī)y3034373942464851①作出散點(diǎn)圖;②建立成績(jī)y關(guān)于次數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;③作出殘差圖;④計(jì)算R2,并用R2說(shuō)明擬合效果的好壞.(2)在一段時(shí)間內(nèi),某網(wǎng)店一種商品的銷(xiāo)售價(jià)格x(單位:元)和日銷(xiāo)售量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表:價(jià)格x/元2220181614日銷(xiāo)售量y/件3741435056求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并用R2說(shuō)明擬合效果.解

①該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y之間的散點(diǎn)圖如圖所示.③某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與成績(jī)之間的數(shù)據(jù)及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)為

x30333537y30343739-1.2411-0.36560.55140.4684x39444650y424648511.38540.17790.0949-1.0711殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說(shuō)明選用的模型比較合適.④計(jì)算得R2≈0.985

5.說(shuō)明擬合效果較好.(2)解

作出散點(diǎn)圖(圖略),觀察散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)散布在一條直線(xiàn)的附近,故可知x與y線(xiàn)性相關(guān).規(guī)律方法

解答本類(lèi)題目應(yīng)先通過(guò)散點(diǎn)圖、樣本相關(guān)系數(shù)來(lái)分析兩個(gè)變量是否線(xiàn)性相關(guān),再利用求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的公式求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并利用殘差圖或R2來(lái)分析模型的擬合效果.探究點(diǎn)三求非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程問(wèn)題5當(dāng)散點(diǎn)圖呈曲線(xiàn)狀態(tài)時(shí),若用線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程擬合,誤差比較大.可否將曲線(xiàn)(非線(xiàn)性)的經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程來(lái)解決?【例3】

某地區(qū)六年來(lái)輕工業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)總額y(單位:億元)與年次x的數(shù)據(jù)如下:年次x123456利潤(rùn)總額y/億元11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗(yàn)知,年次x與利潤(rùn)總額y(單位:億元)近似有如下關(guān)系:y=abx.其中a,b均為正數(shù),求y關(guān)于x的非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解

對(duì)y=abx兩邊取自然對(duì)數(shù),得ln

y=ln

a+xln

b.令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=ln

a+xln

b及最小二乘法,得ln

b≈0.047

7,ln

a≈2.378,規(guī)律方法

非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)一元線(xiàn)性回歸模型;(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法;(3)對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)效果的分析:殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納:代入法、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū):不判斷變量間是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的模型時(shí),分別選擇了4種不同模型,計(jì)算它們的R2分別如下表:學(xué)生甲乙丙丁R20.980.780.500.85則建立的模型擬合效果最好的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁A解析

因?yàn)镽2的值越大,模型擬合效果越好,所以甲的擬合效果最好.123456789102.(多選題)某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)對(duì)年銷(xiāo)售量的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)和年銷(xiāo)售量y(單位:千件)的數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)如下表所示,且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.x,y之間呈正相關(guān)關(guān)系B.=2.15C.該經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8,7)D.當(dāng)該產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬(wàn)元時(shí),預(yù)測(cè)其年銷(xiāo)售量為34800件AC123456789103.關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是(

)A.殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B.殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量C.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄R2越小D.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小C解析

殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明模型擬合精度越高,則殘差平方和越小,此時(shí)R2的值越大,故描述錯(cuò)誤的是選項(xiàng)C.123456789104.紅鈴蟲(chóng)是棉花的主要害蟲(chóng)之一,一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),用4種模型分別進(jìn)行擬合.由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析,進(jìn)一步得到如圖4幅殘差圖,根據(jù)殘差圖,擬合效果最好的模型是(

)A.模型一 B.模型二 C.模型三 D.模型四D123456789105.某咖啡廳為了解熱飲的銷(xiāo)售量y(單位:杯)與氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的銷(xiāo)售量與氣溫,并制作了對(duì)照表:氣溫/℃181310-1銷(xiāo)售量/杯24343864由表中數(shù)據(jù)分析,可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程

.當(dāng)氣溫為-4℃時(shí),預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量約為(

)A.68杯

B.66杯

C.72杯

D.77杯A12345678910123456789106.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖情況,得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并分析可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

=0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值為(

)天數(shù)x/天34567繁殖個(gè)數(shù)y/千個(gè)2.5344.5cA.5 B.6 C.7 D.8B123456789107.某市物價(jià)部門(mén)對(duì)本市5家商場(chǎng)某種商品一天的銷(xiāo)售量y及其價(jià)格x進(jìn)行了調(diào)查,數(shù)據(jù)如表所示.價(jià)格x99.51010.511銷(xiāo)售量y1110865由散點(diǎn)圖可知,銷(xiāo)售量y與價(jià)格x之間有較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,其經(jīng)驗(yàn)回歸方程是4012345678910B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位:噸)與所需某種原料y(單位:噸)的相關(guān)性,在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(x,y)如下表所示:x3467y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù),得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

.據(jù)此計(jì)算出在樣本(4,3)處的殘差為-0.15,則表中m的值為

.

5.912345678910123456789109.流感每年在世界各地均有傳播,在我國(guó)北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):年齡x/歲23456患病人數(shù)y2222171410(1)已知y與x線(xiàn)性相關(guān),求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r(計(jì)算結(jié)果精確到0.01),并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng).(若|r|∈[0.75,1],則x,y相關(guān)性很強(qiáng);若|r|∈[0.3,0.75),則x,y相關(guān)性一般;若|r|∈[0,0.25],則x,y相關(guān)性較弱)12345678910123456789101234567891010.某醫(yī)療科研團(tuán)隊(duì)攻堅(jiān)克難研發(fā)出一種新型防疫產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產(chǎn)品的非原料成本y(單位:元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(單位:千件)有關(guān),根據(jù)已經(jīng)生產(chǎn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖,兩個(gè)變量不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)考慮用函數(shù)y=a+對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.參考數(shù)據(jù)如下(其中ui=):(1)求y關(guān)于x的非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并求y關(guān)于u的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01).(2)該產(chǎn)品采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn),即產(chǎn)品全部售出).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù),若該產(chǎn)品單價(jià)定為80元,則簽訂9000件訂單的概率為0.7,簽訂10000件訂單的概率為0.3;若單價(jià)定為70元,則簽訂10000件訂單的概率為0.3,簽訂11000件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為30元,根據(jù)(1)的結(jié)果,要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇80元還是70元?請(qǐng)說(shuō)明理由.1