2020-2021學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，則“且”是“且”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，直接判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】若且，則；但是時(shí)，滿足，但不滿足．所以“且”是“且”的充分不必要條件．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值比最小值多2，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．2或【答案】A【分析】分別討論和，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列方程即可得解.【詳解】由題意解得或（舍去），①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則由題意得，所以即，解得或（舍去）；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，則由題意得，所以即，解得；綜上可得：或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．定義在R上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和兩種情況討論，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，可化為，又為偶函數(shù)且，所以不等式可化為，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，解得；當(dāng)時(shí)，可化為，又為偶函數(shù)且，所以不等式可化為，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，解得；綜上所述：不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.4．設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】將分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡(jiǎn)并判斷與是否一一對(duì)應(yīng)，再舉反例判斷（4）.【詳解】對(duì)于（1），由，得，一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)于（2），由，得，一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)于（3），由，得，一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)于（4），，但方程無(wú)解，則與不相同故選：B二、填空題5．集合且，用列舉法表示集合________【答案】【分析】由已知可得，則，解得且，結(jié)合題意，逐個(gè)驗(yàn)證，即可求解.【詳解】由題意，集合且，可得，則，解得且，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)分母為零，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；綜上可得，集合.故答案為：.6．若關(guān)于的不等式的解集是，則________【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系求解出結(jié)果即可．【詳解】解：由題設(shè)可知：關(guān)于的一元二次方程的兩根為與，由韋達(dá)定理可得：，解得：，，故答案為：．7．若，且，則________.【答案】【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】,,.,.又∵,,即,,.故答案為：8．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，若，___________.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)題意以及反函數(shù)的性質(zhì)得出，然后根據(jù)求出的值，最后代入，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)為，，所以，即，解得，，則，故答案為：.9．設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則有，解可得，即的取值范圍為，故答案為：．10．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【詳解】試題分析：時(shí)，有，對(duì)任意恒成立；時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，則需，解得，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論11．若，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得出滿足的等式，然后利用基本不等式求最值．【詳解】∵，∴，即，∴，則或，若，，則，，不合題意，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴所求最小值為8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查基本不等式求最值．屬于中檔題．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為_(kāi)_____（用區(qū)間表示）.【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，注意到且單調(diào)遞增可得的解集為，再利用奇函數(shù)圖象的性質(zhì)可得時(shí)，不等式的解集為.【詳解】易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，且當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.故不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，涉及到函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.13．函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，若，則__________．【答案】3【分析】首先由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，分析函數(shù)的周期性，再求值.【詳解】，，又為奇函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，，，.故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性求解函數(shù)值的問(wèn)題，屬于中檔題型，本題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱性與周期性的關(guān)系確定函數(shù)的周期，進(jìn)而確定函數(shù)值的變化特點(diǎn)．14．已知函數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)的和是______.【答案】10【分析】先分析出是偶函數(shù)且，然后即可求出所有的的值【詳解】因?yàn)樗运允桥己瘮?shù)若則或解得或2或4又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)也成立故滿足條件的所有整數(shù)的和是故答案為：10【點(diǎn)睛】要善于從一個(gè)函數(shù)的解析式分析出其性質(zhì)，比如單調(diào)性、奇偶性和一些特有的性質(zhì).三、解答題15．已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合，再由集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可；（2）由得，再討論，兩種情況，根據(jù)包含關(guān)系得出不等式組，求解得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）或或（2）當(dāng)時(shí)，滿足，由，解得當(dāng)時(shí)，要使得，必須，解得綜上，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第二問(wèn)中，關(guān)鍵是將并集運(yùn)算轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系，即得，注意不要忽略集合為空集的情況.16．已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可求出，從而可得出的值；（2），時(shí)，可得出的值域，進(jìn)而可得出在，上的值域．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，；?），，時(shí)，，，在上的值域?yàn)椋?7．如圖所示，設(shè)矩形（）的周長(zhǎng)為20厘米，把沿向折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn)，設(shè)厘米，厘米.（1）證明：；（2）建立變量與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）求的最大面積以及此時(shí)的的值.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2），定義域?yàn)椋海唬?）的最大面積為，此時(shí).【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合折疊圖形的不變性、三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）直接運(yùn)用周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2），結(jié)合三角形面積公式和基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槭蔷匦?，所以有，，因?yàn)槭茄叵蛘郫B所得，所以有，，因此有，，在和中，所以，因此；（2）因?yàn)?，，矩形的周長(zhǎng)為20厘米，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，定義域?yàn)椋海唬?）由（1）可知：，所以設(shè)，而是矩形，所以，因此，在直角三角形中，有，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，的最大面積為.18．已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù).（1）求的值；（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值為，求的值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）．【分析】（1）因?yàn)槭嵌x域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）先根據(jù)定義法判斷的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可求解不等式的解集；（3）因?yàn)?，令，可得，分別討論和，即可求得的值.【詳解】（1）是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定義為在上任取，且，即在上單調(diào)遞增，可化簡(jiǎn)為：，即，解得或．不等式的解集為．（3）．令，則．，．當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，解得，(舍去)．綜上所述，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式和根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟和根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19．設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意得到，分，，三種情況討論，即可得出結(jié)果；（2）先由關(guān)于的不等式恒成立，得到恒成立，代入特殊值可知f（2）≥1，從而有a≤1或a≥3；令F（x）＝f（x）﹣x+1，分類討論a≤1或a≥3時(shí)F（x）的最小值，使得F（x）min≥0，可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，可得解集為空集；當(dāng)時(shí)，，解得解集為空集，綜上，原不等式的解集為；（2）關(guān)于的不等式恒成立，即為恒成立，因?yàn)閒（2）≥1成立，即|2﹣a|≥1，解得a≤1或a≥3，設(shè)函數(shù)F（x）＝f（x）﹣x+1，則F（x）≥0恒成立，若a≥3，則F（x）＝，由此F（x）min＝﹣1與F（x）≥0恒成立矛盾，若a≤1，則F（x）＝，由此F（x）min＝1﹣a≥0恒成立，符合F（x）≥0恒成立的要求，綜上，a的取值范圍為（﹣∞，1]．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）含絕對(duì)值的不等式的解法，通常需